Axa de simetrie a pătratului, dreptunghiului, triunghiului, cercului și semicercului

Salut, micule matematician! Astăzi căutăm axele de simetrie ale figurilor geometrice: dreptele pe care le putem plia astfel încât jumătățile să se suprapună perfect. Unele figuri au mai multe axe, altele una, iar unele triunghiuri nu au nicio axă. Vom folosi modele desenate exact și le vom verifica pe rând.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști axa de simetrie a unei figuri geometrice.
• Vei ști câte axe de simetrie au pătratul, dreptunghiul și triunghiul.
• Vei ști de ce cercul are foarte, foarte multe axe de simetrie.
• Vei ști câte axe are semicercul (jumătatea de cerc).
• Vei ști să completezi jumătatea lipsă a unei figuri, ca să fie simetrică.

Hai să descoperim împreună

Ce înseamnă „axă de simetrie"? O reamintire scurtă

În lecția trecută, Axa de simetrie: ce înseamnă simetria, am învățat un lucru tare important. Hai să ni-l reamintim repede.

O axă de simetrie este o linie dreaptă care taie o figură în două jumătăți la fel. Dacă am putea îndoi figura exact pe acea linie, cele două jumătăți s-ar așeza una peste alta și s-ar potrivi perfect, fără să iasă nimic afară.

Gândește-te la o foaie de hârtie pliată pe o dreaptă. Dunga îndoiturii este axă de simetrie numai dacă cele două părți se suprapun perfect. O îndoitură aleasă la întâmplare nu este neapărat axă.

Un truc simplu de verificat: pune o oglinjoară dreaptă pe linie. Dacă în oglindă vezi exact cealaltă jumătate a figurii, ai o axă de simetrie. De aceea simetria se mai numește și simetrie în oglindă.

Acum că ne-am amintit ce e o axă, hai să vânăm axele fiecărei figuri în parte!

1. Axele de simetrie ale pătratului

Pătratul este o figură cu 4 laturi egale și 4 unghiuri drepte la cele patru vârfuri, exact cum am studiat la Poligonul: laturi și vârfuri. Toate laturile lui au aceeași lungime, ca patru bețe de chibrit la fel de lungi.

Hai să luăm un pătrat ca o felie de pâine prăjită și să căutăm liniile pe care l-am putea îndoi în două jumătăți la fel.

Prima axă — verticală (de sus în jos). Tragem o linie dreaptă chiar prin mijloc, de sus în jos. Jumătatea din stânga și jumătatea din dreapta sunt la fel. Dacă îndoim, se potrivesc. Avem axa numărul 1!

A doua axă — orizontală (în culcat). Acum tragem o linie dreaptă prin mijloc, dar culcată, de la stânga la dreapta. Jumătatea de sus și jumătatea de jos sunt la fel. Avem axa numărul 2!

A treia axă — pe o diagonală. Surpriză! La pătrat putem trage linia și dintr-un colț în colțul opus. Tragem din colțul de sus-stânga până în colțul de jos-dreapta. Și pe această linie pătratul se îndoaie în două jumătăți la fel — două triunghiuri identice. Avem axa numărul 3!

A patra axă — pe cealaltă diagonală. Tragem acum din colțul de sus-dreapta în colțul de jos-stânga. Iarăși se potrivesc cele două jumătăți. Avem axa numărul 4!

Așadar, ține minte cu inima:

Pătratul are 4 axe de simetrie. Două trec prin mijlocul laturilor (una în picioare, una culcată) și două trec prin colțuri (diagonalele).

Toate cele patru linii se întâlnesc fix în centrul pătratului, ca spițele unei roți.

2. Axele de simetrie ale dreptunghiului

Dreptunghiul are 4 unghiuri drepte, iar laturile opuse sunt egale. Pătratul este și el un dreptunghi, cu toate laturile egale. În exemplele cu două axe folosim un dreptunghi alungit, cu două laturi lungi și două scurte. Ne uităm doar la conturul dreptunghiular, fără mânere, coperți sau alte detalii. Figurile de aici sunt așezate cu laturile orizontale și verticale; dacă le rotim, axele se rotesc odată cu ele.

Hai să căutăm axele lui. Vom încerca aceleași linii ca la pătrat și vom vedea care se potrivesc.

Prima axă — verticală. Tragem o linie dreaptă prin mijloc, de sus în jos. Jumătatea stângă și jumătatea dreaptă sunt la fel. Dacă îndoim caietul pe această linie, marginile se potrivesc. Avem axa numărul 1!

A doua axă — orizontală. Tragem o linie culcată prin mijloc, de la stânga la dreapta. Jumătatea de sus și jumătatea de jos sunt la fel. Avem axa numărul 2!

Acum diagonalele... atenție! Hai să încercăm să tragem o linie dintr-un colț în colțul opus, ca la pătrat. Dacă am îndoi dreptunghiul pe diagonală, ce s-ar întâmpla? Latura lungă ar trebui să se așeze peste latura scurtă — dar ele nu sunt la fel! Una e lungă, una e scurtă, așa că nu se potrivesc.

De aceea, la dreptunghiul alungit, diagonalele nu sunt axe de simetrie. La pătrat, care este un dreptunghi special, diagonalele sunt axe.

Dreptunghiul alungit are 2 axe de simetrie: cele două drepte care trec prin mijloacele laturilor opuse. În desen sunt una verticală și una orizontală.

Reține comparația, e foarte importantă:

• Pătratul → 4 axe (toate laturile egale, deci și diagonalele merg).
• Dreptunghiul alungit → 2 axe (laturile lungi și scurte sunt diferite, deci diagonalele NU merg).

3. Axele de simetrie ale triunghiului

Triunghiul are 3 laturi și 3 colțuri. Dar atenție: nu toate triunghiurile sunt la fel! Numărul de axe depinde de cât de egale sunt laturile lui. Hai să vedem două feluri de triunghiuri pe care le întâlnim des.

a) Triunghiul cu toate laturile egale

Imaginează-ți un triunghi la care toate cele 3 laturi sunt la fel de lungi, ca trei bețe identice puse în formă de munte. Acesta se numește triunghi echilateral (cuvântul „echilateral" înseamnă chiar „cu laturi egale").

Pentru fiecare vârf al triunghiului echilateral, trasăm dreapta care îl unește cu mijlocul laturii opuse. Ea este perpendiculară pe acea latură și împarte triunghiul în două părți care se suprapun prin pliere. Sunt trei vârfuri, deci trei asemenea axe.

Triunghiul cu toate laturile egale are 3 axe de simetrie.

b) Triunghiul cu două laturi egale

Acum gândește-te la un triunghi ca un acoperiș de casă sau ca o felie de pizza: are două laturi la fel de lungi (cele care urcă) și o latură diferită (cea de jos). Acesta se numește triunghi isoscel.

La el putem trage o singură linie care îl taie în două jumătăți la fel: linia care coboară drept de la vârful de sus până la mijlocul laturii de jos. Doar aceasta merge!

Triunghiul cu exact două laturi egale și baza de altă lungime are 1 axă de simetrie.

(Există și triunghiuri la care toate laturile sunt diferite — acelea nu au nicio axă de simetrie — dar pe acestea le vei studia mai târziu. La clasa a II-a ne uităm mai ales la triunghiurile frumoase, cu laturi egale.)

Pentru triunghiuri, reținem cele trei cazuri: toate laturile diferite → 0 axe; exact două laturi egale → 1 axă; toate trei egale → 3 axe. Nu folosim această regulă ca lege pentru toate figurile geometrice.

4. Axele de simetrie ale cercului

Privește cercul, conturul rotund ideal. Îl putem compara cu marginea unei roți, fără spițe, ori cu marginea unei monede, fără desenul ei. Cercul nu are colțuri și nu are laturi drepte; fiecare punct al său este la aceeași distanță de centru.

Hai să căutăm axele. Tragem o linie dreaptă care trece prin centrul cercului (mijlocul lui) și ajunge dintr-o margine în cealaltă. Se taie cercul în două jumătăți la fel? Da! Două jumătăți de cerc identice.

Acum întoarce linia puțin — fă-o culcată. Trece tot prin centru? Da. Taie cercul în două jumătăți la fel? Tot da!

Și acum gândește-te... putem roti linia oricât de mult, în orice direcție, atâta timp cât trece prin centru. De fiecare dată taie cercul în două jumătăți perfecte!

De aceea spunem:

Cercul are nenumărate axe de simetrie — atât de multe încât nu le putem număra! Orice linie dreaptă care trece prin centrul cercului este o axă de simetrie.

Cercul este campionul absolut la simetrie. Niciuna dintre celelalte figuri nu are atâtea axe.

5. Axele de simetrie ale semicercului

„Semi” înseamnă jumătate. Cercul este conturul rotund, iar discul cuprinde și interiorul. În activitatea de pliere numim pe scurt semicerc bucata de hârtie în formă de jumătate de disc, delimitată de un arc și de un diametru. O desenăm cu diametrul orizontal, jos, și cu arcul în sus.

Bucata de hârtie are o margine curbată, arcul de semicerc, și o margine dreaptă, diametrul. Diametrul unește două puncte opuse ale cercului și trece prin centrul său.

Câte axe are? Hai să încercăm.

Tragem o linie verticală chiar prin mijloc, de la vârful rotunjimii drept în jos până la mijlocul laturii drepte. Se taie semicercul în două jumătăți la fel? Da! Stânga și dreapta sunt identice. Avem o axă!

Dar dacă încercăm o linie culcată (orizontală)? Sus avem partea rotundă, jos avem latura dreaptă — ele nu sunt la fel. Deci linia orizontală nu este axă de simetrie.

Și nicio altă linie nu mai merge. Așadar:

Semicercul are o singură axă de simetrie.

E interesant, nu-i așa? Cercul întreg are nenumărate axe, dar jumătatea lui, semicercul, are doar una singură!

Tabelul nostru cu comori

Hai să strângem tot ce am descoperit într-un tabel pe care îl poți ține lângă tine:

Cum desenăm jumătatea lipsă a unei figuri simetrice

Uneori ni se dă doar jumătate dintr-o figură și axa ei, iar noi trebuie să desenăm cealaltă jumătate, ca să iasă o figură simetrică. E ca și cum am completa cealaltă aripă a unui fluture!

Iată trucul, pas cu pas. Imaginează-ți că axa este o oglindă:

1. Alege un punct din jumătatea dată. În desenul nostru axa este verticală: numără pătrățelele până la ea pe o linie orizontală.
2. Pe aceeași linie orizontală, treci de cealaltă parte a axei și numără exact tot atâtea pătrățele.
3. Pune un punct nou acolo. El este „imaginea în oglindă" a primului punct.
4. Repetă pentru fiecare colț al figurii.
5. La final, unește punctele noi cu linii și ai obținut cealaltă jumătate.

Regula de aur pentru axa verticală: punctele pereche sunt la aceeași înălțime și la aceeași distanță de axă, de o parte și de alta. Un punct aflat pe axă rămâne pe loc.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Câte axe are pătratul?

Cerință: Maria desenează un pătrat și vrea să afle câte linii îl pot îndoi în două jumătăți la fel.

Rezolvare povestită: Pătratul are toate laturile egale. Putem îndoi pe verticală (1), pe orizontală (1) și pe cele două diagonale, din colț în colț (2). Le adunăm: 1 + 1 + 2 = 4.

Răspuns: Pătratul are 4 axe de simetrie.

Exemplul 2 — Pătrat sau dreptunghi?

Cerință: Andrei desenează conturul unei uși ca un dreptunghi alungit și conturul unei năframe ca un pătrat, fără alte detalii. El spune: „Amândouă au câte 4 axe de simetrie.” Are dreptate?

Rezolvare: Pătratul are 4 axe. Dreptunghiul alungit are 2 axe, prin mijloacele laturilor opuse. Diagonalele lui nu sunt axe, fiindcă latura lungă nu se suprapune peste latura scurtă.

Răspuns: Andrei nu are dreptate. Pătratul are 4 axe, iar dreptunghiul alungit are 2 axe.

Exemplul 3 — Axele triunghiului-acoperiș

Cerință: Ema desenează un triunghi în formă de acoperiș de casă, cu cele două laturi de sus la fel de lungi și baza de altă lungime. Câte axe are?

Rezolvare: Triunghiul are două laturi egale (cele care urcă) și una diferită (baza). Singura linie care îl taie în două jumătăți la fel este cea care coboară din vârful de sus drept la mijlocul bazei.

Răspuns: Triunghiul-acoperiș are 1 axă de simetrie.

Exemplul 4 — De ce cercul e campion?

Cerință: Tudor desenează numai conturul roții, ca un cerc, fără spițe sau alte detalii. Câte axe de simetrie are acest cerc?

Rezolvare: Cercul rămâne același prin oglindire față de orice dreaptă prin centrul său. Putem alege nesfârșit de multe direcții.

Răspuns: Cercul are nenumărate axe de simetrie.

Exemplul 5 — Felia de pepene

Cerință: Bunica taie o felie de pepene în formă de jumătate de disc, cu marginea dreaptă orizontală jos. Privim doar conturul, fără semințe. Câte axe de simetrie are felia?

Rezolvare: Semicercul are o margine rotundă (sus) și una dreaptă (jos). Doar linia verticală, din mijlocul rotunjimii până la mijlocul laturii drepte, taie felia în două jumătăți la fel. Linia culcată nu merge, fiindcă rotundul nu se potrivește peste dreaptă.

Răspuns: Semicercul are 1 axă de simetrie.

Exemplul 6 — Completăm jumătatea lipsă

Cerință: Pe o foaie cu pătrățele este desenată jumătatea stângă a unei căsuțe și o axă verticală la mijloc. Un colț al acoperișului este la 2 pătrățele de axă. Unde punem perechea lui?

Rezolvare: Axa este ca o oglindă. Colțul e la 2 pătrățele în stânga axei. Atunci perechea lui trebuie pusă la 2 pătrățele în dreapta axei, pe aceeași linie. Facem la fel cu fiecare colț, apoi unim punctele.

Răspuns: Punctul-pereche se pune la 2 pătrățele în dreapta axei, la aceeași înălțime, ca să fie căsuța simetrică.

Să exersăm

Ia un creion și hai la lucru! Exercițiile sunt aranjate de la ușor la mai greu.

1. Completează: Pătratul are ____ axe de simetrie.

2. Completează: Dreptunghiul alungit are ____ axe de simetrie.

3. Completează: Cercul are ____ axe de simetrie (foarte multe, nenumărate).

4. Completează: Semicercul are ____ axă de simetrie.

5. Adevărat sau fals? Diagonala dreptunghiului alungit este o axă de simetrie.

6. Adevărat sau fals? Diagonala pătratului este o axă de simetrie.

7. Încercuiește figura cu cele mai multe axe de simetrie: pătrat / dreptunghi / cerc / semicerc.

8. Încercuiește figura cu cele mai puține axe de simetrie: pătrat / cerc / triunghi cu toate laturile egale / semicerc.

9. Un triunghi are toate cele trei laturi la fel de lungi. Câte axe de simetrie are?

10. Un triunghi are două laturi la fel de lungi și una diferită. Câte axe de simetrie are?

11. Potrivește fiecare figură cu numărul ei de axe: a) Pătrat b) Dreptunghi alungit c) Semicerc d) Triunghi cu laturile egale ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )

12. Desenează un pătrat și trasează toate axele lui de simetrie. Câte ai desenat?

13. Desenează un dreptunghi alungit, cu două laturi orizontale și două verticale, și trasează toate axele lui. Câte ai desenat?

14. Adevărat sau fals? O linie dreaptă care trece prin centrul cercului este o axă de simetrie.

15. Adevărat sau fals? Linia culcată (orizontală) prin mijlocul semicercului desenat cu diametrul orizontal jos este o axă de simetrie.

16. Mică problemă. Maria desenează un pătrat, un dreptunghi alungit și un semicerc. Adună numerele axelor de simetrie ale celor trei figuri, privite separat.

17. Completează jumătatea lipsă. Pe o foaie cu pătrățele este desenată jumătatea stângă a unui brad și o axă verticală. Un vârf al crengii este la 3 pătrățele de axă. La câte pătrățele de axă pui perechea lui, în dreapta?

18. Gândește bine. Ordonează figurile după numărul de axe, de la cele mai puține la cele mai multe: cerc, semicerc, dreptunghi alungit, pătrat.

Răspunsuri și explicații

1. 4 axe. Două prin mijlocul laturilor și două pe diagonale.

2. 2 axe. Sunt dreptele prin mijloacele laturilor opuse ale dreptunghiului alungit.

3. Nenumărate. Orice linie prin centru taie cercul în două jumătăți la fel.

4. 1 axă. Dreapta perpendiculară pe diametru, prin mijlocul lui; în desenul nostru este verticală.

5. Fals. La dreptunghiul alungit diagonala nu este axă, fiindcă latura lungă nu se potrivește peste cea scurtă.

6. Adevărat. La pătrat diagonala ESTE axă, pentru că toate laturile sunt egale și cele două jumătăți (triunghiuri) sunt la fel.

7. Cercul. Are nenumărate axe — cele mai multe dintre toate.

8. Semicercul. Are doar 1 axă (la fel ca triunghiul cu exact două laturi egale, dar dintre figurile date semicercul are cele mai puține).

9. 3 axe. Câte una pentru fiecare vârf, până la mijlocul laturii din față.

10. 1 axă. Doar linia din vârful de sus până la mijlocul bazei.

11. a) Pătrat → 4; b) Dreptunghi alungit → 2; c) Semicerc → 1; d) Triunghi cu laturile egale → 3.

12. 4 axe. Una verticală, una orizontală și două diagonale.

13. 2 axe. Una verticală și una orizontală; fără diagonale.

14. Adevărat. Aceasta este chiar regula cercului.

15. Fals. Partea rotundă (sus) nu se potrivește peste latura dreaptă (jos), deci linia orizontală nu este axă.

16. 7 axe. Calculăm: pătrat 4 + dreptunghi alungit 2 + semicerc 1 = 4 + 2 + 1 = 7 axe în total.

17. La 3 pătrățele, în dreapta axei verticale și la aceeași înălțime ca punctul dat.

18. Semicerc (1) → dreptunghi alungit (2) → pătrat (4) → cerc (nenumărate). De la cele mai puține la cele mai multe axe.

De reținut

• Axa de simetrie este linia pe care, dacă îndoi figura, cele două jumătăți se potrivesc perfect — ca în oglindă.
• Pătratul are 4 axe, iar dreptunghiul alungit are 2 axe. Diagonalele sunt axe pentru pătrat, dar nu pentru dreptunghiul alungit.
• Triunghiul cu toate laturile egale are 3 axe, iar cel cu exact două laturi egale are 1 axă.
• Cercul are nenumărate axe (orice linie prin centru), iar semicercul are doar 1 axă.
• Pentru o axă verticală, punctele pereche sunt la aceeași înălțime și la aceeași distanță de axă, pe părți opuse. Punctele de pe axă rămân pe loc.

Greșeli frecvente

• „Orice dreptunghi are 4 axe.” Fals: dreptunghiul alungit are 2 axe. Numai cazul special cu toate laturile egale, pătratul, are 4 axe.
• „Toate triunghiurile au 3 axe." Depinde! Doar triunghiul cu toate laturile egale are 3 axe. Cel cu exact două laturi egale are doar 1 axă. Numără întâi laturile egale.
• „Semicercul are 2 axe.” Fals: are o singură axă, perpendiculara pe diametru în mijlocul lui. În desenul nostru ea este verticală; prin rotirea figurii se rotește și axa.
• Punctul-pereche pus la altă distanță. Când completezi jumătatea lipsă, numără cu grijă pătrățelele. Distanța de la axă trebuie să fie exact aceeași de ambele părți, altfel figura iese strâmbă.

Joc acasă

1. Vânătoarea de axe prin casă. Desenați contururi simplificate, fără detalii: cercul unei farfurii, dreptunghiul alungit al unei uși, pătratul unui șervețel și semicercul unei felii de pepene. Căutați axele modelelor de pe hârtie. Modelele exacte pot fi diferite de obiectele reale, cu mânere ori desene.

2. Îndoirea de hârtie. Decupează din hârtie un pătrat, un dreptunghi alungit și un semicerc. Încearcă să le îndoi în toate felurile. De câte ori cele două jumătăți se potrivesc perfect, ai găsit o axă! Numără îndoiturile reușite și compară cu tabelul nostru. Vei vedea: pătratul se îndoaie în 4 feluri, dreptunghiul doar în 2.

3. Pete oglindite. Pune vopsea pe o jumătate de foaie, pliază pe mijloc și apasă astfel încât culoarea să se imprime pe cealaltă jumătate. La deschidere, compară petele oglindite. Desenul poate semăna cu un fluture; nu orice pată produce obligatoriu această formă.

Pentru părinți și învățători

Cum predați lecția: Porniți de la contururile obiectelor familiare, apoi decupați modelele din hârtie: cerc, pătrat, dreptunghi alungit și semicerc. Lăsați copilul să atingă obiectele și să plieze decupajele de hârtie. Verificați suprapunerea exactă după fiecare pliere.

Întrebări bune de pus:

• „Dacă îndoi figura aici, se potrivesc cele două jumătăți?"
• „De ce pătratul are mai multe axe decât dreptunghiul alungit?" (Răspuns țintit: pentru că toate laturile pătratului sunt egale.)
• „Câte feluri găsești să tai cercul în două jumătăți la fel?" (Conduceți spre ideea de „nenumărate".)

Cum sprijiniți copilul: Pentru completarea jumătății lipsă, folosiți foaie cu pătrățele și o oglinjoară mică. Așezați oglinda pe axă: copilul vede instantaneu cum trebuie să arate cealaltă jumătate. Insistați pe numărarea pătrățelelor — punctele pereche trebuie să stea și pe aceeași perpendiculară la axă; pentru o axă verticală, la aceeași înălțime.

Cum verificați înțelegerea: Cereți numărul axelor pentru pătrat (4), dreptunghi alungit (2), cerc (nenumărate) și semicerc (1), apoi justificarea prin pliere. Arătați că pătratul este un dreptunghi special, cu încă două axe diagonale. Dacă mai este nevoie de bază, reluați Axa de simetrie: ce înseamnă simetria.

Întrebări frecvente

Câte axe de simetrie are pătratul la clasa a II-a? Pătratul are 4 axe de simetrie: una verticală, una orizontală (amândouă prin mijlocul laturilor) și două diagonale, care unesc colțurile opuse. Toate cele patru linii trec prin centrul pătratului.

Câte axe de simetrie are dreptunghiul? Un dreptunghi care nu este pătrat are 2 axe de simetrie, prin mijloacele laturilor opuse. Dacă este pătrat, are 4 axe, incluzând diagonalele. Poziția verticală sau orizontală depinde de așezarea desenului.

De ce pătratul are 4 axe, iar dreptunghiul alungit doar 2? La pătrat, plierea pe fiecare diagonală suprapune cele două jumătăți, iar celelalte două axe unesc mijloacele laturilor opuse. La dreptunghiul alungit, diagonala nu suprapune latura lungă peste cea scurtă, deci rămân numai cele două axe prin mijloace.

Câte axe de simetrie are cercul? Cercul are nenumărate axe de simetrie. Orice linie dreaptă care trece prin centrul cercului îl împarte în două jumătăți la fel, iar astfel de linii putem trage în toate direcțiile.

Câte axe de simetrie are semicercul? Semicercul are o singură axă: dreapta perpendiculară pe diametru, prin mijlocul acestuia. În modelul nostru de jumătate de disc, cu diametrul orizontal, axa este verticală.

Câte axe de simetrie are triunghiul? Depinde de triunghi. Triunghiul cu toate laturile egale are 3 axe de simetrie. Triunghiul cu exact două laturi egale are 1 axă. Triunghiul cu toate laturile diferite nu are nicio axă.

Cum desenez jumătatea lipsă a unei figuri simetrice? Pentru axa verticală din desen, numără pătrățelele pe orizontală de la fiecare colț până la axă. Pune perechea de cealaltă parte, la aceeași înălțime și la aceeași distanță, apoi unește punctele corespunzătoare. Un punct de pe axă rămâne pe loc.

Ce figură are cele mai multe axe de simetrie? Cercul are cele mai multe axe de simetrie dintre toate figurile învățate — nenumărate. Pătratul urmează cu 4 axe, apoi triunghiul cu laturile egale cu 3, dreptunghiul alungit cu 2, iar semicercul cu o singură axă.