Vectorul de poziție și Thales vectorial, pedagogic

La serbarea școlii, un triunghi de carton trebuie împodobit cu o panglică paralelă cu baza și agățat de un fir, ca să stea drept. Ambele cerințe se rezolvă cu vectorul de poziție: o formulă dă punctul care împarte o latură într-un raport, iar alta dă centrul de greutate. Lecția recapitulează materia clasei a IX-a, profilul pedagogic, și compară drumul vectorial cu cel sintetic. Tema intră în programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic).

Situația de pornire

Pentru serbarea de 1 Iunie, o clasă a IV-a decupează din carton un triunghi $ABC$, care va fi agățat deasupra scenei. Învățătoarea vrea două lucruri: o panglică $MN$, cu $M$ pe latura $AB$ și $N$ pe latura $AC$, care să fie paralelă cu baza $BC$, și un fir prins într-un singur punct, astfel încât triunghiul să stea în echilibru. Copiii au măsurat laturile și au făcut două semne cu creionul.

Întrebare: este panglica $MN$ paralelă cu baza și ce lungime trebuie tăiată din rolă? În ce punct se prinde firul ca triunghiul să stea în echilibru?

De la situație la model

Fiecare semn de pe carton devine un punct, iar fiecare drum de la un punct la altul devine un vector. Alegi un punct fix $O$, de pildă cuiul din panoul pe care se lucrează, și scrii totul față de el.

Vectorul de poziție al unui punct $M$ față de originea $O$ este vectorul ${\vec{r}}_M=\overrightarrow{OM}$. Orice vector dintre două puncte se scrie cu vectorii lor de poziție: $\overrightarrow{AM}={\vec{r}}_M-{\vec{r}}_A$, adică „punctul de sosire minus punctul de plecare”.

Cum arată vectorial punctul care împarte o latură?

Dacă $M$ este pe segmentul $AB$ și $\overrightarrow{AM}=k\cdot \overrightarrow{MB}$, cu $k>0$, atunci ${\vec{r}}_M=\frac{{\vec{r}}_A+k{\vec{r}}_B}{1+k}$. Pentru $AM:MB=p:q$, formula devine ${\vec{r}}_M=\frac{q{\vec{r}}_A+p{\vec{r}}_B}{p+q}$: fiecare capăt primește ca pondere bucata opusă lui, deci $M$ stă mai aproape de capătul cu ponderea mai mare.

Ce spune teorema lui Thales în limbaj vectorial?

Dacă $\overrightarrow{AM}=t\cdot \overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=t\cdot \overrightarrow{AC}$, cu același număr $t$, atunci $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=t\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=t\cdot \overrightarrow{BC}$. Vectorii $\overrightarrow{MN}$ și $\overrightarrow{BC}$ sunt coliniari, deci dreptele $MN$ și $BC$ sunt paralele, iar $MN=t\cdot BC$. Pe drumul sintetic, din gimnaziu, aceeași concluzie vine din reciproca teoremei lui Thales, $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$, iar lungimea vine din asemănarea triunghiurilor $AMN$ și $ABC$.

Metoda pas cu pas

1. Alegi originea $O$ o singură dată și scrii fiecare punct cu vectorul lui de poziție. Rezultatele care sunt vectori între puncte nu depind de alegere, așa că poți lua și $O=A$, ca să simplifici.
2. Traduci fiecare informație în vectori: un punct pe o latură, cu un raport dat, devine $\overrightarrow{AM}=t\cdot \overrightarrow{AB}$ sau formula cu ponderi; un mijloc devine $\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{2}$.
3. Calculezi vectorul care te interesează ca diferență de vectori de poziție și îl aduci la forma „număr ori un vector cunoscut”.
4. Citești concluzia: dacă $\overrightarrow{MN}=t\cdot \overrightarrow{BC}$, dreptele sunt paralele și $MN=|t|\cdot BC$; dacă vectorul de poziție al unui punct se scrie la fel pornind de pe două drepte, punctul este pe amândouă, deci dreptele sunt concurente în el.
5. Faci proba pe drumul sintetic (rapoartele lui Thales, proprietatea medianei) sau cu o măsurătoare: cele două metode trebuie să dea același rezultat.

Ordinea contează: fără originea fixată la pasul 1, două puncte pot fi scrise față de origini diferite și diferența lor nu mai are sens; fără forma „număr ori vector” de la pasul 3, paralelismul nu se vede.

Fișa de buzunar

$$\overrightarrow{AB}={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A,{\vec{r}}_{\text{mijloc}}=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{2},AM:MB=p:q\Rightarrow {\vec{r}}_M=\frac{q{\vec{r}}_A+p{\vec{r}}_B}{p+q}$$

$$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AN}=t\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{MN}=t\overrightarrow{BC},{\vec{r}}_G=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C}{3}$$

Centrul de greutate $G$ este punctul comun al celor trei mediane și împarte fiecare mediană în raportul $2:1$, socotit de la vârf. Doi vectori nenuli sunt coliniari exact când unul este un număr ori celălalt; așa se recunoaște paralelismul.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Panglica paralelă cu baza

Tipul cerinței: paralelism prin Thales vectorial, comparat cu drumul sintetic.

Enunț. Cu măsurătorile din tabel, arată că panglica $MN$ este paralelă cu baza $BC$ și află lungimea ei.

Rezolvare. $M$ este pe $AB$ și $AM=12$ cm din 32 cm, deci $\overrightarrow{AM}=\frac{12}{32}\overrightarrow{AB}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}$. La fel, $\overrightarrow{AN}=\frac{9}{24}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$. Atunci $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{3}{8}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}$, deci $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{3}{8}\cdot 40=15$ cm. Pe drumul sintetic, $\frac{AM}{MB}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$, deci reciproca teoremei lui Thales dă $MN\parallel BC$, iar asemănarea triunghiurilor $AMN$ și $ABC$, cu raportul $\frac{3}{8}$, dă tot 15 cm. Calculul vectorial a dat paralelismul și lungimea dintr-un singur rând.

Capcană. Cine pune în fața lui $\overrightarrow{BC}$ raportul $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{5}$, în loc de $\frac{AM}{AB}=\frac{3}{8}$, taie din rolă $\frac{3}{5}\cdot 40=24$ cm, cu 9 cm prea mult. Raportul bun compară bucata $AM$ cu toată latura $AB$.

Verificare. Pe alt drum: $24^2+32^2=576+1024=1600=40^2$, deci triunghiul are unghi drept în $A$, ca și triunghiul $AMN$. Teorema lui Pitagora dă $MN=\sqrt{12^2+9^2}=\sqrt{225}=15$ cm, aceeași lungime.

Exemplul 2 — Semnele scrise față de cui

Tipul cerinței: vectorul de poziție al punctului care împarte un segment.

Enunț. Cu originea $O$ în cuiul din panou, scrie ${\vec{r}}_M$ și ${\vec{r}}_N$ cu vectorii de poziție ai vârfurilor și arată că $\overrightarrow{MN}$ nu depinde de locul cuiului.

Rezolvare. $AM:MB=12:20=3:5$, deci, cu ponderea fiecărui capăt egală cu bucata opusă, ${\vec{r}}_M=\frac{5{\vec{r}}_A+3{\vec{r}}_B}{8}$. La fel, $AN:NC=9:15=3:5$, deci ${\vec{r}}_N=\frac{5{\vec{r}}_A+3{\vec{r}}_C}{8}$. Diferența este $\overrightarrow{MN}={\vec{r}}_N-{\vec{r}}_M=\frac{3{\vec{r}}_C-3{\vec{r}}_B}{8}=\frac{3}{8}\left({\vec{r}}_C-{\vec{r}}_B\right)=\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}$: vectorul de poziție al vârfului $A$ s-a redus, iar $O$ nu mai apare deloc.

Capcană. Cine pune ponderile în aceeași ordine cu bucățile scrie ${\vec{r}}_M=\frac{3{\vec{r}}_A+5{\vec{r}}_B}{8}$. Acela este punctul cu $AM:MB=5:3$, adică la $\frac{5}{8}\cdot 32=20$ cm de $A$, nu la 12 cm: semnul ar fi pus mai aproape de $B$.

Verificare. Cu originea chiar în $A$, ${\vec{r}}_A=\vec{0}$, iar formula dă $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}$, exact rezultatul din Exemplul 1. Suma ponderilor, $\frac{5}{8}+\frac{3}{8}=1$, confirmă că $M$ este pe dreapta $AB$.

Exemplul 3 — Punctul de agățare și panglica prin el

Tipul cerinței: centrul de greutate și concurența medianelor.

Enunț. a) Arată că punctul $G$ cu ${\vec{r}}_G=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C}{3}$ se află pe toate cele trei mediane. b) Învățătoarea vrea ca a doua panglică, $PQ$, paralelă cu baza, să treacă chiar prin punctul de agățare. La ce distanță de $A$ se pun $P$ pe $AB$ și $Q$ pe $AC$?

Rezolvare. a) Fie $A^{\prime }$ mijlocul lui $BC$, cu ${\vec{r}}_{A^{\prime }}=\frac{{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C}{2}$. Punctul de pe mediana $A{A}^{\prime }$ cu $AG:G{A}^{\prime }=2:1$ are $\vec{r}=\frac{1\cdot {\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_{A^{\prime }}}{3}=\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C}{3}={\vec{r}}_G$. Expresia este aceeași oricum ai ordona vârfurile, deci același calcul pe medianele din $B$ și din $C$ dă tot $G$: medianele sunt concurente în $G$. b) Ia $\overrightarrow{AP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Atunci ${\vec{r}}_P=\frac{{\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_B}{3}$, ${\vec{r}}_Q=\frac{{\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_C}{3}$, iar mijlocul lui $PQ$ are vectorul de poziție $\frac{2{\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_B+2{\vec{r}}_C}{6}={\vec{r}}_G$. Panglica $PQ$ trece prin $G$, chiar prin mijlocul ei, cu $AP=\frac{2}{3}\cdot 32\approx 21,3$ cm și $AQ=\frac{2}{3}\cdot 24=16$ cm.

Capcană. Cine ia $G$ la o treime din mediană, socotit de la vârf, pune panglica la $AP=\frac{1}{3}\cdot 32\approx 10,7$ cm. Acea panglică trece printr-un punct al medianei aflat la o treime de vârf, adică la jumătatea distanței până la $G$, iar firul prins în $G$ nu mai cade pe ea.

Verificare. Pe drumul sintetic: $\frac{AP}{PB}=\frac{AQ}{QC}=2$, deci $PQ\parallel BC$ (reciproca teoremei lui Thales). În triunghiul $AB{A}^{\prime }$, paralela $PQ$ taie mediana $A{A}^{\prime }$ în punctul care o împarte în raportul $2:1$ de la vârf, adică exact în $G$.

Exemplul 4 — problema inversă: unde a pus elevul semnul

Tipul cerinței: dintr-o relație între vectori, poziția punctului.

Enunț. Un elev a șters semnul de pe latura $AB$ și își amintește doar relația $5\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\vec{0}$. La câți centimetri de $A$ trebuie refăcut semnul?

Rezolvare. Scrii vectorii cu vectori de poziție: $5\left({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_M\right)+3\left({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_M\right)=\vec{0}$, deci $8{\vec{r}}_M=5{\vec{r}}_A+3{\vec{r}}_B$ și ${\vec{r}}_M=\frac{5{\vec{r}}_A+3{\vec{r}}_B}{8}$. Ponderile 5 la $A$ și 3 la $B$ înseamnă $AM:MB=3:5$, deci $AM=\frac{3}{8}\cdot 32=12$ cm: chiar semnul panglicii.

Capcană. Cine citește direct raportul din coeficienți, $AM:MB=5:3$, pune semnul la $\frac{5}{8}\cdot 32=20$ cm de $A$. Coeficientul mai mare stă lângă capătul mai apropiat: $\overrightarrow{MA}$ are coeficientul 5, deci $M$ este mai aproape de $A$.

Verificare. Cu $AM=12$ cm și $MB=20$ cm, vectorul $5\overrightarrow{MA}$ are lungimea $5\cdot 12=60$ cm, iar $3\overrightarrow{MB}$ are $3\cdot 20=60$ cm, în sens opus, deci suma lor este vectorul nul.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Punctele $A$ și $B$ au vectorii de poziție ${\vec{r}}_A$ și ${\vec{r}}_B$. Scrie $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BA}$ și vectorul de poziție al mijlocului segmentului $AB$.

2. Punctul $M$ este pe segmentul $AB$, cu $AM:MB=1:5$. Scrie ${\vec{r}}_M$ cu ${\vec{r}}_A$ și ${\vec{r}}_B$.

3. Vectorii $\vec{u}$ și $\vec{v}$ nu sunt coliniari, iar ${\vec{r}}_A=2\vec{u}$, ${\vec{r}}_B=4\vec{v}$, ${\vec{r}}_C=3\vec{u}-\vec{v}$. Scrie vectorul de poziție al centrului de greutate al triunghiului $ABC$.

4. În triunghiul $ABC$, $\overrightarrow{AM}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}$. Arată că $MN\parallel BC$ și află $MN$, dacă $BC=21$ cm.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Pe un panou triunghiular pentru 8 Martie, $AB=48$ cm, $AC=36$ cm și $BC=54$ cm. Copiii lipesc o bandă de la $M$, cu $AM=16$ cm pe $AB$, la $N$, cu $AN=12$ cm pe $AC$. Arată, vectorial și sintetic, că banda este paralelă cu $BC$ și află-i lungimea.

6. (Problemă aplicată.) Pe un triunghi de carton, elevii trasează mediana $A{A}^{\prime }$, lungă de 33 cm. La ce distanță de $A$ se prinde firul de care triunghiul stă în echilibru?

7. (Problemă aplicată.) Pe alt triunghi de carton, $AB=25$ cm și $AC=24$ cm, iar semnele sunt la $AM=10$ cm și $AN=9$ cm. Este panglica $MN$ paralelă cu baza $BC$? Justifică vectorial.

8. (Problemă aplicată.) Pe o riglă, segmentul $AB$ are 45 cm, iar un elev marchează punctul $P$ al segmentului pentru care $7\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}=\vec{0}$. La câți centimetri de $A$ este $P$?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Sinteză.) Arată că patrulaterul $ABCD$ este paralelogram dacă și numai dacă ${\vec{r}}_A+{\vec{r}}_C={\vec{r}}_B+{\vec{r}}_D$, apoi spune ce înseamnă egalitatea despre diagonale.

10. (Sinteză.) În triunghiul $ABC$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$, iar $A^{\prime }$ este mijlocul lui $BC$. Arată vectorial că segmentul $MN$ trece prin mijlocul medianei $A{A}^{\prime }$.

11. (Sinteză.) În triunghiul $ABC$, $M$ este pe $AB$ cu $AM:MB=1:2$, iar $N$ este pe $AC$ cu $AN:NC=1:2$. Demonstrează că $MN\parallel BC$ de două ori, sintetic și vectorial, și spune ce afli în plus din calculul vectorial.

12. (Sinteză.) În triunghiul $ABC$, $M$ este pe $AB$ cu $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. În ce raport $AN:NC$ trebuie ales punctul $N$ pe $AC$, pentru ca $MN\parallel BC$?

Răspunsuri și verificări

1. $\overrightarrow{AB}={\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A$, $\overrightarrow{BA}={\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B$, iar mijlocul are vectorul de poziție $\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{2}$. Verificare: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}$, cum trebuie pentru un drum dus-întors.

2. Ponderile sunt bucățile opuse: 5 la $A$ și 1 la $B$, deci ${\vec{r}}_M=\frac{5{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{6}$. Verificare: cu originea în $A$, $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$, adică o șesime din segment, cum cere raportul $1:5$.

3. ${\vec{r}}_G=\frac{2\vec{u}+4\vec{v}+3\vec{u}-\vec{v}}{3}=\frac{5\vec{u}+3\vec{v}}{3}=\frac{5}{3}\vec{u}+\vec{v}$. Verificare: $3{\vec{r}}_G=5\vec{u}+3\vec{v}$, iar suma vectorilor de poziție ai vârfurilor este tot $5\vec{u}+3\vec{v}$.

4. $\overrightarrow{MN}=\frac{4}{7}\overrightarrow{AC}-\frac{4}{7}\overrightarrow{AB}=\frac{4}{7}\overrightarrow{BC}$, deci $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{4}{7}\cdot 21=12$ cm. Verificare sintetică: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=\frac{4}{3}$, deci reciproca teoremei lui Thales dă același paralelism.

5. Vectorial: $\overrightarrow{AM}=\frac{16}{48}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{12}{36}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, deci $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Banda este paralelă cu $BC$ și are $\frac{1}{3}\cdot 54=18$ cm. Sintetic: $\frac{AM}{MB}=\frac{16}{32}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{12}{24}$, ambele $\frac{1}{2}$, deci $MN\parallel BC$; asemănarea cu raportul $\frac{1}{3}$ dă tot 18 cm. Verificare: $3\cdot 18=54$ cm.

6. Firul se prinde în centrul de greutate $G$, care împarte mediana în raportul $2:1$ de la vârf. $AG=\frac{2}{3}\cdot 33=22$ cm, iar $G{A}^{\prime }=11$ cm. Verificare: $22+11=33$ cm și $22:11=2:1$.

7. $\overrightarrow{AM}=\frac{10}{25}\overrightarrow{AB}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$, dar $\overrightarrow{AN}=\frac{9}{24}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}$. Atunci $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$; dacă ar fi $s\cdot \overrightarrow{BC}=s\overrightarrow{AC}-s\overrightarrow{AB}$, ar trebui $s=\frac{3}{8}$ și $s=\frac{2}{5}$ deodată, imposibil, fiindcă $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ nu sunt coliniari. Panglica nu este paralelă cu baza. Verificare: $\frac{2}{5}=0,4$, iar $\frac{3}{8}=0,375$.

8. $7\left({\vec{r}}_A-{\vec{r}}_P\right)+2\left({\vec{r}}_B-{\vec{r}}_P\right)=\vec{0}$ dă ${\vec{r}}_P=\frac{7{\vec{r}}_A+2{\vec{r}}_B}{9}$, deci $AP:PB=2:7$. $AP=\frac{2}{9}\cdot 45=10$ cm. Verificare: $PB=35$ cm, iar $7\cdot 10=70=2\cdot 35$, deci $7\overrightarrow{PA}$ și $2\overrightarrow{PB}$ au aceeași lungime și sensuri opuse.

9. $ABCD$ este paralelogram exact când $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, adică ${\vec{r}}_B-{\vec{r}}_A={\vec{r}}_C-{\vec{r}}_D$, care se rescrie ${\vec{r}}_A+{\vec{r}}_C={\vec{r}}_B+{\vec{r}}_D$. Împărțind la 2: mijlocul diagonalei $AC$ are același vector de poziție ca mijlocul diagonalei $BD$. Deci diagonalele se înjumătățesc reciproc, proprietatea cunoscută din gimnaziu. Verificare: pentru un pătrat cu centrul în $O$, toți cei patru vectori de poziție au aceeași lungime, iar cei opuși sunt opuși, deci ambele sume sunt $\vec{0}$.

10. Mijlocul lui $MN$ are vectorul de poziție $\frac{1}{2}\left(\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B}{2}+\frac{{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_C}{2}\right)=\frac{2{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C}{4}$. Mijlocul medianei $A{A}^{\prime }$ are $\frac{1}{2}\left({\vec{r}}_A+\frac{{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C}{2}\right)=\frac{2{\vec{r}}_A+{\vec{r}}_B+{\vec{r}}_C}{4}$, același vector. Deci $MN$ trece prin mijlocul medianei, chiar prin mijlocul lui $MN$. Verificare sintetică: linia mijlocie $MN$ este paralelă cu $BC$, iar în triunghiul $AB{A}^{\prime }$ ea pleacă din mijlocul lui $AB$, deci taie $A{A}^{\prime }$ la jumătate.

11. Sintetic: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}$, deci $MN\parallel BC$ după reciproca teoremei lui Thales. Vectorial: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, deci $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$. Calculul vectorial dă, în plus, lungimea, $MN=\frac{1}{3}BC$, și sensul: de la $M$ la $N$ se merge în același sens ca de la $B$ la $C$. Verificare: pentru $BC=30$ cm, $MN=10$ cm, iar asemănarea cu raportul $\frac{1}{3}$ dă tot 10 cm.

12. $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. Pentru paralelism trebuie $\overrightarrow{MN}=s\cdot \overrightarrow{BC}=s\overrightarrow{AC}-s\overrightarrow{AB}$, deci $s=\frac{3}{5}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$. Atunci $AN:NC=3:2$. Verificare: $\frac{AM}{MB}=\frac{3}{2}=\frac{AN}{NC}$, condiția din reciproca teoremei lui Thales.

Așa vine la Bac M4

Calculul vectorial în geometria plană — vectorul de poziție, punctul care împarte un segment într-un raport dat, teorema lui Thales și centrul de greutate — este în programa Bacalaureatului M4 (M_pedagogic), la clasa a IX-a, dar nu a apărut în probele 2013–2026. Blocul nu se află în programa de examen M_tehnologic, de aceea are aici o lecție proprie.

Fiind în programă, tema poate fi cerută. În probele 2013–2026 tema n-a apărut; înainte, M_pedagogic a cerut vectorul de poziție al centrului de greutate (august 2010) și paralelismul $MN\parallel BC$ din $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MB}$ și $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NC}$ (iunie 2011). Exercițiile 9–12 sunt sinteze care leagă formulele de proprietățile cunoscute din gimnaziu. Pentru teoria pe larg, vezi vectorul de poziție și raportul dat și centrul de greutate, demonstrat vectorial, iar restul traseului în lecțiile clasei a IX-a, profilul pedagogic.

Greșeli care costă puncte

• Pui în fața lui $\overrightarrow{BC}$ raportul $\frac{AM}{MB}$ în loc de $\frac{AM}{AB}$ → cum o prinzi: refaci lungimea pe drumul sintetic; la Exemplul 1, $\frac{3}{5}\cdot 40=24$ cm nu se potrivește cu cei 15 cm dați de Pitagora.
• Pui ponderile în ordinea bucăților → cum o prinzi: punctul trebuie să fie mai aproape de capătul cu ponderea mai mare; la Exemplul 2, ponderile inversate mută semnul la 20 cm de $A$.
• Scrii $\overrightarrow{AB}={\vec{r}}_A-{\vec{r}}_B$ → cum o prinzi: „sosire minus plecare”; drumul de la $A$ la $B$ se termină în $B$, deci ${\vec{r}}_B$ are semnul plus.
• Iei centrul de greutate la o treime din mediană, de la vârf → cum o prinzi: $AG$ este bucata mai lungă, $\frac{2}{3}$; la exercițiul 6, $AG=22$ cm și $G{A}^{\prime }=11$ cm.
• Declari paralelism din rapoarte apropiate → cum o prinzi: compari exact fracțiile; la exercițiul 7, $\frac{2}{5}$ și $\frac{3}{8}$ diferă, deci panglica nu este paralelă.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, la clasa a IX-a, „Coliniaritate, concurență, paralelism – calcul vectorial în geometria plană”, și programa școlară a clasei a IX-a „TRUNCHI COMUN – 2 ore” (OMECI 5099/2009, Anexa 2), după care au învățat elevii care dau Bacalaureatul în 2027–2029. În probele oficiale din 2013–2026 nu a apărut nicio cerință pe vectorul de poziție; fiind în programă, tema poate fi cerută. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 au alt plan-cadru (OMEC 4152/2026), iar la Bacalaureatul din 2030, la profilul pedagogic, matematica poate fi doar o probă aleasă, pe materia claselor a IX-a și a X-a (OMEC 4138/2026), după programe noi; lecția de față nu este scrisă după ele.

Lecțiile de sprijin din traseu: vectorul înmulțit cu un număr și coliniaritatea și descompunerea unui vector după două direcții.

Întrebări frecvente

Ce lungime are panglica dacă semnul de pe $AC$ ajunge la 12 cm de $A$, nu la 9 cm?

Atunci $\overrightarrow{AN}=\frac{12}{24}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$, iar $\overrightarrow{AM}=\frac{3}{8}\overrightarrow{AB}$ rămâne. Coeficienții diferă, deci panglica nu mai este paralelă cu baza. Ca să fie paralelă, cu $N$ la 12 cm de $A$, semnul $M$ ar trebui mutat la $\frac{1}{2}\cdot 32=16$ cm de $A$, iar panglica ar avea 20 cm.

Câtă panglică trebuie pentru a doua bandă, cea care trece prin punctul de agățare?

Banda prin $G$, paralelă cu baza, are $\overrightarrow{PQ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$, deci lungimea $\frac{2}{3}\cdot 40=\frac{80}{3}\approx 26,7$ cm. Împreună cu prima panglică, de 15 cm, se folosesc din rolă aproximativ 41,7 cm, fără rezerva pentru prinderea capetelor.

Cum verifică învățătoarea pe carton, fără vectori, că panglica e paralelă cu baza?

Măsoară cele patru bucăți și compară rapoartele: $\frac{AM}{MB}=\frac{12}{20}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{9}{15}$ sunt amândouă $\frac{3}{5}$. Reciproca teoremei lui Thales spune atunci că $MN\parallel BC$. Calculul vectorial ajunge la aceeași concluzie și dă, în plus, direct lungimea panglicii, 15 cm.

De ce stă triunghiul în echilibru tocmai în punctul $G$?

Gândește cartonul ca pe multe fâșii subțiri, paralele cu baza $BC$: fiecare fâșie are mijlocul pe mediana $A{A}^{\prime }$, după Thales, deci cartonul stă în echilibru pe mediană, ca pe o muchie. La fel stă pe celelalte două mediane, iar singurul punct aflat pe toate trei este $G$. Prins acolo, cartonul nu se înclină.

Se schimbă rezultatele dacă mut cuiul în alt loc al panoului?

Vectorii de poziție se schimbă, dar diferențele lor nu. La Exemplul 2, $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{8}\overrightarrow{BC}$ a ieșit fără ${\vec{r}}_A$ și fără $O$, iar formula lui $G$ dă același punct pentru orice origine. Cu originea în $A$, calculele se scurtează, fiindcă ${\vec{r}}_A$ devine $\vec{0}$.

A cerut Bacalaureatul M4 vectorul de poziție în probele din 2013–2026?

Nu: în cele 60 de probe din 2013–2026 nu există nicio cerință pe vectorul de poziție, pe punctul care împarte un segment sau pe centrul de greutate scris vectorial. Tema este totuși în programa de examen M_pedagogic, la clasa a IX-a, deci poate fi cerută, iar lecția o pregătește alături de Thales și de mediane.