O funcție $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ are derivata $$f'(x) = -4(x + 2)(x - 5)$$. Pe care dintre intervalele de mai jos este $$f$$ strict crescătoare?

$$(-\infty;\,-2] \cup [5;\,+\infty)$$

Se consideră funcția $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$, $$f(x) = (x^{2} - x - 5)e^{x}$$. Pe care dintre intervalele de mai jos este $$f$$ strict descrescătoare?

$$\left(-\infty;\,\dfrac{1}{2}\right]$$

$$(-\infty;\,-3] \cup [2;\,+\infty)$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Creștere, scădere, extreme

Cum arăt că funcția are un punct de extrem?

Arăți că derivata se anulează într-un punct și că își schimbă semnul în acel punct. Pentru $f (x) = (4 x - 9) e^{x}$ avem $f^{'} (x) = (4 x - 5) e^{x}$ . Cum $e^{x} > 0$ , semnul vine de la $4 x - 5$ : negativ înainte de $\frac{5}{4}$ și pozitiv după, deci $x = \frac{5}{4}$ este punct de minim al funcției, iar valoarea minimă este $f (\frac{5}{4}) = - 4 e^{5/4}$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Semnul derivatei hotărăște sensul unei funcții: unde $f^{'} > 0$ , funcția este strict crescătoare, iar unde $f^{'} < 0$ , strict descrescătoare. Un punct în care $f^{'} (x_{0}) = 0$ este critic, dar devine extrem doar când semnul derivatei trece dintr-o parte în alta. Pe un interval închis, valoarea maximă și valoarea minimă se caută printre valorile din punctele critice și din capete.

Metoda: fixezi domeniul, derivezi și factorizezi, păstrând coeficientul dominant, rezolvi $f^{'} (x) = 0$ și păstrezi soluțiile din domeniu. Alegi apoi câte un număr de probă pe fiecare interval și afli semnul, completezi tabelul de variație cu valorile funcției și citești intervalele, extremele și valorile cele mai mari și mai mici.

Capcanele sunt patru: factorii luați fără coeficientul dominant întorc toate semnele, o rădăcină din afara domeniului ajunge în tabel, maximul se citește din ultima coloană și un punct critic este socotit extrem fără probă de semn. Le prinzi cu un număr de probă, cu o comparație a tuturor valorilor din tabel și cu verificarea fiecărei rădăcini pe intervalul dat.

Verifici cu două valori ale funcției din fiecare interval de monotonie: maximul găsit nu poate sta sub minim, iar răspunsul poartă unitatea mărimii studiate.

De reținut

$f^{'} (x_{0}) = 0$ și schimbarea semnului derivatei dau un extrem
$e^{x} > 0$ : semnul derivatei vine de la celălalt factor
valoarea extremului se află înlocuind abscisa în $f$

Greșeala tipică

Se ia abscisa punctului critic drept valoarea extremului. La exemplul de mai sus, minimul este $- 4 e^{5/4} \approx - 13, 96$ , nu $\frac{5}{4}$ .

Exerciții din această mini-lecție

O funcție $f : R \to R$ are derivata $f^{'} (x) = - 4 (x + 2) (x - 5)$ . Pe care dintre intervalele de mai jos este $f$ strict crescătoare?
- a) $[- 2; 5]$
- b) $(- \infty; - 2] \cup [5; + \infty)$
- c) $[- 5; 2]$
- d) $[- 2; + \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $[- 2; 5]$

Rădăcinile derivatei sunt $- 2$ și $5$ , iar coeficientul dominant este $- 4 < 0$ , deci semnele sunt $-, +, -$ : derivata este pozitivă între rădăcini, adică pe $[- 2; 5]$ . Varianta b) uită coeficientul $- 4$ și întoarce semnele. Varianta c) schimbă semnele rădăcinilor, iar d) se oprește la prima rădăcină, fără să observe că derivata devine negativă după $5$ .
Care este cea mai mică valoare a funcției $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 7 x + \frac{28}{x}$ ?
- a) $2$
- b) $35$
- c) $28$
- d) $- 28$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $28$

Din $f^{'} (x) = 7 - \frac{28}{x ^{2}} = 0$ rezultă $x^{2} = 4$ , deci $x = 2$ în domeniu, iar $f (2) = 14 + 14 = 28$ . Valoarea $2$ este abscisa punctului de minim, nu valoarea funcției. Valoarea $35$ vine din $x = 4$ , obținut când uiți rădăcina pătrată din $x^{2} = 4$ : $f (4) = 28 + 7 = 35$ . Valoarea $- 28$ este $f (- 2)$ , din rădăcina negativă, care nu aparține domeniului.
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x^{2} - x - 5) e^{x}$ . Pe care dintre intervalele de mai jos este $f$ strict descrescătoare?
- a) $[- 2; 3]$
- b) $(- \infty; \frac{1}{2}]$
- c) $(- \infty; - 3] \cup [2; + \infty)$
- d) $[- 3; 2]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $[- 3; 2]$

Cu regula produsului, derivata polinomului se adună cu polinomul însuși, ambele înmulțite cu $e^{x}$ : $f^{'} (x) = (x^{2} + x - 6) e^{x} = (x + 3) (x - 2) e^{x}$ . Factorul $e^{x}$ este pozitiv, deci $f^{'} < 0$ între rădăcinile $- 3$ și $2$ . Varianta a) schimbă semnele rădăcinilor, b) derivează numai polinomul, fără partea cu $e^{x}$ , iar c) este mulțimea pe care $f$ crește.

Întrebări conexe

Ce semn are derivata când are factorul e la x?

Factorul $e^{x}$ este pozitiv pentru orice $x$ , deci semnul derivatei este semnul celuilalt factor. Pentru $f^{'} (x) = (x^{2} - 6 x + 8) e^{x} = (x - 2) (x - 4) e^{x}$ , derivata este pozitivă pe $(- \infty; 2)$ , negativă pe $(2; 4)$ și pozitivă pe $(4; + \infty)$ .

Cum aflu valoarea extremului când apare e la o putere?

Înlocuiești abscisa găsită în funcție și lași rezultatul exact, apoi, dacă enunțul cere, îl aproximezi cu două zecimale. Pentru $g (x) = (6 x + 5) e^{x}$ , derivata $g^{'} (x) = (6 x + 11) e^{x}$ se anulează în $x = - \frac{11}{6}$ , iar $g (- \frac{11}{6}) = - 6 e^{- 11/6} \approx - 0, 96$ .

Cum verific extremul cu două valori vecine?

Alegi câte un punct de o parte și de alta a abscisei găsite; la un minim, ambele valori sunt mai mari decât valoarea extremului. Pentru $h (x) = (5 x + 1) e^{x}$ , cu minim în $x = - \frac{6}{5}$ , avem $h (- 2) \approx - 1, 22$ și $h (0) = 1$ , ambele peste $h (- \frac{6}{5}) \approx - 1, 51$ .

Poate o funcție cu e la x să aibă mai mult de un extrem?

Da, dacă polinomul care apare în derivată are două rădăcini simple, deoarece $e^{x}$ nu se anulează. Pentru $f (x) = (x^{2} - 5 x) e^{x}$ avem $f^{'} (x) = (x^{2} - 3 x - 5) e^{x}$ , cu rădăcinile $\frac{3 \pm 29}{2}$ , deci un maxim și un minim.

Cum arăt un extrem la o fracție cu e la x la numitor?

Aplici regula câtului și simplifici cu $e^{x}$ . Pentru $f (x) = \frac{2 x + 1}{e ^{x}}$ obții $f^{'} (x) = \frac{1 - 2 x}{e ^{x}}$ . Semnul vine de la $1 - 2 x$ : derivata trece de la plus la minus în $x = \frac{1}{2}$ , deci maximul este $f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{e}$ .

Cum arăt că există un singur extrem?

Arăți că derivata își schimbă semnul o singură dată pe tot domeniul. Pentru $f^{'} (x) = (6 x + 4) e^{x}$ , factorul $6 x + 4$ se anulează o singură dată, în $x = - \frac{2}{3}$ , iar $e^{x}$ nu se anulează niciodată, deci funcția are un singur punct de extrem.

Oamenii mai întreabă și: cum demonstrez că o funcție are extrem · funcție cu e la x, punct de extrem · derivata se anulează și schimbă semnul · arată că funcția are un punct de minim