Substituția t = u(x) și limitele noi, tehnologic

Viteza unei rășini printr-o conductă se citește punct cu punct, dar debitul cere o integrală în care pătratul distanței față de axă stă în interiorul altei expresii. Schimbarea de variabilă îi dă acestei expresii un nume nou, $t$, mută limitele și lasă o integrală din tabel. Metoda se învață în clasa a XII-a, la toate profilurile liceului tehnologic, iar 20 de probe ale examenului de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) au cerut-o, la punctele b) și c) ale problemei 2 din Subiectul al III-lea.

Situația de pornire

La o fabrică de vopsea, o pompă împinge printr-o conductă dreaptă, cu diametrul de 4 cm, rășina lichidă, un polimer sintetic, spre linia de ambalare. Tehnologul vrea să știe ce volum de rășină trece într-un minut, ca să regleze dozarea în recipiente, dar pe conducta aceasta nu e montat niciun debitmetru. O dozare greșită ar umple recipientele pe jumătate sau le-ar revărsa. Are însă un aparat cu ultrasunete, prins pe exteriorul țevii, care citește viteza rășinii la distanțe diferite de axă. În centru rășina curge repede, iar lângă perete aproape stă, fiindcă se lipește de metal. Notează într-un tabel ce arată aparatul, de la axă până la perete.

Întrebare: câți litri de rășină trec prin conductă într-un minut?

De la situație la model

Din măsurători, tehnologul potrivește pe viteză o formulă. La distanța $r$ de axă, în cm, viteza în cm/s este

$$v(r)=75(1-\frac{r^2}{4})$$

care dă 75 în centru și 0 la perete, la 2 cm (model din exemplu). Formula reproduce valorile din tabel.

Debitul nu este viteza, ci volumul care trece prin toată secțiunea într-o secundă. Tehnologul împarte secțiunea în inele subțiri, cu centrul pe axă: un inel la distanța $r$ de axă, lat de $dr$, are aria $2\pi rdr$, adică lungimea cercului ori lățimea, iar rășina trece prin el cu viteza $v(r)$. Prin inel trec deci $2\pi rv(r)dr$ cm³ pe secundă, iar debitul este suma tuturor inelelor, de la axă până la perete.

Schimbarea de variabilă înseamnă să dai un nume nou, $t$, expresiei $u(x)$ din interiorul integrandului, ca integrala să devină una din tabel. În integrala debitului, $r$ înmulțește o expresie care depinde numai de $r^2$. Funcția $r^2$ stă în interiorul parantezei, iar derivata ei, $2r$, apare ca factor, până la o constantă. Exact asta caută regula din secțiunea următoare.

Derivata unei funcții compuse, folosită invers

Pornești de la derivata unei funcții compuse, $(G(u(x)){)}^{\prime }=G^{\prime }(u(x))u^{\prime }(x)$. Dacă $G^{\prime }=g$, funcția $G(u(x))$ este o primitivă a lui $g(u(x))u^{\prime }(x)$. Cu formula Leibniz–Newton, integrala de la $a$ la $b$ este $G(u(b))-G(u(a))$, adică integrala lui $g$ de la $u(a)$ la $u(b)$:

$${\int }_a^{b}g(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}g(t)dt$$

Regula cere ca $u^{\prime }$ să fie continuă pe $[a;b]$ și $g$ să fie continuă pe valorile lui $u$; demonstrația nu se cere. Odată cu variabila se schimbă și limitele: lui $x=a$ îi corespunde $t=u(a)$, iar lui $x=b$ îi corespunde $t=u(b)$. Noile limite pot veni în orice ordine, chiar $u(a)>u(b)$: integrala se calculează la fel, cu formula Leibniz–Newton.

De ce notezi cu t pătratul razei?

Pătratul razei trece ambele teste de mai jos. Ca să găsești expresia $u(x)$, pune-ți două întrebări. Ce expresie stă în interiorul altei funcții? Sub o putere, în exponent, sub logaritm sau la numitor. Îi apare derivata în integrand, cel mult cu o constantă în față? Dacă da, aceea e $u(x)$. În cerințele din 2013–2026 au apărut patru forme:

La prima formă, $g$ poate fi un polinom sau o exponențială. La a treia, $n$ poate fi și negativ sau o fracție: un radical la numitor înseamnă $n=-\frac{1}{2}$. La a doua, $u$ trebuie să rămână pozitivă pe tot intervalul. Dacă derivata lui $u$ nu apare nici măcar cu o constantă, substituția nu ajută, iar integrarea prin părți e următoarea încercare.

Metoda pas cu pas

1. Pregătește integrandul: scoate constantele în fața integralei, rupe sumele pe termeni și scrie fiecare termen ca produs sau fracție. Dacă integrandul nu are încă forma cerută, o aduci la ea: reduci o paranteză, scazi o parte din $f$ sau rescrii o fracție. În fiecare termen caută expresia $u(x)$ din interiorul altei funcții, a cărei derivată $u^{\prime }(x)$ apare ca factor, eventual cu o constantă.
2. Notează $t=u(x)$ și calculează $dt=u^{\prime }(x)dx$. Exprimă tot integrandul prin $t$; dacă lipsește o constantă, o compensezi, ca la $t=x^2$, unde $xdx=\frac{dt}{2}$. Sub integrală nu trebuie să rămână niciun $x$.
3. Schimbă limitele: lui $x=a$ îi corespunde $t=u(a)$, iar lui $x=b$ îi corespunde $t=u(b)$. Le scrii imediat și rămâi în $t$: nu te mai întorci la $x$. Dacă noile limite vin în ordine descrescătoare, nu le inversezi, ci calculezi cu ele așa.
4. Calculează integrala în $t$ cu primitivele din tabel, între noile limite, și simplifică rezultatul. Dacă nu ai găsit forma, încearcă altă expresie pentru $u(x)$, sau integrarea prin părți.
5. Verifică: derivează primitiva compusă $G(u(x))$ și compar-o cu integrandul de la început, sau calculează aceeași integrală pe altă cale; controlează semnul și ordinul de mărime al rezultatului; la o ecuație cu necunoscută, pui valoarea găsită înapoi.

Primitivele din tabel sunt în lecția despre primitive uzuale, iar formula cu care se calculează între limite e în lecția despre integrala definită cu Leibniz–Newton. Cealaltă metodă de calcul, integrarea prin părți, e în lecția despre alegerea funcțiilor la părți, iar fracțiile cu numitor de gradul al doilea sunt în integrala funcțiilor raționale. Ordinea tuturor lecțiilor clasei o găsești în hubul clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$${\int }_a^{b}g(u(x))u^{\prime }(x)dx={\int }_{u(a)}^{u(b)}g(t)dt$$

Regula se aplică dacă $u^{\prime }$ e continuă pe $[a;b]$ și $g$ e continuă pe valorile lui $u$. Se notează $t=u(x)$, se înlocuiește $u^{\prime }(x)dx$ cu $dt$ și se schimbă limitele în $u(a)$ și $u(b)$; în integrală nu mai rămâne niciun $x$. Formele care au apărut la examen: $xg(x^2)$ cu $t=x^2$, $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu rezultatul $\ln u$, pentru $u>0$, $u^{\prime }{u}^n$ cu rezultatul $\frac{u^{n+1}}{n+1}$, pentru $n\ne -1$, și $\frac{g(\ln x)}{x}$ cu $t=\ln x$. Verificare rapidă: derivata primitivei compuse dă integrandul.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Debitul rășinii printr-o conductă

Domeniu: chimie.

Enunț. Reluăm conducta de rășină: viteza la distanța $r$ de axă este $v(r)=75(1-\frac{r^2}{4})$ cm/s, pentru $0\le r\le 2$ cm. Aflați debitul $Q={\int }_0^{2}2\pi rv(r)dr$, în litri pe minut. Se dă $\pi \approx 3,1416$.

Rezolvare. Pasul 1: scoți constantele, $2\pi \cdot 75=150\pi$, și rămâne $Q=150\pi {\int }_0^{2}r(1-\frac{r^2}{4})dr$, unde $r$ înmulțește o expresie în $r^2$. Pasul 2: $t=r^2$, deci $dt=2rdr$ și $rdr=\frac{dt}{2}$. Pașii 3 și 4: lui $r=0$ îi corespunde $t=0$, iar lui $r=2$ îi corespunde $t=4$, deci

$$Q=150\pi \cdot \frac{1}{2}{\int }_0^4(1-\frac{t}{4})dt=75\pi [t-\frac{t^2}{8}{]}_0^4=75\pi (4-2)=150\pi$$

Cu $\pi \approx 3,1416$, debitul este de aproximativ 471 cm³/s. Un litru are 1000 cm³, iar un minut are 60 s, deci $471\cdot 60:1000\approx 28,3$ litri pe minut. Viteza maximă, 75 cm/s, pe toată secțiunea de $\pi \cdot 2^2\approx 12,57$ cm² ar da aproximativ 942 cm³/s. Debitul adevărat, 471, e jumătate din asta, fiindcă rășina curge tot mai încet spre perete, deci rezultatul e plauzibil.

Capcană. Cine trece la $t$, dar lasă limitele vechi, 0 și 2, obține $75\pi [t-\frac{t^2}{8}{]}_0^2=75\pi \cdot 1,5\approx 353$ cm³/s, adică aproximativ 21,2 litri pe minut, cu un sfert mai puțin decât în realitate. Variabila $t=r^2$ ia valori de la 0 la 4, nu de la 0 la 2.

Verificare. Fără substituție, desfaci paranteza: $r(1-\frac{r^2}{4})=r-\frac{r^3}{4}$, cu primitiva $\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{16}$. Atunci $150\pi [\frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{16}{]}_0^2=150\pi (2-1)=150\pi$, același rezultat. Pompa dă deci aproximativ 28 de litri pe minut.

Exemplul 2 — Pata de motorină pe un lac

Domeniu: mediu.

Enunț. La pontonul de alimentare al unei baze nautice, o conductă fisurată scurge motorină pe lac, iar pata e circulară, cu centrul în punctul scurgerii. Grosimea peliculei la distanța $r$ de centru, în mm, este $h(r)=0,8e^{-r^2/400}$, pentru $0\le r\le 30$, cu $r$ în m (model din exemplu). Un metru pătrat de peliculă groasă de 1 mm conține 1 litru, deci volumul de motorină, în litri, este $V={\int }_0^{30}2\pi rh(r)dr$. Aflați $V$. Se dă $e^{-2,25}\approx 0,1054$.

Rezolvare. Pasul 1: scoți constantele, $2\pi \cdot 0,8=1,6\pi$, și rămâne $V=1,6\pi {\int }_0^{30}r{e}^{-r^2/400}dr$. Exponentul $-\frac{r^2}{400}$ stă în interiorul exponențialei, iar derivata lui apare ca factor $r$, până la o constantă. Pasul 2: $t=\frac{r^2}{400}$, deci $dt=\frac{r}{200}dr$ și $rdr=200dt$. Pașii 3 și 4: lui $r=0$ îi corespunde $t=0$, iar lui $r=30$ îi corespunde $t=\frac{900}{400}=2,25$, deci

$$V=1,6\pi \cdot 200{\int }_0^{2,25}{e}^{-t}dt=320\pi [-e^{-t}{]}_0^{2,25}=320\pi (1-e^{-2,25})$$

Cu $e^{-2,25}\approx 0,1054$, $V\approx 320\cdot 3,1416\cdot 0,8946\approx 899$ de litri. Dacă pelicula ar avea 0,8 mm pe tot cercul, ar fi $\pi \cdot 900\cdot 0,8\approx 2262$ de litri. Pata e mai subțire spre margine, așa că 899 de litri, adică aproximativ 40% din asta, e plauzibil.

Capcană. Cine ia $rdr=dt$, fără 200 din $t=\frac{r^2}{400}$, obține $1,6\pi (1-e^{-2,25})\approx 4,5$ litri, de 200 de ori mai puțin. Derivata lui $\frac{r^2}{400}$ este $\frac{r}{200}$, nu $r$.

Verificare. Derivata lui $-200e^{-r^2/400}$ este $-200\cdot (-\frac{r}{200})e^{-r^2/400}=r{e}^{-r^2/400}$, deci $1,6\pi [-200e^{-r^2/400}{]}_0^{30}$ dă același $320\pi (1-e^{-2,25})$. Pelicula medie, $\frac{899}{\pi \cdot 900}\approx 0,32$ mm, e mai mică decât cei 0,8 mm din centru, cum trebuie.

Exemplul 3 — Prețul unui produs, pe luni

Domeniu: comert.

Enunț. Un angrosist de cereale urmărește prețul unei tone de porumb. În următoarele 6 luni prețul crește accelerat, $P(x)=800+x^3$ lei pe tonă, cu $x$ în luni, $0\le x\le 6$ (model din exemplu). Creșterea relativă pe lună este $\frac{P^{\prime }(x)}{P(x)}$, adică ritmul de creștere împărțit la preț, iar analistul firmei le adună pe toate lunile. Calculați ${\int }_0^6\frac{P^{\prime }(x)}{P(x)}dx$ și spuneți de câte ori a crescut prețul. Se dă $\ln 1,27\approx 0,239$.

Rezolvare. Pasul 1: $P^{\prime }(x)=3x^2$, deci integrandul este $\frac{3x^2}{800+x^3}$, iar numărătorul e derivata numitorului: forma $\frac{u^{\prime }}{u}$. Pasul 2: $t=800+x^3$, deci $dt=3x^{2}dx$. Pașii 3 și 4: lui $x=0$ îi corespunde $t=800$, iar lui $x=6$ îi corespunde $t=800+216=1016$, deci

$${\int }_0^6\frac{3x^2}{800+x^3}dx={\int }_{800}^{1016}\frac{dt}{t}=[\ln t{]}_{800}^{1016}=\ln 1016-\ln 800=\ln 1,27\approx 0,239$$

Fiindcă $\frac{1016}{800}=1,27$, prețul s-a înmulțit cu 1,27, adică a crescut cu 27%. Creșterea relativă pe lună pornește de la 0 și ajunge la aproximativ 0,11 în luna a șasea, iar suma lor, 0,239, e plauzibilă.

Capcană. Cine scrie $\ln (1016-800)$ în loc de $\ln 1016-\ln 800$ obține $\ln 216\approx 5,38$. Un astfel de rezultat ar însemna un preț înmulțit cu $e^{5,38}\approx 217$, deși $\frac{P(6)}{P(0)}=\frac{1016}{800}=1,27$. Diferența de logaritmi e logaritmul raportului, nu al diferenței.

Verificare. Derivata lui $\ln (800+x^3)$ este $\frac{3x^2}{800+x^3}$, deci primitiva e bună. În plus, $e^{0,239}\approx 1,27=\frac{P(6)}{P(0)}$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: două forme într-o funcție

Domeniu: alimentar.

Enunț. La examen, cerințele vin fără poveste: un calcul pe o funcție dată, aici cu două forme diferite. Pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+5x$, a) arătați că ${\int }_0^{1}xf(x^2)dx=\frac{2e+3}{4}$; b) calculați ${\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx$.

Rezolvare. a) Pasul 1: $f(x^2)=e^{x^2}+5x^2$, deci $xf(x^2)=x{e}^{x^2}+5x^3$, iar liniaritatea rupe integrala în două. Al doilea termen e simplu: ${\int }_0^{1}5x^{3}dx=\frac{5}{4}$. Primul are forma $xg(x^2)$. Pasul 2: $t=x^2$, deci $xdx=\frac{dt}{2}$. Pașii 3 și 4: lui $x=0$ îi corespunde $t=0$, iar lui $x=1$ îi corespunde $t=1$, deci ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}[e^t{]}_0^1=\frac{e-1}{2}$, iar integrala cerută este $\frac{e-1}{2}+\frac{5}{4}=\frac{2e+3}{4}$. b) Pasul 1: $f^{\prime }(x)=e^x+5$, deci integrandul are forma $\frac{u^{\prime }}{u}$, cu $u=f$. Pasul 2: $t=f(x)$, deci $dt=f^{\prime }(x)dx$. Pașii 3 și 4: $f(0)=1$ și $f(1)=e+5$, deci integrala este ${\int }_1^{e+5}\frac{dt}{t}=\ln (e+5)-\ln 1=\ln (e+5)$. Funcția $f$ e pozitivă pe $[0;1]$, deci logaritmul există.

Capcană. La a), cine scrie $f(x^2)=e^{x^2}+5x$, adică schimbă $x$ în $x^2$ doar la primul termen, obține $\frac{e-1}{2}+{\int }_0^{1}5x^{2}dx=\frac{3e+7}{6}$, nu $\frac{2e+3}{4}$. Dacă identitatea cerută nu iese, caută eroarea la înlocuirea lui $x$ cu $x^2$ în fiecare termen.

Verificare. La a), derivata lui $\frac{e^{x^2}}{2}+\frac{5x^4}{4}$ este $x{e}^{x^2}+5x^3=xf(x^2)$. La b), derivata lui $\ln (e^x+5x)$ este $\frac{e^x+5}{e^x+5x}$, adică $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$, iar $\ln (e+5)\approx 2,04$ e pozitiv, ca la o fracție pozitivă integrată de la 0 la 1.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează ${\int }_0^1(6x^2+2)(2x^3+2x{)}^{3}dx$ și scrie rezultatul exact.

2. Calculează ${\int }_1^2\frac{x^2}{x^3+5}dx$ și scrie rezultatul exact.

3. Calculează ${\int }_1^{e^2}\frac{6\ln x+7}{x}dx$.

4. Pentru fiecare integrală spune ce iei ca $t$ și care sunt noile limite, fără să o calculezi: a) ${\int }_0^2{x}^2{e}^{x^3}dx$; b) ${\int }_1^e\frac{(\ln x{)}^2}{x}dx$; c) ${\int }_0^2(x+1)(x^2+2x{)}^{3}dx$. Scrie și cu ce constantă trebuie înmulțită integrala în $t$.

Nivelul 2 — situații

5. Pe un teren de cultură irigat, un aspersor udă un cerc cu raza de 5 m. La distanța $r$ de aspersor, în m, stratul de apă căzut într-o oră este $h(r)=8(1-\frac{r^2}{25}{)}^2$ mm (model din exemplu). Un metru pătrat acoperit cu 1 mm de apă primește 1 litru, deci apa căzută într-o oră este $V={\int }_0^{5}2\pi rh(r)dr$ litri. Calculează $V$, cu $\pi \approx 3,1416$, apoi află cât timp trebuie să meargă aspersorul ca cercul să primească 500 de litri.

6. După ce o firmă de instalații anunță o ofertă de revizie a centralelor termice, numărul de programări pe zi, la $x$ zile de la anunț, este $n(x)=\frac{4(2+3\ln x)}{x}$, pentru $1\le x\le 20$ (model din exemplu). Câte programări primește firma între $x=1$ și $x=20$? Se dă $\ln 20\approx 2,9957$.

7. Într-un atelier, pistonul unui dispozitiv de presare se mișcă cu viteza $v(x)=12x^2(x^3+1{)}^3$ mm/s, la momentul $x$, în secunde (model din exemplu). Ce distanță parcurge în prima secundă, adică între $x=0$ și $x=1$?

8. Pe un drum, numărul de mașini care trec pe oră, la $x$ ore după ora 6:00, este $q(x)=2000x{e}^{-x^2/8}$, pentru $0\le x\le 4$ (model din exemplu). Câte mașini trec între $x=0$ și $x=4$? Se dă $e^{-2}\approx 0,13534$.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+5\ln x$. Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)-x^2}{x}dx=\frac{5}{2}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+5x+1$. Determinați numărul real $a>0$ pentru care ${\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln a$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+6$. Determinați numărul real $a>0$ pentru care ${\int }_0^{a}xf(x^2)dx=\frac{e^4+23}{2}$.

12. (Sinteză.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+6x+21$. a) Arătați că $f(x)>0$ pentru orice $x$ real și calculați ${\int }_0^1\frac{x+3}{f(x)}dx$. b) Calculați ${\int }_{-3}^0(x+3)f^2(x)dx$. c) Determinați numărul real $a>0$ pentru care ${\int }_{-3}^{a-3}(x+3)f(x)dx=28$.

Răspunsuri și verificări

1. $t=2x^3+2x$, deci $dt=(6x^2+2)dx$, iar limitele devin $t=0$ și $t=4$. Integrala este ${\int }_0^4{t}^{3}dt=\frac{4^4}{4}=64$. Verificare: derivata lui $\frac{(2x^3+2x{)}^4}{4}$ este $(2x^3+2x{)}^3(6x^2+2)$.

2. $t=x^3+5$, deci $x^{2}dx=\frac{dt}{3}$, iar limitele devin $t=6$ și $t=13$. Integrala este $\frac{1}{3}{\int }_6^{13}\frac{dt}{t}=\frac{1}{3}\ln \frac{13}{6}\approx 0,26$. Verificare: derivata lui $\frac{1}{3}\ln (x^3+5)$ este $\frac{x^2}{x^3+5}$.

3. $t=\ln x$, deci $\frac{dx}{x}=dt$, iar limitele devin $t=0$ și $t=2$. Integrala este ${\int }_0^2(6t+7)dt=[3t^2+7t{]}_0^2=26$. Verificare: derivata lui $3{\ln }^{2}x+7\ln x$ este $\frac{6\ln x+7}{x}$.

4. a) $t=x^3$, cu $x^{2}dx=\frac{dt}{3}$, limitele 0 și 8, constanta $\frac{1}{3}$. b) $t=\ln x$, cu $\frac{dx}{x}=dt$, limitele 0 și 1, constanta 1. c) $t=x^2+2x$, cu $(x+1)dx=\frac{dt}{2}$, limitele 0 și 8, constanta $\frac{1}{2}$. Verificare: în fiecare caz, derivata lui $t$, până la o constantă, apare ca factor în integrand.

5. $V=16\pi {\int }_0^{5}r(1-\frac{r^2}{25}{)}^{2}dr$. Cu $t=1-\frac{r^2}{25}$, $dt=-\frac{2r}{25}dr$, deci $rdr=-\frac{25}{2}dt$, iar limitele devin $t=1$ și $t=0$. Atunci $V=16\pi \cdot \frac{25}{2}{\int }_0^1{t}^{2}dt=16\pi \cdot \frac{25}{6}=\frac{200\pi }{3}\approx 209,4$ litri pe oră. Pentru 500 de litri îi trebuie $500:209,4\approx 2,39$ ore, adică aproximativ 2 ore și 23 de minute. Verificare: desfăcând paranteza, ${\int }_0^{5}r(1-\frac{r^2}{25}{)}^{2}dr=12,5-12,5+\frac{25}{6}=\frac{25}{6}$.

6. $t=\ln x$, deci $\frac{dx}{x}=dt$, iar limitele devin $t=0$ și $t=\ln 20\approx 2,9957$. Numărul de programări este $4{\int }_0^{\ln 20}(2+3t)dt=4[2t+1,5t^2{]}_0^{\ln 20}$. Cu $\ln 20\approx 2,9957$, paranteza dă $2\cdot 2,9957+1,5\cdot 2,9957^2\approx 19,45$, deci firma primește $4\cdot 19,45\approx 78$ de programări. Verificare: derivata lui $2\ln x+1,5{\ln }^{2}x$ este $\frac{2+3\ln x}{x}$.

7. $t=x^3+1$, deci $dt=3x^{2}dx$ și $12x^{2}dx=4dt$, iar limitele devin $t=1$ și $t=2$. Distanța este $4{\int }_1^2{t}^{3}dt=[t^4{]}_1^2=15$ mm. Verificare: derivata lui $(x^3+1{)}^4$ este $12x^2(x^3+1{)}^3$.

8. $t=\frac{x^2}{8}$, deci $xdx=4dt$, iar limitele devin $t=0$ și $t=2$. Numărul de mașini este $2000\cdot 4{\int }_0^2{e}^{-t}dt=8000(1-e^{-2})\approx 6917$ mașini. Verificare: derivata lui $-8000e^{-x^2/8}$ este $2000x{e}^{-x^2/8}$.

9. Reducem: $f(x)-x^2=5\ln x$, deci integrandul este $\frac{5\ln x}{x}$. Cu $t=\ln x$, limitele devin $t=0$ și $t=1$, iar $\frac{dx}{x}=dt$. Integrala este $5{\int }_0^{1}tdt=5\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}$. Verificare: derivata lui $\frac{5}{2}{\ln }^{2}x$ este $\frac{5\ln x}{x}$.

10. Derivata este $f^{\prime }(x)=3x^2+5$, deci integrandul are forma $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=f$. Cu $t=f(x)$, limitele devin $f(0)=1$ și $f(1)=7$, iar integrala este ${\int }_1^7\frac{dt}{t}=\ln 7-\ln 1=\ln 7$. Așadar $a=7$. Verificare: $f(x)>0$ pe $[0;1]$, iar derivata lui $\ln f(x)$ este $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$.

11. Avem $f(x^2)=e^{x^2}+6$, deci $xf(x^2)=x{e}^{x^2}+6x$. Cu $t=x^2$, limitele devin $0$ și $a^2$, iar ${\int }_0^{a}x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}[e^t{]}_0^{a^2}=\frac{e^{a^2}-1}{2}$; apoi ${\int }_0^{a}6xdx=3a^2$. Ecuația $\frac{e^{a^2}-1}{2}+3a^2=\frac{e^4+23}{2}$ are soluția $a=2$, fiindcă $\frac{e^4-1}{2}+12=\frac{e^4+23}{2}$. Membrul stâng crește odată cu $a$, deci soluția e singură. Verificare: derivata lui $\frac{e^{x^2}}{2}+3x^2$ este $x{e}^{x^2}+6x$.

12. a) $f(x)=(x+3{)}^2+12>0$, iar $f^{\prime }(x)=2(x+3)$, deci integrandul este $\frac{1}{2}\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ și integrala este $\frac{1}{2}(\ln 28-\ln 21)=\frac{1}{2}\ln \frac{4}{3}\approx 0,144$. b) Cu $t=f(x)$, $(x+3)dx=\frac{dt}{2}$, iar limitele devin $f(-3)=12$ și $f(0)=21$: $\frac{1}{2}{\int }_{12}^{21}{t}^{2}dt=\frac{21^3-12^3}{6}=\frac{7533}{6}=\frac{2511}{2}$. c) Limitele devin 12 și $f(a-3)=a^2+12$, deci $\frac{1}{2}{\int }_{12}^{a^2+12}tdt=\frac{(a^2+12{)}^2-144}{4}=\frac{a^4+24a^2}{4}=28$, adică $a^4+24a^2-112=0$, cu $a^2=4$, deci $a=2$. Verificare: $\frac{16+96}{4}=28$, iar derivata lui $\frac{f^2(x)}{4}$ este $\frac{f(x)f^{\prime }(x)}{2}=(x+3)f(x)$.

Așa vine la Bac M3

Schimbarea de variabilă este metoda unor cerințe din 20 de probe (2013–2026), toate la Subiectul al III-lea, problema 2, la punctul b) sau c), după indexul celor 83 de probe oficiale. Iată patru, din probe diferite, câte una pentru fiecare formă:

• Modelul din 2013, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: se dă $f(x)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$ și se cere ${\int }_1^{e}xf(x^2)dx$, deci pasul 2 ia $t=x^2$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru trecerea la $\frac{1}{2}{\int }_1^{e^2}f(t)dt$, cu noile limite, la pașii 2 și 3, și 2 puncte pentru valoarea $\frac{1}{2}(e^2-\frac{1}{e^2}+2)$, la pasul 4.
• Proba specială din 2020, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: se dă $f$, o fracție cu $e^x$ la numărător și $x+1$ la numitor, și se cere ${\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx$, deci pasul 1 recunoaște forma $\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=f$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva $\ln f(x)$, cu limitele 0 și 1, la pașii 2 și 3, și 2 puncte pentru valoarea $1-\ln 2$, la pasul 4.
• August 2019, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: se dă $f$, produsul dintre $x-1$ și $e^x$, și se cere ${\int }_0^1{f}^2(x)f^{\prime }(x)dx$, deci pasul 1 recunoaște forma $u^{\prime }{u}^n$ cu $u=f$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva $\frac{f^3}{3}$, la pașii 2 și 3, și 2 puncte pentru valoarea $\frac{1}{3}$, la pasul 4.
• August 2025, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: se dă $f(x)=x-1+2\ln x$ și se cere ${\int }_1^e\frac{f(x)-x+1}{x}dx$, deci pasul 1 reduce numărătorul la $2\ln x$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva ${\ln }^{2}x$, cu $t=\ln x$, la pașii 2 și 3, și 2 puncte pentru valoarea 1, la pasul 4.

Exercițiile 9–11 reiau trei din cele patru forme: logaritmul, fracția cu derivata numitorului și $xf(x^2)$ cu o necunoscută $a$. Forma $u^{\prime }{u}^n$ e în exercițiile 1, 7 și 12.

Greșeli care costă puncte

• Lași limitele vechi după ce ai trecut la $t$ → cum o prinzi: scrii $t=u(a)$ și $t=u(b)$ chiar în dreptul integralei; la exemplul 1, cu limitele 0 și 2, ieșea un sfert mai puțin.
• Uiți constanta din $dt$, adică iei $rdr=dt$ în loc de $rdr=200dt$ → cum o prinzi: derivezi $t$ și compari; la exemplul 2, fără 200, ieșeau 4,5 litri în loc de 899.
• Scrii $\ln b-\ln a$ ca $\ln (b-a)$ → cum o prinzi: diferența de logaritmi e logaritmul raportului; la exemplul 3, $\ln 216$ în loc de $\ln 1,27$.
• Lași un $x$ sub integrală după substituție → cum o prinzi: sub integrală trebuie să rămână numai $t$; dacă mai e un $x$, expresia $u(x)$ n-a fost aleasă bine.
• Înlocuiești $x$ cu $x^2$ doar la un termen al lui $f(x^2)$ → cum o prinzi: scrii $f(x^2)$ termen cu termen, ca la exemplul 4 a).

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Calculul integralelor definite prin schimbarea de variabilă se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 20 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă la debit dacă conducta are diametrul de 2 cm, nu de 4? Raza devine 1 cm. Cu același profil și aceeași viteză maximă, viteza devine $v(r)=75(1-r^2)$. Limita de sus pentru $t=r^2$ e acum 1, iar debitul este $150\pi \cdot \frac{1}{2}{\int }_0^1(1-t)dt=37,5\pi \approx 118$ cm³/s. E un sfert din debitul conductei de 4 cm, fiindcă aria secțiunii scade de patru ori.

Pot lua $t=1-\frac{r^2}{4}$ în loc de $t=r^2$? Da. Atunci $dt=-\frac{r}{2}dr$, deci $rdr=-2dt$, iar limitele devin 1 pentru $r=0$ și 0 pentru $r=2$. Rezultă $Q=150\pi \cdot (-2){\int }_1^{0}tdt=300\pi {\int }_0^{1}tdt=150\pi$, același debit. Limitele în ordine descrescătoare nu cer nicio regulă nouă: minusul din $dt$ le întoarce, iar rezultatul rămâne același.

Cum trec de la cm³ pe secundă la litri pe minut? Un litru are 1000 cm³, iar un minut are 60 s, deci înmulțești cu 60 și împarți la 1000. Pentru $Q=150\pi \approx 471$ cm³/s ies aproximativ 28,3 litri pe minut, valoarea pe care o citește tehnologul pentru reglarea pompei.

Pot calcula debitul fără substituție? Poți, fiindcă paranteza e de gradul 1 în $r^2$: o desfaci, $r-\frac{r^3}{4}$, și integrezi termen cu termen, ca la verificarea exemplului 1. La o putere mai mare, ca la exercițiul 5, desfacerea are mai mulți termeni, iar substituția rămâne mai scurtă.

Cât este viteza medie a rășinii în conducta de 4 cm? Viteza medie este debitul împărțit la aria secțiunii: $\frac{150\pi }{\pi \cdot 2^2}=37,5$ cm/s, exact jumătate din viteza maximă de 75 cm/s. Rășina curge mai repede în centru și aproape stă la perete, de aceea media e sub maximum, iar exact jumătatea este o proprietate a acestui profil.

Cum a arătat o cerință cu schimbare de variabilă la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? Enunțul a conținut $f^{\prime }(x)$ în 7 dintre cele 20 de probe cu această temă și $f(x^2)$ în 3. A început cu „Determinați” în 11 probe, cu „Arătați că” în 5 și cu „Calculați” în 3, iar într-una, cu „Se consideră”, fiindcă dădea a doua funcție. Cerința a stat la punctul c) în 13 probe, din care 9 au cerut și o necunoscută, și la punctul b) în 7.