Test tehnologic: cercul trigonometric și reducerea

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Trigonometrie: cercul trigonometric și formulele de bază

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Acul unui manometru cu cadran pornește de la diviziunea 0 și, când presiunea ajunge la capătul scalei, s-a rotit cu $24 0^{\circ}$ . Cu câți radiani s-a rotit acul?

Variantele: a) „ $\frac{2 π}{3}$ ”; b) „ $\frac{4}{3}$ ”; c) „ $\frac{4 π}{3}$ ”; d) „ $\frac{3 π}{4}$ ”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Roata unei mori de apă are raza de 4 m, iar axul ei este originea unui reper; semiaxa $O x$ arată în sensul curgerii apei, spre aval. O cupă este fixată pe marginea roții la unghiul $\frac{2 π}{3}$ față de $O x$ , măsurat în sens trigonometric. Calculează distanța pe orizontală de la ax la cupă și spune dacă cupa este în aval sau în amonte de ax.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Unghiul $x$ al unei lame de tăiat se află în cadranul II și are $sin x = \frac{84}{85}$ . Calculează $cos x$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Arătați că $2 \cdot cos 31 5^{\circ} + 4 sin 30 0^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ} = - 2$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Care dintre egalitățile de mai jos este adevărată?

Variantele: a) „ $sin 13 5^{\circ} = - sin 4 5^{\circ}$ ”; b) „ $cos 13 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ}$ ”; c) „ $tg 13 5^{\circ} = tg 4 5^{\circ}$ ”; d) „ $cos 13 5^{\circ} = - cos 4 5^{\circ}$ ”.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Unghiul $x$ al unui sector de plăci se află în cadranul III și are $tg x = \frac{65}{72}$ . Calculează $sin x$ .

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Capul unui șurub are forma unui hexagon regulat, cu vârfurile pe un cerc cu raza de 10 mm; centrul capului este originea unui reper. Un vârf se află pe semiaxa pozitivă $O x$ , iar celelalte cinci urmează din $6 0^{\circ}$ în $6 0^{\circ}$ , în sens trigonometric.

a) (5 puncte) Scrie coordonatele vârfurilor de la $12 0^{\circ}$ și de la $24 0^{\circ}$ , în milimetri, și cadranul în care se află fiecare.

b) (5 puncte) Cheia fixă prinde capul între două fețe paralele: fața de sus, dintre vârfurile de la $6 0^{\circ}$ și $12 0^{\circ}$ , și fața de jos, dintre vârfurile de la $24 0^{\circ}$ și $30 0^{\circ}$ . Calculează distanța dintre cele două fețe și spune, fără calculator, dacă se potrivește o cheie cu deschiderea de 17 mm, știind că deschiderea trebuie să fie cel puțin cât această distanță.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un versant de acoperiș, de la streașină la coamă, are lungimea de 7,3 m și formează cu orizontala un unghi ascuțit $x$ , cu $cos x = \frac{48}{73}$ .

a) (5 puncte) Calculează $sin x$ și $tg x$ .

b) (5 puncte) Calculează, în metri, cu cât este coama mai sus decât streașina și cât acoperă versantul pe orizontală.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un teren triunghiular $A B C$ , mărginit de trei drumuri, are pe planul cadastral $m (∠ B) = 2 5^{\circ}$ și $m (∠ C) = 2 0^{\circ}$ .

a) (5 puncte) Calculează $m (∠ A)$ și $tg A$ .

b) (5 puncte) Calculează $sin A \cdot cos A$ și, ținând seama că suma pătratelor sinusului și cosinusului lui $A$ este 1, calculează pătratul sumei $sin A + cos A$ .

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.)

a) (5 puncte) Arătați că $2 cos 12 0^{\circ} \cdot sin 21 0^{\circ} + tg^{2} 15 0^{\circ} = \frac{5}{6}$ .

b) (5 puncte) Arătați că $sin x = \frac{120}{169}$ , știind că $x \in (0, \frac{π}{2})$ și $cos x = \frac{119}{169}$ .

c) (5 puncte) Arătați că $(8 sin x + 15 cos x)^{2} + (15 sin x - 8 cos x)^{2} = 289$ , pentru orice număr real $x$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe o placă circulară cu raza de 53 cm și centrul în originea unui reper, patru găuri $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ , $M_{4}$ se află la unghiurile $x$ , $π - x$ , $π + x$ și $2 π - x$ față de semiaxa $O x$ , unde $x$ este un unghi ascuțit cu $tg x = \frac{28}{45}$ .

a) (5 puncte) Calculează $sin x$ și $cos x$ .

b) (5 puncte) Scrie coordonatele găurilor $M_{1}$ , $M_{2}$ , $M_{3}$ și $M_{4}$ , în centimetri, și cadranul în care se află fiecare.

c) (5 puncte) Cele patru găuri sunt vârfurile unui dreptunghi. Calculează lungimile laturilor lui, perimetrul și aria, în centimetri și centimetri pătrați.

Barem și răspunsuri

Pașii fiecărei rezolvări au punctajul între paranteze, iar altă rezolvare corectă primește același punctaj. Rezultatele finale apar îngroșate. În Partea a III-a, numai răspunsul, fără calcul și fără argument, nu se ia în calcul.

Exercițiul 1.

Din $π$ radiani $= 18 0^{\circ}$ rezultă că un unghi de $x^{\circ}$ are $x \cdot \frac{π}{180}$ radiani (1 p). Pentru $24 0^{\circ}$ : $240 \cdot \frac{π}{180} = \frac{4 π}{3}$ (2 p), iar răspunsul este $c)$ (1 p). Celelalte sunt false: $\frac{2 π}{3} = 12 0^{\circ}$ se obține împărțind la 360 în loc de 180; $\frac{4}{3}$ este rezultatul fără $π$ , adică doar $\frac{4}{3}$ radiani, mai puțin de $9 0^{\circ}$ ; $\frac{3 π}{4} = 13 5^{\circ}$ vine din raportul întors, $\frac{180}{240}$ (1 p). Verificare: $\frac{4 π}{3}$ este mai mult decât $π$ , iar $24 0^{\circ}$ este mai mult decât o jumătate de rotație.

Exercițiul 2.

Unghiul $\frac{2 π}{3}$ este $12 0^{\circ}$ , în cadranul II, unde cosinusul este negativ (1 p), iar unghiul de referință este $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ (1 p). Abscisa cupei este $4 cos \frac{2 π}{3} = - 4 cos 6 0^{\circ} = - 4 \cdot \frac{1}{2} = - 2$ m (2 p). Distanța pe orizontală este 2 m, iar abscisa negativă arată că cupa este în amonte de ax (1 p). Verificare: ordonata este $4 sin 12 0^{\circ} = 23$ , iar $2^{2} + (23)^{2} = 4 + 12 = 16 = 4^{2}$ .

Exercițiul 3.

Suma pătratelor sinusului și cosinusului este 1, deci $cos^{2} x = 1 - \frac{7056}{7225} = \frac{169}{7225}$ (2 p). Cadranul II este în stânga axei $O y$ , deci cosinusul este negativ (1 p) și $cos x = - \frac{13}{85}$ (2 p). Verificare: $(\frac{84}{85})^{2} + (\frac{13}{85})^{2} = \frac{7056 + 169}{7225} = 1$ .

Exercițiul 4.

Reducem la primul cadran: $cos 31 5^{\circ} = cos (36 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 30 0^{\circ} = - sin 6 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ și $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ (3 p). Atunci expresia este $2 \cdot \frac{2}{2} + 4 \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot \frac{3}{2} = 1 - 3 = - 2$ (2 p). Verificare: în cadranul IV cosinusul este pozitiv și sinusul negativ, ca în valorile folosite.

Exercițiul 5.

Unghiul de $13 5^{\circ}$ este în cadranul II, cu unghiul de referință $4 5^{\circ}$ : sinusul rămâne pozitiv, iar cosinusul și tangenta devin negative (2 p). Deci $cos 13 5^{\circ} = - cos 4 5^{\circ}$ , iar răspunsul este $d)$ (1 p). Celelalte sunt false: $sin 13 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} > 0$ ; $cos 13 5^{\circ} < 0 < cos 4 5^{\circ}$ ; $tg 13 5^{\circ} = - 1$ , iar $tg 4 5^{\circ} = 1$ (2 p).

Exercițiul 6.

Din $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ rezultă $sin x = \frac{65}{72} cos x$ (1 p). Punem acest sinus în relația dintre pătrate: $cos^{2} x (\frac{4225}{5184} + 1) = 1$ , deci $cos^{2} x = \frac{5184}{9409}$ (2 p). Pe cadranul III ambele coordonate sunt negative, deci $cos x = - \frac{72}{97}$ (1 p), iar $sin x = \frac{65}{72} \cdot (- \frac{72}{97}) = - \frac{65}{97}$ (1 p). Verificare: $(\frac{65}{97})^{2} + (\frac{72}{97})^{2} = \frac{4225 + 5184}{9409} = 1$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Vârful de la unghiul $x$ are coordonatele $(10 cos x; 10 sin x)$ (1 p). Unghiul de $12 0^{\circ}$ este în cadranul II, cu unghiul de referință $6 0^{\circ}$ : $cos 12 0^{\circ} = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ și $sin 12 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , deci vârful este $(- 5; 53)$ , în cadranul II (2 p). Unghiul de $24 0^{\circ}$ este în cadranul III, cu unghiul de referință $24 0^{\circ} - 18 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ : $cos 24 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ și $sin 24 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ , deci vârful este $(- 5; - 53)$ , în cadranul III (2 p).

b) (5 p) Vârfurile de la $6 0^{\circ}$ și $12 0^{\circ}$ au aceeași ordonată, $10 sin 6 0^{\circ} = 53$ , iar cele de la $24 0^{\circ}$ și $30 0^{\circ}$ au ordonata $- 53$ , deci cele două fețe sunt orizontale (2 p). Distanța dintre ele este $53 - (- 53) = 103$ mm (1 p). Cum $(103)^{2} = 300$ și $1 7^{2} = 289 < 300$ , avem $17 < 103$ : cheia de 17 mm este prea strâmtă și nu se potrivește (2 p). Verificare: vârfurile opuse de la $0^{\circ}$ și $18 0^{\circ}$ sunt la $10 - (- 10) = 20$ mm unul de altul, mai departe decât fețele, cum trebuie.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Suma pătratelor sinusului și cosinusului este 1, deci $sin^{2} x = 1 - \frac{2304}{5329} = \frac{3025}{5329}$ (2 p). Unghiul este ascuțit, deci sinusul este pozitiv: $sin x = \frac{55}{73}$ (1 p). Atunci $tg x = \frac{55/73}{48/73} = \frac{55}{48}$ (2 p).

b) (5 p) Versantul este ipotenuza unui triunghi dreptunghic: diferența de nivel este cateta opusă unghiului $x$ , iar acoperirea pe orizontală, cateta alăturată (1 p). Coama este mai sus decât streașina cu $7, 3 \cdot sin x = 7, 3 \cdot \frac{55}{73} = 5, 5$ m (2 p), iar versantul acoperă pe orizontală $7, 3 \cdot cos x = 7, 3 \cdot \frac{48}{73} = 4, 8$ m (2 p). Verificare: $5, 5^{2} + 4, 8^{2} = 30, 25 + 23, 04 = 53, 29 = 7, 3^{2}$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) Suma unghiurilor unui triunghi este $18 0^{\circ}$ , deci $m (∠ A) = 18 0^{\circ} - 2 5^{\circ} - 2 0^{\circ} = 13 5^{\circ}$ (2 p). Unghiul de $13 5^{\circ}$ este în cadranul II, cu unghiul de referință $18 0^{\circ} - 13 5^{\circ} = 4 5^{\circ}$ (1 p), deci $tg A = - tg 4 5^{\circ} = - 1$ (2 p).

b) (5 p) $sin A = sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ și $cos A = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ (2 p), deci $sin A \cdot cos A = - \frac{1}{2}$ (1 p). Pătratul sumei conține suma pătratelor, adică 1, plus dublul produsului: $1 + 2 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0$ (2 p). Verificare: $sin A + cos A = \frac{2}{2} - \frac{2}{2} = 0$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ și $tg 15 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ (2 p). Atunci $2 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ și $tg^{2} 15 0^{\circ} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ , deci suma este $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ (3 p).

b) (5 p) Suma pătratelor sinusului și cosinusului este 1, deci $sin^{2} x = 1 - \frac{14161}{28561} = \frac{14400}{28561}$ (3 p). Unghiul $x$ este în primul cadran, deci $sin x > 0$ și $sin x = \frac{120}{169}$ (2 p).

c) (5 p) Desfacem cele două pătrate: termenii cu $sin^{2} x$ dau $64 + 225 = 289$ , cei cu $cos^{2} x$ dau $225 + 64 = 289$ , iar cei doi termeni cu produsul $sin x cos x$ , adică $240$ și $- 240$ , se anulează (2 p). Rămâne $289$ înmulțit cu suma pătratelor sinusului și cosinusului, adică $289 \cdot 1 = 289$ (3 p).

Exercițiul 11.

a) (5 p) Din $tg x = \frac{sin x}{cos x}$ rezultă $sin x = \frac{28}{45} cos x$ ; punem acest sinus în relația dintre pătrate: $cos^{2} x (\frac{784}{2025} + 1) = 1$ , deci $cos^{2} x = \frac{2025}{2809}$ (2 p). Unghiul $x$ este ascuțit, deci $cos x = \frac{45}{53}$ și $sin x = \frac{28}{45} \cdot \frac{45}{53} = \frac{28}{53}$ (3 p).

b) (5 p) Pentru raza 53, $M_{1}$ are coordonatele $(53 cos x; 53 sin x)$ , adică $(45; 28)$ , în cadranul I (1 p). Reducerea la primul cadran spune că pentru $π - x$ cosinusul își schimbă semnul, iar sinusul rămâne, deci $M_{2}$ este $(- 45; 28)$ , în cadranul II (1 p); pentru $π + x$ își schimbă semnul amândouă, deci $M_{3}$ este $(- 45; - 28)$ , în cadranul III (1 p); pentru $2 π - x$ sinusul își schimbă semnul, iar cosinusul rămâne, deci $M_{4}$ este $(45; - 28)$ , în cadranul IV (2 p).

c) (5 p) $M_{1}$ și $M_{2}$ au aceeași ordonată, deci $M_{1} M_{2} = 45 - (- 45) = 90$ cm; $M_{2}$ și $M_{3}$ au aceeași abscisă, deci $M_{2} M_{3} = 28 - (- 28) = 56$ cm (2 p). Perimetrul este $2 (90 + 56) = 292$ cm (1 p), iar aria este $90 \cdot 56 = 5040$ cm² (2 p). Verificare: diagonala dreptunghiului este diametrul plăcii, $2 \cdot 53 = 106$ cm, iar $9 0^{2} + 5 6^{2} = 8100 + 3136 = 11236 = 10 6^{2}$ .

Pentru părinți și profesori

Testul se referă la unitatea de trigonometrie din clasa a IX-a, filiera tehnologică, cu cele două lecții ale ei: „Cercul trigonometric pentru tehnologic: unghiuri” și „Unghiuri mari la primul cadran, la tehnologic”. Vectorii în plan, cotangenta, formulele de adunare și unghiul dublu aparțin testului „Test tehnologic: vectori și trigonometrie, supliment”.

Punctaj: cele 11 exerciții fac 90 de puncte; cu cele 10 puncte din oficiu se ajunge la 100.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul rezolvă singur, pe foaie, fără calculator, cu tabelul valorilor pentru $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ învățat din lecție. Răspunsurile cu radical rămân sub formă de radical, iar fracțiile se simplifică. La Partea a III-a contează calculul și justificarea: răspunsul fără ele nu ia punctajul subpunctului. Ghidajul desparte exercițiul în pași: o întrebare cu patru variante, apoi un număr de aflat; la o variantă greșită, textul arată greșeala făcută. Îl deschizi doar când exercițiul nu iese.
La 90–100 de puncte: cercul trigonometric și reducerea sunt stăpânite; elevul continuă cu testul următor.
La 75–89 de puncte: exercițiile pierdute se refac cu ghidajul.
La 60–74 de puncte: pentru fiecare exercițiu la care a luat mai puțin de jumătate dintre puncte, elevul reia lecția din tabel; testul se refolosește după o săptămână.
Sub 60 de puncte: ambele lecții se parcurg din nou, apoi testul se lucrează integral, cu ghidajul deschis de la primul exercițiu.
Formule de reținut: $π$ radiani $= 18 0^{\circ}$ , deci un unghi de $x^{\circ}$ are $x \cdot \frac{π}{180}$ radiani. Pe cercul de rază $R$ , punctul de unghi $x$ are abscisa $R cos x$ și ordonata $R sin x$ , iar tangenta este raportul ordonatei la abscisă, cu abscisa nenulă. Semnele pe cadrane: în I toate trei sunt pozitive; în II doar sinusul; în III doar tangenta; în IV doar cosinusul. Reducerea: unghiul de referință este $18 0^{\circ} - x$ în cadranul II, $x - 18 0^{\circ}$ în cadranul III și $36 0^{\circ} - x$ în cadranul IV, iar valoarea se ia cu semnul cadranului. Pentru orice unghi, suma pătratelor sinusului și cosinusului este 1.

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 2, 7	grade și radiani, cadranul și semnul coordonatelor, coordonatele unui punct de pe cerc	Cercul trigonometric pentru tehnologic: unghiuri
3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11	reducerea la primul cadran, suma pătratelor sinusului și cosinusului, semnul în cadranele II, III și IV	Unghiuri mari la primul cadran, la tehnologic

Marcajul „tip Bacalaureat M3” îl au exercițiile 4 și 10. Ele păstrează forma cerințelor 6 din Subiectul I al probelor oficiale 2013–2026 („Arătați că …” cu valori de bază, sinusul aflat din cosinus, identitatea valabilă pentru orice $x$ ), dar au unghiuri, numere și expresii noi.

Programa și examenul. Testul urmează programa nouă de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026); testul corespunde unității «IX.5. Elemente de trigonometrie», iar cele unsprezece exerciții sunt toate în programa lor de examen. Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014); la ei, programa din 2014 plasează cercul trigonometric la clasa a IX-a (Subiectul I) și cere reducerea la primul cadran, dar nu numește formula fundamentală, deși rezolvările oficiale o scriu; ea apare la exercițiile 3, 6, 8, 9, 10 și 11. În probele oficiale din 2013–2026, cercul trigonometric a apărut în 33 de probe, iar formulele trigonometrice de bază în 27, de fiecare dată la Subiectul I.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.