Exerciții rezolvate — Mulțimea numerelor raționale ℚ (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Mulțimea numerelor raționale ℚ", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Calculează: $-\frac{5}{9}+\frac{2}{9}$.

   • a) $\frac{1}{3}$
   • b) $-\frac{1}{3}$
   • c) $-\frac{7}{9}$
   • d) $-\frac{1}{6}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $-\frac{1}{3}$

   Numitorul rămâne același, $9$, deci adunăm numărătorii ca numere întregi: $-5+2=-3$. Obținem $\frac{-3}{9}$, care se simplifică prin împărțire cu $3$ la $-\frac{1}{3}$.

   Lecția: Adunarea numerelor raționale →

2. Completează cu „$<$", „$>$" sau „$=$": $-\frac{4}{5}\square -\frac{7}{9}$.

   • a) $<$
   • b) $>$
   • c) $=$
   • d) nu se poate stabili relația
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $<$

   Comparăm modulele aduse la numitor comun $45$: $\frac{4}{5}=\frac{36}{45}$ și $\frac{7}{9}=\frac{35}{45}$. Cum $36>35$, modulul lui $-\frac{4}{5}$ este mai mare, deci $-\frac{4}{5}$ este mai mic: $-\frac{4}{5}<-\frac{7}{9}$.

   Lecția: Compararea și ordonarea numerelor raționale →

3. Rezolvă ecuația $x:\left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{4}{15}$ și alege soluția corectă, scrisă ca fracție ireductibilă.

   • a) $x=\frac{4}{25}$
   • b) $x=-\frac{4}{25}$
   • c) $x=-\frac{4}{15}$
   • d) $x=-\frac{4}{9}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $x=-\frac{4}{25}$

   $x$ a fost împărțit la $-\frac{3}{5}$; facem opusul, adică înmulțim cu $-\frac{3}{5}$: $x=\frac{4}{15}\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{12}{75}$. Simplificăm prin 3: $x=-\frac{4}{25}$. Proba: $-\frac{4}{25}:\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{4}{25}\cdot \left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{20}{75}=\frac{4}{15}$. ✓

   Lecția: Ecuații cu numere raționale →

4. Care este inversul numărului $-\frac{7}{9}$?

   • a) $\frac{7}{9}$
   • b) $-\frac{9}{7}$
   • c) $\frac{9}{7}$
   • d) $-\frac{7}{9}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $-\frac{9}{7}$

   Inversul răstoarnă fracția și păstrează semnul: inversul lui $-\frac{7}{9}$ este $-\frac{9}{7}$, pentru că $\left(-\frac{7}{9}\right)\cdot \left(-\frac{9}{7}\right)=\frac{63}{63}=1$. Varianta a) este opusul, nu inversul — o confuzie frecventă.

   Lecția: Împărțirea numerelor raționale →

5. Fără să efectuezi calculul complet, precizează ce semn are produsul $\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \left(-\frac{2}{7}\right)\cdot \left(-\frac{4}{9}\right)$.

   • a) plus (+)
   • b) minus (−)
   • c) nu se poate stabili fără calcul
   • d) produsul este 0
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) minus (−)

   Produsul are trei factori negativi, adică un număr impar de minusuri. Regula: par de minusuri → plus, impar de minusuri → minus. Aici 3 este impar, deci semnul final este minus, indiferent de valorile fracțiilor.

   Lecția: Înmulțirea numerelor raționale →

6. Care dintre următoarele nu este un număr rațional?

   • a) $-9$
   • b) $\frac{7}{11}$
   • c) $0$
   • d) $\frac{8}{0}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $\frac{8}{0}$

   Un număr rațional se scrie $\frac{a}{b}$ cu $a,b\in \mathbb{Z}$ și $b\ne 0$. La $\frac{8}{0}$ numitorul este $0$, ceea ce nu este permis niciodată, deci această scriere nu reprezintă un număr rațional. În schimb $-9$, $\frac{7}{11}$ și $0$ sunt raționale ($-9=\frac{-9}{1}$, iar $0=\frac{0}{1}$).

   Lecția: Mulțimea numerelor raționale ℚ. Forme de scriere →

7. Care este opusul numărului rațional $-\frac{5}{9}$?

   • a) $\frac{9}{5}$
   • b) $-\frac{5}{9}$
   • c) $\frac{5}{9}$
   • d) $0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{5}{9}$

   Opusul se obține schimbând doar semnul numărului, nu răsturnând fracția (asta ar fi inversul). Opusul lui $-\frac{5}{9}$ este $\frac{5}{9}$.

   Lecția: Opusul și modulul unui număr rațional →

8. Care este prima operație efectuată la calcularea expresiei $E=\frac{2}{5}-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:\frac{1}{4}$?

   • a) Scăderea
   • b) Ridicarea la putere
   • c) Împărțirea
   • d) Nu contează ordinea, se calculează de la stânga la dreapta
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Ridicarea la putere

   Puterile se află pe treapta 1 și se calculează întotdeauna primele, înaintea înmulțirilor/împărțirilor (treapta 2) și a adunărilor/scăderilor (treapta 3): ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, abia apoi urmează împărțirea și scăderea.

   Lecția: Ordinea efectuării operațiilor cu numere raționale →

9. Un elev a citit $\frac{1}{5}$ din paginile unei cărți într-o zi și $\frac{1}{3}$ din carte a doua zi. I-au rămas necitite $28$ de pagini. Dacă notăm cu $x$ numărul total de pagini, care este ecuația corectă?

   • a) $\frac{x}{5}+\frac{x}{3}+28=x$
   • b) $\frac{x}{5}+\frac{x}{3}=28$
   • c) $x-\frac{1}{5}-\frac{1}{3}=28$
   • d) $\frac{x}{5}+\frac{x}{3}-28=x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{x}{5}+\frac{x}{3}+28=x$

   Întregul (numărul total de pagini) este suma părților citite plus restul necitit: $\frac{x}{5}+\frac{x}{3}+28=x$. (Rezolvând: $3x+5x+420=15x\Rightarrow 420=7x\Rightarrow x=60$ de pagini.) Varianta b) tratează greșit restul ca fiind egal cu părțile citite, iar c) și d) nu respectă corect relația „întreg = părți + rest".

   Lecția: Probleme care se rezolvă folosind ecuații cu numere raționale →

10. Calculează ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-2}$.

    • a) $\frac{25}{9}$
    • b) $\frac{9}{25}$
    • c) $-\frac{25}{9}$
    • d) $\frac{6}{10}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{25}{9}$

    Exponentul negativ înseamnă „răstoarnă fracția și fă exponentul pozitiv”: ${\left(\frac{3}{5}\right)}^{-2}={\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{5^2}{3^2}=\frac{25}{9}$. Varianta b este greșeala clasică de a nu răsturna fracția, iar varianta c pune un semn minus care nu are ce căuta la un exponent par al numărătorului răsturnat.

    Lecția: Puterea cu exponent întreg a unui număr rațional nenul →

11. Numărul rațional $\frac{17}{6}$ se transformă în număr mixt astfel: $17=6\cdot 2+5$, deci $\frac{17}{6}=2\frac{5}{6}$. Între ce două numere întregi se află pe axă punctul care reprezintă $\frac{17}{6}$?

    • a) între $1$ și $2$
    • b) între $2$ și $3$
    • c) între $3$ și $4$
    • d) între $5$ și $6$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) între $2$ și $3$

    Partea întreagă a numărului mixt $2\frac{5}{6}$ este $2$, deci punctul se află imediat după $2$, între $2$ și $3$ (la $\frac{5}{6}$ după $2$, foarte aproape de $3$).

    Lecția: Reprezentarea numerelor raționale pe axa numerelor →

12. Cât este $-\frac{3}{5}-\left(-\frac{2}{5}\right)$?

    • a) $-\frac{1}{5}$
    • b) $\frac{1}{5}$
    • c) $-1$
    • d) $1$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $-\frac{1}{5}$

    Scăderea unui număr negativ devine adunare cu opusul: $-\frac{3}{5}-\left(-\frac{2}{5}\right)=-\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{-3+2}{5}=-\frac{1}{5}$. Răspunsul corect este a).

    Lecția: Scăderea numerelor raționale →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.