Graficul funcției $$g:[1;\,6] \to \mathbb{R}$$, $$g(x) = \sqrt{7x + 3}$$, se rotește în jurul axei $$Ox$$. Care dintre expresiile de mai jos dă volumul corpului generat?

$$\pi\int_1^6 \sqrt{7x + 3}\,dx$$

$$\pi\left(\int_1^6 \sqrt{7x + 3}\,dx\right)^2$$

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Volum prin rotația graficului

Cum aflu volumul când g este f supra x?

Simplifici întâi câtul, apoi ridici la pătrat funcția rezultată, cu termenul din mijloc, și abia după aceea integrezi, în sfârșit înmulțind cu $π$ . Exemplu cu un cât care se simplifică exact: $f (x) = 5 x^{2} + 5 x$ și $g (x) = \frac{f ( x )}{x} = 5 x + 5$ pe $[1; 3]$ . Atunci $g (x)^{2} = 25 x^{2} + 50 x + 25$ , iar volumul este $V = π \int_{1}^{3} (25 x^{2} + 50 x + 25) d x = π [\frac{25 x ^{3}}{3} + 25 x^{2} + 25 x]_{1}^{3} = π (525 - \frac{175}{3}) = \frac{1400 π}{3}$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Când graficul unei funcții continue $g$ , definite pe $[a; b]$ , se rotește în jurul axei $O x$ , se obține un corp de rotație. Volumul lui este $V = π \int_{a}^{b} g (x)^{2} d x$ și se măsoară în unitatea lui $x$ la cub. Fiecare felie perpendiculară pe axă este un disc de rază $g (x)$ , iar integrala adună discurile.

Singura schimbare față de aria de sub grafic este pătratul. Îl aplici funcției întregi: $(u + v)^{2} = u^{2} + 2 uv + v^{2}$ , cu termenul din mijloc, iar la un radical $(u)^{2} = u$ . Dacă enunțul dă $g$ printr-o fracție sau printr-o funcție $f$ din care scazi ceva, simplifici înainte de a ridica la pătrat. Dacă ți se dă diametrul, iei jumătate din el pentru rază.

Apoi scrii primitiva lui $g^{2}$ termen cu termen, calculezi $F (b) - F (a)$ și înmulțești cu $π$ . La un parametru $a$ , rezolvi ecuația volumului și păstrezi doar soluția din domeniu.

Verifici cu corpurile cunoscute: cilindrul cu raza cea mai mare încadrează corpul de sus, iar cel cu raza cea mai mică, de jos. Un volum mai mic decât al cilindrului cu raza minimă arată că ai uitat pătratul.

De reținut

$V = π \int_{a}^{b} g (x)^{2} d x$ , cu pătratul aplicat funcției întregi
câtul se simplifică înainte de a ridica la pătrat
dublarea razei înmulțește volumul cu 4

Greșeala tipică

Se omite pătratul și se integrează direct pe $g$ : pentru $g (x) = 5 x + 5$ pe $[1; 3]$ rezultă $\int_{1}^{3} g = 30$ , în loc de $\int_{1}^{3} g^{2} = \frac{1400}{3}$ . Corect este $V = π \int_{1}^{3} g (x)^{2} d x$ .

Exerciții din această mini-lecție

Graficul funcției $g : [1; 6] \to R$ , $g (x) = 7 x + 3$ , se rotește în jurul axei $O x$ . Care dintre expresiile de mai jos dă volumul corpului generat?
- a) $π \int_{1}^{6} 7 x + 3 d x$
- b) $\int_{1}^{6} (7 x + 3) d x$
- c) $π \int_{1}^{6} (7 x + 3) d x$
- d) $π (\int_{1}^{6} 7 x + 3 d x)^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $π \int_{1}^{6} (7 x + 3) d x$

Volumul este $π \int_{1}^{6} g (x)^{2} d x$ , iar pătratul radicalului este chiar $7 x + 3$ , deci expresia corectă este $π \int_{1}^{6} (7 x + 3) d x$ . Varianta cu $7 x + 3$ nu ridică funcția la pătrat. Varianta fără $π$ dă aria de sub graficul lui $7 x + 3$ , nu un volum, iar varianta cu pătratul în afara integralei ridică la pătrat un număr, nu funcția.
Funcția $g$ este continuă pe $[1; 3]$ , iar $H (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 6 x$ este o primitivă a lui $g^{2}$ . Care este volumul corpului generat când graficul lui $g$ se rotește în jurul axei $O x$ ?
- a) $81 π$
- b) $70 π$
- c) $92 π$
- d) $70$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $70 π$

Volumul este $π (H (3) - H (1))$ , cu $H (3) = 27 + 36 + 18 = 81$ și $H (1) = 1 + 4 + 6 = 11$ , deci $70 π$ . Varianta $81 π$ uită să scadă $H (1)$ , iar $92 π$ le adună. Varianta 70 nu mai conține factorul $π$ .
Un recipient de laborator are interiorul obținut prin rotația graficului funcției $g (x) = \frac{6}{x + 1}$ , pentru $x \in [0; 2]$ , în jurul axei $O x$ , cu $x$ și $g (x)$ în cm. Care este capacitatea lui?
- a) $24 π$ cm³
- b) $6 π ln 3$ cm³
- c) $36 π ln 3$ cm³
- d) $4 π$ cm³
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $24 π$ cm³

Ridici la pătrat: $g (x)^{2} = \frac{36}{( x + 1 ) ^{2}}$ , cu primitiva $- \frac{36}{x + 1}$ . Volumul este $π (- 12 + 36) = 24 π$ cm³. Varianta cu $6 π ln 3$ integrează pe $g$ , nu pe $g^{2}$ . Varianta cu $36 π ln 3$ ridică la pătrat, dar integrează $\frac{36}{( x + 1 ) ^{2}}$ ca pe un logaritm. Varianta $4 π$ ia 6 în loc de 36 în fața integralei.

Întrebări conexe

De ce nu ridic la pătrat doar numărătorul?

Pătratul se aplică întregii fracții, adică și numitorului: $(\frac{f ( x )}{x})^{2} = \frac{f ( x ) ^{2}}{x ^{2}}$ . De exemplu, la $x = 2$ pentru $f (x) = 5 x^{2} + 5 x$ avem $(\frac{5 \cdot 2 ^{2} + 5 \cdot 2}{2})^{2} = 1 5^{2} = 225$ , nu $f (2)^{2} = 900$ . Simplificarea înaintea pătratului evită această greșeală.

Cum încadrez volumul între doi cilindri?

Iei raza cea mai mică $m$ și raza cea mai mare $M$ de pe interval, apoi $π m^{2} (b - a) \leq V \leq π M^{2} (b - a)$ . Pentru $g (x) = 2 + \frac{x}{2}$ pe $[0; 4]$ avem $m = 2$ și $M = 4$ , deci volumul este între $16 π$ și $64 π$ . Calculul dă $π \int_{0}^{4} (2 + \frac{x}{2})^{2} d x = \frac{112 π}{3}$ , valoare aflată în încadrare.

Cât se schimbă volumul dacă dublez raza?

Se înmulțește cu 4, fiindcă $π \int (2 g)^{2} = 4 π \int g^{2}$ : factorul 2 din rază intră la pătrat sub integrală. De exemplu, $g (x) = 3 x + 2$ pe $[0; 1]$ are $V = π \int_{0}^{1} (3 x + 2)^{2} d x = 13 π$ , iar pentru $2 g$ se obține $52 π$ , de patru ori mai mult.

Cum ridic la pătrat un produs cu rădăcină?

Ridici la pătrat fiecare factor și apoi înmulțești, iar rădăcina dispare prin ridicarea la pătrat. Pentru $g (x) = (5 x + 3) x$ avem $g (x)^{2} = (5 x + 3)^{2} x = 25 x^{3} + 30 x^{2} + 9 x$ , deci pe $[0; 1]$ volumul este $π (\frac{25}{4} + 10 + \frac{9}{2}) = \frac{83 π}{4}$ . Desfaci pătratul binomului cu termenul din mijloc.

Cum apare volumul de rotație în probele oficiale?

Volumul de rotație a apărut în 17 probe M_tehnologic din 2013–2026, mereu în Subiectul al III-lea, la problema 2. Lecția citează patru cerințe reale: $g$ obținută scăzând din $f$ o parte a ei, $g = \frac{f}{x}$ , produsul dintre un binom și o rădăcină și o fracție cu necunoscuta $a$ .

Oamenii mai întreabă și: volumul de rotație pentru g egal cu f de x supra x · simplific câtul înainte de a ridica la pătrat · rotația graficului unei fracții simplificabile · g egal cu f supra x la volum