Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Substituția t = u(x) și limitele

Cum integrez f' ori o putere a lui f?

Notezi $t = f (x)$ : atunci $f^{'} (x) d x = d t$ , iar integrala devine $\int t^{n} d t$ , cu limitele schimbate în $f (a)$ și $f (b)$ . Exemplu: la $\int_{0}^{1} (4 x + 3) (2 x^{2} + 3 x)^{3} d x$ iei $t = 2 x^{2} + 3 x$ , deci $d t = (4 x + 3) d x$ , iar limitele devin $0$ și $5$ . Atunci $\int_{0}^{1} (4 x + 3) (2 x^{2} + 3 x)^{3} d x = \int_{0}^{5} t^{3} d t = \frac{625}{4}$ . Pentru probă derivezi primitiva $\frac{( 2 x ^{2} + 3 x ) ^{4}}{4}$ și regăsești integrandul $(4 x + 3) (2 x^{2} + 3 x)^{3}$ ; funcția este pozitivă pe interval, deci și rezultatul trebuie să fie pozitiv.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Schimbarea de variabilă transformă o integrală grea într-una din tabel. Dai un nume nou, $t$ , expresiei $u (x)$ din interiorul altei funcții, iar derivata ei trebuie să apară în integrand, eventual cu o constantă în față. Regula este $\int_{a}^{b} g (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} g (t) d t$ .

Pașii sunt aceiași de fiecare dată. Scoți constantele din integrală și rupi sumele pe termeni. Notezi $t = u (x)$ și calculezi $d t = u^{'} (x) d x$ ; dacă lipsește o constantă, o compensezi, de pildă $x d x = \frac{d t}{2}$ la $t = x^{2}$ . Apoi schimbi imediat limitele în $u (a)$ și $u (b)$ și rămâi în $t$ până la capăt. Sub integrală nu trebuie să mai rămână niciun $x$ .

Formele care apar în probe sunt patru: $x g (x^{2})$ , fracția $\frac{u ^{'}}{u}$ cu rezultatul $ln u$ , produsul $u^{'} u^{n}$ și $\frac{g ( ln x )}{x}$ . Noile limite pot veni și în ordine descrescătoare; le păstrezi așa, fără să le inversezi.

Cele mai frecvente greșeli sunt limitele vechi lăsate în $t$ , constanta uitată din $d t$ și diferența de logaritmi scrisă ca logaritm al diferenței. Verifici derivând primitiva compusă sau recalculând pe alt drum.

De reținut

$t = f (x)$ , $f^{'} (x) d x = d t$ , limitele devin $f (a)$ și $f (b)$
$\int t^{n} d t = \frac{t ^{n + 1}}{n + 1}$ pentru $n \neq = - 1$ , iar la $n = - 1$ rezultă $ln t$
după substituție nu mai rămâne niciun $x$ sub integrală

Greșeala tipică

Se lasă limitele vechi după ce s-a trecut la $t$ : la exemplul de mai sus s-ar calcula $\int_{0}^{1} t^{3} d t = \frac{1}{4}$ în loc de $\frac{625}{4}$ . Corect: limitele noi, $f (0) = 0$ și $f (1) = 5$ .

Exerciții din această mini-lecție

Se face substituția $t = 7 x^{3} + 4$ într-o integrală. Cu ce este egal produsul $x^{2} d x$ , exprimat prin $d t$ ?
- a) $21 d t$
- b) $d t$
- c) $\frac{d t}{7}$
- d) $\frac{d t}{21}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{d t}{21}$

Din $t = 7 x^{3} + 4$ rezultă $d t = 21 x^{2} d x$ , deci $x^{2} d x = \frac{d t}{21}$ . Varianta $21 d t$ înmulțește în loc să împartă. Varianta $d t$ ignoră constanta 21, iar $\frac{d t}{7}$ derivează $7 x^{3}$ ca $7 x^{2}$ , fără factorul 3 din exponent.
Funcția $g$ are primitiva $G (t) = 2 t^{2} + 9 t$ . Cât este $\int_{1}^{3} g (x^{2} + 3) \cdot 2 x d x$ ?
- a) $328$
- b) $34$
- c) $385$
- d) $- 328$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $328$

Cu $t = x^{2} + 3$ avem $d t = 2 x d x$ , iar limitele devin $t = 1^{2} + 3 = 4$ și $t = 3^{2} + 3 = 12$ . Integrala este $G (12) - G (4) = 396 - 68 = 328$ . Rezultatul 34 lasă limitele vechi, $G (3) - G (1)$ . Rezultatul 385 schimbă limita de sus, dar o lasă pe cea de jos, adică $G (12) - G (1)$ , iar $- 328$ scade în ordine inversă.
Cât este $\int_{0}^{1} (3 x + 1) e^{3 x^{2} + 2 x} d x$ ?
- a) $e^{5} - 1$
- b) $\frac{e ^{5}}{2}$
- c) $\frac{e ^{5} - 1}{2}$
- d) $2 (e^{5} - 1)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{e ^{5} - 1}{2}$

Notezi $t = 3 x^{2} + 2 x$ , deci $d t = (6 x + 2) d x = 2 (3 x + 1) d x$ și $(3 x + 1) d x = \frac{d t}{2}$ . Limitele devin $t = 0$ și $t = 5$ , iar integrala este $\frac{1}{2} \int_{0}^{5} e^{t} d t = \frac{e ^{5} - 1}{2}$ . Varianta $e^{5} - 1$ uită factorul $\frac{1}{2}$ , iar $2 (e^{5} - 1)$ îl înmulțește în loc să îl împartă. Varianta $\frac{e ^{5}}{2}$ ia valoarea 0 în limita de jos, deși $e^{0} = 1$ .

Întrebări conexe

Ce fac dacă lipsește o constantă din derivată?

O compensezi cu o constantă pusă în fața integralei, care trece apoi în fața integralei în $t$ . De exemplu, la $\int_{0}^{2} x (x^{2} + 5)^{3} d x$ iei $t = x^{2} + 5$ , deci $x d x = \frac{d t}{2}$ , iar limitele devin 5 și 9: $\int_{0}^{2} x (x^{2} + 5)^{3} d x = \frac{1}{2} \int_{5}^{9} t^{3} d t = \frac{9 ^{4} - 5 ^{4}}{8} = 742$ .

Cum procedez când puterea este negativă sau fracționară?

Procedezi la fel, doar că folosești primitiva potrivită puterii respective. Pentru $\int_{0}^{2} \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x$ iei $t = x^{3} + 1$ , limitele devin 1 și 9, iar $\int_{0}^{2} \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 1} d x = \int_{1}^{9} t^{- 1/2} d t = [2 t]_{1}^{9} = 6 - 2 = 4$ . Radicalul de la numitor înseamnă puterea $- \frac{1}{2}$ .

Cum calculez integrala din f prim supra f?

Este cazul puterii $- 1$ , iar primitiva este logaritmul din $f$ , cu condiția ca $f$ să fie pozitivă pe tot intervalul. De exemplu, pentru $f (x) = 2 x^{3} + x + 3$ avem $f^{'} (x) = 6 x^{2} + 1$ , deci $\int_{0}^{1} \frac{6 x ^{2} + 1}{2 x ^{3} + x + 3} d x = ln 6 - ln 3 = ln 2$ .

Ce fac cu un termen care nu are derivata în față?

Rupi suma pe termeni și folosești substituția numai pe termenul care o permite, iar celălalt termen se integrează direct, cu primitiva din tabel. De exemplu, $\int_{0}^{1} (4 x (2 x^{2} + 3)^{2} + 12 x^{2}) d x = \int_{3}^{5} t^{2} d t + 4 = \frac{98}{3} + 4 = \frac{110}{3}$ .

Ce fac dacă după substituție mai rămâne un x?

Dacă mai rămâne un $x$ , expresia aleasă pentru $t$ nu e potrivită, fiindcă derivata ei nu apare în integrand. Încerci altă expresie sau altă metodă, de pildă integrarea prin părți. Rămânerea unui $x$ sub integrală este semnalul că substituția nu duce la o integrală din tabel.

Cum apare schimbarea de variabilă în probele oficiale?

Schimbarea de variabilă a apărut în 20 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al III-lea. Formele întâlnite sunt $x g (x^{2})$ , fracția cu derivata numitorului, produsul $f^{'} f^{n}$ și $\frac{g ( ln x )}{x}$ .

Oamenii mai întreabă și: integrala lui f prim ori f la puterea n · derivata unei funcții înmulțită cu o putere a ei · cum găsesc t când derivata apare în integrand · substituția t egal funcția din puterea