Exerciții rezolvate — Aplicații ale trigonometriei în geometrie (clasa a X-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Aplicații ale trigonometriei în geometrie", clasa a X-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un poligon convex cu $n$ laturi se descompune, dintr-un vârf, în:

   • a) $n-2$ triunghiuri
   • b) $n+2$ triunghiuri
   • c) $n$ triunghiuri
   • d) $n-1$ triunghiuri
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $n-2$ triunghiuri

   Din vârful ales nu pleacă diagonale spre cei doi vecini imediați, deci rezultă $n-2$ triunghiuri (la un pentagon, $3$).

   Lecția: Aria suprafețelor poligonale prin descompunere în triunghiuri →

2. Formula ariei triunghiului cu două laturi și unghiul dintre ele este:

   • a) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$
   • b) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}(a+b)\sin C$
   • c) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\cos C$
   • d) $\mathcal{S}=ab\sin C$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\mathcal{S}=\frac{1}{2}ab\sin C$

   Jumătate din produsul celor două laturi, înmulțit cu sinusul unghiului dintre ele.

   Lecția: Aria triunghiului cu formula sinusului →

3. Formula lui Heron pentru aria unui triunghi este:

   • a) $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
   • b) $\mathcal{S}=\sqrt{pabc}$
   • c) $\mathcal{S}=\frac{a+b+c}{2}$
   • d) $\mathcal{S}=p(p-a)(p-b)(p-c)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\mathcal{S}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

   Aria este rădăcina pătrată a produsului semiperimetrului cu cele trei diferențe față de laturi.

   Lecția: Aria triunghiului: formula lui Heron →

4. Metoda triangulației presupune:

   • a) măsurarea unei baze accesibile și a unor unghiuri, apoi calculul distanței
   • b) măsurarea directă a distanței inaccesibile
   • c) folosirea exclusivă a teoremei lui Pitagora
   • d) măsurarea doar a unghiurilor, fără nicio bază
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) măsurarea unei baze accesibile și a unor unghiuri, apoi calculul distanței

   Ideea centrală a măsurătorii indirecte: măsori ce e accesibil (bază, unghiuri) și calculezi ce nu e accesibil (distanța cerută).

   Lecția: Măsurători indirecte: triangulație, teren și navigație →

5. Criteriul naturii triunghiului, cu $a$ latura cea mai mare, spune că triunghiul este obtuzunghic dacă:

   • a) $a^2>b^2+c^2$
   • b) $a^2=b^2+c^2$
   • c) $a<b+c$
   • d) $a^2<b^2+c^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $a^2>b^2+c^2$

   Când pătratul laturii celei mai mari depășește suma celorlalte două pătrate, unghiul opus ei este obtuz.

   Lecția: Natura unui triunghi determinată din lungimile laturilor →

6. Cazul LUL înseamnă:

   • a) două laturi și unghiul dintre ele
   • b) o latură și două unghiuri
   • c) două laturi și un unghi nealăturat
   • d) trei laturi cunoscute
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) două laturi și unghiul dintre ele

   LUL = Latură, Unghi, Latură: cele două laturi cunoscute încadrează unghiul dat.

   Lecția: Rezolvarea triunghiului: cazurile LLL și LUL →

7. Cazul LLU este numit cazul ambiguu pentru că:

   • a) $\sin B=k$ are două soluții posibile în $(0^{\circ },180^{\circ })$
   • b) laturile nu pot fi determinate deloc
   • c) nu există niciodată nicio soluție
   • d) unghiul dat este întotdeauna drept
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\sin B=k$ are două soluții posibile în $(0^{\circ },180^{\circ })$

   Ecuația $\sin B=k$ admite, în general, două unghiuri suplementare ca soluție — de aici ambiguitatea numărului de triunghiuri.

   Lecția: Rezolvarea triunghiului: cazurile ULU și LLU →

8. Cât este $\cos 120^{\circ }$?

   • a) $-\frac{1}{2}$
   • b) $\frac{1}{2}$
   • c) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • d) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $-\frac{1}{2}$

   $\cos 120^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-120^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$.

   Lecția: Sinusul și cosinusul unghiurilor obtuze →

9. Formula pentru aflarea unghiului $A$ dintr-un triunghi cu laturile $a,b,c$ cunoscute este:

   • a) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
   • b) $\cos A=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
   • c) $\cos A=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
   • d) $\cos A=\frac{b^2+c^2+a^2}{2bc}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

   Formula corectă pentru $\cos A$ are la numărător suma pătratelor celorlalte două laturi minus pătratul laturii opuse ($a$), iar la numitor dublul produsului lor.

   Lecția: Teorema cosinusului: aflarea unghiurilor din laturi →

10. În teorema cosinusului $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, unghiul $A$ este:

    • a) opus laturii $a$, cuprins între laturile $b$ și $c$
    • b) alăturat laturii $a$
    • c) cuprins între laturile $a$ și $b$
    • d) opus laturii $b$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) opus laturii $a$, cuprins între laturile $b$ și $c$

    Unghiul din formulă este mereu opus laturii calculate din stânga și este cuprins exact între cele două laturi ridicate la pătrat, $b$ și $c$.

    Lecția: Teorema cosinusului: enunț și primele aplicații →

11. Teorema sinusurilor afirmă că, într-un triunghi oarecare:

    • a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$
    • b) $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
    • c) $\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}$
    • d) $a\cdot \sin A=b\cdot \sin B=c\cdot \sin C$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

    Aceasta este forma teoremei sinusurilor. Formula $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$, aflată printre variante, este teorema cosinusului, o teoremă diferită.

    Lecția: Teorema sinusurilor: enunț și aplicații →

12. Forma completă a teoremei sinusurilor este:

    • a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$
    • b) $a\cdot \sin A=2R$
    • c) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=R$
    • d) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{R}{2}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

    Raportul comun din teorema sinusurilor este egal cu diametrul cercului circumscris, $2R$, nu cu raza.

    Lecția: Teorema sinusurilor și raza cercului circumscris →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.