Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Media, mediana și modul

Când folosesc mediana în loc de medie?

Când datele au o valoare izolată, mult mai mare sau mult mai mică decât celelalte. Media adună toate valorile, deci se lasă trasă de valoarea izolată; mediana ia doar valoarea din mijlocul seriei ordonate. Pentru 2, 3, 4, 5 și 26 de minute, media este $\frac{40}{5} = 8$ minute, dar mediana este 4 minute, mai aproape de ce trăiesc patru din cei cinci oameni. În raport treci mediana drept „valoare obișnuită”, iar media o dai alături, explicând de unde vine valoarea izolată.

Parametrii de poziție arată în jurul cărei valori se adună datele unui sondaj. Media este suma valorilor împărțită la numărul lor; dintr-un tabel de frecvențe, înmulțești fiecare valoare cu frecvența ei, aduni și împarți la efectiv. Mediana este valoarea din mijlocul seriei ordonate: locul $\frac{n + 1}{2}$ pentru $n$ impar, media valorilor de pe locurile $\frac{n}{2}$ și $\frac{n}{2} + 1$ pentru $n$ par. Modul este valoarea cu frecvența cea mai mare, iar amplitudinea este diferența dintre cea mai mare și cea mai mică valoare.

Mediana se citește din frecvențele cumulate: aduni frecvențele până treci de locul din mijloc. La date grupate pe intervale, media se estimează cu mijlocul fiecărui interval, iar mediana stă în intervalul în care frecvența cumulată trece de jumătatea efectivului.

O valoare izolată, foarte mare, trage media în sus, dar mută puțin sau deloc mediana. De aceea, când media se depărtează de mediană, raportezi mediana ca „valoare obișnuită” și spui și media. Capcanele: media făcută fără frecvențe, mediana citită ca mijloc al coloanei și media nouă calculată pe efectivul vechi.

De reținut

media dintr-un tabel de frecvențe este o medie ponderată cu frecvențele
mediana se citește din frecvențele cumulate, pe locul din mijloc al seriei ordonate
o valoare izolată trage media după ea, pe când mediana abia se clintește

Greșeala tipică

Se face media valorilor din tabel fără frecvențe. Pentru răspunsurile 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 12 cărți, date de 2, 3, 6, 7, 4, 2 și 1 elevi, media corectă este $\frac{74}{25} = 2, 96$ , nu $\frac{27}{7} \approx 3, 86$ .

Exerciții din această mini-lecție

Cinci copii au adus la grădiniță 4, 9, 2, 7 și 5 frunze pentru un colaj. Care este mediana?
- a) $2$
- b) $5$
- c) $5, 4$
- d) $7$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $5$

Ordonat crescător: 2, 4, 5, 7, 9, iar valoarea din mijloc, de pe locul 3, este 5. Varianta 2 este valoarea din mijlocul listei neordonate, iar $5, 4$ este media, $\frac{27}{5}$ .
Patru elevi au rezolvat 3, 8, 5 și 12 probleme. Care este mediana?
- a) $7$
- b) $5$
- c) $6, 5$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6, 5$

Ordonat: 3, 5, 8, 12. Efectivul este par, deci mediana este media celor două valori din mijloc: $\frac{5 + 8}{2} = 6, 5$ . Varianta 7 este media tuturor, $\frac{28}{4}$ ; variantele 5 și 8 iau doar una dintre valorile din mijloc.
La întrebarea „Câte ore de sport faci pe săptămână?”, 20 de elevi au răspuns: 1 oră — 3 elevi, 2 ore — 5 elevi, 3 ore — 8 elevi, 4 ore — 4 elevi. Care este media?
- a) $2, 5$ ore
- b) $3$ ore
- c) $13, 25$ ore
- d) $2, 65$ ore
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $2, 65$ ore

Media ponderată: $\frac{1 \cdot 3 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 8 + 4 \cdot 4}{20} = \frac{53}{20} = 2, 65$ ore. Varianta $2, 5$ face media valorilor fără frecvențe, varianta 3 este modul, iar $13, 25$ împarte la numărul de valori, 4, nu la cei 20 de elevi.

Întrebări conexe

Cum calculez mediana dintr-un tabel de frecvențe?

Scrii frecvențele cumulate și cauți locul din mijloc. Pentru 20 de răspunsuri, 0 — 3 elevi, 1 — 6, 2 — 7, 3 — 4, cumulatele sunt 3, 9, 16, 20. Efectivul fiind par, mediana este media valorilor de pe locurile 10 și 11; amândouă cad la valoarea 2, deci mediana este 2.

Cum calculez media dintr-un tabel de frecvențe?

Faci suma produselor „valoare × frecvență” și o împarți la numărul total de răspunsuri. Pentru tabelul 0 — 3 elevi, 1 — 6, 2 — 7, 3 — 4, media este $\frac{0 + 6 + 14 + 12}{20} = \frac{32}{20} = 1, 6$ . Media valorilor fără frecvențe, $\frac{0 + 1 + 2 + 3}{4} = 1, 5$ , ar socoti fiecare răspuns ca dat de un singur elev.

Cum estimez media când datele sunt grupate pe intervale?

Înlocuiești fiecare interval cu mijlocul lui și calculezi media ponderată cu frecvențele. Pentru 5 elevi între 0 și 4 minute, 10 între 4 și 8 și 5 între 8 și 12, mijloacele 2, 6 și 10 dau $\frac{10 + 60 + 50}{20} = 6$ minute. Rezultatul este o estimare, fiindcă valorile exacte nu se cunosc.

Ce este modul și când are mai multe valori?

Modul este răspunsul care apare de cele mai multe ori, adică cel ales de cei mai mulți. Dacă două valori au aceeași frecvență, cea mai mare, seria are două moduri: la 1, 3, 3, 4, 6, 6, 7, modurile sunt 3 și 6. La răspunsurile pe categorii, ca „culoarea preferată”, modul este singurul parametru de poziție care se poate afla.

Ce arată amplitudinea unui set de date?

Cât de împrăștiate sunt datele: se obține scăzând valoarea minimă din valoarea maximă. Două clase cu aceeași mediană, 3 cărți citite, pot avea amplitudini diferite, 12 și 6, dacă într-una există un cititor care a citit mult peste ceilalți. Amplitudinea depinde doar de cele două valori extreme.

Cum aflu valoarea care lipsește, dacă știu media?

Treci de la medie la sumă: suma este media înmulțită cu numărul valorilor. Dacă 4 numere au media 6, suma lor este 24; dacă un al cincilea face media 7, suma devine $5 \cdot 7 = 35$ , deci numărul nou este $35 - 24 = 11$ . Greșeala obișnuită este să înmulțești media nouă cu numărul vechi de valori.

Oamenii mai întreabă și: diferenta dintre medie si mediana · cand e mai buna mediana decat media · valoare izolata care trage media in sus · parametri de pozitie statistica clasa a 12-a pedagogic