Test tehnologic: medii, procente și credite

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Supliment Bac M3 2027–2029: medii

Exerciții

Partea I – Exerciții de rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din Partea I are 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Un atelier de patiserie amestecă 27 kg de cremă cu 34 % grăsime și 18 kg de cremă cu 22 % grăsime. Calculează procentul de grăsime al amestecului.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Două cabluri electrice au lungimile $a$ și $b$, în metri, numere pozitive. Media lor aritmetică este 25, iar media lor geometrică este 20. Care este media lor armonică?

Variantele: a) „20 m”; b) „16 m”; c) „22,5 m”; d) „31,25 m”.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Pe factura unui magazin de scule, un aparat de sudură costă 1 452 de lei, cu TVA de 21 % inclus. Care este prețul aparatului fără TVA?

Variantele: a) „1 147,08 lei”; b) „1 200 de lei”; c) „1 756,92 lei”; d) „1 431 de lei”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) După o scumpire cu 45%, prețul unui produs este 261 de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

O mașină de tăiat gresie, cumpărată cu 7 920 de lei de o echipă de faianțari, se amortizează liniar cu 165 de lei pe lună. În câți ani se amortizează complet? Cât se amortizează într-un an?

Exercițiul 6 (5 puncte)

O croitorie ia un credit de 9 600 de lei pentru două mașini de cusut industriale și îl rambursează în 24 de rate lunare egale, fără comisioane. Costul creditului este de 1 128 de lei. Calculează totalul plătit și rata lunară.

Partea a II-a – Din atelier, din magazin și de la bancă (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a II-a are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un atelier de panificație a cântărit 50 de pâini cu masa nominală de 500 g. Rezultatele sunt în tabel.

a) (5 puncte) Calculează masa medie a celor 50 de pâini.

b) (5 puncte) Atelierul mai coace 25 de pâini și vrea ca toate cele 75 de pâini, luate împreună, să aibă masa medie de exact 500 g. Ce masă medie trebuie să aibă cele 25 de pâini noi?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un set de patru anvelope de iarnă costă 2 100 de lei. În octombrie magazinul îl scumpește cu 20 %, iar în ianuarie îl ieftinește cu 15 % din prețul pe care îl are în acel moment.

a) (5 puncte) Calculează prețul setului în ianuarie și spune cu ce procent din 2 100 de lei diferă el de prețul de dinaintea scumpirii.

b) (5 puncte) Presupune că, după cele două modificări, setul costă în ianuarie 2 550 de lei. Cât costa setul înainte de scumpirea din octombrie?

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un atelier de tâmplărie face scaune. Pentru un scaun se cheltuiesc 52 de lei cu materialele și manopera, iar scaunul se vinde cu 112 lei. În fiecare lună atelierul plătește în plus chirie, 1 500 de lei, curent, 600 de lei, și amortizarea unui utilaj de 28 800 de lei, scăzut liniar în 8 ani.

a) (5 puncte) Calculează cheltuielile fixe lunare, cu amortizarea socotită pe lună, și numărul de scaune de la care atelierul nu mai este pe pierdere.

b) (5 puncte) Ce profit are atelierul într-o lună în care vinde 75 de scaune? Câte scaune trebuie să vândă într-o lună pentru un profit de 3 000 de lei?

Partea a III-a – Formatul probei oficiale și sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a III-a are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Cerințele a), b) și c) nu depind una de alta.

a) (5 puncte) Un produs costă 750 de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu 12%.

b) (5 puncte) În anul 2024, profitul anual al unei firme de transport a fost de 14 400 de lei, ceea ce reprezintă 9% din valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați valoarea veniturilor anuale ale firmei în anul 2024.

c) (5 puncte) Arătați că media geometrică a numerelor $a=20$ și $b=125$ este egală cu 50.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) O spălătorie de covoare cumpără o pompă de căldură de 15 000 de lei pentru camera de uscare și ia un credit pentru toată suma: 24 de rate lunare de câte 690 de lei și un comision de analiză de 1 % din sumă, plătit la acordare. Cu pompa nouă, factura lunară la energie a spălătoriei scade cu 450 de lei.

a) (5 puncte) Calculează totalul plătit pentru credit și costul creditului.

b) (5 puncte) În lunile cu rată, cu câți lei crește cheltuiala lunară a spălătoriei, dacă ții seama și de economia la energie? Cu câți lei a plătit spălătoria mai mult în primele 24 de luni, cu comisionul cu tot, decât dacă ar fi rămas la vechea instalație?

c) (5 puncte) Din a câta lună de la cumpărare economiile la energie, adunate, depășesc tot ce a plătit spălătoria pentru credit?

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare e împărțită în pași, cu punctele pașilor între paranteze, iar o metodă diferită, dar corectă, valorează la fel. Răspunsurile finale sunt îngroșate, iar „Verificare” este un control fără puncte. La Partea a III-a nu ia punctele subpunctului un rezultat scris fără calcule și fără explicații.

Exercițiul 1.

Grăsimea din prima cremă este $0,34\cdot 27=9,18$ kg, iar din a doua $0,22\cdot 18=3,96$ kg (2 p). Amestecul are $27+18=45$ kg și $9,18+3,96=13,14$ kg de grăsime (1 p), deci procentul este $\frac{13,14}{45}=0,292$, adică $29,2$ % (2 p). Verificare: este media ponderată $\frac{27\cdot 34+18\cdot 22}{27+18}=\frac{1314}{45}=29,2$, aflată între 22 și 34 și mai aproape de 34, valoarea cu ponderea mai mare. Cine face media aritmetică, $\frac{34+22}{2}=28$, tratează cele două creme ca și cum ar avea aceeași masă.

Exercițiul 2.

Produsul $ab$ este pătratul mediei geometrice, $20^2=400$, iar suma este $a+b=2\cdot 25=50$ (2 p). Media armonică este $\frac{2ab}{a+b}=\frac{2\cdot 400}{50}=16$, deci răspunsul este $\mathbf{b})$ (2 p). Celelalte variante sunt false: 20 este media geometrică, 22,5 este media dintre 25 și 20, iar $31,25=\frac{25^2}{20}$ răstoarnă relația $m_g^2=m_a\cdot m_h$ (1 p). Verificare: numerele sunt 10 și 40, fiindcă $10+40=50$ și $10\cdot 40=400$, iar $\frac{2\cdot 10\cdot 40}{50}=16$ stă sub 20 și sub 25.

Exercițiul 3.

Prețul cu TVA se obține din prețul fără TVA prin înmulțirea cu $1+\frac{21}{100}=1,21$ (2 p). Deci prețul fără TVA este $1452:1,21=1200$ de lei, adică varianta $\mathbf{b})$ (2 p). Celelalte variante sunt false: 1 147,08 de lei înseamnă $0,79\cdot 1452$, adică 21 % scăzut din prețul cu TVA; 1 756,92 de lei înseamnă $1452\cdot 1,21$, adică TVA adăugat încă o dată; 1 431 de lei înseamnă $1452-21$, adică 21 de lei scăzuți, nu 21 % (1 p). Verificare: $1200\cdot 1,21=1452$, iar TVA-ul este $1452-1200=252$ de lei.

Exercițiul 4.

Fie $x$ prețul produsului înainte de scumpire, în lei. Scumpirea adaugă $\frac{45}{100}x$, deci $x+\frac{45}{100}x=261$ (3 p). Rezultă $1,45x=261$, adică $x=261:1,45=180$ de lei (2 p). Verificare: $180+0,45\cdot 180=180+81=261$. Cine scade 45 % din 261 obține $0,55\cdot 261=143,55$ de lei, fiindcă ia procentul din prețul de după scumpire, nu din cel de dinainte.

Exercițiul 5.

Mașina se amortizează complet când amortizările lunare adunate ajung la valoarea ei, deci numărul de luni este $7920:165=48$ (2 p). Un an are 12 luni, iar $48:12=4$ ani (1 p). Într-un an se amortizează $12\cdot 165=1980$ de lei (2 p). Verificare: $4\cdot 1980=7920$ de lei, adică tocmai valoarea mașinii. Cine citește rezultatul împărțirii $7920:165$ direct în ani obține 48 de ani, de 12 ori prea mult.

Exercițiul 6.

Costul creditului este totalul plătit minus suma primită, deci totalul plătit este suma primită plus costul (1 p): $9600+1128=10728$ de lei (2 p). Cele 24 de rate egale însumează totalul, deci rata lunară este $10728:24=447$ de lei (2 p). Verificare: $24\cdot 447=10728$, iar $10728-9600=1128$. Cine împarte doar costul creditului la 24 obține $1128:24=47$ de lei, adică numai partea de cost din fiecare rată, nu rata.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Suma maselor este $5\cdot 496+10\cdot 498+20\cdot 500+10\cdot 503+5\cdot 505=2480+4980+10000+5030+2525=25015$ g (3 p). Masa medie este suma împărțită la numărul pâinilor, $25015:50=500,3$ g (2 p).

b) (5 p) Cele 75 de pâini cu masa medie de 500 g au masele însumate $75\cdot 500=37500$ g (2 p). Cele 25 de pâini noi trebuie să aducă diferența $37500-25015=12485$ g (1 p), deci masa lor medie este $12485:25=499,4$ g (2 p). Verificare: $25015+25\cdot 499,4=25015+12485=37500$, iar $37500:75=500$. Primul lot are în total $50\cdot 0,3=15$ g peste masa nominală, iar lotul nou trebuie să le compenseze: $25\cdot 0,6=15$ g sub 500 g.

Exercițiul 8.

a) (5 p) În octombrie prețul este $2100\cdot 1,2=2520$ de lei (1 p). Ieftinirea se ia din 2 520 de lei, nu din 2 100: $0,15\cdot 2520=378$ de lei, deci în ianuarie setul costă $2520-378=2142$ de lei (2 p). Față de 2 100 de lei diferența este $2142-2100=42$ de lei, iar $42:2100=0,02$, adică prețul din ianuarie este cu $2$ % mai mare (2 p). Verificare: $2100\cdot 1,2\cdot 0,85=2100\cdot 1,02=2142$. Cine scade 15 % din 2 100 de lei, adică 315 lei, obține $2520-315=2205$ de lei, iar cine adună procentele, $+20\%-15\%=+5\%$, obține $2100\cdot 1,05=2205$ de lei: în ambele cazuri cu 63 de lei prea mult.

b) (5 p) Cele două modificări înmulțesc prețul cu $1,2\cdot 0,85=1,02$ (2 p). Dacă $x$ este prețul de la început, $1,02x=2550$ (1 p), deci $x=2550:1,02=2500$ de lei (2 p). Verificare: $2500\cdot 1,2=3000$, iar $3000\cdot 0,85=2550$.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Amortizarea pe lună este $28800:(8\cdot 12)=300$ de lei, deci cheltuielile fixe sunt $1500+600+300=2400$ de lei (2 p). Fiecare scaun lasă $112-52=60$ de lei peste cheltuielile lui (1 p), iar atelierul iese din pierdere la $2400:60=40$ de scaune (2 p). Verificare: la 40 de scaune încasările sunt $40\cdot 112=4480$ de lei, iar cheltuielile sunt $40\cdot 52+2400=4480$ de lei. Cine împarte cheltuielile fixe la prețul de vânzare, $2400:112\approx 21,4$, uită că fiecare scaun are și cheltuieli proprii.

b) (5 p) La 75 de scaune profitul este $75\cdot 60-2400=2100$ de lei (2 p). Pentru un profit de 3 000 de lei, numărul $n$ de scaune verifică $60n-2400=3000$ (1 p), deci $n=5400:60=90$ de scaune (2 p). Verificare: $90\cdot 60-2400=3000$.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Ieftinirea este $\frac{12}{100}\cdot 750=90$ de lei (2 p), iar prețul de după ieftinire este $750-90=660$ de lei (3 p). Verificare: $0,88\cdot 750=660$.

b) (5 p) Notez cu $x$ veniturile anuale, în lei; profitul este 9% din ele, deci $\frac{9}{100}x=14400$ (3 p). Rezultă $x=14400:0,09=160000$ de lei (2 p). Verificare: $0,09\cdot 160000=14400$.

c) (5 p) Media geometrică a numerelor $a$ și $b$ este $m_g=\sqrt{20\cdot 125}$ (3 p). Produsul este $2500$, iar $\sqrt{2500}=50$, deci $m_g=50$, adică egalitatea cerută este adevărată (2 p). Verificare: $20\cdot 125=4\cdot 25\cdot 25$, iar $\sqrt{4\cdot 25\cdot 25}=2\cdot 5\cdot 5=50$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Ratele însumează $24\cdot 690=16560$ de lei, iar comisionul de analiză este $0,01\cdot 15000=150$ de lei (2 p). Totalul plătit este $16560+150=16710$ de lei (1 p), iar costul creditului este $16710-15000=1710$ de lei (2 p).

b) (5 p) În fiecare lună cu rată, spălătoria plătește 690 de lei băncii, dar economisește 450 de lei la energie, deci cheltuiala ei crește cu $690-450=240$ de lei pe lună (2 p). În cele 24 de luni, creșterea este $24\cdot 240=5760$ de lei (2 p), iar cu comisionul de 150 de lei spălătoria a plătit cu $5760+150=5910$ de lei mai mult (1 p).

c) (5 p) În primele $n$ luni economiile adunate sunt $450n$ lei, iar pentru credit spălătoria plătește în total 16 710 lei; se cere cel mai mic număr natural $n$ cu $450n>16710$ (2 p). Cum $16710:450\approx 37,13$, avem $450\cdot 37=16650<16710$ și $450\cdot 38=17100>16710$ (2 p), deci economiile depășesc plățile din luna a $38$-a (1 p). Verificare: după cele 24 de luni spălătoria mai are de recuperat 5 910 lei, iar $5910:450\approx 13,13$, deci încă 14 luni, și $24+14=38$. Cine compară economiile doar cu prețul pompei obține $15000:450\approx 33,33$, adică luna a 34-a, fiindcă uită costul creditului.

Pentru părinți și profesori

Testul adună cele cinci lecții ale unității de medii și matematică financiară din clasa a X-a: „Media ponderată la tehnologic: note, prețuri”, „Media geometrică și armonică pentru tehnologic”, „Procente și TVA la tehnologic: factura”, „Profit și preț de cost pentru tehnologic” și „Credit și buget familial: liceu tehnologic”. Geometria în coordonate are testul ei, iar sumele pe care le calculezi aici cu radicali sau logaritmi țin de testul de puteri, radicali și logaritmi.

• Punctaj: cele unsprezece exerciții valorează 90 de puncte; mai primești 10 puncte din oficiu, deci poți ajunge la 100.
• Timp: 50 de minute.
• Cum se lucrează: singur, pe foaie, cu calculatorul închis. Sumele de bani se scriu în lei, iar rotunjirea se face abia la rezultatul final. La Partea a III-a contează și calculele, nu doar răspunsul, fiindcă un număr corect scris direct nu ia punctele subpunctului. La fiecare exercițiu, ghidajul pornește de la o întrebare cu patru răspunsuri posibile, apoi cere câte un număr, iar răspunsurile greșite sunt explicate. Îl deschizi doar când exercițiul nu iese.
• Între 90 și 100 de puncte: unitatea e stăpânită și poți trece la testul următor.
• Între 75 și 89 de puncte: deschizi ghidajul la exercițiile din care ți-au lipsit puncte și le lucrezi încă o dată.
• Între 60 și 74 de puncte: deschizi lecțiile din tabel la exercițiile unde ai strâns mai puțin de jumătate dintre puncte și repeți testul peste șapte zile.
• Sub 60 de puncte: parcurgi cele cinci lecții în ordine și lucrezi testul cu ghidajul de la primul exercițiu.
• Formule de reținut: media ponderată este suma produselor dintre valori și ponderi, împărțită la suma ponderilor, cu ponderile pozitive și în aceeași unitate; pentru numere pozitive, media geometrică este rădăcina pătrată a produsului lor, media armonică este de două ori produsul împărțit la sumă, iar între ele și media aritmetică stă relația $m_g^2=m_a\cdot m_h$; o scumpire sau o ieftinire cu $p\%$ înmulțește prețul cu $1\pm \frac{p}{100}$, procentul fiind luat din valoarea de dinainte, iar drumul înapoi împarte la același factor; profitul este venitul minus cheltuielile, iar când profitul este $p\%$ din venit, cu $p>0$, venitul este profitul împărțit la $\frac{p}{100}$; amortizarea liniară împarte valoarea utilajului în părți egale pe perioada de folosire, deci în fiecare lună se amortizează aceeași sumă; la un credit cu $n$ rate egale de câte $r$ lei și un comision de analiză de $a$ lei, totalul plătit este $T=n\cdot r+a$, iar costul creditului este $T-S$, unde $S$ este suma primită.

Exercițiile 4 și 10 poartă marcajul „tip Bacalaureat M3”: ele copiază formatul unor cerințe reale din Subiectul I al probelor oficiale (prețul de dinainte, prețul de după, profitul și veniturile, media geometrică), cu alte numere și alte rezultate.

Programa și examenul. Evaluarea face parte din suplimentul pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029. Programa de examen OMEN 4430/2014 (clasa a X-a) cuprinde mediile, procentele cu TVA, profitul cu prețul de cost și alegerea unui credit după buget, dar în programa nouă pentru clasa a X-a (Anexa 3 la OMEC 6930/2025) ele apar numai în parte sau deloc. Din probele oficiale 2013–2026, procentele au apărut în 39 de probe, iar profitul și media geometrică în câte una, toate la Subiectul I. Media ponderată, media armonică și creditul nu s-au dat încă, dar pot fi cerute, fiindcă figurează în programă. La Bacalaureatul din 2030 (MAT_P3–MAT_P6), procentele și profitul revin parțial în unitatea XI.1, calcul numeric și algebric aplicat, pe toate cele patru profiluri; media ponderată revine la MAT_P3, MAT_P5 și MAT_P6, media geometrică și cea armonică la MAT_P3 și MAT_P6, iar creditul iese din programa de examen. Cei care încep clasa a IX-a în 2026–2027 sau după aceea se pregătesc pentru examenul din 2030 încolo (OMEC 4138/2026), iar cei intrați în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 dau Bacalaureatul M3 în 2027, 2028 și 2029.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.