Model titularizare matematică 2026, cu barem și rezolvare: ce diferă față de 2025

Pe scurt: modelul oficial de subiect pentru proba scrisă de matematică de la titularizarea din 2026, publicat de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare (CNCE), reia proba din 15 iulie 2025 (Varianta 3) și schimbă trei cerințe de specialitate: I.1.b, II.1.b și II.2.c. Subiectul al III-lea, de didactică, e identic: o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității „Cercul” de la clasa a VII-a, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip de item. Structura e cea obișnuită: 4 ore, trei subiecte de câte 30 de puncte și 10 puncte din oficiu. Pe pagină: modelul și baremul lui, transcrise integral, cele trei cerințe noi rezolvate pas cu pas și, pentru celelalte, trimiteri la rezolvarea din 2025.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Ce diferă față de 2025 · Subiectul · Baremul oficial · Rezolvarea cerințelor noi · Didactica · Întrebări frecvente

Ce diferă față de proba din 2025

Am comparat modelul cu proba din 2025 cuvânt cu cuvânt și pe imaginea paginilor. Diferă exact trei cerințe; în rest, enunțurile și baremul sunt aceleași.

Celelalte cerințe sunt rezolvate pe pagina probei din 2025:

• Subiectul I: 1.a, 1.c, 2.a, 2.b, 2.c;
• Subiectul al II-lea: 1.a, 1.c, 2.a, 2.b;
• Subiectul al III-lea: modelul de răspuns la didactică, cu cei cinci itemi: completare, răspuns scurt, alegere multiplă, întrebare structurată, rezolvare de probleme.

Ce arată schimbările. Toate trei cer o idee în plus față de 2025. La I.1.b, „tangentă” devine o condiție despre numărul de puncte comune. La II.1.b, argumentul din 2025 (suma pătratelor rădăcinilor e negativă) nu mai ajunge. La II.2.c, minorarea funcției trebuie făcută pe toată axa reală, nu doar pe $[-1,1]$.

Documentele oficiale sunt în arhiva modelelor sesiunii 2026, pe subiecte2026.edu.ro (legătură http; arhiva ZIP are aproximativ 46 MB și cuprinde modelele tuturor disciplinelor). Fișierele de matematică sunt Tit_109_Matematica_P_2026_var_model.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2026_bar_model.pdf (baremul). Antetul modelului poartă data probei din 2026, 21 iulie 2026, și mențiunea „Model”.

Ca la orice probă, nota se obține împărțind la 10 punctajul total al lucrării (regula din barem). Cum se combină notele celor doi evaluatori și cum intră nota la proba scrisă în media de repartizare, după regulile sesiunii 2026 (OMEC nr. 6695/2025, art. 64 și art. 70), e explicat pe pagina titularizării la matematică; media se poate calcula cu calculatorul de medie la titularizare.

Exersează în condiții de examen: pornește un cronometru de 4 ore, rezolvă doar secțiunea Subiectul oficial, apoi compară cu baremul. Dacă ai rezolvat deja proba din 2025, lucrează doar cele trei cerințe noi, cronometrat (cam 40 de minute).

Subiectul oficial (Model)

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2026. Probă scrisă. Matematică. Model.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+(3m+1)x+m-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x^2-x+1$, unde $m$ este număr real.

• (5p) a) Determinați numărul real $m$ pentru care $(f\circ g)(1)=12$.
• (5p) b) Determinați numărul întreg $m$ pentru care dreapta de ecuație $y=-9x-4$ intersectează graficul funcției $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=f(x)+g(x)$, în exact un punct.
• (5p) c) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<1$, pentru orice număr real $x$.

2. Se consideră triunghiul $ABC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $AC$, iar $G$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $CM$. Paralela la dreapta $BC$, construită prin punctul $G$, intersectează laturile $AB$ și $AC$ în punctele $E$, respectiv $F$. Paralelele duse prin punctul $G$ la dreptele $AB$ și $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctele $P$, respectiv $Q$.

• (5p) a) Demonstrați că punctul $G$ este mijlocul segmentului $EF$.
• (5p) b) Demonstrați că $PQ=\frac{BC}{3}$.
• (5p) c) Demonstrați că dreptele $AG$, $EP$ și $FQ$ sunt concurente.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră polinomul $f=X^4-2a{X}^3+\left(3a^2+2\right)X^2+2X+4$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$ și $x_4$, unde $a$ este număr real.

• (5p) a) Determinați numărul real $a$ pentru care numărul complex $z=i$ este rădăcină a polinomului $f$.
• (5p) b) Demonstrați că polinomul $f$ nu are nicio rădăcină reală, oricare ar fi numărul real $a$.
• (5p) c) Determinați numărul real $a$ pentru care $\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_3+1}+\frac{1}{x_4+1}=2$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2+x+2}{x^2+1}$.

• (5p) a) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.
• (5p) b) Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=-a$ și $x=a$ este egală cu $8$.
• (5p) c) Se consideră numerele reale $a$ și $b$, cu $a<b$. Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_a^b{\left(f(x)\right)}^{n}dx$.

Abatere de transcriere: la II.1, PDF-ul modelului are o virgulă în plus, „Se consideră polinomul, $f=$…”. Am scris enunțul fără ea.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VII-a

1.5. Identificarea elementelor cercului și/sau poligoanelor regulate în configurații geometrice date

• Recunoașterea elementelor unui cerc pe configurații geometrice date
• Identificarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și a diametrului perpendicular pe o coardă
• Identificarea poligoanelor regulate înscrise într-un cerc

2.5. Descrierea proprietăților cercului și ale poligoanelor regulate înscrise într-un cerc

• Calcularea măsurii unghiurilor unui poligon regulat
• Reprezentarea prin desen a configurațiilor geometrice care conțin un cerc și elementele sale folosind instrumente geometrice
• Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen poligoane regulate înscrise în cerc

3.5. Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme

• Utilizarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și/sau a diametrului perpendicular pe o coardă în rezolvarea unor probleme
• Rezolvarea unor probleme practice de determinare a unor lungimi sau distanțe folosind raza cercului (de exemplu, calcularea numărului de rotații complete ale roții unui automobil folosind distanța parcursă)
• Rezolvarea unor probleme folosind proprietățile tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc

4.5. Exprimarea proprietăților cercului și ale poligoanelor în limbaj matematic

• Descrierea în limbaj matematic a unor relații (congruență, paralelism, perpendicularitate) între elemente ale unor configurații geometrice
• Utilizarea instrumentelor geometrice pentru construirea unor configurații geometrice referitoare la cerc
• Identificarea unor cazuri particulare și evidențierea unor proprietăți în configurații geometrice referitoare la cerc și poligoane regulate

5.5. Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate folosind reprezentări geometrice

• Stabilirea unor metode adecvate pentru construcția poligoanelor regulate
• Analizarea poziției relative a unei drepte față de un cerc în funcție de numărul punctelor de intersecție dintre dreaptă și cerc
• Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate în probleme de mișcare

6.5. Modelarea matematică a unor situații practice în care intervin poligoane regulate sau cercuri

• Analizarea unor situații practice care necesită folosirea proprietăților cercului sau ale poligoanelor
• Optimizarea metodelor de rezolvare a unor probleme de geometrie utilizând proprietăți ale cercului sau ale poligoanelor
• Observarea diferenței dintre condițiile necesare și cele suficiente în contexte geometrice referitoare la cerc

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informațiile din secvența de mai sus, în vederea evaluării formării/dezvoltării competențelor specifice precizate, elaborați o probă de evaluare la finalul unității de învățare „Cercul”, care să cuprindă cinci itemi: un item de completare, un item cu răspuns scurt, un item de tip alegere multiplă, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme.

Pentru fiecare item propus:

• menționați competența specifică evaluată;
• menționați activitatea de învățare în cadrul căreia ați utiliza acest item;
• precizați un avantaj al utilizării acestui tip de item;
• precizați un dezavantaj al utilizării acestui tip de item;
• respectați formatul tipului de item;
• respectați corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2026. Probă scrisă. Matematică. Model. Barem de evaluare și de notare.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (30 de puncte)

1. a)

• $g(1)=2$, $(f\circ g)(1)=f(2)=4+2(3m+1)+m-1=7m+5$ — 3p
• $7m+5=12$, de unde obținem $m=1$ — 2p

1. b)

• $h(x)=3x^2+3mx+m$, unde $m$ este număr real; $3x^2+3mx+m=-9x-4$, de unde obținem $3x^2+(3m+9)x+m+4=0$ — 2p
• $\Delta =0$ și, cum $\Delta =9m^2+42m+33$, obținem $m=-1$, care convine, sau $m=-\frac{11}{3}$, care nu convine — 3p

1. c)

• $2x^2-x+1>0$, pentru orice număr real $x$ și, cum $-1<\frac{x^2+(3m+1)x+m-1}{2x^2-x+1}<1$, obținem $\{\begin{array}{l}3x^2+3mx+m>0\\ -x^2+(3m+2)x+m-2<0\end{array}$, pentru orice număr real $x$ — 2p
• $\{\begin{array}{l}9m^2-12m<0\\ 9m^2+16m-4<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\in \left(0,\frac{4}{3}\right)\\ m\in \left(-2,\frac{2}{9}\right)\end{array}$, deci $m\in \left(0,\frac{2}{9}\right)$ — 3p

2. a)

• $CM$ și $BN$ sunt mediane în triunghiul $ABC$, $CM\cap BN=\{G\}$, deci punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ — 2p
• $EG\parallel BC\Rightarrow \Delta MGE\sim \Delta MCB\Rightarrow \frac{EG}{BC}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}$; $GF\parallel BC\Rightarrow \Delta NGF\sim \Delta NBC\Rightarrow \frac{GF}{BC}=\frac{NG}{NB}=\frac{1}{3}$, de unde obținem $EG=GF$, deci punctul $G$ este mijlocul segmentului $EF$ — 3p

2. b)

• $EBPG$ și $GQCF$ sunt paralelograme, deci $EG=BP=CQ=\frac{BC}{3}$ — 3p
• $PQ=BC-BP-CQ=BC-\frac{BC}{3}-\frac{BC}{3}=\frac{BC}{3}$ — 2p

2. c)

• $BQ=PC=\frac{2}{3}\cdot BC$ și, cum $EF\parallel BC$, obținem că $EBQF$ și $EPCF$ sunt paralelograme, deci $FQ\parallel AB$, $EP\parallel AC$ și rezultă că $AEDF$ este paralelogram, unde $D$ este punctul de intersecție a dreptelor $EP$ și $FQ$ — 3p
• Punctul $G$ este mijlocul diagonalei $EF$, deci punctele $A$, $G$ și $D$ sunt coliniare, de unde obținem că dreptele $AG$, $EP$ și $FQ$ sunt concurente în punctul $D$ — 2p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. a)

• $z=i$ este rădăcină a polinomului $f$, deci $f(i)=0$ — 2p
• $i^4-2a{i}^3+\left(3a^2+2\right)i^2+2i+4=0\iff -3a^2+3+i(2a+2)=0$, de unde obținem $a=-1$ — 3p

1. b)

• Pentru orice număr real $a$, $f=X^2\left(X^2-2aX+a^2\right)+2a^2{X}^2+2X^2+2X+4=X^2(X-a{)}^2+2a^2{X}^2+X^2+(X+1{)}^2+3$ — 3p
• Pentru orice număr real $x$, $f(x)>0$, oricare ar fi numărul real $a$, deci polinomul $f$ nu are nicio rădăcină reală, oricare ar fi numărul real $a$ — 2p

1. c)

• Derivata lui $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)$ este $f^{\prime }=(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)+(X-x_1)(X-x_3)(X-x_4)+(X-x_1)(X-x_2)(X-x_4)+(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$ — 2p
• $\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_3+1}+\frac{1}{x_4+1}=-\frac{f^{\prime }(-1)}{f(-1)}=\frac{6a^2+6a+6}{3a^2+2a+5}$, pentru orice număr real $a$, deci $\frac{6a^2+6a+6}{3a^2+2a+5}=2$, de unde obținem $a=2$ — 3p

2. a)

• $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ sau $x=1$ — 2p
• Pentru orice $x\in (-\infty ,-1]$, $f^{\prime }(x)\le 0\Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$; pentru orice $x\in [-1,1]$, $f^{\prime }(x)\ge 0\Rightarrow f$ este crescătoare pe $[-1,1]$; pentru orice $x\in [1,+\infty )$, $f^{\prime }(x)\le 0\Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1,+\infty )$ — 3p

2. b)

• $f(x)\ge 0$, pentru orice număr real $x$, deci $\mathcal{A}={\int }_{-a}^a\left|f(x)\right|dx={\int }_{-a}^{a}f(x)dx=$ — 2p
• $={\int }_{-a}^a\frac{2\left(x^2+1\right)+x}{x^2+1}dx=2x{|}_{-a}^a+\frac{1}{2}\cdot \ln \left|x^2+1\right|{|}_{-a}^a=4a$, de unde obținem $4a=8$, deci $a=2$ — 3p

2. c)

• $f(x)\ge \frac{3}{2}$, pentru orice număr real $x$, deci ${\int }_a^b{\left(f(x)\right)}^{n}dx\ge {\int }_a^b{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n}dx={\left(\frac{3}{2}\right)}^n(b-a)$, pentru orice număr natural $n$ — 3p
• Cum $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{3}{2}\right)}^n(b-a)=+\infty$, pentru orice numere reale $a$ și $b$, cu $a<b$, obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_a^b{\left(f(x)\right)}^{n}dx=+\infty$ — 2p

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Itemul de completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul cu răspuns scurt elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței/competențelor specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Rezolvarea celor trei cerințe noi

Pentru cerințele identice cu 2025, rezolvarea completă e pe pagina probei din 2025 (legăturile pe cerință sunt în tabelul de mai sus). Aici rezolvăm doar ce e nou. Ce adăugăm peste barem e scris din rigoare: corectorul notează după barem. Fiecare rezultat a fost refăcut independent, prin calcul simbolic.

Subiectul I.1.b: dreapta care taie graficul într-un singur punct

b) $h(x)=f(x)+g(x)=3x^2+3mx+m$. Un punct comun al dreptei și al graficului are abscisa $x$ soluție a ecuației $$3x^2+3mx+m=-9x-4⟺3x^2+(3m+9)x+m+4=0.$$ De ce „exact un punct” înseamnă $\Delta =0$: fiecărei soluții reale $x$ îi corespunde exact un punct comun, $(x,-9x-4)$, și invers. Deci dreapta și graficul au exact un punct comun dacă și numai dacă ecuația are exact o soluție reală. Coeficientul lui $x^2$ este $3$, pentru orice $m$, deci ecuația e de gradul al doilea pentru orice $m$ și are exact o soluție reală exact când $\Delta =0$. (Dacă coeficientul dominant ar fi depins de $m$, ar fi trebuit tratat separat cazul în care se anulează: o ecuație de gradul întâi are tot o singură soluție.) Baremul folosește echivalența fără să o spună. $$\Delta =(3m+9{)}^2-12(m+4)=9m^2+42m+33=3(m+1)(3m+11).$$ $\Delta =0$ dă $m=-1$ sau $m=-\frac{11}{3}$, iar cerința cere un număr întreg: $m=-1$. Pentru $m=-1$, ecuația devine $3(x+1{)}^2=0$, cu singura soluție $x=-1$, iar punctul comun este $(-1,5)$.

Față de 2025. Rezultatul și baremul sunt aceleași ca la I.1.b din 2025, unde se cerea tangenta. Pentru o parabolă și o dreaptă neverticală, cele două condiții coincid. Pentru alte curbe nu: o dreaptă poate tăia graficul unei funcții de gradul al treilea într-un singur punct fără să fie tangentă. Formularea modelului se rezolvă deci fără derivate, cu discriminantul.

Subiectul al II-lea.1.b: polinomul fără rădăcini reale

b) Scriem polinomul ca sumă de pătrate plus o constantă pozitivă. Din $X^4-2a{X}^3+a^2{X}^2=X^2(X-a{)}^2$ rămân $\left(3a^2+2-a^2\right)X^2+2X+4=2a^2{X}^2+2X^2+2X+4$, iar $2X^2+2X+4=X^2+(X+1{)}^2+3$. Deci $$f=X^2(X-a{)}^2+2a^2{X}^2+X^2+(X+1{)}^2+3.$$ Pentru orice $x$ real, primii patru termeni sunt pătrate de numere reale, deci $\ge 0$, iar al cincilea e $3$. Rezultă $f(x)\ge 3>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ și orice $a\in \mathbb{R}$, deci $f$ nu are nicio rădăcină reală.

De ce nu mai merge argumentul din 2025. La II.1.b din 2025 s-a arătat că $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=-2a^2-4<0$. Asta exclude doar cazul în care toate rădăcinile sunt reale. Un polinom de gradul 4 cu două rădăcini reale și două complexe conjugate poate avea suma pătratelor rădăcinilor negativă. De exemplu, $(X-1)(X+1)\left(X^2+4\right)$ are rădăcinile $\pm 1$ și $\pm 2i$, iar suma pătratelor lor este $1+1-4-4=-6<0$. Pentru „nicio rădăcină reală” trebuie deci o informație despre valorile lui $f$ pe $\mathbb{R}$, ca descompunerea de mai sus.

Subiectul al II-lea.2.c: integrala pe un interval oarecare

c) Minorarea pe toată axa reală, pe care baremul o afirmă fără justificare: $$f(x)-\frac{3}{2}=\frac{2\left(2x^2+x+2\right)-3\left(x^2+1\right)}{2\left(x^2+1\right)}=\frac{x^2+2x+1}{2\left(x^2+1\right)}=\frac{(x+1{)}^2}{2\left(x^2+1\right)}\ge 0,$$ deci $f(x)\ge \frac{3}{2}$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, cu egalitate doar în $x=-1$. Același lucru rezultă din monotonia de la a): $f$ scade pe $(-\infty ,-1]$ și urcă pe $[-1,1]$, deci are minimul $f(-1)=\frac{3}{2}$ pe $(-\infty ,1]$, iar pe $[1,+\infty )$ scade spre $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=2$, deci rămâne peste $2$.

Cum $f(x)\ge \frac{3}{2}>0$, pentru orice număr natural $n$ avem ${\left(f(x)\right)}^n\ge {\left(\frac{3}{2}\right)}^n$, iar integrala păstrează inegalitatea, pentru că $a<b$: $${\int }_a^b{\left(f(x)\right)}^{n}dx\ge {\int }_a^b{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n}dx={\left(\frac{3}{2}\right)}^n(b-a).$$ Cum $b-a>0$ și $\frac{3}{2}>1$, membrul drept tinde la $+\infty$, deci $$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_a^b{\left(f(x)\right)}^{n}dx=+\infty .$$

Față de 2025. La II.2.c din 2025 intervalul era $[-1,1]$, unde minorarea vine direct din monotonia pe $[-1,1]$. Pe un interval oarecare, de exemplu $[5,6]$, monotonia pe $[-1,1]$ nu mai ajunge: trebuie minorarea pe tot $\mathbb{R}$. Ipoteza $a<b$ e necesară: pentru $a=b$ integrala e $0$, pentru orice $n$.

O notă de lectură. La II.2.c, literele $a$ și $b$ sunt numere noi: $a$ nu e valoarea găsită la b) (unde $a=2$) și nici parametrul polinomului de la II.1. Enunțul nu spune explicit că $n$ e număr natural; baremul scrie „pentru orice număr natural $n$”.

Unde se pierd puncte la cerințele noi

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• II.1.b: baremul dă 3 puncte pentru descompunerea în pătrate. Suma pătratelor rădăcinilor negativă, argumentul din 2025, nu demonstrează că nu există nicio rădăcină reală.
• I.1.b: o greșeală de lectură frecventă e păstrarea valorii $m=-\frac{11}{3}$: și ea dă un singur punct comun, dar cerința cere un număr întreg.

Din rigoare (baremul nu le cere): la I.1.b, de ce „exact un punct comun” înseamnă $\Delta =0$ (coeficientul dominant e $3$ pentru orice $m$); la II.2.c, justificarea minorării $f\ge \frac{3}{2}$ pe tot $\mathbb{R}$, pe care baremul o afirmă fără demonstrație. Le-am scris în rezolvare pentru o demonstrație completă; corectorul notează după barem.

Subiectul al III-lea: didactica

Subiectul al III-lea și baremul lui sunt identice cu cele din 2025: o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității „Cercul”, clasa a VII-a, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip de item, câte 1 punct pentru fiecare dintre cele șase criterii. Modelul nostru de răspuns, un test de 90 de puncte plus 10 din oficiu, cu baremul fiecărui item și cu legătura datată cu standardele din 2026, e pe pagina probei din 2025.

Proba reală din 2026 a cerut altceva la didactică. Pe 21 iulie 2026, Subiectul al III-lea a pornit de la programa clasei a VI-a și a cerut cinci itemi fără avantaj și dezavantaj, cu baremul 1 + 1 + 1 + 1 + 2 puncte pe item. Proba și modelul de răspuns sunt pe pagina titularizare matematică 2026.

Întrebări frecvente

Prin ce diferă modelul de titularizare la matematică pentru 2026 de subiectul din 2025?

Modelul reia proba din 15 iulie 2025 (Varianta 3) și schimbă trei cerințe de specialitate. La I.1.b, dreapta nu mai trebuie să fie tangentă la grafic, ci să îl intersecteze în exact un punct. La II.1.b, polinomul nu mai trebuie să aibă cel mult două rădăcini reale, ci niciuna. La II.2.c, integrala nu mai e pe intervalul de la -1 la 1, ci pe un interval oarecare de la a la b, cu a mai mic decât b. Didactica și celelalte cerințe sunt identice.

Unde găsesc modelul oficial de titularizare la matematică pentru 2026?

În arhiva modelelor sesiunii 2026, pe subiecte2026.edu.ro (Modele_Titularizare_2026.zip, aproximativ 46 MB, cu modelele tuturor disciplinelor), în fișierele Tit_109_Matematica_P_2026_var_model.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2026_bar_model.pdf (baremul). Pe pagina asta, amândouă sunt transcrise integral.

Proba de titularizare la matematică din 2026 a semănat cu modelul?

Ca structură, da: 4 ore, trei subiecte de câte 30 de puncte și 10 puncte din oficiu. Problemele de specialitate au fost însă altele, iar la didactică proba din 21 iulie 2026 a pornit de la programa clasei a VI-a, nu a VII-a, și nu a mai cerut avantajul și dezavantajul fiecărui tip de item. Baremul ei a dat pe fiecare item 1 punct pentru competență, 1 pentru activitate, 1 pentru format, 1 pentru răspunsul așteptat și 2 pentru corectitudinea științifică.

Mai departe

• Titularizare matematică 2025: proba din care derivă modelul, rezolvată integral, cu modelul de răspuns la didactică.
• Titularizare matematică 2026: proba reală din 21 iulie 2026, rezolvată.
• Titularizare matematică: toate subiectele, programa și media: pagina examenului, cu tabelul pe ani.
• Calculatorul de medie la titularizare: media de repartizare din nota la proba scrisă și nota la inspecție.

Sursele

• Modelul și baremul: Ministerul Educației și Cercetării, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, „Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2026, Probă scrisă, Matematică, Model”, subiect și barem, arhiva Modele_Titularizare_2026.zip de pe subiecte2026.edu.ro.
• Proba din 2025, cu care am comparat modelul: subiectul și baremul „15 iulie 2025, Probă scrisă, Matematică, Varianta 3”, arhiva Titularizare_2025.zip de pe subiecte2025.edu.ro.
• Proba din 2026, pentru comparația de la didactică: subiectul și baremul „21 iulie 2026, Probă scrisă, Matematică, Varianta 1”, arhiva Titularizare_2026.zip de pe subiecte2026.edu.ro.
• Programa școlară: OMEN nr. 3393/28.02.2017, Anexa nr. 2.

Verificat de noi pe 17.10.2026: modelul și baremul sunt transcrise de pe imaginea fiecărei pagini a PDF-urilor oficiale. Diferențele față de 2025 sunt stabilite prin compararea textelor celor două probe și a imaginilor paginilor; un script verifică și că fiecare cerință nemodificată are pe această pagină același enunț ca pe pagina probei din 2025. Rezolvările cerințelor noi au fost refăcute prin calcul simbolic.