Sisteme 3×3 cu parametru și Cramer, pedagogic

Când un coeficient al sistemului e necunoscut și notat cu $m$ , întrebarea nu mai este doar „cât fac necunoscutele”, ci și „pentru ce $m$ se pot afla”. Răspunsul îl dă determinantul sistemului, scris ca expresie în $m$ . Lecția, pentru clasa a XII-a, profilul pedagogic, arată cum alegi valorile bune ale lui $m$ , cum aplici metoda Cramer și ce faci când determinantul este 0. Metoda Cramer este în programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic).

Situația de pornire

O grădiniță are trei grupe, iar fiecare educatoare a comandat de la același furnizor cutii de plastilină, seturi de acuarele și topuri de hârtie colorată. Furnizorul a trimis câte o factură pe grupă, cu cantitățile și cu totalul, dar fără prețurile pe bucată. Pe factura grupei mari, numărul cutiilor de plastilină s-a șters la copiere; îl notăm cu $m$ . Directoarea vrea prețurile pe bucată, ca să facă bugetul pe semestrul al doilea.

Grupa	Cutii de plastilină (buc.)	Seturi de acuarele (buc.)	Topuri de hârtie (buc.)	Total pe factură (lei)
mică	4	2	1	107
mijlocie	3	3	2	129
mare	$m$	4	3	187

Întrebare: pentru ce valori ale lui $m$ cele trei facturi ar fixa prețurile fără echivoc? Ce prețuri dau facturile, dacă furnizorul confirmă la telefon că pe ultima factură erau 5 cutii?

De la situație la model

Notează cu $x$ , $y$ și $z$ prețul unei cutii de plastilină, al unui set de acuarele și al unui top de hârtie, în lei. Fiecare factură dă o ecuație: cantitățile înmulțite cu prețurile, adunate, fac totalul.

$⎩ ⎨ ⎧ 4 x + 2 y + z = 107 3 x + 3 y + 2 z = 129 m x + 4 y + 3 z = 187$

În situație	În matematică
prețurile pe bucată, în lei	necunoscutele $x$ , $y$ , $z$
o factură	o ecuație a sistemului
cantitățile de pe facturi	matricea sistemului $A$ , cu 3 linii și 3 coloane
totalurile facturilor	coloana termenilor liberi $B$
cifra ștearsă	parametrul $m$

Determinantul sistemului este determinantul matricei $A$ a coeficienților; aici depinde de $m$ și îl notăm $Δ (m)$ . Sistemul se scrie și în formă matriceală, $A \cdot X = B$ , cu $X = x y z$ și $B = 107129187$ .

Ce spune $Δ (m)$ despre facturi?

Dacă $Δ (m) \neq = 0$ , sistemul are o singură soluție, deci facturile fixează prețurile. Metoda Cramer o dă prin $x = \frac{Δ _{x}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{y}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{z}}{Δ}$ , unde $Δ_{x}$ se obține din $Δ$ punând coloana termenilor liberi în locul coloanei lui $x$ , și la fel pentru $y$ și $z$ . Un astfel de sistem se numește compatibil determinat.

Și dacă $Δ (m) = 0$ ?

Atunci formulele lui Cramer nu se pot folosi, fiindcă ar cere împărțirea la 0. Sistemul poate să nu aibă nicio soluție (incompatibil) sau să aibă o infinitate de soluții (compatibil nedeterminat). Ca să afli care dintre ele, te uiți direct la ecuații: cauți o ecuație care se obține din celelalte, adunându-le sau înmulțindu-le cu numere, și compari termenii liberi.

Metoda pas cu pas

Scrii sistemul ordonat, cu necunoscutele în aceeași ordine în fiecare ecuație și cu termenii liberi în dreapta. Copiezi coeficienții în matricea $A$ , fără să sari peste un coeficient 0 sau 1.
Calculezi $Δ (m)$ cu litera $m$ , prin regula lui Sarrus, și îl aduci la o formă simplă. Verifici rezultatul punând în el o valoare a lui $m$ și calculând același determinant direct, cu numere.
Afli valorile pentru care $Δ (m) = 0$ . Pentru toate celelalte valori sistemul are o singură soluție; răspunsul la „pentru ce $m$ ” este mulțimea numerelor reale fără aceste valori.
Pentru valoarea cerută a lui $m$ , înlocuiești $m$ peste tot, calculezi $Δ$ , $Δ_{x}$ , $Δ_{y}$ , $Δ_{z}$ și împarți. Faci proba în toate cele trei ecuații.
Pentru o valoare cu $Δ = 0$ , nu împarți. Scrii ecuațiile cu numere, cauți o combinație între ele (sumă, diferență, dublu) și compari termenii liberi: dacă ies două valori diferite pentru aceeași expresie, sistemul nu are soluții; dacă o ecuație repetă celelalte, are o infinitate de soluții.

Ordinea contează: pasul 3 înaintea pasului 4 te ferește să aplici formulele lui Cramer unde nu au sens, iar proba de la pasul 4 prinde o coloană pusă greșit în $Δ_{y}$ sau un semn pierdut în Sarrus.

Fișa de buzunar

$Δ = a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3} = a_{1} b_{2} c_{3} + b_{1} c_{2} a_{3} + c_{1} a_{2} b_{3} - c_{1} b_{2} a_{3} - a_{1} c_{2} b_{3} - b_{1} a_{2} c_{3}$

$Δ \neq = 0 \Rightarrow x = \frac{Δ _{x}}{Δ}, y = \frac{Δ _{y}}{Δ}, z = \frac{Δ _{z}}{Δ}$

Dacă $Δ = 0$ : nu împarți; compari o combinație a ecuațiilor cu termenii liberi. Pentru o matrice de ordin 3, $det (2 A) = 2^{3} det A = 8 det A$ , fiindcă factorul 2 iese din fiecare dintre cele trei linii. Proba unei soluții: o înlocuiești în toate trei ecuațiile, nu doar în una.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Facturile grădiniței

Tipul cerinței: determinantul ca expresie în $m$ , apoi Cramer pentru o valoare.

Enunț. Pentru sistemul din model: a) Calculează $Δ (m)$ și spune pentru ce $m$ facturile fixează prețurile. b) Pentru $m = 5$ , află prețurile cu metoda Cramer.

Rezolvare. a) Prin Sarrus, $Δ (m) = 4 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot m + 1 \cdot 3 \cdot 4 - 1 \cdot 3 \cdot m - 4 \cdot 2 \cdot 4 - 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36 + 4 m + 12 - 3 m - 32 - 18 = m - 2$ . Prețurile sunt fixate pentru orice $m \neq = 2$ . b) Pentru $m = 5$ , $Δ = 3$ . Cu coloana totalurilor pe rând în locul fiecărei coloane: $Δ_{x} = 107129187234123 = 36$ , $Δ_{y} = 435107129187123 = 75$ și $Δ_{z} = 435234107129187 = 27$ . Atunci $x = \frac{36}{3} = 12$ , $y = \frac{75}{3} = 25$ și $z = \frac{27}{3} = 9$ : o cutie de plastilină costă 12 lei, un set de acuarele 25 de lei, iar un top de hârtie 9 lei.

Capcană. Cine lasă $m$ în $Δ$ , dar pune 5 doar în $Δ_{x}$ , $Δ_{y}$ și $Δ_{z}$ , împarte la $m - 2$ și nu obține numere. Iar cine citește cifra ștearsă drept 2 dă peste $Δ = 0$ : atunci a treia linie de coeficienți, $(2, 4, 3)$ , este dublul celei de-a doua minus prima, dar $2 \cdot 129 - 107 = 151$ , nu 187. Facturile s-ar contrazice și n-ar exista niciun set de prețuri.

Verificare. Pe facturi, nu pe determinanți: $4 \cdot 12 + 2 \cdot 25 + 9 = 48 + 50 + 9 = 107$ lei, $3 \cdot 12 + 3 \cdot 25 + 2 \cdot 9 = 36 + 75 + 18 = 129$ de lei și $5 \cdot 12 + 4 \cdot 25 + 3 \cdot 9 = 60 + 100 + 27 = 187$ lei.

Exemplul 2 — Un sistem cu $Δ (m)$ de gradul al doilea

Tipul cerinței: valorile parametrului și rezolvarea pentru o valoare dată.

Enunț. Se consideră sistemul $x + y + z = 5$ , $x + m y + 3 z = 9$ , $x + 3 y + m z = 10$ , unde $m$ este număr real. a) Arată că $Δ (m) = m^{2} - 2 m - 3$ . b) Determină valorile lui $m$ pentru care sistemul are o singură soluție. c) Rezolvă sistemul pentru $m = 2$ .

Rezolvare. a) $Δ (m) = 111 1 m 3 13 m = m \cdot m + 1 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 3 - 1 \cdot m \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 3 - 1 \cdot 1 \cdot m = m^{2} + 6 - 2 m - 9 = m^{2} - 2 m - 3$ . b) $m^{2} - 2 m - 3 = (m - 3) (m + 1) = 0$ pentru $m = - 1$ și $m = 3$ , deci sistemul are o singură soluție pentru $m \in R ∖ {- 1, 3}$ . c) Pentru $m = 2$ , $Δ = 4 - 4 - 3 = - 3$ , iar $Δ_{x} = 5910123132 = - 6$ , $Δ_{y} = 1115910132 = - 6$ , $Δ_{z} = 1111235910 = - 3$ . Soluția este $x = 2$ , $y = 2$ , $z = 1$ .

Capcană. Cine greșește semnul celor două produse cu $m$ scrie $Δ (m) = m^{2} + 2 m - 3$ și exclude $1$ și $- 3$ . Pentru $m = 3$ ar aplica Cramer unui sistem care, cum arată exemplul următor, nu are nicio soluție.

Verificare. $2 + 2 + 1 = 5$ , $2 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 9$ și $2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 10$ . Expresia $Δ (m)$ se verifică și cu numere: la $m = 2$ , Sarrus direct pe $111123132$ dă $4 + 3 + 3 - 2 - 9 - 2 = - 3$ .

Exemplul 3 — Când determinantul este 0

Tipul cerinței: „arătați că sistemul nu are soluții”.

Enunț. Pentru sistemul din Exemplul 2, arată că pentru $m = - 1$ și pentru $m = 3$ sistemul nu are soluții.

Rezolvare. Pentru $m = - 1$ , ecuațiile sunt $x + y + z = 5$ , $x - y + 3 z = 9$ și $x + 3 y - z = 10$ . Adunând ultimele două, $2 x + 2 y + 2 z = 19$ , deci $x + y + z = 9, 5$ , iar prima ecuație cere $x + y + z = 5$ . Aceeași sumă nu poate fi și 5, și 9,5, deci sistemul nu are soluții. Pentru $m = 3$ , a doua și a treia ecuație au aceiași coeficienți, $x + 3 y + 3 z$ , dar termeni liberi diferiți, 9 și 10, deci nici acum nu există soluții.

Capcană. Concluzia „ $Δ = 0$ , deci nu are soluții” este grăbită. Dacă la $m = 3$ a treia ecuație ar fi avut termenul liber 9, ea ar fi repetat-o pe a doua, iar sistemul ar fi avut o infinitate de soluții: din $x + y + z = 5$ și $x + 3 y + 3 z = 9$ rezultă $y + z = 2$ și $x = 3$ , cu soluții ca $(3, 2, 0)$ și $(3, 1, 1)$ .

Verificare. $Δ (- 1) = 1 + 2 - 3 = 0$ și $Δ (3) = 9 - 6 - 3 = 0$ , cum cere situația în care regula lui Cramer nu se aplică; contradicțiile găsite, $5 \neq = 9, 5$ și $9 \neq = 10$ , sunt între termenii liberi, nu între coeficienți.

Exemplul 4 — problema inversă: parametrul din soluție

Tipul cerinței: „determinați $m$ pentru care tripletul este soluție”.

Enunț. Se consideră sistemul $m x + y + z = 5$ , $x + m y - z = 4$ , $x + y + m z = 5$ , unde $m$ este număr real. Determină $m$ pentru care $(1, 2, 1)$ este soluție a sistemului și arată că pentru acest $m$ sistemul nu are alte soluții.

Rezolvare. Înlocuiești $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 1$ în fiecare ecuație: $m + 2 + 1 = 5$ dă $m = 2$ ; $1 + 2 m - 1 = 4$ dă $m = 2$ ; $1 + 2 + m = 5$ dă $m = 2$ . Toate trei cer aceeași valoare, deci $m = 2$ . Determinantul este $Δ (m) = m 11 1 m 1 1 - 1 m = m^{3} - m$ , iar $Δ (2) = 8 - 2 = 6 \neq = 0$ , deci pentru $m = 2$ soluția este unică.

Capcană. Cine verifică doar prima ecuație poate accepta un triplet greșit. Tripletul $(2, 0, 1)$ dă în prima ecuație $2 m + 1 = 5$ , adică tot $m = 2$ , dar în a doua $2 + 0 - 1 = 1$ , nu 4. El nu este soluție pentru nicio valoare a lui $m$ .

Verificare. Pe drumul lui Cramer, pentru $m = 2$ : $Δ_{x} = 545121 1 - 1 2 = 6$ , deci $x = \frac{6}{6} = 1$ , exact prima componentă a tripletului.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează determinantul sistemului $2 x + y - z = 3$ , $x - y + 2 z = 5$ , $3 x + 2 y + 3 z = 14$ și spune dacă i se poate aplica metoda Cramer.

2. Rezolvă cu metoda Cramer sistemul de la exercițiul 1.

3. Scrie în formă matriceală sistemul $x + 2 y = 5$ , $y - z = - 1$ , $3 x + z = 6$ , calculează $det A$ și rezolvă sistemul.

4. Determină numerele reale $m$ pentru care sistemul $x + y + z = 1$ , $x + 2 y + 3 z = 0$ , $x + 5 y + m z = 3$ are o singură soluție.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Biblioteca școlii a cumpărat de trei ori cărți de povești, atlase și dicționare. Prima dată a luat 5 cărți de povești, 2 atlase și un dicționar, cu 267 de lei; a doua oară 3, 1 și 2, cu 203 lei; a treia oară 2, 3 și 1, cu 228 de lei. Prețurile nu s-au schimbat. Află prețul fiecărei cărți cu metoda Cramer.

6. (Problemă aplicată.) O tabără școlară oferă trei pachete. Pachetul A are 2 nopți, 2 mese și un transport, la 410 lei; pachetul B are o noapte, 3 mese și un transport, la 350 de lei; pachetul C are 3 nopți, o masă și un transport, la 470 de lei. Arată că determinantul sistemului este 0 și găsește două seturi diferite de prețuri care dau aceleași trei pachete.

7. (Problemă aplicată.) La tabăra de la exercițiul 6, pachetul C se înlocuiește cu pachetul D: $m$ nopți, 2 mese și un transport, la 530 de lei. Pentru ce $m$ pachetele A, B și D fixează prețurile? Află prețurile pentru $m = 3$ .

8. (Problemă aplicată.) Un coleg susține că, la exercițiul 5, o carte de povești costă 30 de lei, un atlas 40 de lei, iar un dicționar 37 de lei. Verifică afirmația pe toate cele trei cumpărături și explică de ce o singură potrivire nu ajunge.

Nivelul 3 — pe model de examen

Exercițiile 9–12 folosesc același cadru: se consideră matricea $A (m) = 121 m 11 1 m 1$ și sistemul $x + m y + z = 3$ , $2 x + y + m z = 3$ , $x + y + z = 4$ , unde $m$ este număr real.

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Arătați că $det (A (m)) = m^{2} - 3 m + 2$ , pentru orice număr real $m$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pentru $m = 0$ , rezolvați sistemul.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pentru $m = 1$ , arătați că sistemul nu are soluții.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Determinați numerele reale $m$ pentru care $det (2 A (m)) = 96$ .

Răspunsuri și verificări

1. $Δ = 213 1 - 1 2 - 1 23 = - 6 + 6 - 2 - 3 - 8 - 3 = - 16$ . Cum $Δ \neq = 0$ , metoda Cramer se aplică. Verificare: dezvoltat după prima linie, $2 \cdot (- 7) - 1 \cdot (- 3) + (- 1) \cdot 5 = - 16$ .

2. $Δ_{x} = - 32$ , $Δ_{y} = - 16$ , $Δ_{z} = - 32$ , deci $x = 2$ , $y = 1$ , $z = 2$ . Verificare: $4 + 1 - 2 = 3$ , $2 - 1 + 4 = 5$ și $6 + 2 + 6 = 14$ .

3. $A = 103210 0 - 1 1$ , $X = x y z$ , $B = 5 - 1 6$ și $det A = 1 - 6 = - 5$ . Cu Cramer, $Δ_{x} = - 5$ , $Δ_{y} = - 10$ , $Δ_{z} = - 15$ , deci $x = 1$ , $y = 2$ , $z = 3$ . Verificare: $1 + 4 = 5$ , $2 - 3 = - 1$ și $3 + 3 = 6$ .

4. $Δ (m) = 111125 13 m = 2 m + 3 + 5 - 2 - 15 - m = m - 9$ . Sistemul are o singură soluție pentru $m \neq = 9$ . Verificare: la $m = 9$ , a treia linie de coeficienți, $(1, 5, 9)$ , este de patru ori a doua minus de trei ori prima: $4 \cdot (1, 2, 3) - 3 \cdot (1, 1, 1) = (1, 5, 9)$ .

5. Cu $p$ , $a$ , $d$ prețurile, în lei: $5 p + 2 a + d = 267$ , $3 p + a + 2 d = 203$ , $2 p + 3 a + d = 228$ . $Δ = - 16$ , $Δ_{p} = - 448$ , $Δ_{a} = - 720$ , $Δ_{d} = - 592$ , deci $p = 28$ , $a = 45$ și $d = 37$ . O carte de povești costă 28 de lei, un atlas 45 de lei, iar un dicționar 37 de lei. Verificare: $140 + 90 + 37 = 267$ , $84 + 45 + 74 = 203$ și $56 + 135 + 37 = 228$ de lei.

6. Cu $n$ , $s$ , $t$ prețul unei nopți, al unei mese și al transportului: $2 n + 2 s + t = 410$ , $n + 3 s + t = 350$ , $3 n + s + t = 470$ . $Δ = 6 + 6 + 1 - 9 - 2 - 2 = 0$ , iar suma ultimelor două ecuații este dublul primei, inclusiv la termenii liberi: $350 + 470 = 2 \cdot 410$ . Prețurile nu se pot afla: și $(120, 60, 50)$ , și $(130, 70, 10)$ dau exact cele trei pachete. Verificare pentru al doilea set: $260 + 140 + 10 = 410$ , $130 + 210 + 10 = 350$ și $390 + 70 + 10 = 470$ .

7. Sistemul $2 n + 2 s + t = 410$ , $n + 3 s + t = 350$ , $mn + 2 s + t = 530$ are $Δ (m) = 2 - m$ , deci prețurile sunt fixate pentru $m \neq = 2$ . Pentru $m = 3$ , $Δ = - 1$ , $Δ_{n} = - 120$ , $Δ_{s} = - 60$ , $Δ_{t} = - 50$ , deci o noapte costă 120 de lei, o masă 60 de lei, iar transportul 50 de lei. Verificare: $3 \cdot 120 + 2 \cdot 60 + 50 = 530$ de lei, cât pachetul D.

8. Prima cumpărătură se potrivește: $5 \cdot 30 + 2 \cdot 40 + 37 = 267$ de lei. A doua nu: $3 \cdot 30 + 40 + 2 \cdot 37 = 204$ , nu 203 lei. Prețurile colegului nu sunt bune; o ecuație cu trei necunoscute are o infinitate de soluții, așa că o singură potrivire nu dovedește nimic. Verificare: prețurile corecte, 28, 45 și 37 de lei, dau și 203 lei.

9. Prin Sarrus, $det (A (m)) = 1 + m^{2} + 2 - 1 - m - 2 m = m^{2} - 3 m + 2$ . Produsele sunt $1 \cdot 1 \cdot 1$ , $m \cdot m \cdot 1$ , $1 \cdot 2 \cdot 1$ , iar cele scăzute $1 \cdot 1 \cdot 1$ , $1 \cdot m \cdot 1$ și $m \cdot 2 \cdot 1$ . Verificare: la $m = 0$ , direct, $121011101 = 1 + 0 + 2 - 1 - 0 - 0 = 2$ , cât dă și $0 - 0 + 2$ .

10. Pentru $m = 0$ : $x + z = 3$ , $2 x + y = 3$ , $x + y + z = 4$ , cu $Δ = 2$ . $Δ_{x} = 2$ , $Δ_{y} = 2$ , $Δ_{z} = 4$ , deci $x = 1$ , $y = 1$ , $z = 2$ . Verificare: $1 + 2 = 3$ , $2 + 1 = 3$ și $1 + 1 + 2 = 4$ .

11. Pentru $m = 1$ , prima ecuație este $x + y + z = 3$ , iar a treia $x + y + z = 4$ . Aceeași sumă nu poate fi și 3, și 4, deci sistemul nu are soluții. Verificare: $det (A (1)) = 1 - 3 + 2 = 0$ , cum trebuie când formulele lui Cramer nu se pot folosi.

12. Matricea are ordinul 3, deci $det (2 A (m)) = 8 det (A (m)) = 8 (m^{2} - 3 m + 2)$ . Din $8 (m^{2} - 3 m + 2) = 96$ rezultă $m^{2} - 3 m - 10 = 0$ , adică $(m - 5) (m + 2) = 0$ , deci $m = 5$ sau $m = - 2$ . Verificare: $det (A (5)) = 25 - 15 + 2 = 12$ și $8 \cdot 12 = 96$ ; cine scrie $2 det (A (m))$ ajunge la $m^{2} - 3 m - 46 = 0$ , fără soluții întregi.

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), sistemele de trei ecuații cu trei necunoscute, la care metoda Cramer este drumul firesc, au apărut în arhiva 2013–2026 numai în cele trei probe din 2013 și în modelul din 2014, la Subiectul al III-lea, unde problema avea o matrice de ordin 3 cu parametru. Cerințele de rezolvare spuneau doar „rezolvați sistemul”, fără să impună o metodă, iar rezolvarea oficială dădea sistemul și soluția:

În modelul din 2013 s-au cerut determinantul matricei sistemului ca expresie în $m$ , apoi rezolvarea sistemului pentru $m = 1$ și, la ultima cerință, demonstrația că pentru $m = 2$ sistemul nu are soluții (pașii 2, 4 și 5 din Metodă). Tot acolo, o cerință a pornit de la $det (2 A)$ .
În probele din iunie și din august 2013, ultima cerință a fost rezolvarea sistemului pentru $m = 0$ (pasul 4).
În modelul din 2014 s-a cerut valoarea lui $m$ pentru care un triplet dat este soluție a sistemului (ca la Exemplul 4).

Din 2015, Subiectul al III-lea a lucrat cu matrice de ordin 2, iar sistemele au apărut în patru probe, ca ecuație matriceală cu o coloană necunoscută: august 2017, iunie 2018, iunie 2024 și august 2026. Metoda Cramer rămâne în programa de examen, deci poate fi cerută. Exercițiile 9–12 reiau formele din 2013, pe un sistem nou.

Greșeli care costă puncte

Pui $m$ doar în unii determinanți → cum o prinzi: înainte de calcul înlocuiești valoarea lui $m$ în matricea sistemului; la Exemplul 1, împărțirea la $m - 2$ nu dă numere.
Scrii „ $Δ = 0$ , deci nu are soluții” → cum o prinzi: compari termenii liberi ai unei combinații de ecuații; la Exemplul 3, cu termenul liber 9 în loc de 10, sistemul ar avea o infinitate de soluții.
Verifici soluția într-o singură ecuație → cum o prinzi: înlocuiești în toate trei; la exercițiul 8, prețurile colegului trec de prima cumpărătură, dar dau 204 lei la a doua.
Scrii $det (2 A) = 2 det A$ la ordinul 3 → cum o prinzi: factorul 2 iese din fiecare linie; la exercițiul 12, $det (2 A (5)) = 8 \cdot 12 = 96$ .
Greșești semnul unui produs în Sarrus → cum o prinzi: verifici expresia în $m$ pe o valoare calculată direct; la Exemplul 2, $m^{2} + 2 m - 3$ ar da 5 la $m = 2$ , nu $- 3$ .

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 4: OMEC 5959/2006), la „Sisteme de ecuații liniare cu cel mult 3 necunoscute; forma matriceală a unui sistem liniar” și „Metoda Cramer de rezolvare a sistemelor liniare”. În probele oficiale din 2013–2026, rezolvarea unui sistem cu trei necunoscute a fost cerută în trei probe, toate din 2013, fără ca enunțul să impună metoda. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 au alt plan-cadru: la profilul pedagogic, matematica nu mai are ore în clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 4152/2026), iar la Bacalaureatul din 2030 ea poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Lecțiile de sprijin: metoda lui Cramer, pe sisteme fără parametru, determinantul de ordin 3 calculat fără greșeli de semn, forma matriceală a sistemului cu trei necunoscute și traseul clasei a XII-a, profilul pedagogic.

Întrebări frecvente

Ce ar fi aflat directoarea dacă pe factura grupei mari erau 6 cutii, nu 5?

Ar fi avut $Δ = 6 - 2 = 4$ , iar Cramer ar fi dat $x = 9$ , $y = 40$ și $z = - 9$ lei. Un top de hârtie nu poate costa $- 9$ lei, deci cifra 6 nu se potrivește cu facturile, deși sistemul are soluție. Dintre cifrele de la 0 la 9, numai 5 dă trei prețuri pozitive, ceea ce confirmă spusele furnizorului.

De ce cifra 2 pe factura grupei mari ar fi semnalat o greșeală?

Pentru $m = 2$ , coeficienții facturii mari, $(2, 4, 3)$ , sunt dublul coeficienților grupei mijlocii minus cei ai grupei mici. Totalul ar fi trebuit să fie $2 \cdot 129 - 107 = 151$ de lei. Cum factura arată 187 de lei, cele trei facturi nu ar putea fi adevărate deodată, deci una ar fi greșită.

Pot afla prețurile doar din două facturi?

Nu, fiindcă două ecuații cu trei necunoscute lasă o necunoscută liberă. Din facturile grupei mici și mijlocii, de pildă, atât $(12, 25, 9)$ , cât și $(13, 20, 15)$ dau 107 și 129 de lei. A treia factură, cu un determinant nenul, este cea care fixează prețurile.

Cum verific repede $Δ (m) = m - 2$ fără să refac tot calculul?

Calculezi determinantul cu numere pentru o valoare a lui $m$ și compari. La $m = 5$ , Sarrus direct dă $36 + 20 + 12 - 15 - 32 - 18 = 3$ , cât arată și $5 - 2$ . La $m = 2$ trebuie să iasă 0, iar a treia linie, $(2, 4, 3)$ , confirmă: este o combinație a primelor două.

Ce diferență este între „sistemul nu are soluții” și „are o infinitate de soluții” când $Δ = 0$ ?

Diferența o fac termenii liberi. La Exemplul 3, pentru $m = 3$ , două ecuații au același membru stâng și termeni liberi diferiți, 9 și 10, deci nicio soluție. Cu termeni liberi egali, ecuațiile s-ar repeta, iar o necunoscută ar putea lua orice valoare, deci ar fi o infinitate de soluții.

Cum au apărut sistemele la Bacalaureatul M4 după 2015?

În probele din 2015–2026, Subiectul al III-lea a avut matrice de ordin 2, iar sistemele au venit de patru ori, ca ecuație matriceală cu o coloană necunoscută: în august 2017, iunie 2018, iunie 2024 și august 2026. Sistemele cu trei necunoscute din cele trei probe din 2013 se puteau rezolva cu metoda Cramer, care rămâne în programa de examen.