Subiectul al II-lea la Bac pedagogic: tipare

Din 2013 până în 2026, Subiectul al II-lea al probei de matematică de la profilul pedagogic a fost, în toate cele 60 de probe oficiale, o singură problemă despre o lege de compoziție, cu șase cerințe. Tiparele lor se repetă, iar fiecare are o capcană a ei. Lecția încheie capitolul de structuri algebrice din clasa a XI-a, la pedagogic: arată ce s-a cerut, în ce ordine și cum se rezolvă fiecare tip. Tema stă în centrul Bacalaureatului M4 (M_pedagogic).

Situația de pornire

La sfârșitul clasei a XI-a, profesoara de matematică le dă elevilor de la pedagogic un tabel făcut din cele 60 de probe oficiale din 2013–2026. Pentru fiecare dintre cele șase cerințe ale Subiectului al II-lea, tabelul arată tipul cerut în cele mai multe probe și numărul lor.

Ana, elevă în clasa a XI-a, vrea să-și facă un plan de recapitulare pe tipuri de cerințe, nu pe probe întregi.

Întrebare: ce tipuri de cerințe trebuie să știe Ana, în ce ordine apar și ce capcană are fiecare?

De la situație la model

Fiecare probă începe cu un cadru: „Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=\dots$”. În 59 de probe mulțimea e ℝ, iar într-una, iunie 2024, intervalul $(0,+\infty )$. Cele șase cerințe valorează câte 5 puncte, deci problema are 30 de puncte.

Ce tipuri de cerințe au apărut?

Am pus fiecăreia dintre cele 360 de cerințe o singură etichetă, cea principală, după ce cere; de aceea cifrele pot diferi de cele care numără orice apariție. Celelalte ecuații cu legea sunt 66, valoarea pe o pereche 60, cerințele cu numere întregi sau naturale 39, elementul neutru 35, forma cu paranteze 34, ecuațiile cu puteri, logaritmi sau radicali 25, comutativitatea 20, compunerile lungi de calculat sau de comparat 17, asociativitatea 14, alte egalități de arătat pentru orice $x$ 12, inegalitățile de demonstrat 11, elementul care „absoarbe” 9, inecuațiile de rezolvat 7, simetricul 5, exemplele de numere 3 și implicațiile 3. Numărate după orice apariție, inecuațiile de rezolvat sunt 19, iar compunerile cu cel puțin trei operanzi 36. Un parametru apare în 2 probe, cu 7 cerințe. Cuvintele „grup”, „inel”, „corp” și ℤₙ nu apar în nicio cerință.

Cum s-au schimbat cerințele de la un an la altul?

Asociativitatea s-a cerut în 9 cerințe în 2013–2016, în 4 în 2017–2020, într-una în 2021–2023 și în niciuna în 2024–2026. Cerințele în care apar numere întregi sau naturale (ecuații, inecuații, perechi, divizibilitate, exemple) au fost prezente în toate perioadele: 8 în 2013–2016, 11 în 2017–2020, 8 în 2021–2023 și 15 în 2024–2026. Elementul neutru și forma cu paranteze au rămas prezente în toate cele patru perioade.

Ce sunt forma cu paranteze și elementul care absoarbe?

Forma cu paranteze este scrierea unei legi $x\ast y=kxy+m(x+y)+c$, cu $k\ne 0$, ca $x\ast y=k(x-a)(y-a)+a$, unde $a=-\frac{m}{k}$; ea există când $c=k{a}^2+a$. Din ea se citesc repede două lucruri: numărul $a$ „absoarbe”, adică $x\ast a=a\ast x=a$ pentru orice $x$, iar elementul neutru e $e=a+\frac{1}{k}$. O compunere lungă în care apare $a$ dă deci $a$.

Metoda pas cu pas

1. Citește cadrul: mulțimea, formula și dacă scrie „asociativă”. Dacă legea nu e comutativă, păstrează ordinea operanzilor la fiecare calcul.
2. La valoarea pe o pereche, înlocuiești $x$ și $y$ în formulă, cu paranteze la numerele negative, și faci calculul pas cu pas.
3. La forma cu paranteze, pornești de la membrul drept cerut, îl desfaci și compari cu formula legii. Dacă nu e dată, scoți factorul $k$ și completezi produsul $(x-a)(y-a)$.
4. La proprietăți: comutativitatea, calculând $y\ast x$; asociativitatea, calculând ambele grupări; elementul neutru, verificând $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$; simetricul lui $x$, rezolvând $x\ast x^{\prime }=e$ cu neutrul deja aflat.
5. La ecuații și inecuații, scrii $x\ast \dots$ cu formula și obții o ecuație obișnuită; la puteri notezi $t=2^x$ și păstrezi doar $t>0$. Verifici soluțiile în enunț și în condiția cerută: real, natural, întreg.
6. La o compunere lungă, cauți în ea elementul care absoarbe; dacă nu există, grupezi termenii folosind asociativitatea. La numere întregi sau naturale, folosești forma cu paranteze și scrii divizorii.

Pașii 3 și 6 se sprijină unul pe altul: forma cu paranteze găsită la cerința 2 sau 3 o folosești din nou la cerința 6. Pasul 4 cere ambele ordini la neutru și la simetric.

Proprietățile legii sunt explicate pe larg în lecția despre asociativitate, comutativitate și element neutru, iar calculul cu tabla și formula, în lecția despre legea de compoziție și tabla ei. Forma cu paranteze și ecuațiile cu legea au lecții proprii, despre forma factorizată a unei legi și despre ecuații și inecuații cu legi de compoziție, iar grupurile de numere, care adună proprietățile, sunt în lecția despre grupuri de numere la pedagogic. Toate lecțiile clasei sunt în traseul de la pedagogic, clasa a XI-a.

Fișa de buzunar

$$x\ast y=k(x-a)(y-a)+a⟹x\ast a=a,e=a+\frac{1}{k},x\ast x^{\prime }=e⟺(x-a)(x^{\prime }-a)=\frac{1}{k^2}$$

Proba: pui rezultatul înapoi în cerință, cu legea, nu cu adunarea sau înmulțirea obișnuite.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Primele trei cerințe pe o lege nouă

Domeniu: calcul.

Enunț. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+16x+16y+240$. a) Calculează $(-2)\ast 5$. b) Arată că $x\ast y=(x+16)(y+16)-16$ pentru orice numere reale $x$ și $y$. c) Află elementul neutru al legii.

Rezolvare. a) Pasul 2: $(-2)\ast 5=(-2)\cdot 5+16\cdot (-2)+16\cdot 5+240=-10-32+80+240=278$. b) Pasul 3: $(x+16)(y+16)-16=xy+16x+16y+256-16=xy+16x+16y+240=x\ast y$. c) Pasul 4: $x\ast e=x$ înseamnă $(x+16)(e+16)-16=x$, adică $(x+16)(e+16)=x+16$ pentru orice $x$, deci $e+16=1$ și $e=-15$. Legea e comutativă, deci și $(-15)\ast x=x$. Elementul neutru e $-15$.

Capcană. Cine scrie $16\cdot -2$ fără paranteză și citește $+32$ obține la punctul a) $-10+32+80+240=342$. Pe forma cu paranteze se vede imediat greșeala: $(-2+16)(5+16)-16=278$.

Verificare. Pe alt drum, cu forma cu paranteze: $(-2)\ast 5=14\cdot 21-16=278$, iar $7\ast (-15)=23\cdot 1-16=7$.

Exemplul 2 — Simetricul și o ecuație cu puteri

Domeniu: ecuatii.

Enunț. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea $x\circ y=2xy-20x-20y+210$. a) Arată că $x\circ y=2(x-10)(y-10)+10$ și află elementul neutru. b) Află simetricul lui 11. c) Rezolvă ecuația $2^x\circ 2^x=82$.

Rezolvare. a) Pasul 3: $2(x-10)(y-10)+10=2xy-20x-20y+200+10$, adică formula legii. Pasul 4: $2(x-10)(e-10)+10=x$ pentru orice $x$ cere $2(e-10)=1$, deci $e=\frac{21}{2}$. b) $11\circ x^{\prime }=\frac{21}{2}$ dă $2\cdot 1\cdot (x^{\prime }-10)=\frac{1}{2}$, deci $x^{\prime }=\frac{41}{4}$. c) Pasul 5: cu $t=2^x>0$, ecuația devine $2(t-10{)}^2+10=82$, adică $(t-10{)}^2=36$, deci $t=4$ sau $t=16$. Ambele sunt pozitive, iar $2^x=4$ dă $x=2$, $2^x=16$ dă $x=4$.

Capcană. Cine ia neutrul 10, citind numărul din paranteze, caută simetricul din $11\circ x^{\prime }=10$ și obține $x^{\prime }=10$; dar $10$ e numărul care absoarbe, $11\circ 10=10$, și nu are cum să fie neutru.

Verificare. Pe alt drum, pe numere: $11\circ \frac{41}{4}=2\cdot 1\cdot \frac{1}{4}+10=\frac{21}{2}$, iar pentru $x=2$, $4\circ 4=2\cdot 36+10=82$.

Exemplul 3 — O compunere lungă

Domeniu: lant.

Enunț. Pentru legea $x\ast y=xy+16x+16y+240$ din exemplul 1, calculează $(-20)\ast (-19)\ast (-18)\ast \cdots \ast 19\ast 20$.

Rezolvare. Legea e asociativă: din forma cu paranteze, ambele grupări dau $(x+16)(y+16)(z+16)-16$. Pasul 6: numărul care absoarbe e $-16$, fiindcă $x\ast (-16)=(x+16)\cdot 0-16=-16$, iar $-16$ e printre operanzi. Grupezi: $((-20)\ast \cdots \ast (-17))\ast (-16)\ast ((-15)\ast \cdots \ast 20)$. Prima grupare compusă cu $-16$ dă $-16$, iar $-16$ compus cu orice număr dă tot $-16$. Rezultatul e $-16$.

Capcană. Cine încearcă să compună pe rând 41 de numere face zeci de înmulțiri și greșește ușor. Cine compune doar câteva și ghicește un tipar ratează motivul: rezultatul e $-16$ doar fiindcă $-16$ se află printre operanzi.

Verificare. Pe alt drum, cu forma generală: compunerea tuturor e $(-20+16)(-19+16)\cdots (20+16)-16$, iar produsul conține factorul $-16+16=0$, deci rezultatul e $0-16=-16$.

Exemplul 4 — În stilul Bac M4: numere naturale și o inecuație

Domeniu: numere.

Enunț. Tot pentru legea $x\ast y=xy+16x+16y+240$: a) Determină perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=290$. b) Determină numerele naturale $n$ pentru care $n\ast n\le 425$.

Rezolvare. a) Pasul 6: $(m+16)(n+16)-16=290$, deci $(m+16)(n+16)=306$. Factorii sunt cel puțin 16, iar divizorii lui 306 sunt 1, 2, 3, 6, 9, 17, 18, 34, 51, 102, 153, 306; singurele scrieri cu ambii factori cel puțin 16 sunt $17\cdot 18$ și $18\cdot 17$. Perechile sunt $(1,2)$ și $(2,1)$. b) Pasul 5: $(n+16{)}^2-16\le 425$, adică $(n+16{)}^2\le 441$, deci $n+16\le 21$ și $n\le 5$. Numerele sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Capcană. Cine uită că $n$ e natural și scrie doar $(n+16{)}^2\le 441$, rezolvat în ℝ, ajunge la intervalul $[-37,5]$ și trece în răspuns și numere negative. Cerința spune „numere naturale”, deci se păstrează doar 0, 1, …, 5.

Verificare. Pe alt drum, pe numere: $1\ast 2=2+16+32+240=290$, $5\ast 5=441-16=425$ și $6\ast 6=484-16=468>425$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru legea $x\ast y=8x+8y-xy-56$, calculează $2\ast 5$ și $(-1)\ast 4$.

2. Arată că legea din exercițiul 1 se scrie $x\ast y=-(x-8)(y-8)+8$ și că e comutativă.

3. Pentru legea $x\ast y=x+y+24$, află elementul neutru și simetricul lui 1.

4. Arată că legea $x\circ y=x+y+6xy$ e asociativă.

Nivelul 2 — situații

5. La legea $x\ast y=4xy-20x-20y+105$, un elev scrie: „Elementul neutru e 1, fiindcă 1 e neutru la înmulțire.” Arată că greșește și află neutrul corect.

6. La legea $x\ast y=x+y-44$, un elev rezolvă $4^x\ast 2^x=-24$, ajunge la $t^2+t-20=0$, cu $t=2^x$, și scrie două soluții, din $t=4$ și din $t=-5$. Corectează răspunsul.

7. La legea $x\ast y=x+y+23$, un elev calculează $1\ast 2\ast \cdots \ast 8$ ca $36+8\cdot 23=220$. Găsește greșeala și calculează corect.

8. La legea $x\ast y=xy-3x-5y+15$, un elev spune că legea e comutativă, „fiindcă se scrie ca produs”. Scrie legea ca produs și arată că elevul greșește.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+31x+31y+930$. Arătați că $x\circ y=(x+31)(y+31)-31$, pentru orice numere reale $x$ și $y$, și verificați dacă $e=-30$ este elementul neutru al legii.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pentru legea din exercițiul 9, calculați $(-35)\circ (-34)\circ \cdots \circ (-25)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea $x\ast y=x+y-28$. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x\ast 3^x=62$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea $x\ast y=xy+x+y-5$. Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=9$.

Răspunsuri și verificări

1. $2\ast 5=16+40-10-56=-10$ și $(-1)\ast 4=-8+32+4-56=-28$. Verificare: cu forma din exercițiul 2, $-(2-8)(5-8)+8=-18+8=-10$ și $-(-9)(-4)+8=-36+8=-28$.

2. $-(x-8)(y-8)+8=-(xy-8x-8y+64)+8=-xy+8x+8y-56$, adică legea. Schimbând $x$ cu $y$, produsul $(y-8)(x-8)$ e același, deci legea e comutativă. Verificare: $2\ast 5=-10$ și $5\ast 2=40+16-10-56=-10$.

3. $x+e+24=x$ dă $e=-24$. Simetricul lui 1: $1+x^{\prime }+24=-24$, deci $x^{\prime }=-49$. Verificare: $1\ast (-49)=1-49+24=-24$.

4. $(x\circ y)\circ z=x+y+6xy+z+6(x+y+6xy)z=x+y+z+6xy+6xz+6yz+36xyz$, iar $x\circ (y\circ z)$ dă aceeași expresie, care nu se schimbă dacă schimbi ordinea literelor. Verificare: $(1\circ 1)\circ 1=8\circ 1=57$ și $1\circ (1\circ 1)=1\circ 8=57$.

5. $6\ast 1=24-120-20+105=-11$, nu 6, deci 1 nu e neutru. Legea e $4(x-5)(y-5)+5$, iar $4(x-5)(e-5)=x-5$ pentru orice $x$ dă $e-5=\frac{1}{4}$, deci $e=\frac{21}{4}$. Verificare: $6\ast \frac{21}{4}=4\cdot 1\cdot \frac{1}{4}+5=6$.

6. Cum $t=2^x>0$, soluția $t=-5$ se respinge: $2^x$ nu e niciodată negativ. Rămâne $2^x=4$, deci $x=2$, o singură soluție. Verificare: $16\ast 4=16+4-44=-24$.

7. Între 8 numere sunt 7 compuneri, deci constanta 23 se adună de 7 ori: $36+7\cdot 23=197$. Elevul a adunat-o o dată în plus. Verificare: pe 3 numere, $1\ast 2\ast 3=6+2\cdot 23=52$, iar pe rând $1\ast 2=26$ și $26\ast 3=52$.

8. $xy-3x-5y+15=(x-5)(y-3)$, iar factorii nu sunt aceiași în $x$ și în $y$. De pildă, $1\ast 0=(-4)(-3)=12$, dar $0\ast 1=(-5)(-2)=10$, deci legea nu e comutativă. Verificare: din formulă, $1\ast 0=0-3-0+15=12$ și $0\ast 1=0-0-5+15=10$.

9. $(x+31)(y+31)-31=xy+31x+31y+961-31$, adică legea. Pentru $e=-30$: $x\circ (-30)=(x+31)\cdot 1-31=x$, iar legea e comutativă, deci și $(-30)\circ x=x$. Răspuns: $e=-30$ este elementul neutru. Verificare: $2\circ (-30)=-60+62-930+930=2$.

10. Legea e asociativă, iar $-31$ absoarbe: $x\circ (-31)=(x+31)\cdot 0-31=-31$. Printre operanzii $-35,-34,\dots ,-25$ se află $-31$. Rezultatul e $-31$. Verificare: produsul $(-35+31)\cdots (-25+31)$ conține factorul $-31+31=0$, deci compunerea dă $0-31=-31$.

11. $9^x\ast 3^x=9^x+3^x-28=62$, deci $9^x+3^x-90=0$. Cu $t=3^x>0$: $t^2+t-90=0$, cu rădăcinile $9$ și $-10$; se păstrează $t=9$. $3^x=9$ dă $x=2$. Verificare: $81\ast 9=81+9-28=62$.

12. $m\ast n=(m+1)(n+1)-6=9$, deci $(m+1)(n+1)=15$. Factorii sunt numere naturale cel puțin 1: $1\cdot 15$, $3\cdot 5$, $5\cdot 3$, $15\cdot 1$. Perechile sunt $(0,14)$, $(2,4)$, $(4,2)$, $(14,0)$. Verificare: $2\ast 4=8+2+4-5=9$ și $0\ast 14=0+0+14-5=9$.

Așa vine la Bac M4

Din cele 60 de probe oficiale de la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), din 2013–2026, toate au la Subiectul al II-lea o lege de compoziție, cu șase cerințe. Cinci cerințe reale, din probe diferite:

• La proba din iunie 2023, cerința 2 cere asociativitatea legii $x\ast y=x+y-4$, lucrată după pasul 4, iar punctajul oficial acordă 2 puncte pentru prima grupare calculată și 3 puncte pentru a doua, împreună cu concluzia.
• La proba model din 2024, cerința 3 dă numărul $e=4$ ca element neutru de verificat în ambele ordini, tot după pasul 4; punctajul oficial dă 2 puncte pentru $x\circ 4=x$, iar restul de 3 puncte pentru ordinea inversă, $4\circ x=x$, încheiată cu răspunsul.
• La proba din august 2026, cerința 5 dă simetricul, 1, și cere numărul $x$, deci folosești neutrul aflat la cerința 3 și pasul 4, iar soluția oficială a acelei probe acordă 3 puncte pentru ecuația scrisă cu neutrul 5 și 2 puncte pentru rezultatul $x=-7$.
• La proba din iunie 2022, cerința 6 pornește de la compunerea de la $\sqrt{3}$ la $\sqrt{2022}$ și cere numărul natural $n$, cu pasul 6 drept cheie, fiindcă $\sqrt{3}$ absoarbe; soluția oficială dă 3 puncte pentru valoarea compunerii și 2 puncte pentru $n=3$.
• La proba din iunie 2025, cerința 4 cere perechile de numere naturale pentru o egalitate între două compuneri, rezolvată cu pașii 5 și 6, iar punctajul oficial acordă 2 puncte pentru $(-m)\ast (-n)$ scris cu formula legii și 3 puncte pentru perechile $(0,3)$ și $(1,2)$.

Fiecare cerință valorează 5 puncte: în 351 dintre cele 360 de cerințe, punctele sunt împărțite pe două etape, 2 și 3 sau 3 și 2, iar în celelalte 9, toate din probele 2013–2019, pe trei etape. La cerința 1, prima etapă, înlocuirea în formulă, are 3 puncte în 54 dintre cele 60 de probe. Exercițiile 9–12 preiau tipurile acestor cerințe, cu legi și numere noi.

Greșeli care costă puncte

• Verifici elementul neutru doar într-o parte, la o lege necomutativă → la $x\ast y=(x-5)(y-3)+5$ ai lua drept neutru pe 4, care merge doar la dreapta: $x\ast 4=x$, dar $4\ast x=8-x$; cum o prinzi: calculezi și $e\ast x$.
• Iei drept neutru numărul din paranteze → în exemplul 2 ai fi luat 10, care absoarbe; cum o prinzi: $x\circ 10$ trebuie să dea $x$, nu 10.
• Păstrezi o soluție negativă pentru $t=2^x$ → o a doua soluție care nu există; cum o prinzi: $2^x>0$ pentru orice $x$.
• Numeri greșit compunerile într-un șir: între 8 numere sunt 7 compuneri → constanta adunată sau scăzută o dată în plus; cum o prinzi: refaci calculul pe 3 numere.
• Rezolvi în ℝ o inecuație cerută în numere naturale → răspunsul conține numere negative; cum o prinzi: citești din nou mulțimea din cerință înainte să scrii răspunsul.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 4: OMEC 3252/2006). Legile de compoziție și proprietățile lor sunt primul conținut al clasei a XI-a din programa de examen. În probele oficiale 2013–2026 au apărut la Subiectul al II-lea în toate cele 60 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au alt plan-cadru (OMEC 4152/2026), iar lecția de față nu este scrisă pentru ei: din 2030, la profilul pedagogic, matematica poate fi aleasă doar la proba F, pe programa MAT_P8 (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Trebuie să demonstrez asociativitatea dacă în cadru scrie „legea asociativă”? Nu. Cuvântul din cadru e o informație dată, pe care o folosești la compunerile lungi sau la ecuațiile cu trei operanzi. Din cele 60 de probe, 22 au scris „asociativă” chiar în cadru. Doar când cerința spune „Arătați că legea este asociativă” calculezi ambele grupări.

Ce fac dacă legea nu e comutativă? Păstrezi ordinea operanzilor la fiecare calcul și verifici neutrul și simetricul în ambele ordini. La proba din iunie 2026, legea $x\ast y=xy-x-2y+4$ nu e comutativă: $1\ast 0=3$, dar $0\ast 1=2$. Forma ei cu paranteze are factori diferiți, $(x-2)(y-1)+2$.

Cum găsesc repede forma cu paranteze? Scoți coeficientul lui $xy$ în față și cauți numărul $a$ pentru care $x\ast a$ nu depinde de $x$. La $x\ast y=xy+16x+16y+240$ din exemplul 1, $x\ast (-16)=-16$, deci $a=-16$ și forma e $(x+16)(y+16)-16$. Verifici desfăcând.

Câte puncte are Subiectul al II-lea? Are 30 de puncte: șase cerințe a câte 5 puncte. Toată proba are 90 de puncte din cerințe și 10 din oficiu. Pentru Ana, din situația de pornire, cerința 1, pe care au avut-o toate cele 60 de probe, e cea mai sigură parte a Subiectului al II-lea.

În câte probe de la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) a apărut legea? În toate cele 60 de probe oficiale din 2013–2026, la Subiectul al II-lea, cu câte șase cerințe. În 35 de probe s-a cerut elementul neutru, iar în 34, forma cu paranteze. Grupul, inelul și corpul sunt și ele în programă, deci pot fi cerute.

Au apărut grupuri, inele sau clase de resturi la Subiectul al II-lea? Nu, în nicio cerință din cele 360. Toate cerințele sunt despre o singură lege pe ℝ sau, o dată, pe $(0,+\infty )$. Programa de examen conține însă monoidul, grupul, inelul, corpul și ℤₙ, așa că lecțiile capitolului le tratează separat.