Subiecte titularizare matematică 2025: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la titularizarea din 2025 (concursul național de ocupare a posturilor didactice) s-a dat pe 15 iulie 2025 și a durat 4 ore. Are trei subiecte de câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Subiectele I și II sunt de specialitate: funcții de gradul al doilea, geometrie sintetică (centrul de greutate), polinoame și relațiile lui Viète, monotonie, arie și limita unui șir de integrale. Subiectul al III-lea e de didactică: o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității „Cercul” de la clasa a VII-a, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip de item. Pe pagină: subiectul transcris exact, baremul oficial publicat de Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare (CNCE) și rezolvarea noastră completă, cu un model de răspuns la didactică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Structura probei · Subiectul · Baremul oficial · Rezolvarea · Didactica: model de răspuns · Întrebări frecvente

Structura probei din 2025

Baremul din 2025 precizează că nota se obține împărțind la 10 punctajul total al lucrării. Cum se combină notele celor doi evaluatori și cum intră nota la proba scrisă în media de repartizare, după regulile sesiunii 2026, e explicat pe pagina titularizării la matematică. Media se poate calcula cu calculatorul de medie la titularizare.

Documentele oficiale sunt în arhiva sesiunii 2025, pe subiecte2025.edu.ro (legătură http; arhiva ZIP are aproximativ 27 MB și cuprinde toate disciplinele). Fișierele de matematică sunt Tit_109_Matematica_P_2025_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2025_bar_03_LRO.pdf (baremul). Am transcris Varianta 3, adică varianta pe care CNCE a publicat-o în arhiva oficială.

Modelul pentru 2026 pornește de la această probă. CNCE a publicat ca model pentru sesiunea 2026 subiectul de mai jos, cu trei cerințe schimbate (I.1.b, II.1.b și II.2.c). Pe pagina modelului din 2026 sunt rezolvate cerințele noi, iar pentru celelalte se trimite aici.

Exersează în condiții de examen: pornește un cronometru de 4 ore, rezolvă doar secțiunea Subiectul oficial (o poți și tipări), apoi compară, cerință cu cerință, cu baremul și cu rezolvarea.

Subiectul oficial (Varianta 3)

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 15 iulie 2025. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+(3m+1)x+m-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=2x^2-x+1$, unde $m$ este număr real.

• (5p) a) Determinați numărul real $m$ pentru care $(f\circ g)(1)=12$.
• (5p) b) Determinați numărul întreg $m$ pentru care dreapta de ecuație $y=-9x-4$ este tangentă la graficul funcției $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $h(x)=f(x)+g(x)$.
• (5p) c) Determinați mulțimea numerelor reale $m$ pentru care $\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<1$, pentru orice număr real $x$.

2. Se consideră triunghiul $ABC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $AC$, iar $G$ este punctul de intersecție a dreptelor $BN$ și $CM$. Paralela la dreapta $BC$, construită prin punctul $G$, intersectează laturile $AB$ și $AC$ în punctele $E$, respectiv $F$. Paralelele duse prin punctul $G$ la dreptele $AB$ și $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctele $P$, respectiv $Q$.

• (5p) a) Demonstrați că punctul $G$ este mijlocul segmentului $EF$.
• (5p) b) Demonstrați că $PQ=\frac{BC}{3}$.
• (5p) c) Demonstrați că dreptele $AG$, $EP$ și $FQ$ sunt concurente.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră polinomul $f=X^4-2a{X}^3+\left(3a^2+2\right)X^2+2X+4$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$ și $x_4$, unde $a$ este număr real.

• (5p) a) Determinați numărul real $a$ pentru care numărul complex $z=i$ este rădăcină a polinomului $f$.
• (5p) b) Demonstrați că polinomul $f$ admite cel mult două rădăcini reale, oricare ar fi numărul real $a$.
• (5p) c) Determinați numărul real $a$ pentru care $\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_3+1}+\frac{1}{x_4+1}=2$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x^2+x+2}{x^2+1}$.

• (5p) a) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.
• (5p) b) Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=-a$ și $x=a$ este egală cu $8$.
• (5p) c) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_{-1}^1{\left(f(x)\right)}^{n}dx$. Calculați $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VII-a

1.5. Identificarea elementelor cercului și/sau poligoanelor regulate în configurații geometrice date

• Recunoașterea elementelor unui cerc pe configurații geometrice date
• Identificarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și a diametrului perpendicular pe o coardă
• Identificarea poligoanelor regulate înscrise într-un cerc

2.5. Descrierea proprietăților cercului și ale poligoanelor regulate înscrise într-un cerc

• Calcularea măsurii unghiurilor unui poligon regulat
• Reprezentarea prin desen a configurațiilor geometrice care conțin un cerc și elementele sale folosind instrumente geometrice
• Utilizarea instrumentelor geometrice pentru a reprezenta prin desen poligoane regulate înscrise în cerc

3.5. Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme

• Utilizarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și/sau a diametrului perpendicular pe o coardă în rezolvarea unor probleme
• Rezolvarea unor probleme practice de determinare a unor lungimi sau distanțe folosind raza cercului (de exemplu, calcularea numărului de rotații complete ale roții unui automobil folosind distanța parcursă)
• Rezolvarea unor probleme folosind proprietățile tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc

4.5. Exprimarea proprietăților cercului și ale poligoanelor în limbaj matematic

• Descrierea în limbaj matematic a unor relații (congruență, paralelism, perpendicularitate) între elemente ale unor configurații geometrice
• Utilizarea instrumentelor geometrice pentru construirea unor configurații geometrice referitoare la cerc
• Identificarea unor cazuri particulare și evidențierea unor proprietăți în configurații geometrice referitoare la cerc și poligoane regulate

5.5. Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate folosind reprezentări geometrice

• Stabilirea unor metode adecvate pentru construcția poligoanelor regulate
• Analizarea poziției relative a unei drepte față de un cerc în funcție de numărul punctelor de intersecție dintre dreaptă și cerc
• Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate în probleme de mișcare

6.5. Modelarea matematică a unor situații practice în care intervin poligoane regulate sau cercuri

• Analizarea unor situații practice care necesită folosirea proprietăților cercului sau ale poligoanelor
• Optimizarea metodelor de rezolvare a unor probleme de geometrie utilizând proprietăți ale cercului sau ale poligoanelor
• Observarea diferenței dintre condițiile necesare și cele suficiente în contexte geometrice referitoare la cerc

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informațiile din secvența de mai sus, în vederea evaluării formării/dezvoltării competențelor specifice precizate, elaborați o probă de evaluare la finalul unității de învățare „Cercul”, care să cuprindă cinci itemi: un item de completare, un item cu răspuns scurt, un item de tip alegere multiplă, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme.

Pentru fiecare item propus:

• menționați competența specifică evaluată;
• menționați activitatea de învățare în cadrul căreia ați utiliza acest item;
• precizați un avantaj al utilizării acestui tip de item;
• precizați un dezavantaj al utilizării acestui tip de item;
• respectați formatul tipului de item;
• respectați corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 15 iulie 2025. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3. Barem de evaluare și de notare.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (30 de puncte)

1. a)

• $g(1)=2$, $(f\circ g)(1)=f(2)=4+2(3m+1)+m-1=7m+5$ — 3p
• $7m+5=12$, de unde obținem $m=1$ — 2p

1. b)

• $h(x)=3x^2+3mx+m$, unde $m$ este număr real; $3x^2+3mx+m=-9x-4$, de unde obținem $3x^2+(3m+9)x+m+4=0$ — 2p
• $\Delta =0$ și, cum $\Delta =9m^2+42m+33$, obținem $m=-1$, care convine, sau $m=-\frac{11}{3}$, care nu convine — 3p

1. c)

• $2x^2-x+1>0$, pentru orice număr real $x$ și, cum $-1<\frac{x^2+(3m+1)x+m-1}{2x^2-x+1}<1$, obținem $\{\begin{array}{l}3x^2+3mx+m>0\\ -x^2+(3m+2)x+m-2<0\end{array}$, pentru orice număr real $x$ — 2p
• $\{\begin{array}{l}9m^2-12m<0\\ 9m^2+16m-4<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\in \left(0,\frac{4}{3}\right)\\ m\in \left(-2,\frac{2}{9}\right)\end{array}$, deci $m\in \left(0,\frac{2}{9}\right)$ — 3p

2. a)

• $CM$ și $BN$ sunt mediane în triunghiul $ABC$, $CM\cap BN=\{G\}$, deci punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ — 2p
• $EG\parallel BC\Rightarrow \Delta MGE\sim \Delta MCB\Rightarrow \frac{EG}{BC}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}$; $GF\parallel BC\Rightarrow \Delta NGF\sim \Delta NBC\Rightarrow \frac{GF}{BC}=\frac{NG}{NB}=\frac{1}{3}$, de unde obținem $EG=GF$, deci punctul $G$ este mijlocul segmentului $EF$ — 3p

2. b)

• $EBPG$ și $GQCF$ sunt paralelograme, deci $EG=BP=CQ=\frac{BC}{3}$ — 3p
• $PQ=BC-BP-CQ=BC-\frac{BC}{3}-\frac{BC}{3}=\frac{BC}{3}$ — 2p

2. c)

• $BQ=PC=\frac{2}{3}\cdot BC$ și, cum $EF\parallel BC$, obținem că $EBQF$ și $EPCF$ sunt paralelograme, deci $FQ\parallel AB$, $EP\parallel AC$ și rezultă că $AEDF$ este paralelogram, unde $D$ este punctul de intersecție a dreptelor $EP$ și $FQ$ — 3p
• Punctul $G$ este mijlocul diagonalei $EF$, deci punctele $A$, $G$ și $D$ sunt coliniare, de unde obținem că dreptele $AG$, $EP$ și $FQ$ sunt concurente în punctul $D$ — 2p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. a)

• $z=i$ este rădăcină a polinomului $f$, deci $f(i)=0$ — 2p
• $i^4-2a{i}^3+\left(3a^2+2\right)i^2+2i+4=0\iff -3a^2+3+i(2a+2)=0$, de unde obținem $a=-1$ — 3p

1. b)

• $x_1+x_2+x_3+x_4=2a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_1{x}_4+x_2{x}_3+x_2{x}_4+x_3{x}_4=3a^2+2$; $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=(2a{)}^2-2\left(3a^2+2\right)=-2a^2-4$, pentru orice număr real $a$ — 3p
• $-2a^2-4<0$, pentru orice număr real $a$, deci polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale, de unde obținem că polinomul $f$ are cel puțin o rădăcină $\alpha \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$; cum $f\in \mathbb{R}[X]$, obținem că $\overline{\alpha }\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}$ este rădăcină a polinomului $f$, deci polinomul $f$ admite cel mult două rădăcini reale, oricare ar fi numărul real $a$ — 2p

1. c)

• Derivata polinomului $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)$ este $f^{\prime }=(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)+(X-x_1)(X-x_3)(X-x_4)+(X-x_1)(X-x_2)(X-x_4)+(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)$ — 2p
• $\frac{1}{x_1+1}+\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_3+1}+\frac{1}{x_4+1}=-\frac{f^{\prime }(-1)}{f(-1)}=\frac{6a^2+6a+6}{3a^2+2a+5}$, pentru orice număr real $a$, deci $\frac{6a^2+6a+6}{3a^2+2a+5}=2$, de unde obținem $a=2$ — 3p

2. a)

• $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ sau $x=1$ — 2p
• Pentru orice $x\in (-\infty ,-1]$, $f^{\prime }(x)\le 0\Rightarrow f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$; pentru orice $x\in [-1,1]$, $f^{\prime }(x)\ge 0\Rightarrow f$ este crescătoare pe $[-1,1]$; pentru orice $x\in [1,+\infty )$, $f^{\prime }(x)\le 0\Rightarrow f$ este descrescătoare pe $[1,+\infty )$ — 3p

2. b)

• $f(x)\ge 0$, pentru orice număr real $x$, deci $\mathcal{A}={\int }_{-a}^a\left|f(x)\right|dx={\int }_{-a}^{a}f(x)dx=$ — 2p
• $={\int }_{-a}^a\frac{2\left(x^2+1\right)+x}{x^2+1}dx=2x{|}_{-a}^a+\frac{1}{2}\cdot \ln \left|x^2+1\right|{|}_{-a}^a=4a$, de unde obținem $4a=8$, deci $a=2$ — 3p

2. c)

• Cum $f(-1)=\frac{3}{2}$, obținem $f(x)\ge \frac{3}{2}$, pentru orice $x\in [-1,1]$, deci ${\left(f(x)\right)}^n\ge {\left(\frac{3}{2}\right)}^n$, pentru orice număr natural nenul $n$ — 2p
• $I_n={\int }_{-1}^1{\left(f(x)\right)}^{n}dx\ge {\int }_{-1}^1{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n}dx=2\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^n$ și, cum $\underset{n\to +\infty }{\lim }2\cdot {\left(\frac{3}{2}\right)}^n=+\infty$, obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=+\infty$ — 3p

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Itemul de completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul cu răspuns scurt elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței/competențelor specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Rezolvările urmează baremul. Acolo unde baremul sare o justificare (de ce o condiție e echivalentă cu alta, ordinea punctelor pe o dreaptă, de ce o fracție are sens), o scriem, din rigoare: corectorul notează după barem, dar demonstrația e completă abia cu ea. Fiecare rezultat de mai jos a fost refăcut independent, prin calcul simbolic.

Subiectul I.1: funcțiile de gradul al doilea

a) $g(1)=2-1+1=2$, deci $(f\circ g)(1)=f(g(1))=f(2)=4+2(3m+1)+m-1=7m+5$. Din $7m+5=12$ obținem $m=1$.

b) $h(x)=f(x)+g(x)=3x^2+3mx+m$. Abscisele punctelor comune ale dreptei și graficului sunt soluțiile ecuației $$3x^2+3mx+m=-9x-4⟺3x^2+(3m+9)x+m+4=0.$$ Graficul lui $h$ e o parabolă, iar dreapta nu e verticală. O astfel de dreaptă e tangentă la parabolă exact când ecuația de mai sus are o rădăcină dublă, adică $\Delta =0$: diferența $h(x)-(-9x-4)$ este atunci $3(x-x_0{)}^2$, deci dreapta atinge graficul în $x_0$ și are panta $h^{\prime }(x_0)$. Calculăm $$\Delta =(3m+9{)}^2-12(m+4)=9m^2+42m+33=3(m+1)(3m+11).$$ $\Delta =0$ dă $m=-1$ sau $m=-\frac{11}{3}$. Cerința cere un număr întreg, deci $m=-1$.

Verificare: pentru $m=-1$, $h(x)=3x^2-3x-1$, iar ecuația devine $3x^2+6x+3=3(x+1{)}^2=0$. Punctul de tangență are abscisa $-1$: $h(-1)=5=-9\cdot (-1)-4$ și $h^{\prime }(-1)=6\cdot (-1)-3=-9$, panta dreptei.

c) Numitorul $g(x)=2x^2-x+1$ are $\Delta =1-8<0$ și coeficientul dominant pozitiv, deci $g(x)>0$ pentru orice $x$. Atunci $$\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|<1⟺-g(x)<f(x)<g(x).$$

• $f(x)+g(x)>0$ pentru orice $x$: $3x^2+3mx+m>0$. Un trinom cu coeficientul dominant pozitiv e strict pozitiv pe tot $\mathbb{R}$ exact când discriminantul e negativ: $9m^2-12m<0$, adică $m\in \left(0,\frac{4}{3}\right)$. Cu $\Delta =0$ trinomul s-ar anula într-un punct, iar inegalitatea strictă ar cădea acolo.
• $g(x)-f(x)>0$ pentru orice $x$: $x^2-(3m+2)x-m+2>0$, echivalent cu $-x^2+(3m+2)x+m-2<0$, ca în barem. Discriminantul: $(3m+2{)}^2-4(2-m)=9m^2+16m-4<0$. Rădăcinile lui $9m^2+16m-4$ sunt $-2$ și $\frac{2}{9}$, deci $m\in \left(-2,\frac{2}{9}\right)$.

Intersecția celor două intervale: $m\in \left(0,\frac{2}{9}\right)$.

Subiectul I.2: centrul de greutate și paralelele

Ce folosim. $BN$ și $CM$ sunt mediane, deci $G$ este centrul de greutate și împarte fiecare mediană în raportul $2:1$ de la vârf: $MG=\frac{1}{3}MC$ și $NG=\frac{1}{3}NB$.

a) Punctul $E$ este pe $AB$, deci pe dreapta $MB$. Din $EG\parallel BC$, în triunghiul $MBC$ avem $\Delta MGE\sim \Delta MCB$ (teorema fundamentală a asemănării), deci $\frac{EG}{BC}=\frac{MG}{MC}=\frac{1}{3}$. La fel, $F$ este pe dreapta $NC$ și, din $GF\parallel BC$, $\Delta NGF\sim \Delta NBC$, deci $\frac{GF}{BC}=\frac{NG}{NB}=\frac{1}{3}$. Rezultă $EG=GF=\frac{BC}{3}$, iar cum $G$ este pe segmentul $EF$, $G$ este mijlocul lui $EF$.

b) Patrulaterul $EBPG$ are $EG\parallel BP$ (pe $BC$) și $GP\parallel EB$ (pe $AB$), deci e paralelogram: $BP=EG=\frac{BC}{3}$. La fel, $GQCF$ e paralelogram: $CQ=GF=\frac{BC}{3}$.

Ordinea punctelor, pe care baremul nu o discută. $P$ e pe semidreapta $BC$, la distanța $\frac{BC}{3}$ de $B$, iar $Q$ e pe semidreapta $CB$, la distanța $\frac{BC}{3}$ de $C$. Cum $BP+CQ=\frac{2}{3}BC<BC$, ordinea pe dreaptă este $B$, $P$, $Q$, $C$. Atunci $$PQ=BC-BP-CQ=BC-\frac{BC}{3}-\frac{BC}{3}=\frac{BC}{3}.$$

c) Din a) și b): $EF=EG+GF=\frac{2}{3}BC$, iar $BQ=BP+PQ=\frac{2}{3}BC$ și $PC=PQ+QC=\frac{2}{3}BC$.

• $EF\parallel BQ$ și $EF=BQ$, cu segmentele orientate la fel (de la latura $AB$ spre latura $AC$), deci $EBQF$ este paralelogram și $FQ\parallel EB$, adică $FQ\parallel AB$.
• La fel, $EF\parallel PC$ și $EF=PC$, deci $EPCF$ este paralelogram și $EP\parallel FC$, adică $EP\parallel AC$.

Dreptele $EP$ și $FQ$ nu sunt paralele (sunt paralele cu $AC$, respectiv cu $AB$, care se taie în $A$), deci se intersectează într-un punct $D$. În patrulaterul $AEDF$: $AE\parallel FD$ și $AF\parallel ED$, deci $AEDF$ este paralelogram. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc: mijlocul lui $EF$, adică $G$, este și mijlocul lui $AD$. Deci $A$, $G$, $D$ sunt coliniare, iar dreapta $AG$ trece prin $D$: cele trei drepte sunt concurente în $D$.

Unde este $D$. Din $G$ mijlocul lui $AD$, $D$ este simetricul lui $A$ față de $G$. Pe mediana din $A$, cu $A^{\prime }$ mijlocul lui $BC$, avem $AG=\frac{2}{3}A{A}^{\prime }$, deci $AD=\frac{4}{3}A{A}^{\prime }$: punctul $D$ este dincolo de latura $BC$, în afara triunghiului.

Subiectul al II-lea.1: polinomul de gradul al patrulea

a) Cu $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$: $$f(i)=1+2ai-\left(3a^2+2\right)+2i+4=\left(3-3a^2\right)+i(2a+2).$$ Cum $a$ este real, $f(i)=0$ cere ca ambele părți să fie nule: $3-3a^2=0$ și $2a+2=0$. A doua dă $a=-1$, care verifică și prima. Deci $a=-1$.

b) Relațiile lui Viète: $x_1+x_2+x_3+x_4=2a$ și suma produselor câte două este $3a^2+2$. Atunci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=(2a{)}^2-2\left(3a^2+2\right)=-2a^2-4<0.$$ Dacă toate rădăcinile ar fi reale, suma pătratelor lor ar fi $\ge 0$. Deci $f$ are cel puțin o rădăcină nereală $\alpha$. Polinomul are coeficienți reali, deci și $\overline{\alpha }\ne \alpha$ este rădăcină. Rămân cel mult două rădăcini reale.

Argumentul arată doar că nu toate rădăcinile sunt reale. El nu poate arăta că nu există nicio rădăcină reală: exact asta schimbă modelul pentru 2026, unde se cere „nu are nicio rădăcină reală” și e nevoie de altă idee.

c) Din $f=(X-x_1)(X-x_2)(X-x_3)(X-x_4)$ obținem, prin derivare, $$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-x_1}+\frac{1}{x-x_2}+\frac{1}{x-x_3}+\frac{1}{x-x_4},$$ pentru orice $x$ care nu e rădăcină. Formula se poate aplica în $x=-1$: $f(-1)=1+2a+3a^2+2-2+4=3a^2+2a+5$, iar acest trinom are $\Delta =4-60<0$, deci $f(-1)>0$ și $-1$ nu e rădăcină (fracțiile din enunț au sens). Atunci $$\sum _{k=1}^4\frac{1}{x_k+1}=-\sum _{k=1}^4\frac{1}{-1-x_k}=-\frac{f^{\prime }(-1)}{f(-1)}.$$ Cu $f^{\prime }=4X^3-6a{X}^2+2\left(3a^2+2\right)X+2$: $f^{\prime }(-1)=-4-6a-6a^2-4+2=-\left(6a^2+6a+6\right)$. Ecuația devine $$\frac{6a^2+6a+6}{3a^2+2a+5}=2⟺6a^2+6a+6=6a^2+4a+10⟺a=2.$$

Subiectul al II-lea.2: funcția rațională

O scriere utilă: $f(x)=\frac{2\left(x^2+1\right)+x}{x^2+1}=2+\frac{x}{x^2+1}$.

a) $f^{\prime }(x)=\frac{\left(x^2+1\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$. Semnul lui $f^{\prime }$ e semnul lui $1-x^2$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,1)$, negativ pe $(1,+\infty )$. Deci $f$ este descrescătoare pe $(-\infty ,-1]$, crescătoare pe $[-1,1]$ și descrescătoare pe $[1,+\infty )$.

b) Numărătorul $2x^2+x+2$ are $\Delta =1-16<0$, deci $f(x)>0$ pe $\mathbb{R}$, iar aria este integrala lui $f$: $$\mathcal{A}={\int }_{-a}^a\left(2+\frac{x}{x^2+1}\right)dx=4a+\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right){|}_{-a}^a=4a+0=4a.$$ Termenul al doilea se anulează pentru că $\frac{x}{x^2+1}$ este funcție impară, integrată pe un interval simetric. Din $4a=8$ obținem $a=2$.

c) Din a), $f$ este crescătoare pe $[-1,1]$, deci $f(x)\ge f(-1)=\frac{3}{2}$ pentru orice $x\in [-1,1]$. Baremul obține $f\ge \frac{3}{2}$ pe $[-1,1]$ din valoarea $f(-1)$; justificarea completă e monotonia de la a). Cum $f(x)\ge \frac{3}{2}>0$, ridicarea la puterea $n$ păstrează inegalitatea: $$I_n={\int }_{-1}^1{\left(f(x)\right)}^{n}dx\ge {\int }_{-1}^1{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n}dx=2{\left(\frac{3}{2}\right)}^n\underset{n\to +\infty }{\to }+\infty ,$$ pentru că $\frac{3}{2}>1$. Deci $\underset{n\to +\infty }{\lim }{I}_n=+\infty$.

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.c: rândul de 2 puncte începe cu „$2x^2-x+1>0$, pentru orice număr real $x$”: fără el, trecerea de la modul la $-g<f<g$ nu e justificată. Rândul de 3 puncte cere discriminanții strict negativi ($9m^2-12m<0$, $9m^2+16m-4<0$).
• II.1.b: rândul de 2 puncte cere concluzia din perechea $\alpha$, $\overline{\alpha }$: suma pătratelor negativă arată doar că nu toate rădăcinile sunt reale.
• II.1.c: o greșeală de calcul frecventă e semnul: $f^{\prime }(-1)=-\left(6a^2+6a+6\right)$, iar formula are minus în față, $-\frac{f^{\prime }(-1)}{f(-1)}$.

Din rigoare (baremul nu le cere): ordinea $B$, $P$, $Q$, $C$ pe dreaptă la I.2.b; verificarea $f(-1)\ne 0$ la II.1.c; la II.2.c, baremul obține $f\ge \frac{3}{2}$ pe $[-1,1]$ din valoarea $f(-1)$, iar justificarea completă e monotonia de la a). Le-am scris în rezolvare pentru o demonstrație completă; corectorul notează după barem.

Subiectul al III-lea: modelul nostru de răspuns la didactică

Baremul oficial nu dă itemi-model: punctează orice probă corectă, după cele șase criterii de mai sus, câte 1 punct fiecare. Mai jos e un model de răspuns, gândit să îndeplinească fiecare criteriu din barem. Cerința e o probă de evaluare la finalul unității „Cercul”, așa că am construit-o ca pe un test real: 90 de puncte plus 10 din oficiu (nota = punctajul / 10), pe care îl poți da la clasă.

Cum se construiește un răspuns de 6 puncte pe item în formatul din 2025:

• competența specifică și activitatea de învățare se aleg din secvența dată și se copiază cuvânt cu cuvânt; activitatea e din blocul aceleiași competențe. Toată secvența e din unitatea „Cercul”, deci orice activitate din ea se desfășoară în unitatea cerută;
• avantajul și dezavantajul sunt ale tipului de item, nu ale itemului concret, și se scriu la fiecare item. Fiecare valorează 1 punct;
• răspunsul așteptat intră la criteriul „corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat” (1 punct), așa că itemul are nevoie de un răspuns unic, verificat;
• itemul rămâne în conținuturile secvenței: unghi înscris, coarde și arce, tangente dintr-un punct exterior, poligoane regulate înscrise, lungimea cercului și aria discului. Teorema lui Pitagora e în unitatea „Relații metrice în triunghiul dreptunghic”, nu în „Cercul”; lungimea unui arc și aria unui sector nu apar în lista de conținuturi din secvență.

Tipurile de itemi, pe scurt. Programa de concurs numește doar tema („Tipologia itemilor”), fără o clasificare. În clasificarea obișnuită din docimologie, alegerea multiplă e un item obiectiv. Completarea, răspunsul scurt și întrebarea structurată sunt semiobiective. Rezolvarea de probleme e un item subiectiv. Avantajele și dezavantajele de mai jos sunt formulări pe care le poți adapta.

Itemul 1, de completare (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 2.5. Descrierea proprietăților cercului și ale poligoanelor regulate înscrise într-un cerc.
• Activitatea de învățare: „Calcularea măsurii unghiurilor unui poligon regulat”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. Hexagonul regulat $ABCDEF$ este înscris într-un cerc. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu $\dots {\dots }^{\circ }$.
• Răspunsul așteptat (barem): $120$ — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Avantajul tipului de item: se corectează repede și obiectiv, pentru că răspunsul e unic.
• Dezavantajul tipului de item: verifică doar rezultatul; un elev care a memorat valoarea nu arată că știe să o obțină.
• De ce e corect: fiecare latură a hexagonului regulat subîntinde un arc de $360^{\circ }:6=60^{\circ }$. Unghiul $ABC$ este înscris și cuprinde arcul $AC$ care nu conține $B$, format din patru astfel de arce, adică $240^{\circ }$, deci $m(\sphericalangle ABC)=240^{\circ }:2=120^{\circ }$. Altfel: suma unghiurilor hexagonului este $(6-2)\cdot 180^{\circ }=720^{\circ }$, iar $720^{\circ }:6=120^{\circ }$. Programa numește explicit „măsuri de unghiuri” la poligoanele regulate înscrise.

Itemul 2, cu răspuns scurt (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 5.5. Interpretarea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate folosind reprezentări geometrice.
• Activitatea de învățare: „Analizarea poziției relative a unei drepte față de un cerc în funcție de numărul punctelor de intersecție dintre dreaptă și cerc”.
• Itemul: Cercul are centrul $O$ și raza de $5$ cm, iar distanța de la punctul $O$ la dreapta $d$ este de $3$ cm. Scrieți câte puncte comune au dreapta $d$ și cercul.
• Răspunsul așteptat (barem): $2$ — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Avantajul tipului de item: elevul produce singur răspunsul, nu îl recunoaște dintr-o listă.
• Dezavantajul tipului de item: acoperă o singură cerință mică și nu arată raționamentul.
• De ce e corect: distanța de la centru la dreaptă, $3$ cm, e mai mică decât raza, $5$ cm, deci dreapta e secantă și taie cercul în două puncte. Cu distanța egală cu raza ar fi tangentă (un punct), cu distanța mai mare, exterioară (niciun punct). Itemul cere numărul de puncte de intersecție, exact ce numește activitatea.

Itemul 3, de tip alegere multiplă (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 1.5. Identificarea elementelor cercului și/sau poligoanelor regulate în configurații geometrice date.

• Activitatea de învățare: „Identificarea unor proprietăți ale arcelor, coardelor și a diametrului perpendicular pe o coardă”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. În cercul de centru $O$, coardele $AB$ și $CD$ sunt congruente, iar arcul mic $AB$ are măsura de $70^{\circ }$. Măsura arcului mic $CD$ este:

  A. $35^{\circ }$ B. $70^{\circ }$ C. $110^{\circ }$ D. $140^{\circ }$

• Răspunsul așteptat (barem): B — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Avantajul tipului de item: diagnostichează greșeala: fiecare distractor arată o confuzie anume.

• Dezavantajul tipului de item: răspunsul se poate ghici (25 %), iar distractorii plauzibili se construiesc greu.

• De ce e corect: în același cerc, la coarde congruente corespund arce congruente, deci arcul mic $CD$ are tot $70^{\circ }$. Distractorii vin din confuzii tipice: A ($35^{\circ }$) înjumătățește arcul, ca la unghiul înscris; D ($140^{\circ }$) îl dublează; C ($110^{\circ }$) ia suplementul. Proprietatea apare în lista de conținuturi: „la arce congruente corespund coarde congruente și reciproc”.

Itemul 4, de tip întrebare structurată (30 de puncte)

• Competențele specifice evaluate: 3.5. Utilizarea proprietăților cercului în rezolvarea de probleme (a); 4.5. Exprimarea proprietăților cercului și ale poligoanelor în limbaj matematic (b); 1.5. Identificarea elementelor cercului și/sau poligoanelor regulate în configurații geometrice date (c).
• Activitățile de învățare, câte una pentru fiecare competență:
  • a), 3.5: „Rezolvarea unor probleme folosind proprietățile tangentelor duse dintr-un punct exterior la un cerc”;
  • b), 4.5: „Descrierea în limbaj matematic a unor relații (congruență, paralelism, perpendicularitate) între elemente ale unor configurații geometrice”;
  • c), 1.5: „Recunoașterea elementelor unui cerc pe configurații geometrice date”.
• Itemul: Din punctul $P$, exterior cercului de centru $O$, se duc tangentele $PA$ și $PB$ la cerc, cu $A$ și $B$ pe cerc, astfel încât $m(\sphericalangle APB)=60^{\circ }$.
  • a) Calculați măsura unghiului $AOB$.
  • b) Demonstrați că triunghiul $PAB$ este echilateral.
  • c) Punctul $C$ se află pe arcul mare $AB$. Precizați ce fel de unghi este $ACB$ față de cerc și numiți arcul cuprins între laturile lui.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • a) $OA\perp PA$ și $OB\perp PB$ (tangenta e perpendiculară pe rază în punctul de contact) — 4 puncte; în patrulaterul $OAPB$: $m(\sphericalangle AOB)=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ — 6 puncte.
  • b) $PA=PB$ (tangentele duse dintr-un punct exterior sunt congruente) — 5 puncte; triunghiul $PAB$ e isoscel, cu unghiul din vârf de $60^{\circ }$, deci unghiurile de la bază au câte $(180^{\circ }-60^{\circ }):2=60^{\circ }$ și triunghiul e echilateral — 5 puncte.
  • c) $\sphericalangle ACB$ este unghi înscris în cerc (vârful pe cerc, laturile coarde) — 5 puncte; arcul cuprins între laturile lui este arcul mic $AB$, cel care nu conține punctul $C$ — 5 puncte.
• Avantajul tipului de item: evaluează gradat trei competențe pe aceeași configurație.
• Dezavantajul tipului de item: subîntrebările legate pot transmite o greșeală de la una la alta; de aceea aici a), b) și c) se pot rezolva independent.
• De ce respectă formatul: figura comună e urmată de trei subîntrebări de dificultate crescătoare: un calcul cu proprietatea tangentelor (a), o demonstrație redactată în limbaj matematic (b), recunoașterea unghiului înscris și a arcului pe care îl cuprinde (c). Toate trei folosesc doar conținuturi din secvență: tangente dintr-un punct exterior, unghi înscris.

Itemul 5, de tip rezolvare de probleme (30 de puncte)

• Competența specifică evaluată: 6.5. Modelarea matematică a unor situații practice în care intervin poligoane regulate sau cercuri.
• Activitatea de învățare: „Analizarea unor situații practice care necesită folosirea proprietăților cercului sau ale poligoanelor”.
• Itemul: Un rond de flori are forma unui disc cu diametrul de $2$ m. Pe tot conturul rondului se montează o bordură care se vinde numai la metru întreg, cu $15$ lei metrul. Aflați câți metri de bordură trebuie cumpărați, cât costă bordura și ce arie are rondul. Se consideră $\pi \approx 3,14$.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • raza rondului: $r=2:2=1$ m — 3 puncte;
  • lungimea conturului: $L=2\pi r\approx 2\cdot 3,14\cdot 1=6,28$ m — 6 puncte;
  • interpretarea: bordura se vinde la metru întreg, iar $6$ m nu ajung, deci se cumpără $7$ m — 6 puncte;
  • costul bordurii: $7\cdot 15=105$ lei — 5 puncte;
  • aria rondului: $\mathcal{A}=\pi r^2\approx 3,14\cdot 1^2=3,14{\mathrm{m}}^2$ — 6 puncte;
  • răspunsul final, cu unitățile de măsură: $7$ m de bordură, $105$ lei, aria de aproximativ $3,14{\mathrm{m}}^2$ — 4 puncte.
• Avantajul tipului de item: evaluează modelarea și interpretarea rezultatului în context (aici, rotunjirea în sus la metru întreg).
• Dezavantajul tipului de item: corectarea e mai subiectivă și cere un barem pe etape; rezolvarea durează mai mult.
• De ce e corect: cu $\pi \approx 3,14$, conturul are $6,28$ m. Interpretarea e partea de modelare: un elev care rotunjește „corect matematic” la $6$ m cumpără prea puțină bordură. Cu valoarea exactă, $2\pi \approx 6,283$ m, rezultatul e același: $7$ m și $105$ lei. Lungimea cercului și aria discului sunt ultimul rând din lista de conținuturi.

Dacă dai testul la clasă: legătura cu standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au fost aprobate prin OMEC nr. 4615/04.08.2026 și publicate în Monitorul Oficial nr. 674 bis/14.08.2026, deci la peste un an după proba din 15 iulie 2025. Baremul din 2025 nu le cere. Se aplică însă la clasă din anul școlar 2026–2027. Încadrarea de mai jos e a noastră, după descriptorii clasei a VII-a din Monitorul Oficial (paginile 920–921):

Încadrarea pe standarde nu coincide peste tot cu competența declarată, pentru că standardele grupează altfel decât activitățile din programă. La itemul 3, proprietatea coardelor e o activitate de la 1.5, dar calculul măsurii e mai aproape de VII.CS.3.5. Lungimea cercului și aria discului apar explicit în descriptorul Avansat al VII.CS.5.5, „în context complex”; problema rondului e mai simplă. Standardele tuturor claselor sunt pe pagina standardelor de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al III-lea, în formatul din 2025

• Avantajul sau dezavantajul scris doar o dată, pentru toată proba: baremul le punctează la fiecare item.
• Avantaj al itemului concret, nu al tipului („e ușor pentru elevi”): criteriul cere avantajul utilizării acestui tip de item.
• Competența și activitatea din blocuri diferite: de exemplu, competența 6.5 cu o activitate din blocul 2.5.
• Item în afara unității: un calcul cu teorema lui Pitagora sau cu asemănarea, fără proprietăți ale cercului.
• Valori care depind de aproximarea lui π: dacă rezultatul se schimbă când folosești $3$ în loc de $3,14$, aproximarea trebuie dată în enunț.
• Completare cu mai multe răspunsuri corecte sau alegere multiplă cu două variante corecte.
• Întrebare structurată fără material comun sau baremul doar cu rezultatul final, la itemii 4 și 5.

Materiale pentru unitate

• Programa clasei a VII-a, cu toate competențele: programa de matematică la clasa a VII-a.
• Lecțiile unității: Unghiul înscris în cerc, Coarde și arce congruente în cerc, Tangente dintr-un punct exterior la un cerc, Poligoane regulate înscrise într-un cerc, Recapitulare: cercul și poligoanele regulate.
• Teste pentru elevi: cercul: unghi înscris, coarde, diametru și cercul: tangente, poligoane, lungime și arie.

Întrebări frecvente

Unde se pierd cele mai multe puncte la titularizarea la matematică din 2025?

Pe pașii pe care baremul îi punctează explicit. La I.1.c, pe condiția ca numitorul să fie pozitiv pentru orice x, înainte de a renunța la modul, și pe discriminanții strict negativi. La II.1.b, pe argumentul cu rădăcina complexă și conjugata ei, care arată că rămân cel mult două rădăcini reale. La didactică, când avantajul și dezavantajul lipsesc la unii itemi sau nu sunt ale tipului de item: baremul le punctează cu câte 1 punct la fiecare item.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la titularizare matematică 2025?

În arhiva oficială a sesiunii 2025, pe subiecte2025.edu.ro (Titularizare_2025.zip, aproximativ 27 MB, cu toate disciplinele), în fișierele Tit_109_Matematica_P_2025_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2025_bar_03_LRO.pdf (baremul). Pe pagina asta, amândouă sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost Subiectul al III-lea la titularizare matematică 2025?

Din clasa a VII-a. Subiectul dă o secvență din programa școlară de matematică (OMEN nr. 3393/28.02.2017), competențele specifice 1.5–6.5 și conținuturile unității „Cercul”. Cere o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității „Cercul”: de completare, cu răspuns scurt, de tip alegere multiplă, de tip întrebare structurată și de tip rezolvare de probleme, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip.

Ce avantaj și ce dezavantaj se pot scrie pentru fiecare tip de item?

Câteva formulări folosite des. Completarea: se corectează repede și obiectiv, dar verifică doar rezultatul. Răspunsul scurt: elevul produce singur răspunsul, dar itemul acoperă o cerință mică. Alegerea multiplă: distractorii arată ce confuzie are elevul, dar răspunsul se poate ghici. Întrebarea structurată: evaluează gradat mai multe competențe pe aceeași situație, dar o greșeală se poate transmite la subîntrebările următoare. Rezolvarea de probleme: evaluează modelarea și interpretarea, dar corectarea e mai subiectivă și cere barem pe etape. În baremul din 2025, fiecare valorează 1 punct, la fiecare item.

Mai departe

• Titularizare matematică: toate subiectele, programa și media: pagina examenului, cu tabelul pe ani.
• Modelul de titularizare la matematică pentru 2026: aceeași probă, cu trei cerințe schimbate, rezolvate.
• Titularizare matematică 2026 și 2024: probele vecine, rezolvate la fel.
• Calculatorul de medie la titularizare: media de repartizare din nota la proba scrisă și nota la inspecție.
• Programa școlară de matematică: programele în vigoare la toate clasele.

Sursele

• Subiectul și baremul: Ministerul Educației și Cercetării, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare, „Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 15 iulie 2025, Probă scrisă, Matematică, Varianta 3”, subiect și barem, arhiva Titularizare_2025.zip de pe subiecte2025.edu.ro.
• Programa școlară: OMEN nr. 3393/28.02.2017, Anexa nr. 2.
• Programa de concurs: Programa pentru disciplina Matematică, Concursul național de ocupare a posturilor didactice (București, 2020), aprobată prin OMEC nr. 5975/09.11.2020.
• Standardele: OMEC nr. 4615/04.08.2026, anexa nr. 29, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis/14.08.2026, paginile 920–921.

Verificat de noi pe 17.10.2026: transcrierea subiectului și a baremului e comparată cu imaginea fiecărei pagini a PDF-urilor oficiale, inclusiv formulele: modulul de la I.1.c, compunerea, conjugata de la II.1.b și fracțiile apar corect doar în imagine. Simbolul de triunghi și Δ lipsesc din imaginea baremului și au fost confirmate din stratul de text. Fiecare rezultat al rezolvării a fost refăcut prin calcul simbolic (scriptul de control, inclusiv geometria pe coordonate și pe triunghiuri aleatoare, răspunsurile itemilor de didactică și suma punctajelor lor).