Unde crește și unde scade: derivata, tehnologic

La un magazin de încălțăminte, gestionara comandă marfă din timp pentru săptămânile în care vânzările urcă și pregătește reduceri pentru cele în care coboară, dar patru rânduri din registru nu arată unde își schimbă vânzările sensul. Semnul derivatei arată asta pe tot intervalul, iar tabelul de variație strânge răspunsul pe trei rânduri. Tema este din clasa a XI-a, la filiera tehnologică; la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) cerințele ei au apărut în 60 de probe.

Situația de pornire

Un magazin de încălțăminte dintr-un oraș de câmpie a lansat în septembrie colecția de toamnă: ghete, botine și cizme. Gestionara trece în registru, la sfârșitul fiecărei săptămâni, câte perechi s-au vândut în acea săptămână. Pe baza registrului a ajustat un model de gradul al treilea, valabil pentru primele 10 săptămâni de după lansare; săptămâna 0 este cea a lansării. Comenzile către furnizor le dă după ritm: când vânzările cresc, comandă din timp stocul pentru săptămânile următoare, iar când scad, oprește comenzile și pregătește o reducere de preț. Furnizorul primește doar un extras, cu patru săptămâni.

Cele patru rânduri par să arate o creștere continuă, dar între ele vânzările își pot schimba sensul. Gestionara vrea să afle exact unde.

Întrebare: în ce săptămâni cresc vânzările, în ce săptămâni scad și în ce săptămână sunt cele mai mari?

De la situație la model

Vânzările depind de timp, deci le descrii printr-o funcție de săptămâna $t$. Registrul complet se potrivește cu modelul în toate cele 11 săptămâni, de la 0 la 10.

Ce înseamnă că o funcție crește sau scade?

O funcție $f$ este crescătoare pe un interval $I$ dacă $f(x_1)\le f(x_2)$ pentru orice $x_1<x_2$ din $I$, și strict crescătoare dacă $f(x_1)<f(x_2)$. La descrescătoare și strict descrescătoare inegalitățile se întorc. În extras, 86 < 104, dar asta nu spune nimic despre săptămânile 2 și 3: definiția cere inegalitatea pentru oricare două momente din interval, nu pentru câteva alese.

Ce spune semnul derivatei despre vânzări?

Derivata $v^{\prime }(t)$ este ritmul vânzărilor în săptămâna $t$, în perechi pe săptămână (vezi derivata în punct și tangenta, de pe traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică). Semnul ei ține loc de comparații între toate perechile de momente. Dacă $f^{\prime }(x)>0$ în interiorul unui interval, $f$ este strict crescătoare pe interval; dacă $f^{\prime }(x)<0$, este strict descrescătoare. Regula se folosește fără demonstrație. Derivata se calculează cu regulile din lecția despre derivata sumei, produsului și câtului.

Cum recunoști un maxim sau un minim?

Punctul de maxim local este un punct $x_0$ al domeniului în care $f(x)\le f(x_0)$ pentru orice $x$ din domeniu aflat în apropierea lui; poate fi și un capăt. Pentru minim local se întoarce inegalitatea. În interiorul domeniului, la o funcție derivabilă, într-un punct de extrem avem $f^{\prime }(x_0)=0$; un asemenea punct se numește punct critic. Condiția $f^{\prime }(x_0)=0$ nu este suficientă: un punct critic este extrem numai dacă derivata își schimbă semnul în el (exercițiul 2). Valoarea $f(x_0)$ este valoarea maximă sau minimă locală. Pe un interval închis, cea mai mare sau cea mai mică valoare poate fi și într-un capăt, deci compari valorile din punctele critice cu cele din capete.

Cum se scrie tabelul de variație?

Tabelul are trei rânduri: valorile lui $x$ (capetele domeniului și punctele critice), semnul lui $f^{\prime }$ între ele și comportarea lui $f$, cu săgeata $\nearrow$ pentru creștere și $\searrow$ pentru scădere și cu valoarea lui $f$ în fiecare punct.

Metoda pas cu pas

1. Fixează domeniul. Notează intervalul pe care este dată funcția, de exemplu $0\le t\le 10$ la vânzări. Orice punct din afara lui se ignoră.
2. Derivează și factorizează. Calculează $f^{\prime }$ și scoate factorul comun sau descompune trinomul. Păstrează coeficientul dominant: el hotărăște semnul. La vânzări, $v^{\prime }(t)=-3(t-2)(t-8)$, nu doar produsul din paranteze.
3. Află punctele critice. Rezolvă $f^{\prime }(x)=0$ și păstrează doar soluțiile din domeniu; la vânzări sunt $t=2$ și $t=8$. La un cât, ia în seamă și punctele în care numitorul se anulează: acolo funcția nu există.
4. Stabilește semnul lui $f^{\prime }$. Pe fiecare interval dintre punctele critice alege un număr de probă ușor de calculat, ca 0 sau 5 la vânzări, și calculează $f^{\prime }$ în el. Semnul găsit rămâne același pe tot intervalul, fiindcă $f^{\prime }$ nu se anulează între punctele critice.
5. Completează tabelul și citește-l. Scrie valorile lui $f$ în punctele critice și în capetele domeniului. Din tabel citești răspunsul: intervalele de monotonie, închise la punctele critice care aparțin domeniului, punctele de extrem și cea mai mare și cea mai mică valoare pe interval.
6. Verifică. Compară concluziile cu două valori ale lui $f$ din fiecare interval de monotonie sau cu datele situației. Maximul trebuie să iasă mai mare decât minimul, iar rezultatul are unitatea lui $f$.

Dacă enunțul îți cere un interval, de exemplu „pentru orice $x\ge 3$”, tabelul se face doar pe acel interval, iar punctele critice din afara lui nu intră.

Fișa de buzunar

$$f^{\prime }>0\text{ pe }I\Rightarrow f\text{ strict cresca˘toare pe }I,f^{\prime }<0\text{ pe }I\Rightarrow f\text{ strict descresca˘toare pe }I$$

$$f^{\prime }(x_0)=0\text{ și }{f}^{\prime }\text{ schimba˘ semnul ıˆn }{x}_0\Rightarrow x_0\text{ este punct de extrem}$$

Condiții: $f$ continuă pe interval și derivabilă în interior; punctele critice se caută numai în domeniu. Pe interval închis compari cu valorile din capete. Verificare rapidă: calculează $f^{\prime }$ într-un număr de probă din fiecare interval, apoi compară $f$ în două puncte ale aceluiași interval.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Vânzările de încălțăminte pe săptămâni

Domeniu: comert.

Enunț. Revenim la magazinul din situație, unde vânzările sunt $v(t)=-t^3+15t^2-48t+120$ perechi pe săptămână, pentru $0\le t\le 10$. a) Calculează $v^{\prime }(t)$ și află săptămânile în care $v^{\prime }(t)=0$. b) Completează tabelul de variație. c) Spune în ce săptămâni cresc vânzările, în ce săptămâni scad și în ce săptămână sunt cele mai mari.

Rezolvare. a) $v^{\prime }(t)=-3t^2+30t-48$. Scoți factorul $-3$ și descompui trinomul: $v^{\prime }(t)=-3(t^2-10t+16)=-3(t-2)(t-8)$. Deci $v^{\prime }(t)=0$ pentru $t=2$ și $t=8$, ambele în intervalul $[0;10]$. b) Numerele de probă dau $v^{\prime }(0)=-48<0$, $v^{\prime }(5)=27>0$ și $v^{\prime }(9)=-21<0$. Valorile lui $v$ sunt $v(0)=120$, $v(2)=76$, $v(8)=184$ și $v(10)=140$.

c) Vânzările scad de la lansare până în săptămâna 2, cresc din săptămâna 2 până în săptămâna 8 și scad din nou în ultimele două săptămâni. Cele mai mari sunt în săptămâna 8, 184 de perechi, iar cele mai mici în săptămâna 2, 76 de perechi. Valorile din capete, 120 și 140, sunt cuprinse între acestea, deci nu sunt nici maximul, nici minimul pe interval. Gestionara dă comanda mare în săptămâna 2, înaintea creșterii, și pregătește reducerea de preț pentru după săptămâna 8.

Capcană. Cine păstrează din $v^{\prime }(t)$ doar factorii $t-2$ și $t-8$ și uită factorul $-3$ obține semnele în ordinea $+,-,+$. Ar ieși un maxim în săptămâna 2, de 76 de perechi, și un minim în săptămâna 8, de 184: un „maxim” mai mic decât „minimul”. Numărul de probă $v^{\prime }(5)=27>0$ arată că între cele două săptămâni vânzările cresc.

Verificare. În registrul complet, săptămână cu săptămână, vânzările sunt 120, 86, 76, 84, 104, 130, 156, 176, 184, 174 și 140. Șirul scade până la 76, crește până la 184 și scade apoi, ca în tabel.

Exemplul 2 — Pierderea de căldură printr-un perete izolat

Domeniu: constructii.

Enunț. Un perete de cărămidă are rezistența termică de 1 m²·K/W. Constructorul îl izolează cu polistiren de grosime $d$ centimetri, cu conductivitatea 0,04 W/(m·K). La o diferență de temperatură de 25 °C între interior și exterior, pierderea de căldură printr-un metru pătrat este $q(d)=\frac{25}{1+d/4}=\frac{100}{d+4}$ wați, pentru $d\ge 0$. a) Arată că $q$ este strict descrescătoare pe $[0;+\infty )$. b) Calculează $q^{\prime }(6)$ și $q^{\prime }(16)$ și spune ce înseamnă. c) Cu cât scade pierderea la trecerea de la 6 cm la 7 cm și de la 16 cm la 17 cm?

Rezolvare. a) Cu regula câtului, $u=100$, $v=d+4$, $u^{\prime }=0$ și $v^{\prime }=1$: $q^{\prime }(d)=\frac{0\cdot (d+4)-100\cdot 1}{(d+4{)}^2}=-\frac{100}{(d+4{)}^2}$. Numărătorul este negativ, iar numitorul pozitiv pentru orice $d\ge 0$, deci $q^{\prime }(d)<0$ și $q$ este strict descrescătoare. Derivata nu se anulează nicăieri: nu există puncte critice, nici puncte de extrem. Cea mai mare pierdere este la $d=0$, adică $q(0)=25$ W/m². b) $q^{\prime }(6)=-\frac{100}{100}=-1$ W/m² pe centimetru, iar $q^{\prime }(16)=-\frac{100}{400}=-0,25$ W/m² pe centimetru. Un centimetru în plus reduce pierderea cu aproximativ 1 W/m² în jurul grosimii de 6 cm și cu aproximativ 0,25 W/m² în jurul celei de 16 cm: izolația ajută tot mai puțin. c) $q(6)=10$ și $q(7)=\frac{100}{11}\approx 9,09$, deci pierderea scade cu aproximativ 0,91 W/m². $q(16)=5$ și $q(17)=\frac{100}{21}\approx 4,76$, deci scade cu aproximativ 0,24 W/m².

Capcană. Cine scrie numărătorul invers, $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, obține $q^{\prime }(d)=+\frac{100}{(d+4{)}^2}$ și $q^{\prime }(6)=+1$: pierderea ar crește cu grosimea izolației. Rezultatul contrazice rostul polistirenului, care este să reducă pierderea; derivata trebuie să iasă negativă.

Verificare. Ritmul pe câte un centimetru, de o parte și de alta a lui 6 cm: $q(6)-q(5)=10-\frac{100}{9}\approx -1,11$ și $q(7)-q(6)\approx -0,91$. Derivata $q^{\prime }(6)=-1$ se află între ele, în aceleași unități, watt pe metru pătrat și pe centimetru.

Exemplul 3 — Viitura pe un pârâu de munte

Domeniu: mediu.

Enunț. După o ploaie torențială, un limnigraf, adică aparatul care măsoară nivelul apei, transmite datele din care stația calculează debitul unui pârâu de munte. Debitul adus de viitură peste cel obișnuit, în m³/s, are modelul $Q(t)=\frac{18t}{e^t}$, unde $t\ge 0$ se numără în trepte de 3 ore de la începutul ploii. Ploaia a început la 14:00. a) Transformă în trepte momentul 21:30. b) Calculează $Q^{\prime }(t)$ și află când este debitul maxim. c) Calculează $Q$ și $Q^{\prime }$ la momentul de la a), rotunjite la sutimi, și spune ce înseamnă.

Rezolvare. a) De la 14:00 la 21:30 trec 7 h 30 min, adică 7,5 ore, iar $7,5:3=2,5$ trepte. b) Cu regula câtului, $u=18t$, $v=e^t$, $u^{\prime }=18$ și $v^{\prime }=e^t$: $Q^{\prime }(t)=\frac{18e^t-18t{e}^t}{{\left(e^t\right)}^2}=\frac{18(1-t)}{e^t}$, după simplificarea cu $e^t>0$. Semnul este al lui $1-t$: $Q^{\prime }(t)>0$ pentru $t<1$ și $Q^{\prime }(t)<0$ pentru $t>1$. Debitul crește până la $t=1$, adică 3 ore după începutul ploii, la 17:00, și scade după aceea. Maximul este $Q(1)=\frac{18}{e}\approx 6,62$ m³/s. c) $Q(2,5)=\frac{45}{e^{2,5}}\approx 3,69$ m³/s și $Q^{\prime }(2,5)=\frac{18\cdot (-1,5)}{e^{2,5}}\approx -2,22$ m³/s pe treaptă. Debitul scade deci cu aproximativ 2,22 m³/s pe treaptă, adică cu aproximativ 0,74 m³/s în fiecare oră.

Capcană. Dacă pui 7,5 direct în formulă, fără să transformi orele în trepte, obții $Q(7,5)=\frac{135}{e^{7,5}}\approx 0,07$ m³/s, ca și cum viitura s-ar fi scurs aproape complet la 7 ore și jumătate după ploaie. Variabila $t$ din formulă se măsoară în trepte de 3 ore.

Verificare. Pe altă cale, cu pași de o treaptă: $Q(2)\approx 4,87$ și $Q(3)\approx 2,69$, deci între 2 și 3 trepte debitul scade cu aproximativ 2,18 m³/s, număr apropiat de $Q^{\prime }(2,5)\approx -2,22$. La $t=0,5$ și la $t=1,5$ debitul este de aproximativ 5,46 și 6,02 m³/s, sub maximul de 6,62 m³/s: vârful stă între ele.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: consumul specific al unui motor

Domeniu: auto.

Enunț. La un banc de probă, un service măsoară consumul specific de combustibil al unui motor, în g/kWh, la turații între 1 000 și 5 000 de rotații pe minut. Cu $x$ în mii de rotații pe minut, modelul este funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-6x^2-48x+400$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=6(x+2)(x-4)$, $x\in \mathbb{R}$. b) Demonstrați că $240\le f(x)\le 348$, pentru orice $x\in [1;5]$.

Rezolvare. a) $f^{\prime }(x)=6x^2-12x-48=6(x^2-2x-8)=6(x+2)(x-4)$. b) Punctele critice sunt $x=-2$ și $x=4$, dar numai $x=4$ aparține intervalului $[1;5]$. Pe $[1;4]$ factorul $x+2$ este pozitiv, iar $x-4\le 0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ scade; pe $[4;5]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$ și $f$ crește. Valorile sunt $f(1)=348$, $f(4)=240$ și $f(5)=260$.

Cea mai mică valoare pe interval este 240, iar cea mai mare este 348, în capătul stâng. Deci $240\le f(x)\le 348$ pentru orice $x\in [1;5]$. Motorul consumă cel mai puțin, 240 g/kWh, la 4 000 de rotații pe minut.

Capcană. Cine ia ca valoare maximă pe cea din ultima coloană, $f(5)=260$, scrie $f(x)\le 260$. Este fals, fiindcă $f(1)=348>260$. Maximul pe un interval închis se alege dintre toate valorile din tabel, nu din cea de la sfârșit.

Verificare. Câte un punct din fiecare interval de monotonie: $f(2)=296$ și $f(3)=256$ completează șirul descrescător $348>296>256>240$, iar $f(4,5)=244,75$ stă între 240 și 260.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru $g(x)=x^4-4x^3-20x^2+9$, $x\in \mathbb{R}$, calculează $g^{\prime }(x)$ și scrie-l factorizat, alcătuiește tabelul de variație și precizează intervalele de monotonie și punctele de extrem.

2. Pentru $h(x)=x^3-21x^2+147x-40$, $x\in \mathbb{R}$, calculează $h^{\prime }(x)$ și arată că $h$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deși $h^{\prime }(7)=0$. Spune de ce $x=7$ nu este punct de extrem.

3. Pentru $p:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $p(x)=x-8\sqrt{x}$, calculează $p^{\prime }(x)$ pentru $x>0$, află punctul critic și scrie intervalele de monotonie. Dă valoarea minimă.

4. Pentru $r:(3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $r(x)=\frac{x^2+x+4}{x-3}$, calculează $r^{\prime }(x)$, află punctul critic și spune dacă este de maxim sau de minim.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Stocul de cherestea al unei firme de mobilă, în metri cubi, la $t$ zile de la începutul lunii, este $S(t)=2t^3-30t^2+126t+120$, pentru $0\le t\le 10$. Află intervalul de zile în care stocul scade, cu câți metri cubi scade în acest interval și dacă stocul de la sfârșitul scăderii este mai mare decât cel din ziua 0.

6. (Problemă aplicată.) O firmă de curierat plătește pentru un program de rutare $x$ mii de lei pe an, iar economiile estimate sunt de $24\ln x$ mii de lei pe an. Câștigul net este $N(x)=24\ln x-x$, pentru $x>0$. Află pentru ce valoare a lui $x$ câștigul net este maxim, dă valoarea maximă exactă și rotunjită la sutimi și compară-o cu câștigul net pentru $x=30$.

7. (Problemă aplicată.) Linia de ambalare a unei fabrici de paste are producția pe oră $P(t)$, în kg/h, pentru $0\le t\le 8$ ore de la începutul schimbului. Tabelul ei de variație este cel de mai jos. Spune în ce intervale crește producția, care este cea mai mică producție de pe interval și în ce moment apare și câte momente $t$ au producția egală cu 600 kg/h.

8. (Problemă aplicată.) La un bazin de acumulare pentru irigații, volumul apei la adâncimea $h$ este $V(h)=2h^3+7h$ metri cubi, cu $h$ în metri, pentru $h\ge 0$. Arată că $V$ este strict crescătoare, deduce că ecuația $V(h)=75$ are cel mult o soluție, găsește-o și calculează $V^{\prime }(3)$ cu unitatea lui.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-6x^2-63x+11$. Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(-6,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{5x-2}{x+6}$. Arătați că funcția $f$ este crescătoare pe $(-6,+\infty )$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3-18x^2-48x+30$. Demonstrați că $f(x)\ge -194$, pentru orice $x\in [0,+\infty )$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(3x-7)e^x$. Arătați că funcția $f$ are un punct de extrem.

Răspunsuri și verificări

1. $g^{\prime }(x)=4x^3-12x^2-40x$, adică $4x(x+2)(x-5)$, cu semnele $-,+,-,+$: $g$ scade pe $(-\infty ;-2]$, crește pe $[-2;0]$, scade pe $[0;5]$ și crește pe $[5;+\infty )$. Minime locale în $x=-2$, cu $g(-2)=-23$, și în $x=5$, cu $g(5)=-366$; maxim local în $x=0$, cu $g(0)=9$. Verificare: $g(-1)=-6$ stă între $-23$ și 9, iar $g(1)=-14$ între 9 și $-366$.

2. $h^{\prime }(x)=3x^2-42x+147=3(x-7{)}^2$, pozitivă pentru $x\ne 7$ și nulă în $x=7$. Pe $(-\infty ;7]$ și pe $[7;+\infty )$ funcția crește strict, deci $h$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$. Derivata nu își schimbă semnul în $x=7$: nu e extrem. Verificare: $h(6)=302$, $h(7)=303$ și $h(8)=304$.

3. $p^{\prime }(x)=1-\frac{4}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}}$, cu punctul critic $x=16$: $p$ scade pe $[0;16]$ și crește pe $[16;+\infty )$. Valoarea minimă este $p(16)=16-32=-16$. Verificare: $p(9)=-15$ și $p(25)=-15$ sunt mai mari.

4. $r^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x-3)-(x^2+x+4)}{(x-3{)}^2}=\frac{(x-7)(x+1)}{(x-3{)}^2}$, cu punctul critic $x=7$ în domeniu. Pe $(3;+\infty )$ factorul $x+1$ și numitorul sunt pozitivi, deci $r^{\prime }<0$ pe $(3;7)$ și $r^{\prime }>0$ pe $(7;+\infty )$: $x=7$ este punct de minim, cu $r(7)=15$. Verificare: $r(x)=x+4+\frac{16}{x-3}$ dă $r(5)=17$ și $r(11)=17$, mai mari.

5. $S^{\prime }(t)=6t^2-60t+126=6(t-3)(t-7)$, deci stocul scade pe $[3;7]$, de la $S(3)=282$ la $S(7)=218$, adică cu 64 m³; 218 depășește cei 120 din ziua 0. Verificare: $S(5)=250$, între 282 și 218.

6. $N^{\prime }(x)=\frac{24-x}{x}$, deci $N$ crește pe $(0;24]$ și scade pe $[24;+\infty )$. Maximul este în $x=24$: $N(24)=24\ln 24-24\approx 52,27$ mii de lei; $N(30)\approx 51,63$ e mai mic. Verificare: $N(20)\approx 51,90$.

7. Producția crește pe $[0;3]$ și pe $[6;8]$ și scade pe $[3;6]$. Cea mai mică, 420 kg/h, apare la $t=0$, fiindcă minimul din interior, 540 kg/h, este mai mare. Valoarea 600 se află între 420 și 660, între 660 și 540 și între 540 și 780, deci apare de trei ori. Verificare: maximul de pe interval este 780 kg/h, la $t=8$.

8. $V^{\prime }(h)=6h^2+7>0$, deci $V$ este strict crescătoare și nu repetă nicio valoare. Ecuația $V(h)=75$ are cel mult o soluție, iar $V(3)=54+21=75$, deci $h=3$ m. $V^{\prime }(3)=6\cdot 9+7=61$ m³ pe metru. Verificare: $V(2)=30$ și $V(4)=156$ încadrează 75.

9. $f^{\prime }(x)=3x^2-12x-63=3(x+3)(x-7)$. Semnele sunt $+,-,+$: $f$ crește pe $(-\infty ;-3]$, scade pe $[-3;7]$ și crește pe $[7;+\infty )$. Verificare: $f(-3)=119$, $f(0)=11$ și $f(7)=-381$ scad în ordine.

10. Cu $u=5x-2$ și $v=x+6$: $f^{\prime }(x)=\frac{5(x+6)-(5x-2)}{(x+6{)}^2}=\frac{32}{(x+6{)}^2}$. Pe $(-6;+\infty )$ derivata este pozitivă, deci $f$ este crescătoare. Verificare: $f(x)=5-\frac{32}{x+6}$ are aceeași derivată.

11. $f^{\prime }(x)=12x^2-36x-48=12(x+1)(x-4)$. Pe $[0,+\infty )$ factorul $x+1$ este pozitiv, deci $f$ scade pe $[0;4]$ și crește pe $[4;+\infty )$, iar $f(4)=-194$ este cea mai mică valoare. Verificare: $f(0)=30$, $f(1)=-32$ și $f(3)=-168$ sunt mai mari decât $-194$.

12. Cu regula produsului: $f^{\prime }(x)=3e^x+(3x-7)e^x=(3x-4)e^x$. Semnul este al lui $3x-4$: negativ pentru $x<\frac{4}{3}$, pozitiv pentru $x>\frac{4}{3}$. Derivata își schimbă semnul în $x=\frac{4}{3}$, deci acolo este un punct de extrem (de minim), cu $f\left(\frac{4}{3}\right)=-3e^{4/3}\approx -11,38$. Verificare: $f(1)\approx -10,87$ și $f(2)\approx -7,39$ sunt mai mari.

Așa vine la Bac M3

Monotonia și extremele unei funcții date prin formulă se cer, în probele oficiale 2013–2026, la problema 1 din Subiectul al III-lea, în 58 din cele 60 de probe în care apare tema. În celelalte două, monotonia apare la problema 2, la primitivele unei funcții, care se învață în clasa a XII-a. Patru cerințe reale, luate din probe diferite, arată formele ei:

• August 2022, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: funcția este un polinom de gradul al treilea și se cer intervalele de monotonie; baremul probei dă 2 puncte pentru rădăcinile derivatei (pasul 3 din Metodă) și 3 puncte pentru semnul derivatei pe fiecare interval și concluzia (pașii 4 și 5).
• Iunie 2013, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: funcția este câtul $\frac{x+1}{x}$ și se cere să arăți că descrește pe $(0,+\infty )$; baremul probei dă 2 puncte pentru derivată (pasul 2) și 3 puncte pentru semnul ei pe tot intervalul și concluzia (pașii 4 și 5).
• August 2026, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este un polinom de gradul al treilea și se cere o dublă inegalitate pe un interval închis; baremul probei dă 3 puncte pentru punctele critice și monotonie (pașii 3 și 4) și 2 puncte pentru valorile din punctul critic și din capete (pasul 5).
• Proba specială din 2013, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: funcția este produsul $x{e}^x$ și se cere să arăți că are un punct de extrem; baremul probei dă 2 puncte pentru rădăcina derivatei (pasul 3) și 3 puncte pentru schimbarea semnului derivatei în acel punct (pasul 4).

Exercițiile 9–12 exersează aceleași patru tipuri de cerințe. Derivata a doua și forma curbei vin în convexitate și inflexiune, iar graficul întreg, în reprezentarea grafică pas cu pas.

Greșeli care costă puncte

• Semnul lui $f^{\prime }$ luat fără coeficientul dominant. Păstrezi doar factorii $t-2$ și $t-8$ și întorci semnele → maximul iese mai mic decât minimul; cum o prinzi: calculezi $v^{\prime }(5)=27$ și compari cele două valori extreme.
• Rădăcină din afara domeniului pusă în tabel. Treci $x=-2$ în tabelul de pe $[1;5]$ → tabelul are o coloană care nu există în enunț; cum o prinzi: verifici fiecare rădăcină a lui $f^{\prime }$ pe intervalul dat.
• Maximul luat din ultima coloană. Scrii $f(x)\le 260$ la Exemplul 4 → valoarea din capătul stâng, 348, o contrazice; cum o prinzi: compari toate valorile din tabel.
• Punct critic socotit automat extrem. La exercițiul 2 spui că $x=7$ este extrem, pentru că $h^{\prime }(7)=0$ → funcția crește de o parte și de alta; cum o prinzi: calculezi $h^{\prime }(6)$ și $h^{\prime }(8)$ și vezi că ambele sunt pozitive.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Determinarea monotoniei și a punctelor de extrem ale unei funcții derivabile se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 60 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce cere Bacalaureatul M3 când spune „Demonstrați că f(x) ≥ …”?

Cere să arăți că valorile funcției nu coboară sub un număr dat, pe un interval dat. Faci tabelul de variație pe acel interval și compari valoarea din punctul critic cu cele din capete. Metoda rămâne aceeași și la un interval fără capăt, ca $[0,+\infty )$ la exercițiul 11.

Pot folosi modelul vânzărilor și pentru săptămâna 12?

Nu. Modelul a fost ajustat pe primele 10 săptămâni, iar la $t=12$ formula dă $v(12)=-24$: vânzări negative, fără sens. Regula derivatei vorbește numai despre intervalul pe care este dată funcția, aici $[0;10]$, nu despre ce se întâmplă după el.

Ce concluzie greșită trage furnizorul din extrasul cu săptămânile 1, 4, 6 și 9?

Că vânzările cresc tot timpul, fiindcă $86<104<156<174$. Extrasul nu conține săptămânile 2 și 8, unde sunt minimul de 76 și maximul de 184 de perechi. Patru valori nu dovedesc monotonia; semnul derivatei o dovedește pe tot intervalul.

De ce $v^{\prime }(5)=27$, dacă între săptămânile 5 și 6 se vând doar cu 26 de perechi în plus?

Derivata este ritmul chiar în momentul $t=5$, iar între săptămânile 5 și 6 ritmul scade de la 27 la 24 de perechi pe săptămână. Creșterea de 26 de perechi este o medie a ritmurilor din acea săptămână, deci stă între ele.

Ce fac dacă trinomul derivatei nu se descompune frumos?

Calculezi discriminantul și folosești formula rădăcinilor. De exemplu, $4x^2-16x+9=0$ are $\Delta =112$ și rădăcinile $2\pm \frac{\sqrt{7}}{2}$, adică aproximativ 0,68 și 3,32. Le compari cu domeniul și faci tabelul la fel, cu numere de probă ca 0, 2 și 4.

Cum arată tabelul, dacă magazinul ar vinde modelul doar până în săptămâna 7?

Domeniul devine $[0;7]$, iar tabelul se oprește în $t=7$, cu $v(7)=176$. Maximul de 184 din săptămâna 8 iese din domeniu, deci cea mai mare valoare este 176, în capătul drept. Minimul rămâne 76, în săptămâna 2.