Bac tehnologic: volum prin rotația graficului

Cât oțel rămâne într-un buton strunjit și cât pleacă în așchii? Răspunsul vine din volumul piesei, un corp de rotație, calculat cu o integrală în care raza intră la pătrat. Volumul se calculează așa în clasa a XII-a, iar la liceul tehnologic metoda servește și altor meserii. La examenul de Bacalaureat M3 (M_tehnologic), volumul corpului de rotație a fost cerut în Subiectul al III-lea, problema 2.

Situația de pornire

Într-un atelier de prelucrări mecanice se strunjește, dintr-o bară de oțel, un buton de reglaj pentru un aparat de măsură. Piesa are 30 mm lungime și rază mai mică la capătul subțire, mai mare la cel gros. Controlorul așază lângă piesa terminată un șablon de profil și notează raza în șase puncte, începând de la capătul subțire (valori din exemplu). Patronul atelierului vrea să știe cât oțel rămâne în piesă și cât se pierde ca așchii, ca să aleagă diametrul barei de la care pornește strunjirea.

Întrebare: ce volum de oțel are piesa, în mm³ și în cm³, și ce masă are la densitatea de 7,85 g/cm³? Din ce bară, cu diametrul de 36, 38, 40 sau 45 mm, se strunjește, dacă pe rază se lasă un adaos de 1 mm, și ce parte din bară se pierde ca așchii?

De la situație la model

Citește coloana razelor: crește tot mai repede, deci profilul nu e o dreaptă. Tehnologul a ales funcția $g(x)=13+\frac{x^2}{150}$, cu $x$ și $g(x)$ în mm, pentru $x\in [0;30]$. Verifică două puncte: $g(0)=13$ și $g(30)=13+\frac{900}{150}=19$, ca în tabel. Formula dă raza și între punctele măsurate: la 15 mm de capătul subțire, între citirile de la 10 și de la 16 mm, $g(15)=13+\frac{225}{150}=14,5$ mm, între 13,7 și 14,7, deci tehnologul nu mai are nevoie de șablon pentru fiecare milimetru.

Volumul corpului de rotație este numărul $V=\pi {\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx$, pentru corpul obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului unei funcții continue $g$, definite pe $[a;b]$. El se măsoară în unitatea lui $x$ la cub: dacă $x$ și $g(x)$ sunt în mm, volumul e în mm³. Integrala se calculează cu primitiva lui $g^2$, ca la formula Leibniz–Newton, iar primitiva se alege din tabelul de la primitive uzuale.

Ce taie un plan perpendicular pe axa piesei?

Gândește-te la o felie subțire din buton, tăiată perpendicular pe axă la distanța $x$ de capătul subțire: e o șaibă cu raza $g(x)$ și grosimea $dx$, deci cu volumul $\pi g(x{)}^{2}dx$. Integrala adună șaibele de la un capăt la celălalt. O șaibă de la capătul gros, cu raza de 19 mm, are de ${\left(\frac{19}{13}\right)}^2\approx 2,14$ ori volumul uneia la fel de groase de la capătul subțire, nu de $\frac{19}{13}\approx 1,46$ ori: volumul urmează pătratul razei.

Contează semnul lui g?

Nu, fiindcă în formulă apare $g(x{)}^2$, pozitiv și atunci când $g$ ia valori negative. Un arc aflat sub axă dă prin rotație același corp ca arcul lui simetric, aflat deasupra.

Ce corp cunoscut încadrează piesa?

Programa de examen cere și compararea volumului cu formulele cunoscute din geometrie. La buton, comparația vine din atelier: piesa încape în cilindrul cu raza ei cea mai mare, iar cilindrul cu raza cea mai mică încape în piesă. Mai aproape de rezultat e trunchiul de con cu razele capetelor: când profilul stă sub coarda dintre capete, ca la buton, piesa e mai mică decât trunchiul, iar când stă deasupra coardei, e mai mare. Dacă profilul e chiar coarda, piesa e trunchiul, iar volumul lui e o treime din $\pi h$ înmulțit cu suma dintre $R^2$, $Rr$ și $r^2$, unde $R$ și $r$ sunt razele bazelor și $h$ e înălțimea.

Metoda pas cu pas

1. Pregătește funcția. Dacă enunțul o dă prin $f$, înlocuiește pe $f$ și simplifică cât poți, de exemplu un cât cu $x$ la numitor. Verifică faptul că $g$ e continuă pe $[a;b]$ și notează capetele intervalului, precum și unitatea în care sunt măsurate $x$ și $g(x)$, fiindcă de ea depinde unitatea volumului.
2. Scrie formula și desfă pătratul: $V=\pi {\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx$. Scrie pătratul pe un rând separat și ridică la pătrat toată expresia, nu fiecare termen în parte, cu regula $(u+v{)}^2=u^2+2uv+v^2$; la o rădăcină, $(\sqrt{u}{)}^2=u$. Dacă iese o fracție cu numărătorul de grad cel puțin egal cu al numitorului, împarte, ca în lecția despre fracții în integrală.
3. Scrie primitiva lui $g^2$, termen cu termen, din tabelul primitivelor uzuale. Derivează primitiva ca să te asiguri că regăsești $g^2$.
4. Calculează $F(b)-F(a)$, cu valorile pe rânduri separate, apoi înmulțește cu $\pi$. Dacă enunțul cere un parametru, scrie ecuația volumului și află parametrul, apoi controlează că soluția are sens în domeniul dat.
5. Verifică rezultatul: are unitatea lui $x$ la cub, iar corpurile din geometrie îl încadrează: cilindrul cu raza cea mai mare a piesei și cel cu raza cea mai mică îl încadrează, iar trunchiul de con cu razele capetelor e o margine de sus când profilul stă sub coarda dintre capete și una de jos când stă deasupra ei. Un rezultat în afara încadrării te întoarce la pasul 2, ca să refaci pătratul și primitiva.

Aria de sub grafic, cu integrala lui $f$ în loc de $\pi f^2$, o ai în lecția despre aria de sub un grafic, iar celelalte capitole ale anului se văd pe pagina clasei a XII-a, tehnologic.

Fișa de buzunar

$$V=\pi {\int }_a^{b}g(x{)}^{2}dx$$

$$\pi m^2(b-a)\le V\le \pi M^2(b-a)$$

Prima formulă se aplică numai când graficul se rotește în jurul axei $Ox$ și $g$ e continuă pe $[a;b]$. A doua se aplică numai când $m\le |g|\le M$ pe $[a;b]$. Verificare rapidă: piesa nu poate avea mai mult decât cilindrul cu raza ei cea mai mare, adică bara de pe strung fără adaos.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Butonul strunjit

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reluăm piesa din situația de pornire: profilul ei urmează graficul funcției $g(x)=13+\frac{x^2}{150}$, în mm, între capetele de 0 și 30 mm. Aflați volumul piesei în mm³ și în cm³, masa ei la densitatea de 7,85 g/cm³, bara cu diametrul cel mai mic, dintre 36, 38, 40 și 45 mm, din care se poate strunji, cu adaos de 1 mm pe rază, și ce parte din bară se pierde ca așchii.

Rezolvare. Pasul 1: $g$ e continuă și pozitivă pe $[0;30]$. Pasul 2: $g(x{)}^2={\left(13+\frac{x^2}{150}\right)}^2=169+\frac{13x^2}{75}+\frac{x^4}{22500}$. Pasul 3: o primitivă este $F(x)=169x+\frac{13x^3}{225}+\frac{x^5}{112500}$. Pasul 4: $F(30)=5070+1560+216=6846$ și $F(0)=0$, deci $V=6846\pi \approx 21507$ mm³, adică 21,5 cm³. Masa este $21,507\cdot 7,85\approx 168,8$ g. Raza maximă e 19 mm, iar cu adaosul de 1 mm ajunge la 20 mm, deci diametrul minim e 40 mm: bara de 40 mm. Volumul barei, pe 30 mm, este $\pi \cdot 20^2\cdot 30=12000\pi$ mm³, iar pierderea este $12000\pi -6846\pi =5154\pi \approx 16192$ mm³, adică $\frac{5154}{12000}\approx 0,43$, aproximativ 43 % din bară.

Capcană. Cine uită pătratul și calculează $\pi {\int }_0^{30}g(x)dx=\pi \left(13x+\frac{x^3}{450}\right){|}_0^{30}=450\pi \approx 1414$ mm³ găsește un volum de aproximativ 15 ori prea mic, sub cel al unui cilindru cu raza minimă, de 13 mm, care are $5070\pi$ mm³.

Verificare. Cilindrul cu raza 13 mm are $\pi \cdot 13^2\cdot 30=5070\pi$ mm³, iar cel cu raza 19 mm are $\pi \cdot 19^2\cdot 30=10830\pi$ mm³. Trunchiul de con cu razele 13 și 19 mm are $\frac{30\pi }{3}(169+247+361)=7770\pi$ mm³, iar profilul curbat stă sub coarda dintre capete, deci piesa e mai mică decât trunchiul. Se obține $5070\pi <6846\pi <7770\pi <10830\pi$.

Exemplul 2 — Cuva unui castel de apă

Domeniu: mediu.

Enunț. Cuva castelului de apă al unei comune, ridicată pe un stâlp de beton, are forma unui trunchi de con mai larg sus: cercul de sus are raza de 5 m, cel de jos raza de 3 m, iar înălțimea e de 8 m. Cu $x$ în metri, măsurat de sus în jos, profilul e $g(x)=5-\frac{x}{4}$, pentru $x\in [0;8]$. Aflați volumul cuvei prin integrală, comparați-l cu formula trunchiului de con și aflați în cât timp umple cuva goală o pompă de 40 m³/h.

Rezolvare. Pasul 1: $g$ e continuă și pozitivă pe $[0;8]$, cu $g(8)=3$. Pasul 2: $g(x{)}^2={\left(5-\frac{x}{4}\right)}^2=25-\frac{5x}{2}+\frac{x^2}{16}$. Pasul 3: o primitivă este $F(x)=25x-\frac{5x^2}{4}+\frac{x^3}{48}$. Pasul 4: $F(8)=200-80+\frac{32}{3}=\frac{392}{3}$ și $F(0)=0$, deci $V=\frac{392\pi }{3}\approx 410,5$ m³. Formula trunchiului de con dă $\frac{8\pi }{3}(25+15+9)=\frac{392\pi }{3}$, același rezultat. Timpul de umplere este $410,5:40\approx 10,3$ ore.

Capcană. Cine ia raza de sus, de 5 m, pentru toată cuva calculează un cilindru de $\pi \cdot 25\cdot 8=200\pi \approx 628,3$ m³, de aproximativ 1,5 ori volumul real, și ar socoti o umplere de aproximativ 15,7 ore în loc de 10,3.

Verificare. Cilindrul cu raza 3 m are $72\pi \approx 226,2$ m³, cel cu raza 5 m are $200\pi \approx 628,3$ m³, iar $226,2<410,5<628,3$. Profilul fiind o dreaptă, integrala și formula trunchiului de con trebuie să coincidă, și coincid.

Exemplul 3 — Ampula unui bec

Domeniu: electric.

Enunț. Ampula unui bec are forma unei jumătăți de elipsoid de rotație. Cu centimetrul ca unitate pe ambele axe, profilul e graficul funcției $g(x)=\sqrt{9-\frac{x^2}{4}}$, pentru $x\in [0;6]$, iar axa $Ox$ e axa becului. Aflați volumul ampulei și comparați-l cu cel al cilindrului și al conului cu aceeași bază și înălțime.

Rezolvare. Pasul 1: $9-\frac{x^2}{4}\ge 0$ pe $[0;6]$, cu $g(6)=0$, deci $g$ e continuă. Pasul 2: radicalul dispare la pătrat, $g(x{)}^2=9-\frac{x^2}{4}$. Pasul 3: o primitivă este $F(x)=9x-\frac{x^3}{12}$. Pasul 4: $F(6)=54-18=36$ și $F(0)=0$, deci $V=36\pi \approx 113,10$ cm³. Cilindrul cu raza 3 cm și înălțimea 6 cm are $54\pi$ cm³, iar conul $18\pi$ cm³.

Capcană. Cine desface radicalul pe termeni, ca și cum $\sqrt{9-\frac{x^2}{4}}$ ar fi $3-\frac{x}{2}$, ridică la pătrat profilul unui con și obține $18\pi \approx 56,55$ cm³, jumătate din volumul real: radicalul unei diferențe nu e diferența radicalilor.

Verificare. Pe alt drum, cu formula din gimnaziu a sferei: $g(x)=\sqrt{9-{\left(\frac{x}{2}\right)}^2}$, deci raza ampulei la distanța $x$ de secțiunea cea mai largă e raza unei semisfere de 3 cm la distanța $\frac{x}{2}$. Ampula e semisfera întinsă de două ori de-a lungul axei, deci are dublul volumului ei: $2\cdot \frac{2}{3}\pi \cdot 3^3=36\pi$ cm³. Apoi $18\pi <36\pi <54\pi$: ampula e între con și cilindru.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: g din f și parametrul a

Domeniu: economic.

Enunț. Acesta e un exercițiu de felul celor de la Subiectul al III-lea, problema 2: fără poveste, doar funcții. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+15x$. a) Demonstrați că, rotind în jurul axei $Ox$ graficul funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$, se obține un corp cu volumul $\frac{1506\pi }{5}$. b) Aflați numărul real $a$, $a>0$, astfel încât graficul funcției $h:[0,a]\to \mathbb{R}$, $h(x)=\sqrt{2x+12}$, rotit în jurul axei $Ox$, să genereze un corp cu volumul $28\pi$.

Rezolvare. a) Pasul 1: pentru $x\ne 0$, $g(x)=\frac{x^3+15x}{x}=x^2+15$. Pasul 2: $g(x{)}^2=(x^2+15{)}^2=x^4+30x^2+225$. Pasul 3: o primitivă este $F(x)=\frac{x^5}{5}+10x^3+225x$. Pasul 4: $F(2)=\frac{32}{5}+80+450=\frac{2682}{5}$ și $F(1)=\frac{1}{5}+10+225=\frac{1176}{5}$, deci $V=\pi \left(\frac{2682}{5}-\frac{1176}{5}\right)=\frac{1506\pi }{5}$. b) Pasul 2: $h(x{)}^2=2x+12$. Pasul 3: o primitivă este $x^2+12x$. Pasul 4: $V=\pi (a^2+12a)$, iar $\pi (a^2+12a)=28\pi$ dă $a^2+12a-28=0$, cu soluțiile $a=2$ și $a=-14$; convine $a=2$, fiindcă $a>0$.

Capcană. La punctul b), cine păstrează ambele soluții, 2 și $-14$, uită că intervalul $[0,a]$ cere $a>0$: pe $[0,-14]$ nu există niciun corp de rotație.

Verificare. La a), $g(1)=16$ și $g(2)=19$, iar $g$ crește, deci volumul e între $256\pi$ și $361\pi$, fiindcă $\pi \cdot 16^2\cdot 1=256\pi$ și $\pi \cdot 19^2\cdot 1=361\pi$; iar $\frac{1506}{5}=301,2$ se află între 256 și 361. La b), cu $a=2$: $\pi (4+24)=28\pi$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g(x)=2x+1$, pentru $x\in [0;2]$.

2. Calculează volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g(x)=\sqrt{x+1}$, pentru $x\in [0;3]$, în jurul axei $Ox$.

3. Calculează volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g(x)=e^{x/2}$, pentru $x\in [0;1]$. Scrie rezultatul exact.

4. Calculează volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g(x)=\frac{4}{x}$, pentru $x\in [1;4]$, în jurul axei $Ox$.

Nivelul 2 — situații

5. Un atelier toarnă lumânări decorative într-o formă de rotație: cu $x$ în cm, măsurat de la fața de sus a lumânării în jos, raza este $g(x)=2+0,5\sqrt{x}$, pentru $x\in [0;9]$. Aflați volumul de ceară al unei lumânări, masa ei, dacă ceara are densitatea de 0,9 g/cm³, și costul cerii, la 32 de lei kilogramul (valori din exemplu).

6. Cupa unui pahar de vin dintr-un restaurant are interiorul obținut prin rotația graficului funcției $g(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$, cu $x$ și $g(x)$ în cm, unde $x$ e înălțimea de la fundul cupei, pentru $x\in [0;8]$. Aflați capacitatea cupei, în mL, și înălțimea până la care se toarnă o porție de 150 mL (1 mL = 1 cm³).

7. Un buștean de molid lung de 12 m are, la distanța de $x$ metri de capătul gros, raza $g(x)=0,25e^{-x/20}$ m, pentru $x\in [0;12]$ (model din exemplu). Aflați volumul lui și comparați-l cu cubajul pe care pădurarul îl ia după diametrul de la mijloc: aria secțiunii de la 6 m înmulțită cu lungimea. Se dau $e^{-1,2}\approx 0,3012$ și $e^{-0,3}\approx 0,7408$.

8. Containerul de tip clopot în care un cartier strânge sticla are interiorul obținut prin rotația graficului funcției $g(x)=0,9-0,25x^2$, cu $x$ și $g(x)$ în metri, unde $x$ e înălțimea de la bază, pentru $x\in [0;1,5]$. Aflați volumul containerului și câte tone de sticlă ridică mașina de la un container plin, dacă sticla aruncată are 0,35 t/m³ (valoare din exemplu).

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=7x+2\sqrt{x}$. Calculați volumul corpului generat de graficul funcției $g:[1,4]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-7x$, rotit în jurul axei $Ox$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x+6)\sqrt{x}$. Calculați volumul corpului generat prin rotirea în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3$. Arătați că graficul funcției $g:[1,4]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{\sqrt{x}}$, rotit în jurul axei $Ox$, generează un corp cu volumul $\pi \left(\frac{51}{2}+18\ln 2\right)$.

12. (Sinteză.) O piesă are profilul $g(x)=20-\frac{x}{4}$, cu $x$ și $g(x)$ în mm, pentru $x\in [0;40]$. a) Calculează volumul ei prin integrală. b) Verifică rezultatul cu formula trunchiului de con. c) Ce parte din volumul unei bare cilindrice cu raza de 20 mm și lungimea de 40 mm se pierde ca așchii?

Răspunsuri și verificări

1. $g(x{)}^2=(2x+1{)}^2=4x^2+4x+1$, cu primitiva $\frac{4x^3}{3}+2x^2+x$. Valorile sunt $\frac{32}{3}+8+2=\frac{62}{3}$ în 2 și 0 în 0, deci $V=\frac{62\pi }{3}$. Verificare: trunchiul de con cu razele 1 și 5 are $\frac{2\pi }{3}(1+5+25)=\frac{62\pi }{3}$.

2. $g(x{)}^2=x+1$, cu primitiva $\frac{x^2}{2}+x$. Valoarea în 3 este $\frac{9}{2}+3=\frac{15}{2}$, deci $V=\frac{15\pi }{2}$. Verificare: $g$ crește de la 1 la 2, deci volumul e între $\pi \cdot 1\cdot 3=3\pi$ și $\pi \cdot 4\cdot 3=12\pi$.

3. $g(x{)}^2=e^x$, cu primitiva $e^x$. Rezultatul este $\pi (e-1)\approx 5,40$. Verificare: $g^2$ crește de la 1 la $e$, deci volumul e între $\pi$ și $e\pi$.

4. $g(x{)}^2=\frac{16}{x^2}$, cu primitiva $-\frac{16}{x}$. Valorile sunt $-4$ în 4 și $-16$ în 1, deci $V=12\pi \approx 37,70$. Verificare: $g^2$ scade de la 16 la 1, deci volumul e între $\pi \cdot 1\cdot 3=3\pi$ și $\pi \cdot 16\cdot 3=48\pi$.

5. $g(x{)}^2=4+2\sqrt{x}+0,25x$, cu primitiva $4x+\frac{4}{3}x\sqrt{x}+0,125x^2$. Valoarea în 9 este $36+36+10,125=82,125$, deci $V=82,125\pi \approx 258,0$ cm³, masa e de aproximativ 232,2 g, iar ceara costă aproximativ 7,43 lei. Verificare: profilul stă deasupra coardei dintre capete, deci volumul e peste cel al trunchiului de con cu razele de 2 și 3,5 cm, de $\frac{9\pi }{3}(4+7+12,25)=69,75\pi$ cm³.

6. $g(x{)}^2=\frac{9}{4}x$, cu primitiva $\frac{9}{8}{x}^2$, deci cupa are $\frac{9}{8}\pi \cdot 64=72\pi \approx 226,2$ mL. Până la înălțimea $h$, vinul are $\frac{9}{8}\pi h^2$ mL, iar $\frac{9}{8}\pi h^2=150$ dă $h^2=\frac{400}{3\pi }\approx 42,44$, deci $h\approx 6,51$ cm. Verificare: $\frac{9}{8}\pi \cdot 6,51^2\approx 149,8$ mL, adică porția, cu rotunjire.

7. $g(x{)}^2=0,0625e^{-x/10}$, cu primitiva $-0,625e^{-x/10}$, deci $V=0,625\pi \left(1-e^{-1,2}\right)\approx 0,625\pi \cdot 0,6988\approx 1,372$ m³. După mijloc, raza e $0,25\cdot 0,7408=0,1852$ m, aria secțiunii $\pi \cdot 0,1852^2\approx 0,1078$ m², iar cubajul $0,1078\cdot 12\approx 1,293$ m³, cu aproximativ 6 % sub volumul calculat. Verificare: raza scade de la 0,25 m la $0,25\cdot 0,7408^2\approx 0,137$ m, deci volumul e între $\pi \cdot 0,137^2\cdot 12\approx 0,71$ și $\pi \cdot 0,25^2\cdot 12\approx 2,36$ m³.

8. $g(x{)}^2=0,81-0,45x^2+0,0625x^4$, cu primitiva $0,81x-0,15x^3+0,0125x^5$. Valoarea în 1,5 este $1,215-0,50625+0,094921875\approx 0,8037$, deci $V\approx 0,8037\pi \approx 2,525$ m³, iar sticla dintr-un container plin cântărește aproximativ 0,884 t. Verificare: raza scade de la 0,9 m la 0,3375 m, deci volumul e între $\pi \cdot 0,3375^2\cdot 1,5\approx 0,54$ și $\pi \cdot 0,81\cdot 1,5\approx 3,82$ m³.

9. Pasul 1: $g(x)=2\sqrt{x}$, deci $g(x{)}^2=4x$. Primitiva lui $g^2$ este $2x^2$, cu valorile 32 în 4 și 2 în 1. Deci $V=\pi (32-2)=30\pi$. Verificare: $g^2=4x$ e de gradul întâi, deci integrala ei e aria unui trapez cu bazele $g(1{)}^2=4$ și $g(4{)}^2=16$ și înălțimea 3: $\frac{4+16}{2}\cdot 3=30$.

10. $g(x{)}^2=x(x+6{)}^2=x^3+12x^2+36x$. Primitiva este $\frac{x^4}{4}+4x^3+18x^2$. Valoarea în 2 este $4+32+72=108$, iar în 0 este 0, deci $V=108\pi$. Verificare: $g(2)=8\sqrt{2}$ și $g$ crește de la 0, deci volumul e între 0 și $\pi \cdot 128\cdot 2=256\pi$, iar $108\pi$ e în interval.

11. $g(x{)}^2=\frac{(x+3{)}^2}{x}=x+6+\frac{9}{x}$. Primitiva este $\frac{x^2}{2}+6x+9\ln x$. Valorile sunt $8+24+9\ln 4=32+18\ln 2$ în 4 și $\frac{1}{2}+6=\frac{13}{2}$ în 1, deci $V=\pi \left(\frac{51}{2}+18\ln 2\right)\approx 119,3$. Verificare: $g^2$ e între 12 și 16 pe $[1;4]$, deci volumul e între $36\pi \approx 113,1$ și $48\pi \approx 150,8$, iar 119,3 e în interval.

12. a) $g(x{)}^2=400-10x+\frac{x^2}{16}$, cu primitiva $400x-5x^2+\frac{x^3}{48}$. Valoarea în 40 este $16000-8000+\frac{4000}{3}=\frac{28000}{3}$, deci $V=\frac{28000\pi }{3}\approx 29322$ mm³. b) Razele sunt $g(0)=20$ și $g(40)=10$, iar formula dă $\frac{40\pi }{3}(400+200+100)=\frac{28000\pi }{3}$, același rezultat. c) Bara are $16000\pi$ mm³, deci se pierd $16000\pi -\frac{28000\pi }{3}=\frac{20000\pi }{3}$, adică $\frac{20000}{3\cdot 16000}\approx 0,417$, aproximativ 42 % din bară. Verificare: pierderea e și volumul inelului dintre bară și piesă, $\pi {\int }_0^{40}\left(400-g(x{)}^2\right)dx=\pi {\int }_0^{40}\left(10x-\frac{x^2}{16}\right)dx=\pi \left(8000-\frac{4000}{3}\right)=\frac{20000\pi }{3}$.

Așa vine la Bac M3

Volumul corpului de rotație a fost cerut în 17 dintre cele 83 de probe publicate pentru anii 2013–2026; de fiecare dată, cerința a stat la problema 2 din Subiectul al III-lea, la subpunctul b) sau c). Patru cerințe oficiale, din probe diferite, arată cum se aplică pașii:

• August 2013, rezervă, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: funcția $g$ se obține scăzând $x^2$ din $f$ și iese o constantă, 9, pe $[0;1]$, iar cerința este volumul, cu rezultatul $81\pi$; baremul probei dă 2 puncte pentru funcția redusă la pasul 1 și integrala pătratului ei la pasul 2, și 3 puncte pentru primitivă și valoarea din capete, pașii 3–4.
• August 2017, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: funcția $g$ e câtul dintre $f$ și $x$ și se simplifică, deci pasul 1 dă un binom de gradul întâi pe $[1;2]$, iar cerința este volumul, cu rezultatul $\frac{127\pi }{3}$; baremul probei dă 3 puncte pentru simplificare, pătratul dezvoltat și integrala lui, pașii 1–3, și 2 puncte pentru valorile din capete, pasul 4.
• Modelul din 2021, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: funcția $g$ e un produs dintre un binom și o rădăcină, deci pasul 2 ridică la pătrat și desface produsul, iar cerința este volumul pe $[0;1]$, cu rezultatul $\frac{17\pi }{12}$; baremul probei dă 3 puncte pentru pătratul dezvoltat și primitivă, pașii 2–3, și 2 puncte pentru valorile din capete, pasul 4.
• Proba specială din 2026, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: pătratul lui $g$ e o fracție la care gradul numărătorului e egal cu al numitorului, deci la pasul 2 împarți polinoamele, ca în lecția despre fracții, iar cerința este numărul real $a$ pentru care volumul pe $[a;a+8]$ este $4\pi (2-\ln 2)$; baremul probei dă 3 puncte pentru împărțire și primitivă, pașii 2–3, și 2 puncte pentru ecuația în $a$, pasul 4.

Exercițiul 9 ia forma „$f$ fără o parte a ei”, ca la proba de rezervă din august 2013, exercițiul 10 produsul cu o rădăcină, iar exercițiul 11 câtul cu o rădăcină la numitor; simplificarea prin $x$ e în exemplul 4. În probele oficiale funcția $g$ a stat mereu în enunț; tu alegi cum o scrii, cum o ridici la pătrat și cum o integrezi.

Greșeli care costă puncte

• Uiți pătratul și integrezi pe $g$, nu pe $g^2$ → cum o prinzi: compari cu cilindrul de rază minimă; la buton, $450\pi$ e mult sub cei $5070\pi$ ai cilindrului cu raza 13 mm.
• Desfaci pătratul unui binom fără termenul din mijloc → cum o prinzi: pui o valoare ușoară; la $(4x+7{)}^2$, valoarea $x=1$ dă 121, iar o sumă $16x^2+49$ ar da doar 65.
• Confunzi diametrul cu raza → cum o prinzi: citești cu atenție ce e dat; bara de 40 mm are raza de 20 mm, iar cu 40 în loc de 20 ai obține $48000\pi$, adică de patru ori prea mult față de $12000\pi$.
• Amesteci unitățile, centimetri cu milimetri → cum o prinzi: scrii unitatea lângă fiecare dată înainte de calcul; volumul iese în mm³ doar dacă și $x$, și $g$ sunt în mm.
• Păstrezi o soluție care nu convine la parametru → cum o prinzi: verifici domeniul; la $a^2+12a=28$ iese și $a=-14$, dar intervalul $[0,a]$ cere $a>0$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Calculul volumului unui corp de rotație, din integrala pătratului razei, se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 17 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă dacă se alege o bară cu diametrul de 45 mm, nu de 40 mm? Cu bara mai groasă, pierderea urcă la $8341,5\pi$ mm³, adică aproape 55 % din bară, față de 43 % la bara de 40 mm. Bara de 45 mm are, pe lungimea piesei, volumul $15187,5\pi$ mm³, din care piesa, de $6846\pi$ mm³, ia doar o parte.

Ce eroare face controlorul dacă ia raza maximă, de 19 mm, pentru toată piesa? Ar socoti un cilindru: $\pi \cdot 19^2\cdot 30=10830\pi$ mm³, de aproximativ 1,6 ori volumul real de $6846\pi$ mm³. Piesa ar părea mai grea cu $3984\pi \approx 12516$ mm³ de oțel, deși raza maximă apare doar la capătul gros, iar restul piesei e mai subțire.

Cum aflu masa butonului din volumul în mm³? Treci volumul în cm³, împărțind la 1000: $21507:1000\approx 21,5$ cm³. Apoi îl înmulțești cu densitatea: $21,507\cdot 7,85\approx 168,8$ g. Dacă ai lăsat volumul în mm³ și ai folosit densitatea în g/cm³, rezultatul iese de 1000 de ori prea mare, fiindcă un cm³ are 1000 mm³.

Ce se schimbă dacă butonul se strunjește din aluminiu, nu din oțel? Volumul rămâne $6846\pi \approx 21507$ mm³, fiindcă depinde numai de profil. Masa se schimbă proporțional cu densitatea: la aluminiu, cu 2,70 g/cm³, ea este $21,507\cdot 2,70\approx 58,1$ g, adică de aproximativ 2,9 ori mai mică decât la oțel. Materialul schimbă masa, nu forma piesei, deci nici volumul ei.

Pot calcula volumul butonului cu formula trunchiului de con? Nu exact: formula e valabilă numai când profilul e un segment, iar la buton raza crește după o parabolă. Pentru razele de 13 și 19 mm ar da $7770\pi$ mm³, mai mult decât cei $6846\pi$ reali, deci o aproximare pe care o poți folosi doar ca limită superioară.

În câte probe de Bacalaureat M3 (M_tehnologic) s-a cerut volumul unui corp de rotație? La examen, cerința a fost pusă în 17 din cele 83 de probe din 2013–2026, mereu în problema 2 a ultimului subiect, la b) sau c). Enunțul oferă funcția $g$, direct sau prin $f$; tu parcurgi pașii 1–4, iar pasul 5 îți arată dacă rezultatul e posibil.