Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Subiectul al II-lea: tiparele legii

Ce cere Subiectul al II-lea la Bac pedagogic?

Toate cele 60 de probe de Bac pedagogic din 2013–2026 au pornit de la o lege dată prin formulă, cu șase cerințe a câte 5 puncte. Cele mai dese: valoarea pe o pereche (60 de probe), elementul neutru (35) și forma cu paranteze (34), apoi ecuații, inecuații, compuneri lungi și numere naturale. Forma $k (x - a) (y - a) + a$ dă direct neutrul $a + \frac{1}{k}$ și elementul care absoarbe, $a$ .

În toate cele 60 de probe M_pedagogic din 2013–2026, Subiectul al II-lea e o singură problemă despre o lege de compoziție, cu șase cerințe de câte 5 puncte. Cerința 1 cere de fiecare dată valoarea legii pe o pereche de numere.

La cerințele 2–3 s-au cerut forma cu paranteze (30), elementul neutru (29), comutativitatea (20) și asociativitatea (13); simetricul a venit la cerințele 4–5, în 5 probe. Cerințele 4–6 au cerut ecuații, ecuații cu puteri sau logaritmi, inecuații, compuneri lungi și numere întregi sau naturale.

Forma $x * y = k (x - a) (y - a) + a$ rezolvă multe cerințe: $a$ absoarbe, neutrul e $a + \frac{1}{k}$ , iar o compunere lungă în care apare $a$ dă $a$ . La puteri notezi $t = 2^{x} > 0$ , iar la numere naturale scrii divizorii.

Capcanele: neutrul verificat doar într-o parte, o soluție negativă păstrată pentru $t = 2^{x}$ , compunerile numărate greșit și inecuația rezolvată în ℝ când se cer numere naturale.

De reținut

cerința 1: valoarea pe o pereche, în toate cele 60 de probe
forma $k (x - a) (y - a) + a$ : $a$ absoarbe, neutrul e $a + \frac{1}{k}$
neutrul și simetricul se verifică în ambele ordini

Greșeala tipică

Se adună constanta de prea multe ori la un lanț: 8 numere au doar 7 compuneri; la $x + y + 23$ , $1 * \dots * 8 = 36 + 161 = 197$ , nu 220.

Exerciții din această mini-lecție

Care este forma cu paranteze a legii $x * y = x y + 37 x + 37 y + 1332$ ?
- a) $(x + 37) (y + 37) - 37$
- b) $(x + 37) (y + 37) + 1332$
- c) $(x - 37) (y - 37) - 37$
- d) $(x + 37) (y + 37) - 1332$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x + 37) (y + 37) - 37$

$(x + 37) (y + 37) = x y + 37 x + 37 y + 1369$ , iar $1369 - 37 = 1332$ , deci legea e $(x + 37) (y + 37) - 37$ . Varianta cu $+ 1332$ uită să scadă $1369$ , iar cea cu $(x - 37) (y - 37)$ greșește semnele.
Care este elementul neutru al legii $x \circ y = 3 (x - 8) (y - 8) + 8$ ?
- a) $8$
- b) $\frac{25}{3}$
- c) $\frac{1}{3}$
- d) $3$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{25}{3}$

$3 (x - 8) (e - 8) + 8 = x$ pentru orice $x$ cere $3 (e - 8) = 1$ , deci $e = \frac{25}{3}$ . Varianta 8 e numărul care absoarbe: $x \circ 8 = 8$ . Verificare: $9 \circ \frac{25}{3} = 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} + 8 = 9$ .
Pentru legea $x * y = x + y + 13$ , cât este $1 * 2 * 3 * \dots * 9$ ?
- a) $149$
- b) $162$
- c) $58$
- d) $136$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $149$

Între 9 numere sunt 8 compuneri, deci constanta 13 se adună de 8 ori: $45 + 104 = 149$ . Varianta 162 o adună de 9 ori, iar 58 o singură dată. Verificare pe 3 numere: $1 * 2 * 3 = 6 + 26 = 32$ , iar pe rând $1 * 2 = 16$ și $16 * 3 = 32$ .

Întrebări conexe

Trebuie să demonstrez asociativitatea dacă în cadru scrie că legea e asociativă?

Nu: cuvântul din cadru îți dă proprietatea gata demonstrată și o folosești la compunerile lungi. Proprietatea a fost scrisă chiar în cadru în 22 dintre cele 60 de probe. Ambele grupări le calculezi numai atunci când cerința îți cere să arăți asociativitatea.

Cum găsesc forma cu paranteze?

Scoți coeficientul $k$ al lui $x y$ și cauți valoarea $a$ care face ca $x * a$ să fie aceeași pentru orice $x$ . La $x y + 16 x + 16 y + 240$ , $x * (- 16) = - 16$ , deci forma e $(x + 16) (y + 16) - 16$ . Verifici desfăcând.

Ce fac la o compunere lungă?

Cauți printre operanzi numărul care absoarbe. Pentru $(x + 16) (y + 16) - 16$ , el e $- 16$ , deci $(- 20) * \dots * 20 = - 16$ . Dacă nu există, folosești asociativitatea și numeri corect compunerile. Asociativitatea îți permite să grupezi operanzii cum vrei, deci locul lui $- 16$ în lanț nu contează.

Ce fac cu soluțiile negative când notez $t = 2^{x}$ ?

Le respingi, fiindcă $2^{x} > 0$ pentru orice $x$ . La $t^{2} + t - 20 = 0$ rămâne doar $t = 4$ , deci $x = 2$ . Proba se face în ecuația cu legea, nu în cea cu $t$ . O soluție negativă pentru $t$ nu dă niciun $x$ real.

Au apărut grupuri, inele sau ℤₙ la Subiectul al II-lea?

Nu, în niciuna dintre cele 360 de cerințe din 2013–2026. Toate sunt despre o lege pe ℝ sau, o dată, pe $(0, + \infty)$ . Monoidul, grupul, inelul, corpul și ℤₙ sunt totuși în programa de examen.

Oamenii mai întreabă și: subiectul 2 bac matematica pedagogic · legea de compozitie la bac m4 · cele sase cerinte de la subiectul al doilea · ce s-a dat la bac pedagogic la legea de compozitie