Subiecte titularizare matematică 2026: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la titularizarea din 2026 (concursul național de ocupare a posturilor didactice) s-a dat pe 21 iulie 2026 și a durat 4 ore. Are trei subiecte de câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Subiectele I și II sunt de specialitate: logaritmi, geometrie sintetică, polinoame, limite și integrale. Subiectul al III-lea e de didactică: cinci itemi pentru unitatea „Ecuații, inecuații, probleme… în contextul numerelor întregi” de la clasa a VI-a. Pe pagină: subiectul transcris exact, baremul oficial publicat de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare (CNCE) și rezolvarea noastră completă, cu un model de răspuns la didactică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Structura probei · Subiectul · Baremul oficial · Rezolvarea · Didactica: model de răspuns · Întrebări frecvente

Structura probei din 2026

Fiecare dintre cei doi evaluatori dă nota ca punctaj total împărțit la 10; nota finală e media celor două note, cu două zecimale, fără rotunjire (OMEC nr. 6695/2025, art. 70 alin. (3), sesiunea 2026). Proba scrisă are pondere de 75 % în media de repartizare; restul de 25 % vine din inspecția specială la clasă. Formula și notele minime sunt pe pagina titularizării la matematică, iar media se poate calcula cu calculatorul de medie la titularizare.

Documentele oficiale sunt în arhiva sesiunii 2026, pe subiecte2026.edu.ro (legătură http; arhiva ZIP are aproximativ 31 MB și cuprinde toate disciplinele). Fișierele de matematică sunt Tit_109_Matematica_P_2026_var_01_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2026_bar_01_LRO.pdf (baremul). Am transcris Varianta 1, adică varianta pe care CNCE a publicat-o în arhiva oficială.

Exersează în condiții de examen: pornește un cronometru de 4 ore, rezolvă doar secțiunea Subiectul oficial (o poți și tipări), apoi compară, cerință cu cerință, cu baremul și cu rezolvarea.

Subiectul oficial (Varianta 1)

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2026. Probă scrisă. Matematică. Varianta 1.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Se consideră expresia $E(x,y)=x^{{\log }_{y}2}\cdot y^{{\log }_{x}2}$, unde $x,y\in (0,1)\cup (1,+\infty )$.

• (5p) a) Arătați că $E\left(2,\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$.
• (5p) b) Demonstrați că $E\left(x^n,y^n\right)=E(x,y)$, pentru orice $x,y\in (0,1)\cup (1,+\infty )$ și orice număr natural nenul $n$.
• (5p) c) Demonstrați că $E(x,y)\ge 4$, pentru orice $x,y\in (1,+\infty )$.

2. Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$, cu $\sphericalangle BAC>45^{\circ }$ și $AC>BC$, iar punctul $D$ este proiecția punctului $B$ pe dreapta $AC$. Mediatoarea segmentului $AB$ intersectează dreptele $BD$, $AC$ și paralela prin punctul $C$ la dreapta $AB$ în punctele $M$, $N$, respectiv $P$, iar $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $BN$.

• (5p) a) Demonstrați că dreptele $AE$ și $BN$ sunt perpendiculare.
• (5p) b) Demonstrați că dreptele $DE$ și $AB$ sunt paralele.
• (5p) c) Demonstrați că $\frac{CQ}{DE}-\frac{QS}{AB}=1$, unde $Q$ și $S$ sunt punctele de intersecție a dreptei $CP$ cu dreptele $AM$, respectiv $BN$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră polinomul $f=X^4+X^3+(m+1)X^2-X+m$, unde $m$ este număr complex.

• (5p) a) Pentru $m=0$, arătați că polinomul $f$ are o singură rădăcină număr întreg.
• (5p) b) Se consideră polinomul $g=X^{26}\cdot f$. Demonstrați că restul împărțirii polinomului $g$ la polinomul $X^2+1$ este $2X$, pentru orice număr complex $m$.
• (5p) c) Determinați numărul $m$ pentru care rădăcinile polinomului $f$ au modulele egale.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(1+x^2\right)e^{\mathrm{arctg}x}$.

• (5p) a) Arătați că tangenta la graficul funcției $f$, în punctul $A(0,f(0))$, are panta egală cu $1$.
• (5p) b) Demonstrați că $\underset{x\to 0}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=e$, unde $g:{\mathbb{R}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{1}{x}$.
• (5p) c) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_{-1}^0(2x+1{)}^n{f}^{\prime }(x)dx$. Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VI-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VI-a

1.3. Identificarea caracteristicilor numerelor întregi în contexte variate

• Identificarea unui număr întreg în situații practice sau interdisciplinare (de exemplu: temperaturi, altitudini, golaveraje, debit/credit)
• Reprezentarea pe axa numerelor a opusului unui număr întreg; modulul ca distanță pe axa numerelor de la origine la reprezentarea numărului
• Identificarea unor contexte practic-aplicative sau teoretice care folosesc ecuații sau inecuații în mulțimea numerelor întregi

2.3. Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor

• Compararea numerelor întregi, pornind de la reprezentările acestora pe axa numerelor
• Ordonarea elementelor unei mulțimi finite de numere întregi
• Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea operațiilor cu numere întregi: adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la putere cu exponent natural
• Validarea (prin probă) a soluției unei ecuații sau a unei inecuații în mulțimea numerelor întregi

3.3. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere întregi

• Aplicarea unor proprietăți ale operațiilor cu numere întregi pentru optimizarea calculelor numerice
• Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule numerice)
• Utilizarea eficientă a metodelor de determinare a unei necunoscute dintr-o ecuație sau inecuație (metoda mersului invers, metoda balanței, transformări ale relațiilor de egalitate/inegalitate)

4.3. Redactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor și a inecuațiilor studiate în mulțimea numerelor întregi

• Formularea unor răspunsuri logice în raport cu cerințe de calcul numeric (corelații intradisciplinare; de exemplu: apartenența rezultatului unui calcul la o mulțime, estimarea rezultatului, utilizarea lui 0 ca factor în produse de numere)
• Scrierea unei ecuații/inecuații echivalente cu o ecuație/inecuație dată
• Redactarea demersului de rezolvare a unor ecuații sau inecuații în mulțimea numerelor întregi (inclusiv verificarea soluțiilor)
• Transpunerea unei probleme într-o ecuație care se rezolvă în mulțimea numerelor întregi
• Exprimarea unor caracteristici ale modulului, derivate din definiția acestuia ($|x|=a$, $|x|<a$, $|x|\le a$, unde $a$ și $x$ sunt numere întregi)

5.3. Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utilizând numerele întregi

• Analizarea unor situații practice în care se utilizează numere întregi
• Analizarea unor consecințe posibile ce decurg din modificarea unui set de ipoteze în probleme referitoare la numere întregi
• Încadrarea soluției unei ecuații într-o mulțime de numere întregi, fără a efectua calcule

6.3. Transpunerea, în limbaj algebric, a unei situații date, rezolvarea ecuației sau inecuației obținute și interpretarea rezultatului

• Transpunerea unei situații date în limbaj matematic, utilizând ecuații sau inecuații
• Formularea de probleme cu numere întregi pe baza unei scheme date sau a unui exercițiu dat
• Formularea unor probleme echivalente cu o problemă dată în contextul numerelor întregi

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informațiile din secvența de mai sus, pentru a evalua competențele specifice formate/dezvoltate în cadrul unității de învățare „Ecuații, inecuații, probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor/inecuațiilor în contextul numerelor întregi”, elaborați cinci itemi: un item de completare, un item cu răspuns scurt, un item de tip alegere multiplă, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme.

Pentru fiecare item propus:

• menționați competența specifică evaluată;
• menționați activitatea de învățare în cadrul căreia ați utiliza acest item;
• respectați formatul tipului de item;
• elaborați răspunsul așteptat (baremul de evaluare);
• respectați corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2026. Probă scrisă. Matematică. Varianta 1. Barem de evaluare și de notare.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (30 de puncte)

1. a)

• $E\left(2,\frac{1}{2}\right)=2^{{\log }_{\frac{1}{2}}2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{{\log }_{2}2}=2^{-1}\cdot \frac{1}{2}=$ — 3p
• $=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ — 2p

1. b)

• $E\left(x^n,y^n\right)={\left(x^n\right)}^{{\log }_{y^n}2}\cdot {\left(y^n\right)}^{{\log }_{x^n}2}=$ — 2p
• $=x^{n\cdot \frac{1}{n}{\log }_{y}2}\cdot y^{n\cdot \frac{1}{n}{\log }_{x}2}=x^{{\log }_{y}2}\cdot y^{{\log }_{x}2}=E(x,y)$, pentru orice $x,y\in (0,1)\cup (1,+\infty )$ și orice număr natural nenul $n$ — 3p

1. c)

• $E(x,y)=2^{{\log }_{x}y+{\log }_{y}x}=2^{{\log }_{x}y+\frac{1}{{\log }_{x}y}}$, pentru orice $x,y\in (1,+\infty )$ — 3p
• $x,y\in (1,+\infty )\Rightarrow {\log }_{x}y>0$, deci ${\log }_{x}y+\frac{1}{{\log }_{x}y}\ge 2$, de unde obținem $E(x,y)\ge 4$, pentru orice $x,y\in (1,+\infty )$ — 2p

2. a)

• $MN$ este mediatoarea segmentului $AB$, deci $MN\perp AB$ și, cum $BD\perp AC$ și $MN\cap BD=\{M\}$, rezultă că $M$ este ortocentrul triunghiului $ABN$ — 3p
• Cum $M\in AE$, obținem $AE\perp BN$ — 2p

2. b)

• $NA=NB$, deci $\sphericalangle NAB=\sphericalangle NBA$ — 2p
• $\Delta ABD\equiv \Delta BAE$, de unde obținem $AD=BE$, deci $\frac{AD}{NA}=\frac{BE}{NB}$, de unde rezultă $AB\parallel DE$ — 3p

2. c)

• $QS\parallel AB\Rightarrow \Delta QES\sim \Delta AEB$, deci $\frac{QS}{AB}=\frac{QE}{AE}$ — 2p
• $QS\parallel DE\Rightarrow \Delta AQC\sim \Delta AED$, deci $\frac{CQ}{DE}=\frac{AQ}{AE}$, de unde obținem $\frac{CQ}{DE}-\frac{QS}{AB}=\frac{AQ}{AE}-\frac{QE}{AE}=1$ — 3p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. a)

• $f=X\left(X^3+X^2+X-1\right)$, deci $0$ este rădăcină număr întreg a lui $f$, iar rădăcinile numere întregi ale polinomului $h=X^3+X^2+X-1\in \mathbb{Z}[X]$, dacă ar exista, ar aparține mulțimii $\{-1,1\}$ — 3p
• $h(-1)\ne 0$ și $h(1)\ne 0$, deci polinomul $f$ are o singură rădăcină număr întreg — 2p

1. b)

• $m\in \mathbb{C}$, deci $g=\left(X^2+1\right)q+aX+b$, unde $q\in \mathbb{C}[X]$ și $a,b\in \mathbb{C}$, de unde obținem $i^{26}f(i)=ai+b$ și $(-i{)}^{26}f(-i)=-ai+b$ — 3p
• Cum $f(i)=-2i$ și $f(-i)=2i$, obținem $a=2$ și $b=0$, deci restul împărțirii polinomului $g$ la $X^2+1$ este $2X$, pentru orice număr complex $m$ — 2p

1. c)

• $r=|x_i|$, $i\in \{1,2,3,4\}$ și, cum $x_1+x_2+x_3+x_4=-1$, obținem $r\ne 0$, deci $m\ne 0$; $x_1{x}_2{x}_3{x}_4=m$, $x_1{x}_2{x}_3+x_1{x}_2{x}_4+x_1{x}_3{x}_4+x_2{x}_3{x}_4=1$, de unde obținem $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{1}{m}$, deci $\overline{x_1}+\overline{x_2}+\overline{x_3}+\overline{x_4}=\frac{r^2}{m}$, de unde rezultă $m=-r^2$ — 3p
• Cum $r^4=|m|$, obținem $m=-1$, pentru care rădăcinile lui $f$ au modulele egale — 2p

2. a)

• $f^{\prime }(x)=(2x+1)e^{\mathrm{arctg}x}$, $x\in \mathbb{R}$ — 3p
• Tangenta are panta egală cu $f^{\prime }(0)=e^{\mathrm{arctg}0}=1$ — 2p

2. b)

• $\underset{x\to 0}{\lim }f(x{)}^{g(x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\left({\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{x}}\cdot e^{\frac{\mathrm{arctg}x}{x}}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left({\left({\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{x^2}}\right)}^x\cdot e^{\frac{\mathrm{arctg}x}{x}}\right)=$ — 2p
• $=e^0\cdot e^1=e$, deoarece $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{arctg}x}{x}=1$ — 3p

2. c)

• $|I_n|=\left|{\int }_{-1}^0(2x+1{)}^{n+1}{e}^{\mathrm{arctg}x}dx\right|\le {\int }_{-1}^0|2x+1{|}^{n+1}{e}^{\mathrm{arctg}x}dx\le {\int }_{-1}^0|2x+1{|}^{n+1}dx$ — 2p
• ${\int }_{-1}^0|2x+1{|}^{n+1}dx={\int }_{-1}^{-\frac{1}{2}}(-2x-1{)}^{n+1}dx+{\int }_{-\frac{1}{2}}^0(2x+1{)}^{n+1}dx=\frac{1}{n+2}$, pentru orice număr natural nenul $n$ și, cum $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n+2}=0$, obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$ — 3p

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Itemul de completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• respectarea corectitudinii științifice a informației de specialitate — 2p

Itemul cu răspuns scurt elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• respectarea corectitudinii științifice a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• respectarea corectitudinii științifice a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței/competențelor specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• respectarea corectitudinii științifice a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• respectarea corectitudinii științifice a informației de specialitate — 2p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Rezolvările urmează baremul. Acolo unde baremul sare o justificare (poziția punctelor în figură, verificarea unei valori găsite), o scriem, din rigoare: corectorul notează după barem, dar demonstrația e completă abia cu ea. Fiecare rezultat de mai jos a fost refăcut independent, prin calcul simbolic.

Subiectul I.1: expresia cu logaritmi

a) ${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1$, pentru că ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$, iar ${\log }_{2}2=1$. Atunci $$E\left(2,\frac{1}{2}\right)=2^{-1}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^1=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$

b) Întâi, expresia $E\left(x^n,y^n\right)$ are sens: dacă $x>0$ și $x\ne 1$, atunci $x^n>0$ și $x^n\ne 1$, pentru că funcția $t\mapsto t^n$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$ și $1^n=1$. Din formula de schimbare a bazei, $${\log }_{y^n}2=\frac{\ln 2}{\ln y^n}=\frac{\ln 2}{n\ln y}=\frac{1}{n}{\log }_{y}2,$$ deci ${\left(x^n\right)}^{{\log }_{y^n}2}=x^{n\cdot \frac{1}{n}{\log }_{y}2}=x^{{\log }_{y}2}$. La fel, ${\left(y^n\right)}^{{\log }_{x^n}2}=y^{{\log }_{x}2}$. Înmulțind, $E\left(x^n,y^n\right)=E(x,y)$.

c) Scriem fiecare factor ca putere a lui $2$: $$x^{{\log }_{y}2}=2^{{\log }_{2}x\cdot {\log }_{y}2}=2^{\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}y}}=2^{{\log }_{y}x},y^{{\log }_{x}2}=2^{{\log }_{x}y}.$$ Deci $E(x,y)=2^{t+\frac{1}{t}}$, unde $t={\log }_{x}y$. Pentru $x,y>1$ avem $t>0$, iar $$t+\frac{1}{t}-2=\frac{(t-1{)}^2}{t}\ge 0.$$ Funcția $u\mapsto 2^u$ este crescătoare, deci $E(x,y)\ge 2^2=4$. Egalitatea are loc pentru $t=1$, adică pentru $x=y$.

De ce contează condiția $x,y>1$: pe tot domeniul $(0,1)\cup (1,+\infty )$ inegalitatea e falsă. Exemplul e punctul a): $E\left(2,\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}$, pentru că acolo $t=-1<0$. Merge și pentru $x,y\in (0,1)$, unde tot $t>0$, dar cerința nu întreabă asta.

Subiectul I.2: geometria

Ce fac ipotezele. Baremul nu discută figura, dar raționamentul de la b) și c) depinde de ordinea punctelor. Notăm $\alpha =m(\sphericalangle BAC)$ și $\beta =m(\sphericalangle ABC)$.

• Punctul $N$ este pe latura $AC$. $N$ este pe mediatoarea lui $AB$, deci $AN=\frac{AB}{2\cos \alpha }$. Cu teorema sinusurilor, $AN<AC$ revine la $\sin C<2\sin B\cos \alpha =\sin C+\sin (\beta -\alpha )$, adică la $\beta >\alpha$. Iar $\beta >\alpha$ e exact ipoteza $AC>BC$: în triunghi, latura mai mare se opune unghiului mai mare.
• Triunghiul $ABN$ este ascuțitunghic. Unghiurile lui sunt $\alpha$, $\alpha$ și $180^{\circ }-2\alpha$, iar ultimul e ascuțit exact când $\alpha >45^{\circ }$. Atunci ortocentrul $M$ este în interiorul triunghiului $ABN$, $D$ este pe segmentul $AN$, iar $E$ este pe segmentul $BN$.

a) În triunghiul $ABN$, dreapta $MN$ este mediatoarea lui $AB$, deci trece prin $N$ și este perpendiculară pe $AB$: e înălțimea din $N$. Dreapta $BD$ este perpendiculară pe $AC$, adică pe $AN$: e înălțimea din $B$. Cele două înălțimi se taie în $M$, deci $M$ este ortocentrul triunghiului $ABN$. A treia înălțime trece prin $A$ și prin $M$, deci $AM\perp BN$. Cum $E\in AM\cap BN$, obținem $AE\perp BN$. În plus, $E$ este piciorul înălțimii din $A$.

b) Din $NA=NB$, triunghiul $NAB$ este isoscel, deci $\sphericalangle NAB\equiv \sphericalangle NBA$. Triunghiurile $ABD$ și $BAE$ sunt dreptunghice în $D$, respectiv în $E$, au ipotenuza comună $AB$ și câte un unghi ascuțit congruent ($\sphericalangle DAB\equiv \sphericalangle EBA$). După cazul ipotenuză–unghi, $\Delta ABD\equiv \Delta BAE$, deci $AD=BE$. Cum $D\in (AN)$ și $E\in (BN)$, avem $ND=NA-AD=NB-BE=NE$, deci $\frac{ND}{NA}=\frac{NE}{NB}$. Din reciproca teoremei lui Thales în triunghiul $NAB$, $DE\parallel AB$.

c) Dreapta $CP$ trece prin $C$ și este paralelă cu $AB$, deci $CP\parallel AB\parallel DE$. Punctul $E$ este pe segmentul $BN$, deci mai aproape de $AB$ decât $N$. La rândul lui, $N$ este mai aproape de $AB$ decât $C$, pentru că $N\in (AC)$. Așadar, pe semidreapta $AE$, punctul $Q$ în care ea taie paralela $CP$ vine după $E$: $AQ=AE+EQ$.

• Din $QS\parallel AB$, triunghiurile $QES$ și $AEB$ sunt asemenea (unghiuri opuse la vârf în $E$ și unghiuri alterne interne), deci $\frac{QS}{AB}=\frac{QE}{AE}$.
• Din $QC\parallel DE$, cu $D\in AC$ și $E\in AQ$, triunghiurile $AQC$ și $AED$ sunt asemenea, deci $\frac{CQ}{DE}=\frac{AQ}{AE}$. Baremul scrie „$QS\parallel DE$”: e aceeași paralelă, pentru că $Q$, $S$ și $C$ sunt toate pe dreapta $CP$.

Atunci $$\frac{CQ}{DE}-\frac{QS}{AB}=\frac{AQ-QE}{AE}=\frac{AE}{AE}=1.$$

Ce rol au, de fapt, ipotezele. Am verificat numeric că egalitatea de la c) rămâne adevărată în orice triunghi ascuțitunghic, chiar și fără $\sphericalangle BAC>45^{\circ }$ sau fără $AC>BC$. Se schimbă însă figura: pentru $\sphericalangle BAC<45^{\circ }$, punctul $D$ trece dincolo de $N$, iar pentru $AC<BC$, punctul $N$ iese de pe latura $AC$. Cele două ipoteze fixează figura pe care o folosește baremul ($D\in (AN)$, $E\in (BN)$, $M$ în interiorul triunghiului $ABN$), ca demonstrația să nu aibă nevoie de cazuri. Fără ipoteza de triunghi ascuțitunghic, egalitatea poate să nu mai aibă loc: pentru unghiurile $30^{\circ }$, $50^{\circ }$ și $100^{\circ }$ (unghiul $C$ obtuz), diferența iese aproximativ $0,796$, nu $1$.

Subiectul al II-lea.1: polinomul

a) Pentru $m=0$: $f=X^4+X^3+X^2-X=X\left(X^3+X^2+X-1\right)$, deci $0$ este rădăcină. Polinomul $h=X^3+X^2+X-1$ are coeficienți întregi și coeficientul dominant $1$, deci o rădăcină întreagă a lui ar divide termenul liber $-1$: ar fi $1$ sau $-1$. Dar $h(1)=2\ne 0$ și $h(-1)=-2\ne 0$. Cum $h(0)=-1\ne 0$, $0$ este rădăcină simplă a lui $f$. Polinomul $f$ are deci o singură rădăcină număr întreg, $x=0$.

b) Din teorema împărțirii cu rest, $g=\left(X^2+1\right)q+aX+b$. Înlocuim $X=i$ și $X=-i$, rădăcinile lui $X^2+1$:

• $f(i)=1-i-(m+1)-i+m=-2i$ și $f(-i)=1+i-(m+1)+i+m=2i$;
• $i^{26}={\left(i^2\right)}^{13}=-1$ și $(-i{)}^{26}=-1$, deci $g(i)=2i$ și $g(-i)=-2i$;
• din $ai+b=2i$ și $-ai+b=-2i$ rezultă $a=2$ și $b=0$.

Restul este $2X$, oricare ar fi $m$: parametrul se reduce la calculul lui $f(\pm i)$.

Altă cale, mai scurtă: modulo $X^2+1$ avem $X^2\equiv -1$, deci $X^4\equiv 1$, $X^3\equiv -X$ și $X^{26}={\left(X^2\right)}^{13}\equiv -1$. Rezultă $f\equiv 1-X-(m+1)-X+m=-2X$, iar $g\equiv (-1)(-2X)=2X$.

c) Fie $x_1,x_2,x_3,x_4$ rădăcinile și $r$ modulul lor comun. Relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3+x_4=-1$, suma produselor câte trei $=1$ și $x_1{x}_2{x}_3{x}_4=m$.

• $r\ne 0$: altfel toate rădăcinile ar fi $0$ și suma lor ar fi $0\ne -1$. Atunci $m\ne 0$.
• Inversele: împărțind a treia relație la a patra, $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_4}=\frac{1}{m}$.
• Conjugatele: pentru $|x_k|=r$ avem $\frac{1}{x_k}=\frac{\overline{x_k}}{|x_k{|}^2}=\frac{\overline{x_k}}{r^2}$, deci $\overline{x_1}+\overline{x_2}+\overline{x_3}+\overline{x_4}=\frac{r^2}{m}$. Dar suma conjugatelor este conjugata sumei, adică $\overline{-1}=-1$. Rezultă $\frac{r^2}{m}=-1$, deci $m=-r^2$.
• Modulul produsului: $|m|=|x_1{x}_2{x}_3{x}_4|=r^4$, iar din $m=-r^2$ avem $|m|=r^2$. Atunci $r^4=r^2$, cu $r>0$, deci $r=1$ și $m=-1$.

Verificarea, pe care baremul nu o face. Până aici am arătat doar că $m=-1$ este singura valoare posibilă. Pentru $m=-1$: $f=X^4+X^3-X-1=X^3(X+1)-(X+1)=(X+1)\left(X^3-1\right)$. Rădăcinile sunt $-1$, $1$ și $\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$, toate de modul $1$. Deci $m=-1$ convine. Baremul se oprește la „singura valoare posibilă”; demonstrația e completă abia cu verificarea de mai sus. O scriem din rigoare, iar la examen te pune la adăpost.

Subiectul al II-lea.2: funcția cu arctangentă

a) $f^{\prime }(x)=2x{e}^{\mathrm{arctg}x}+\left(1+x^2\right)e^{\mathrm{arctg}x}\cdot \frac{1}{1+x^2}=(2x+1)e^{\mathrm{arctg}x}$. Panta tangentei în $A(0,f(0))$ este $f^{\prime }(0)=1\cdot e^0=1$.

b) Limita este de tipul $1^{\infty }$, pentru că $f(0)=1$. Despărțim factorii: $f(x{)}^{\frac{1}{x}}={\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{x}}\cdot e^{\frac{\mathrm{arctg}x}{x}}$.

• Primul factor: ${\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{x}}={\left({\left(1+x^2\right)}^{\frac{1}{x^2}}\right)}^x$. Paranteza tinde la $e$, exponentul la $0$, deci factorul tinde la $e^0=1$.
• Al doilea factor tinde la $e^1$, pentru că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{arctg}x}{x}=1$.

Rezultatul este $e$. Limita e aceeași din stânga și din dreapta lui $0$. Altă cale: $\ln f(x{)}^{\frac{1}{x}}=\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{x}+\frac{\mathrm{arctg}x}{x}\to 0+1$.

c) Cheia e că $f^{\prime }(x)$ conține deja factorul $2x+1$, deci $I_n={\int }_{-1}^0(2x+1{)}^{n+1}{e}^{\mathrm{arctg}x}dx$. Pe $[-1,0]$ avem $\mathrm{arctg}x\le 0$, deci $0<e^{\mathrm{arctg}x}\le 1$. Atunci $$|I_n|\le {\int }_{-1}^0|2x+1{|}^{n+1}dx=2{\int }_{-\frac{1}{2}}^0(2x+1{)}^{n+1}dx=\frac{(2x+1{)}^{n+2}}{n+2}{|}_{-\frac{1}{2}}^0=\frac{1}{n+2}.$$ Integrandul $|2x+1{|}^{n+1}$ este simetric față de $x=-\frac{1}{2}$, de aceea cele două integrale din barem sunt egale. Cum $\frac{1}{n+2}\to 0$, criteriul cleștelui dă $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=0$.

Unde se pierd puncte la specialitate

• I.1.c: inegalitatea $t+\frac{1}{t}\ge 2$ se aplică doar pentru $t>0$. Fără precizarea „${\log }_{x}y>0$ pentru $x,y>1$”, pasul de 2 puncte e incomplet.
• I.2.b: din $AD=BE$ nu rezultă direct paralelismul. Rândul de 3 puncte trece prin raportul $\frac{AD}{NA}=\frac{BE}{NB}$ (sau, echivalent, $\frac{ND}{NA}=\frac{NE}{NB}$).
• II.1.c: rândul de 3 puncte trece prin conjugate ($\overline{x_1}+\cdots +\overline{x_4}=\frac{r^2}{m}$), nu prin inversele singure.
• II.2.c: cine nu observă că $(2x+1{)}^n{f}^{\prime }(x)=(2x+1{)}^{n+1}{e}^{\mathrm{arctg}x}$ încearcă o integrare prin părți inutilă.

Din rigoare (baremul nu le cere): poziția punctelor $D\in (AN)$, $E\in (BN)$ și ordinea $A$–$E$–$Q$ la I.2.b–c; verificarea că $m=-1$ chiar dă module egale la II.1.c. Le-am scris în rezolvare pentru o demonstrație completă; corectorul notează după barem.

Subiectul al III-lea: modelul nostru de răspuns la didactică

Baremul oficial nu dă itemi-model: punctează orice item corect, după cele cinci criterii de mai sus. Mai jos e un model de răspuns, gândit să îndeplinească fiecare criteriu din barem. L-am construit ca pe un test real, de 90 de puncte plus 10 din oficiu (nota = punctajul / 10, ca la examenele naționale), pe care îl poți da la clasă la finalul unității.

Cum se construiește un răspuns de 6 puncte pe item:

• competența specifică și activitatea de învățare se aleg din secvența dată și se copiază cuvânt cu cuvânt. Activitatea trebuie să fie din blocul aceleiași competențe și, de preferat, una care se desfășoară chiar în unitatea cerută;
• itemul rămâne în unitatea cerută: chiar și la competențele 1.3 sau 2.3, el conține o ecuație sau o inecuație în $\mathbb{Z}$, nu doar o ordonare sau un calcul;
• împărțirile sunt exacte: programa clasei a VI-a permite împărțirea în $\mathbb{Z}$ doar „când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului”. Un rezultat intermediar care nu e întreg pierde punctele de corectitudine științifică;
• fiecare item are baremul lui, cu punctaj.

Tipurile de itemi, pe scurt. Programa de concurs numește doar tema („Tipologia itemilor”), fără o clasificare. În clasificarea obișnuită din docimologie, alegerea multiplă e un item obiectiv. Completarea, răspunsul scurt și întrebarea structurată sunt semiobiective. Rezolvarea de probleme e un item subiectiv.

Avantajele și limitele nu se cer în 2026. S-au cerut în 2024 și în 2025, și se cer și în modelul pentru 2026, așa că merită știute.

Itemul 1, de completare (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 3.3. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere întregi.
• Activitatea de învățare: „Utilizarea eficientă a metodelor de determinare a unei necunoscute dintr-o ecuație sau inecuație (metoda mersului invers, metoda balanței, transformări ale relațiilor de egalitate/inegalitate)”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. Numărul întreg $x$ care verifică egalitatea $5-2\cdot (x+3)=9$ este egal cu $\dots \dots$
• Răspunsul așteptat (barem): $-5$ — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• De ce e corect: prin mersul invers, $2\cdot (x+3)=5-9=-4$, apoi $x+3=-4:2=-2$ (împărțire exactă), deci $x=-5$. Proba: $5-2\cdot (-5+3)=5-2\cdot (-2)=5+4=9$. Spațiul e la final, iar răspunsul e unic.

Itemul 2, cu răspuns scurt (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 4.3. Redactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor și a inecuațiilor studiate în mulțimea numerelor întregi.
• Activitatea de învățare: „Exprimarea unor caracteristici ale modulului, derivate din definiția acestuia ($|x|=a$, $|x|<a$, $|x|\le a$, unde $a$ și $x$ sunt numere întregi)”.
• Itemul: Scrieți câte numere întregi $x$ verifică inegalitatea $|x|<3$.
• Răspunsul așteptat (barem): $5$ — 10 puncte. Dacă elevul scrie corect numerele $-2,-1,0,1,2$, dar nu le numără sau le numără greșit, primește 5 puncte.
• De ce e corect: $|x|<3$ înseamnă că distanța de la $0$ la $x$ pe axă e mai mică decât $3$. Soluțiile întregi sunt $-2,-1,0,1,2$, adică $5$ numere. Inecuația cu modul e exemplul numit în activitatea de la 4.3 („$|x|<a$”), deci itemul și activitatea sunt amândouă din unitatea „Ecuații, inecuații…”.

Itemul 3, de tip alegere multiplă (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 2.3. Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor.

• Activitatea de învățare: „Validarea (prin probă) a soluției unei ecuații sau a unei inecuații în mulțimea numerelor întregi”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. Soluția în mulțimea numerelor întregi a ecuației $-2x+5=11$ este:

  A. $3$ B. $-3$ C. $8$ D. $-8$

• Răspunsul așteptat (barem): B — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• De ce e corect: $-2x=11-5=6$, deci $x=6:(-2)=-3$. Proba: $-2\cdot (-3)+5=6+5=11$. Distractorii vin din greșeli tipice: A ($3$) e semnul pierdut la împărțire, D ($-8$) e $5$ trecut în membrul drept cu semnul greșit ($-2x=16$), C ($8$) e combinația celor două greșeli. Prin probă, numai B verifică ecuația. Activitatea „validarea prin probă” e strategia unui elev care testează variantele.

Itemul 4, de tip întrebare structurată (30 de puncte)

• Competențele specifice evaluate: 1.3. Identificarea caracteristicilor numerelor întregi în contexte variate (a); 4.3. Redactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor și a inecuațiilor studiate în mulțimea numerelor întregi (b); 5.3. Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utilizând numerele întregi (c).
• Activitățile de învățare, câte una pentru fiecare competență:
  • a), 1.3: „Identificarea unui număr întreg în situații practice sau interdisciplinare (de exemplu: temperaturi, altitudini, golaveraje, debit/credit)”;
  • b), 4.3: „Redactarea demersului de rezolvare a unor ecuații sau inecuații în mulțimea numerelor întregi (inclusiv verificarea soluțiilor)”;
  • c), 5.3: „Analizarea unor situații practice în care se utilizează numere întregi”.
• Itemul: Contul lui Andrei are soldul de $-120$ de lei, adică o datorie de $120$ de lei. Andrei nu mai face nicio plată din cont și depune în fiecare lună aceeași sumă. Răspundeți separat pentru fiecare situație:
  • a) Scrieți soldul contului după ce Andrei depune $50$ de lei.
  • b) După patru depuneri egale, de câte $x$ lei, soldul devine $40$ de lei, adică $-120+4x=40$. Rezolvați ecuația în mulțimea numerelor întregi, redactând etapele, și verificați soluția.
  • c) Determinați cea mai mică sumă, număr întreg de lei, pe care Andrei trebuie să o depună lunar pentru ca, după șase depuneri egale, contul să nu mai aibă datorie, adică soldul să fie cel puțin $0$.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • a) $-120+50=-70$ — 5 puncte; soldul este $-70$ de lei, adică o datorie de $70$ de lei — 5 puncte.
  • b) $4x=40+120$ — 3 puncte; $4x=160$ — 2 puncte; $x=40$ — 3 puncte; proba: $-120+4\cdot 40=-120+160=40$ — 2 puncte.
  • c) $-120+6x\ge 0$ — 4 puncte; $6x\ge 120$, deci $x\ge 20$ — 3 puncte; cea mai mică sumă este $20$ de lei — 3 puncte.
• De ce respectă formatul: situația comună (soldul) e urmată de trei subîntrebări de dificultate crescătoare, de la calcul (a), la ecuație (b) și apoi la inecuație cu interpretare (c). Subpunctul c) se poate rezolva și fără b), deci o greșeală la b) nu se transmite mai departe. Toate împărțirile sunt exacte ($160:4$, $120:6$). „Debit/credit” e unul dintre contextele numite în programă la competența 1.3.

Itemul 5, de tip rezolvare de probleme (30 de puncte)

• Competența specifică evaluată: 6.3. Transpunerea, în limbaj algebric, a unei situații date, rezolvarea ecuației sau inecuației obținute și interpretarea rezultatului.
• Activitatea de învățare: „Transpunerea unei situații date în limbaj matematic, utilizând ecuații sau inecuații”.
• Itemul: Pe un vârf de munte, la ora $6$ dimineața, termometrul arăta $-7{}^{\circ }\mathrm{C}$. Până la ora $12$, temperatura a crescut în fiecare oră cu același număr de grade, iar la ora $12$ termometrul arăta $5{}^{\circ }\mathrm{C}$. Aflați cu câte grade a crescut temperatura în fiecare oră și la ce oră termometrul a arătat $1{}^{\circ }\mathrm{C}$.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • notația: $x$ = numărul de grade cu care crește temperatura într-o oră — 2 puncte;
  • de la ora $6$ la ora $12$ sunt $6$ ore, deci $-7+6x=5$ — 6 puncte;
  • $6x=12$ — 4 puncte;
  • $x=2$, adică temperatura a crescut cu $2$ grade pe oră — 4 puncte;
  • după $t$ ore de la ora $6$: $-7+2t=1$ — 6 puncte;
  • $2t=8$, $t=4$ — 4 puncte;
  • termometrul a arătat $1{}^{\circ }\mathrm{C}$ la ora $10$ — 4 puncte.
• De ce e corect: temperaturile, din oră în oră, sunt $-7,-5,-3,-1,1,3,5$, deci $1{}^{\circ }\mathrm{C}$ e la a patra oră, adică la ora $10$. Problema cere două ecuații și interpretarea rezultatului în context, adică tot ce numește competența 6.3.

Dacă dai testul la clasă: legătura cu standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au fost aprobate prin OMEC nr. 4615/04.08.2026 și publicate în Monitorul Oficial nr. 674 bis/14.08.2026, deci după proba din 21 iulie 2026. Baremul din 2026 nu le cere. Se aplică însă la clasă din anul școlar 2026–2027. Încadrarea de mai jos e a noastră, după descriptorii din Monitorul Oficial (paginile 893–897):

Încadrarea pe standarde nu coincide peste tot cu competența declarată, pentru că standardele grupează altfel decât activitățile din programă: la 4 c), programa dă 5.3 (interpretarea), iar standardul cel mai apropiat e VI.CS.6.3. La itemul 1 e o deosebire de același fel. Programa leagă metoda mersului invers de competența 3.3, iar standardele descriu rezolvarea ecuațiilor la VI.CS.2.3. Dacă evaluezi pe standarde, încadrează itemul acolo. Necunoscuta stă într-o paranteză și cere mai multe transformări echivalente, deci itemul e peste nivelul De bază. Standardele tuturor claselor sunt pe pagina standardelor de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al III-lea

• Competența și activitatea nu se potrivesc: de exemplu, competența 6.3 cu o activitate din blocul 2.3. Baremul punctează menționarea activității, dar modelul de răspuns devine incoerent.
• Item în afara unității: un item de „ordonare a numerelor întregi”, fără ecuație sau inecuație, evaluează unitatea anterioară, nu pe cea cerută.
• Completare cu mai multe răspunsuri corecte (de exemplu, „un număr întreg mai mic decât $-3$ este …”): formatul cere un răspuns unic.
• Alegere multiplă cu două variante corecte sau cu distractori neplauzibili.
• Întrebare structurată fără material comun: trei exerciții independente puse sub litere a), b), c) nu formează o întrebare structurată.
• Împărțiri neexacte sau rezultate care ies din $\mathbb{Z}$ (o soluție $x=\frac{7}{2}$ la o ecuație „în mulțimea numerelor întregi”, dată ca răspuns, nu ca „nu are soluții întregi”).
• Baremul doar cu rezultatul final la itemii 4 și 5: la întrebarea structurată și la problemă, baremul se dă pe etape.

Materiale pentru unitate

• Programa clasei a VI-a, cu toate competențele: programa de matematică la clasa a VI-a.
• Lecțiile unității: Ecuații în mulțimea numerelor întregi, Inecuații și probleme care se rezolvă în ℤ, Modulul unui număr întreg.
• O fișă de exersare pentru elevi: ecuații și inecuații cu numere întregi.
• Aceeași secvență din programă a apărut și la definitivatul la matematică din 2026, cu trei itemi pentru unitatea „Mulțimea numerelor întregi”.

Întrebări frecvente

Unde se pierd cele mai multe puncte la titularizarea la matematică din 2026?

Pe pașii de justificare pe care baremul îi punctează explicit. La I.1.c, inegalitatea „un număr plus inversul lui e cel puțin 2” cere precizarea că logaritmul folosit e pozitiv pentru x, y mai mari decât 1. La I.2.b, din AD = BE paralelismul rezultă abia printr-un raport între segmente. La II.1.c, baremul trece prin conjugatele rădăcinilor. La didactică, fiecare item are 1 punct pentru formatul tipului de item și 2 pentru corectitudinea științifică: o completare cu mai multe răspunsuri corecte sau o împărțire care iese din numerele întregi pierd din ele.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la titularizare matematică 2026?

În arhiva oficială a sesiunii 2026, pe subiecte2026.edu.ro (Titularizare_2026.zip), în fișierele Tit_109_Matematica_P_2026_var_01_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2026_bar_01_LRO.pdf (baremul). Pe pagina asta, amândouă sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost Subiectul al III-lea la titularizare matematică 2026?

Din clasa a VI-a. Subiectul dă o secvență din programa școlară de matematică (OMEN nr. 3393/28.02.2017), competențele specifice 1.3–6.3 și conținuturile unității „Mulțimea numerelor întregi”. Cere cinci itemi pentru unitatea de învățare „Ecuații, inecuații, probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuațiilor/inecuațiilor în contextul numerelor întregi”.

Câte variante de subiecte se elaborează la titularizare?

Trei. Metodologia (OMEC nr. 6695/2025, art. 64 alin. (10)) prevede că, pentru proba scrisă, se stabilesc 3 variante de subiecte și baremele de evaluare aferente (regula sesiunii 2026). În arhiva oficială a sesiunii 2026, la matematică e publicată Varianta 1.

Mai departe

• Titularizare matematică: toate subiectele, programa și media: pagina examenului, cu tabelul pe ani.
• Calculatorul de medie la titularizare: media de repartizare din nota la proba scrisă și nota la inspecție.
• Titularizare matematică 2025 și 2024: subiectele precedente, rezolvate la fel.
• Programa școlară de matematică: programele în vigoare la toate clasele.

Sursele

• Subiectul și baremul: Ministerul Educației și Cercetării, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, „Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2026, Probă scrisă, Matematică, Varianta 1”, subiect și barem, arhiva Titularizare_2026.zip de pe subiecte2026.edu.ro. Legătura de pe pagina oficială subiecte.edu.ro/2026 nu mai funcționa la 17.10.2026; fișierele sunt pe subiecte2026.edu.ro.
• Metodologia: OMEC nr. 6695/14.11.2025, Metodologia-cadru privind mobilitatea personalului didactic de predare din învățământul preuniversitar în anul școlar 2026–2027, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 1089 bis/26.11.2025: art. 64 alin. (5)–(10), art. 70 alin. (3), art. 73 alin. (1), anexa nr. 19 (Calendarul), pct. 9 lit. k) (proba scrisă: 21 iulie 2026).
• Programa de concurs: Programa pentru disciplina Matematică, Concursul național de ocupare a posturilor didactice (București, 2020), aprobată prin OMEC nr. 5975/09.11.2020.
• Programa școlară: OMEN nr. 3393/28.02.2017, Anexa nr. 2.
• Standardele: OMEC nr. 4615/04.08.2026, anexa nr. 29, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis/14.08.2026, paginile 893–897.

Verificat de noi pe 17.10.2026: transcrierea subiectului și a baremului e comparată cu imaginea fiecărei pagini a PDF-urilor oficiale, inclusiv formulele: barele de modul, conjugatele și simbolurile de triunghi lipsesc din stratul de text, dar apar în imagine. Fiecare rezultat al rezolvării a fost refăcut prin calcul simbolic (verificările din scriptul de control, inclusiv răspunsurile și suma punctajelor itemilor de la didactică). Geometria de la I.2 a fost verificată simbolic, pe 400 de triunghiuri care respectă ipotezele și pe 1.500 de triunghiuri ascuțitunghice care nu le respectă. Afirmațiile despre metodologie sunt citite din textul publicat în Monitorul Oficial.