Punctul $$M$$ este pe segmentul $$AB$$, cu $$AM : MB = 3 : 7$$. Care este vectorul lui de poziție?

$$\dfrac{7\,\vec{r}_A + 3\,\vec{r}_B}{10}$$

$$\dfrac{3\,\vec{r}_A + 7\,\vec{r}_B}{10}$$

$$\dfrac{\vec{r}_A + \vec{r}_B}{2}$$

$$3\,\vec{r}_A + 7\,\vec{r}_B$$

Care este vectorul de poziție al centrului de greutate $$G$$ al triunghiului $$ABC$$?

$$\dfrac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{3}$$

$$\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C$$

$$\dfrac{\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C}{2}$$

$$\dfrac{2}{3}\left(\vec{r}_A + \vec{r}_B + \vec{r}_C\right)$$

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Vectorul de poziție și Thales

Cum arăt cu vectori că MN este paralel cu BC?

Scrii segmentul ca diferență de vectori și îl aduci la forma „număr ori latura”. Dacă $A M = \frac{2}{7} A B$ și $A N = \frac{2}{7} A C$ , atunci $M N = A N - A M = \frac{2}{7} (A C - A B) = \frac{2}{7} B C$ . Vectorii fiind coliniari, $M N ∥ B C$ , iar $M N = \frac{2}{7} B C$ : pentru $B C = 35$ cm, $M N = 10$ cm. Esențial este ca cei doi coeficienți să fie egali; dacă diferă, segmentul nu e paralel cu latura.

Vectorul de poziție al unui punct $M$ față de o origine fixă $O$ este $r_{M} = O M$ , iar orice vector dintre două puncte este „sosire minus plecare”: $A B = r_{B} - r_{A}$ . Dacă $M$ este pe segmentul $A B$ cu $A M : M B = p : q$ , atunci $r_{M} = \frac{q r _{A} + p r _{B}}{p + q}$ : fiecare capăt primește ca pondere bucata opusă lui.

Teorema lui Thales, în vectori: dacă $A M = t A B$ și $A N = t A C$ , cu același $t$ , atunci $M N = t B C$ , deci $M N ∥ B C$ și $M N = t \cdot B C$ . Pe drumul sintetic, paralelismul vine din reciproca teoremei lui Thales, iar lungimea din asemănare.

Centrul de greutate are $r_{G} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ ; el este pe fiecare mediană, la două treimi de vârf, deci medianele sunt concurente. Paralela la o latură dusă prin $G$ taie celelalte laturi la două treimi de vârful opus.

Capcanele: raportul $\frac{A M}{M B}$ pus în locul lui $\frac{A M}{A B}$ , ponderile puse în ordinea bucăților și $G$ luat la o treime din mediană.

De reținut

$A B = r_{B} - r_{A}$ : sosire minus plecare
pentru $A M : M B = p : q$ , $r_{M} = \frac{q r _{A} + p r _{B}}{p + q}$
același coeficient pe două laturi dă segmentul paralel cu a treia: $M N = t B C$

Greșeala tipică

Se pune în fața lui $B C$ raportul $\frac{A M}{M B}$ în locul lui $\frac{A M}{A B}$ . Pentru $A M = 12$ cm pe o latură de 32 cm, coeficientul bun este $\frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ , nu $\frac{12}{20} = \frac{3}{5}$ ; cu o bază de 40 cm, segmentul are 15 cm, nu 24 cm.

Exerciții din această mini-lecție

Punctul $M$ este pe segmentul $A B$ , cu $A M : M B = 3 : 7$ . Care este vectorul lui de poziție?
- a) $\frac{3 r _{A} + 7 r _{B}}{10}$
- b) $\frac{7 r _{A} + 3 r _{B}}{10}$
- c) $\frac{r _{A} + r _{B}}{2}$
- d) $3 r_{A} + 7 r_{B}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{7 r _{A} + 3 r _{B}}{10}$

Fiecare capăt primește ca pondere bucata opusă: $A$ primește 7, iar $B$ primește 3, deci $r_{M} = \frac{7 r _{A} + 3 r _{B}}{10}$ . Cu originea în $A$ , asta înseamnă $A M = \frac{3}{10} A B$ , adică exact raportul $3 : 7$ . Varianta a) pune ponderile în ordinea bucăților și duce punctul la șapte zecimi de $A$ .
Care este vectorul de poziție al centrului de greutate $G$ al triunghiului $A B C$ ?
- a) $r_{A} + r_{B} + r_{C}$
- b) $\frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{2}$
- c) $\frac{2}{3} (r_{A} + r_{B} + r_{C})$
- d) $\frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $\frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$

$G$ este media celor trei vectori de poziție: $r_{G} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ . Proba: punctul de pe mediana $A A^{'}$ cu $A G : G A^{'} = 2 : 1$ are $\frac{r _{A} + 2 \cdot \frac{r _{B} + r _{C}}{2}}{3}$ , aceeași expresie. Varianta c) confundă poziția lui $G$ pe mediană, $\frac{2}{3}$ , cu formula.
În triunghiul $A B C$ , $A M = \frac{2}{7} A B$ și $A N = \frac{2}{7} A C$ , iar $B C = 35$ cm. Cât este $M N$ ?
- a) $10$ cm
- b) $14$ cm
- c) $25$ cm
- d) $7$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$ cm

$M N = A N - A M = \frac{2}{7} (A C - A B) = \frac{2}{7} B C$ , deci $M N ∥ B C$ și $M N = \frac{2}{7} \cdot 35 = 10$ cm. Varianta $14$ cm folosește raportul $\frac{A M}{M B} = \frac{2}{5}$ , iar varianta $25$ cm lungimea care rămâne, $\frac{5}{7}$ din $B C$ .

Întrebări conexe

Cum scriu vectorul de poziție al punctului care împarte un segment în raportul 3 : 8?

Pentru $A M : M B = 3 : 8$ , ponderile se încrucișează: lui $A$ îi revine 8, numărul de lângă $B$ , iar lui $B$ îi revine 3, deci $r_{M} = \frac{8 r _{A} + 3 r _{B}}{11}$ . Proba: cu originea în $A$ , rezultă $A M = \frac{3}{11} A B$ , adică trei părți din cele unsprezece ale segmentului.

Unde este centrul de greutate pe o mediană de 39 cm?

La două treimi din mediană, socotit de la vârf: $A G = \frac{2}{3} \cdot 39 = 26$ cm, iar de la $G$ până la mijlocul laturii rămân 13 cm. Raportul $26 : 13 = 2 : 1$ este același pe toate cele trei mediane, fiindcă $r_{G} = \frac{r _{A} + r _{B} + r _{C}}{3}$ nu depinde de ordinea vârfurilor.

Cum aflu raportul din relația 2·MA + 7·MB = 0?

Treci în vectori de poziție: $2 (r_{A} - r_{M}) + 7 (r_{B} - r_{M}) = 0$ , deci $r_{M} = \frac{2 r _{A} + 7 r _{B}}{9}$ . Ponderea mai mare, 7, stă la $B$ , deci $M$ este mai aproape de $B$ : $A M : M B = 7 : 2$ . Proba: $2 \cdot 7 = 7 \cdot 2$ , lungimile celor doi vectori din relație.

Prin ce diferă drumul vectorial de reciproca teoremei lui Thales?

Reciproca teoremei lui Thales compară rapoartele $\frac{A M}{M B}$ și $\frac{A N}{N C}$ și dă doar paralelismul; lungimea cere apoi asemănarea. Calculul vectorial scrie $M N = t B C$ și dă dintr-un singur rând paralelismul, lungimea $M N = t \cdot B C$ și sensul segmentului.

Cum verific cu vectori că trei puncte sunt coliniare?

Arăți că un vector dintre ele este un număr ori altul, cu un punct comun. Dacă $r_{C} = \frac{3 r _{A} + 2 r _{B}}{5}$ , atunci $A C = \frac{2}{5} A B$ , deci $A$ , $B$ , $C$ sunt pe aceeași dreaptă. Suma ponderilor, $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ , este semnul că punctul stă pe dreapta $A B$ .

Ce lungime are segmentul paralel cu baza dus prin centrul de greutate?

Două treimi din bază. Dusă prin $G$ , paralela întâlnește laturile $A B$ și $A C$ la $\frac{2}{3}$ din drumul pornit din $A$ , deci vectorul segmentului este $\frac{2}{3} B C$ , iar $G$ îi este chiar mijlocul. Pentru o bază de 30 cm, segmentul are 20 cm; pentru 40 cm, are aproximativ 26,7 cm.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui thales cu vectori paralelism · cum demonstrez vectorial ca mn este paralel cu bc · vectori coliniari si drepte paralele in triunghi · thales vectorial clasa a 9-a pedagogic