La metoda Cramer, cum se obține determinantul $$\Delta_y$$ al unui sistem cu necunoscutele $$x$$, $$y$$, $$z$$?

coloana termenilor liberi ia locul coloanei a doua

coloana termenilor liberi ia locul primei coloane

coloana termenilor liberi ia locul coloanei a treia

coloana termenilor liberi se adaugă ca a patra coloană

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Sisteme 3×3 cu parametru

Pentru ce m are sistemul 3×3 o singură soluție?

Pentru acele valori ale lui $m$ la care determinantul sistemului este diferit de 0. Pentru sistemul $x + y + z = 5$ , $x + m y + 3 z = 9$ , $x + 3 y + m z = 10$ , Sarrus dă $Δ (m) = m^{2} - 2 m - 3 = (m - 3) (m + 1)$ , care se anulează la $m = - 1$ și $m = 3$ . Așadar, orice $m \in R ∖ {- 1, 3}$ dă exact o soluție; de pildă, pentru $m = 2$ , Cramer dă $(2, 2, 1)$ . La $m = - 1$ și $m = 3$ formulele nu se folosesc, iar sistemul se cercetează direct.

Un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute are o singură soluție exact când determinantul lui, $Δ$ , este diferit de 0. Dacă un coeficient este parametrul $m$ , calculezi $Δ (m)$ cu litera $m$ , prin regula lui Sarrus, și afli valorile pentru care se anulează; pentru toate celelalte, sistemul are o singură soluție.

Pentru o valoare dată a lui $m$ , înlocuiești $m$ peste tot și aplici metoda Cramer: $x = \frac{Δ _{x}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{y}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{z}}{Δ}$ , unde în $Δ_{x}$ coloana termenilor liberi ia locul coloanei lui $x$ . Proba se face în toate cele trei ecuații.

Când $Δ = 0$ nu împarți. Cauți o combinație a ecuațiilor (o sumă, o diferență, un dublu) și compari termenii liberi: dacă aceeași expresie ar trebui să aibă două valori diferite, sistemul nu are soluții; dacă o ecuație le repetă pe celelalte, are o infinitate de soluții.

Pentru o matrice de ordin 3, $det (2 A) = 8 det A$ , fiindcă factorul 2 iese din fiecare linie. Capcanele: $Δ = 0$ citit automat drept „fără soluții”, proba făcută într-o singură ecuație și un semn pierdut în Sarrus.

De reținut

$Δ (m) \neq = 0$ înseamnă o singură soluție, dată de formulele lui Cramer
la $Δ = 0$ combini ecuațiile și vezi dacă termenii liberi se potrivesc: o infinitate de soluții sau niciuna
la ordinul 3, $det (k A) = k^{3} det A$

Greșeala tipică

Se scrie „ $Δ = 0$ , deci sistemul nu are soluții”. Determinantul nul spune doar că formulele lui Cramer nu se pot folosi; dacă două ecuații au aceiași coeficienți și aceiași termeni liberi, sistemul are o infinitate de soluții, nu niciuna.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este determinantul $103210041$ ?
- a) $25$
- b) $- 23$
- c) $1$
- d) $17$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $25$

Prin Sarrus, produsele adunate sunt $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ , $2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$ și $0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$ , iar cele scăzute sunt toate 0, deci determinantul este $25$ . Varianta $- 23$ vine din produsul $24$ trecut la scăzut, iar varianta $1$ uită produsul $2 \cdot 4 \cdot 3$ .
La metoda Cramer, cum se obține determinantul $Δ_{y}$ al unui sistem cu necunoscutele $x$ , $y$ , $z$ ?
- a) coloana termenilor liberi ia locul primei coloane
- b) coloana termenilor liberi ia locul coloanei a doua
- c) coloana termenilor liberi ia locul coloanei a treia
- d) coloana termenilor liberi se adaugă ca a patra coloană
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) coloana termenilor liberi ia locul coloanei a doua

Coloana a doua conține coeficienții lui $y$ , deci în $Δ_{y}$ ea este înlocuită de coloana termenilor liberi, iar celelalte două coloane rămân neschimbate. Prima variantă descrie $Δ_{x}$ , a treia $Δ_{z}$ , iar un determinant cu patru coloane și trei linii nu există.
Pentru ce valori ale lui $m$ are o singură soluție sistemul $x + y + z = 2$ , $x + 2 y + z = 3$ , $x + y + m z = 4$ ?
- a) $m \neq = 2$
- b) $m = 1$
- c) $m \neq = 1$
- d) $m \neq = 0$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $m \neq = 1$

$Δ (m) = 111121 11 m = 2 m + 1 + 1 - 2 - 1 - m = m - 1$ , care se anulează doar pentru $m = 1$ . Sistemul are o singură soluție pentru orice $m \neq = 1$ . Varianta b) dă tocmai valoarea exclusă.

Întrebări conexe

Ce fac când determinantul sistemului este 0?

Nu împarți și nu tragi concluzia pe loc. Scrii ecuațiile cu numere și cauți o combinație între ele. Pentru $x + y + z = 5$ , $x - y + 3 z = 9$ , $x + 3 y - z = 10$ , suma ultimelor două dă $2 x + 2 y + 2 z = 19$ , adică $x + y + z = 9, 5$ , dar prima cere 5, deci sistemul nu are soluții. Dacă termenii liberi s-ar fi potrivit, ar fi avut o infinitate.

Cum verific că un triplet este soluția unui sistem cu parametru?

Înlocuiești tripletul în fiecare ecuație și afli ce valoare a lui $m$ cere fiecare. Pentru $m x + y + z = 5$ , $x + m y - z = 4$ , $x + y + m z = 5$ și tripletul $(1, 2, 1)$ , toate trei ecuațiile cer $m = 2$ , deci $m = 2$ . Dacă ecuațiile ar cere valori diferite, tripletul nu ar fi soluție pentru niciun $m$ .

De ce det(2A) este 8 det A la o matrice de ordin 3?

Matricea $2 A$ are fiecare linie înmulțită cu 2, iar un factor comun al unei linii iese în fața determinantului. Cum sunt trei linii, factorul iese de trei ori: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Dacă $det A = 6$ , atunci $det (2 A) = 48$ , nu 12. La o matrice de ordin 2 factorul ar fi fost $2^{2} = 4$ .

Cum scriu un sistem de trei ecuații în formă matriceală?

Pui coeficienții în matricea $A$ , linie cu linie, în ordinea necunoscutelor, iar necunoscutele și termenii liberi în câte o coloană. Sistemul $x + 2 y = 5$ , $y - z = - 1$ , $3 x + z = 6$ devine $A \cdot X = B$ , cu $A = 103210 0 - 1 1$ ; coeficienții lipsă se scriu 0. Soluția lui este $(1, 2, 3)$ .

Pot afla trei prețuri din două facturi?

Nu: cu doar două ecuații pentru trei necunoscute, una dintre necunoscute rămâne liberă. Facturile $4 x + 2 y + z = 107$ și $3 x + 3 y + 2 z = 129$ se potrivesc și cu $(12, 25, 9)$ , și cu $(13, 20, 15)$ . Abia o a treia factură, care face determinantul nenul, fixează prețurile.

Cum îmi dau seama că am greșit un semn în Sarrus?

Alegi o valoare a lui $m$ , calculezi determinantul direct, cu numere, și îl compari cu expresia obținută. Dacă ai obținut $Δ (m) = m^{2} + 2 m - 3$ în loc de $m^{2} - 2 m - 3$ , la $m = 2$ prima dă 5, dar determinantul calculat direct dă $- 3$ . O singură valoare comparată prinde de obicei semnul greșit înainte să ajungă la rezultatul final.

Oamenii mai întreabă și: valorile lui m pentru care sistemul are solutie unica · sistem cu parametru rezolvat cu metoda cramer · determinantul sistemului diferit de zero · sistem de trei ecuatii cu m bacalaureat pedagogic