Exerciții rezolvate — Elemente de geometrie: punct, dreaptă, segment (clasa a V-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Elemente de geometrie: punct, dreaptă, segment", clasa a V-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care dintre următoarele scrieri este corectă, respectând convenția pentru segment și lungime?

   • a) $[MN]=8$ cm, iar $MN$ este segmentul
   • b) $MN=8$ cm, iar $[MN]$ este segmentul
   • c) $[MN]$ și $MN$ înseamnă exact același lucru
   • d) $MN$ se scrie mereu cu paranteze drepte
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $MN=8$ cm, iar $[MN]$ este segmentul

   $[MN]$ (cu paranteze drepte) este segmentul, figura geometrică; $MN$ (fără paranteze) este lungimea lui, un număr cu unitate de măsură, de exemplu $MN=8$ cm.

   Lecția: Distanța dintre două puncte. Lungimea unui segment →

2. Se știe că dreptele $p$ și $q$ satisfac relația $p\cap q=\varnothing$. Ce se poate spune despre ele?

   • a) Sunt drepte concurente, tăindu-se într-un punct
   • b) Sunt drepte paralele, nu au niciun punct comun
   • c) Sunt de fapt aceeași dreaptă
   • d) Au exact două puncte comune
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Sunt drepte paralele, nu au niciun punct comun

   Simbolul $\varnothing$ înseamnă mulțimea vidă, deci intersecția celor două drepte nu conține niciun punct. Aceasta este exact definiția dreptelor paralele: $p\cap q=\varnothing$ se notează și $p\parallel q$.

   Lecția: Pozițiile relative a două drepte: concurente și paralele →

3. $M$ este mijlocul segmentului $[AB]$, iar $AB=22$ cm. Cât măsoară $AM$?

   • a) $11$ cm
   • b) $22$ cm
   • c) $44$ cm
   • d) $10$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $11$ cm

   Fiindcă $M$ este mijloc, $AM=AB:2=22:2=11$ cm.

   Lecția: Mijlocul unui segment →

4. Care variantă folosește corect tipul de literă pentru un punct, o dreaptă și, respectiv, un plan?

   • a) punctul $K$, dreapta $t$, planul $\beta$
   • b) punctul $k$, dreapta $T$, planul $\beta$
   • c) punctul $K$, dreapta $t$, planul $T$
   • d) punctul $\beta$, dreapta $K$, planul $t$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) punctul $K$, dreapta $t$, planul $\beta$

   Regula de notație: punctul se notează cu literă mare latină ($K$), dreapta cu literă mică latină ($t$), iar planul cu literă grecească ($\beta$). Variantele (b), (c) și (d) amestecă tipurile de litere între noțiuni diferite.

   Lecția: Punct, dreaptă, plan și semiplan →

5. Care dintre următoarele afirmații este corectă?

   • a) Prin două puncte distincte trec exact două drepte.
   • b) Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
   • c) Printr-un singur punct trece o singură dreaptă.
   • d) Prin trei puncte necoliniare trece o singură dreaptă.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

   Proprietatea fundamentală a geometriei spune că prin două puncte distincte trece o dreaptă și numai una — dreapta $AB$. Varianta (a) contrazice unicitatea; varianta (c) e greșită deoarece printr-un singur punct trec o infinitate de drepte; varianta (d) e greșită pentru că trei puncte necoliniare determină trei drepte diferite ($AB$, $BC$, $CA$), nu una singură.

   Lecția: Pozițiile unui punct față de o dreaptă. Puncte coliniare →

6. Se dau lungimile $EF=9$ cm, $GH=12$ cm și $IJ=9$ cm. Care dintre următoarele scrieri este corectă?

   • a) $[EF]\equiv [GH]$
   • b) $[EF]\equiv [IJ]$
   • c) $[GH]\equiv [IJ]$
   • d) $[EF]=[IJ]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $[EF]\equiv [IJ]$

   $EF=9$ cm și $IJ=9$ cm sunt egale, deci segmentele $[EF]$ și $[IJ]$ sunt congruente: $[EF]\equiv [IJ]$. Segmentul $[GH]=12$ cm nu este congruent cu celelalte. Varianta d) este greșită deoarece pentru segmente (figuri) se folosește semnul $\equiv$, nu $=$.

   Lecția: Segmente congruente. Construcție cu compasul și rigla gradată →

7. Ce reprezintă notația $[KL$?

   • a) Dreapta $KL$
   • b) Semidreapta cu originea $K$
   • c) Semidreapta cu originea $L$
   • d) Segmentul $KL$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Semidreapta cu originea $K$

   Notația $[KL$ are o singură paranteză dreaptă, așezată lângă $K$. La semidreaptă prima literă este întotdeauna originea, deci $[KL$ este semidreapta cu originea $K$, îndreptată spre $L$.

   Lecția: Semidreapta și segmentul →

8. Punctele $P$, $O$, $P^{\prime }$ sunt pe o dreaptă, iar $P^{\prime }$ este simetricul lui $P$ față de $O$. Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?

   • a) $OP=O{P}^{\prime }$, dar punctele pot fi pe drepte diferite
   • b) $O$ este mijlocul segmentului $[P{P}^{\prime }]$, deci $OP=O{P}^{\prime }$ și $O$ este între $P$ și $P^{\prime }$
   • c) $P$ este mijlocul segmentului $[O{P}^{\prime }]$
   • d) $P{P}^{\prime }=OP$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $O$ este mijlocul segmentului $[P{P}^{\prime }]$, deci $OP=O{P}^{\prime }$ și $O$ este între $P$ și $P^{\prime }$

   Din definiție, $O$ trebuie să fie mijlocul lui $[P{P}^{\prime }]$: acest lucru înseamnă atât coliniaritate și poziția lui $O$ între $P$ și $P^{\prime }$, cât și egalitatea distanțelor $OP=O{P}^{\prime }$. Varianta a) greșește la coliniaritate, iar c) și d) confundă rolurile punctelor.

   Lecția: Simetricul unui punct față de un punct →

9. Pe segmentul $[PQ]$, punctul $R$ se află între $P$ și $Q$. Știind că $PR=6$ cm și $RQ=9$ cm, cât este $PQ$?

   • a) $3$ cm
   • b) $54$ cm
   • c) $15$ cm
   • d) Nu se poate afla fără riglă
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $15$ cm

   Deoarece $R$ este între $P$ și $Q$, lungimile celor două bucăți se adună la întreg: $PQ=PR+RQ=6+9=15$ cm.

   Lecția: Distanța dintre două puncte. Lungimea unui segment →

10. Care dintre următoarele exemple din realitate ilustrează cel mai bine două drepte concurente?

    • a) Cele două șine ale unei căi ferate
    • b) Acele unui ceas, care pornesc din centrul cadranului
    • c) Cele două margini lungi ale unei rigle
    • d) Laturile opuse ale unui dreptunghi
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Acele unui ceas, care pornesc din centrul cadranului

    Acele ceasului pornesc din același punct (centrul cadranului), deci au un punct comun — sunt concurente. Șinele, marginile riglei și laturile opuse ale dreptunghiului rămân la distanță constantă, deci sunt exemple de drepte paralele.

    Lecția: Pozițiile relative a două drepte: concurente și paralele →

11. Pe segmentul $[XY]$ avem un punct $R$, situat pe segment, cu $XR=9$ cm și $RY=7$ cm. Este $R$ mijlocul lui $[XY]$?

    • a) Da, pentru că $R$ este pe segment
    • b) Da, pentru că $XR+RY=16$
    • c) Nu, pentru că $XR\ne RY$
    • d) Nu, pentru că $R$ nu este pe segment
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) Nu, pentru că $XR\ne RY$

    Mijlocul trebuie să respecte ambele condiții: să fie pe segment ȘI $XR=RY$. Aici $R$ este pe segment, dar $9\ne 7$, deci cele două bucăți nu sunt egale, așa că $R$ nu este mijlocul lui $[XY]$.

    Lecția: Mijlocul unui segment →

12. Pe dreapta $h$ se află punctul $K$, iar punctul $R$ nu se află pe ea. Care este scrierea corectă cu simboluri matematice?

    • a) $K\in h$ și $R\notin h$
    • b) $K\notin h$ și $R\in h$
    • c) $K\in h$ și $R\in h$
    • d) $K\notin h$ și $R\notin h$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $K\in h$ și $R\notin h$

    Simbolul $\in$ înseamnă „aparține", iar $\notin$ înseamnă „nu aparține". Deoarece $K$ se află pe dreaptă, scriem $K\in h$; deoarece $R$ nu se află pe dreaptă, scriem $R\notin h$. Celelalte variante inversează sau greșesc simbolurile.

    Lecția: Punct, dreaptă, plan și semiplan →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.