Exerciții rezolvate — Progresii aritmetice (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Progresii aritmetice", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Care dintre următoarele șiruri este progresie aritmetică?

   • a) $2,4,8,16$
   • b) $1,4,9,16$
   • c) $5,8,11,14$
   • d) $3,3,6,9$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $5,8,11,14$

   La $5,8,11,14$ toate diferențele sunt $3$, deci este progresie aritmetică cu $r=3$. La $2,4,8,16$ se înmulțește cu $2$ (progresie geometrică), la $1,4,9,16$ diferențele sunt $3,5,7$, iar la $3,3,6,9$ sunt $0,3,3$ — niciuna constantă.

   Lecția: Progresia aritmetică și rația ei →

2. O sumă de $4000$ de lei este depusă cu dobândă simplă de $6\%$ pe an. Ce sumă va fi în cont după $5$ ani?

   • a) $4960$ lei
   • b) $5200$ lei
   • c) $5352$ lei
   • d) $5440$ lei
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $5200$ lei

   Dobânda unui an: $\frac{6}{100}\cdot 4000=240$ de lei. După $5$ ani: $4000+5\cdot 240=4000+1200=5200$ de lei. Suma $5352$ ar fi ieșit la dobândă compusă — dar enunțul spune limpede «simplă».

   Lecția: Progresii aritmetice în viața de zi cu zi: dobânda simplă și costurile →

3. Un bazin conține $300$ de litri de apă, iar din el se scurg $12$ litri pe oră. Care este rația progresiei aritmetice care descrie cantitatea de apă din oră în oră?

   • a) $12$
   • b) $-12$
   • c) $300$
   • d) $288$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $-12$

   Cantitatea scade, deci rația este negativă: $r=-12$. Valoarea $300$ este $a_1$ (cantitatea de la start), iar $288$ este $a_2$, cantitatea de după prima oră.

   Lecția: Cum recunoști o progresie aritmetică într-o problemă →

4. Un șir are formula termenului general $a_n=3n+1$. Cât este al patrulea termen?

   • a) $10$
   • b) $12$
   • c) $13$
   • d) $16$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $13$

   Punem $n=4$ în formulă: $a_4=3\cdot 4+1=12+1=13$. Capcana este $12$ — acolo s-a uitat de $+1$. Iar $10$ este $a_3$, adică un rang mai jos.

   Lecția: Șiruri de numere: termen, rang, formula termenului general →

5. Cât este suma primilor $10$ termeni ai progresiei aritmetice $2,5,8,\dots$?

   • a) $145$
   • b) $155$
   • c) $165$
   • d) $290$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $155$

   Rația este $3$, deci $a_{10}=2+9\cdot 3=29$. Suma: $S_{10}=\frac{(2+29)\cdot 10}{2}=31\cdot 5=155$. Rezultatul $290$ apare când se uită împărțirea la $2$.

   Lecția: Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice →

6. O progresie aritmetică are $a_1=6$ și $r=4$. Cât este $a_{15}$?

   • a) $58$
   • b) $60$
   • c) $62$
   • d) $66$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $62$

   $a_{15}=6+(15-1)\cdot 4=6+56=62$. Cine înmulțește cu $15$ în loc de $14$ obține $66$ — exact greșeala pe care o previne $(n-1)$. Iar $58$ este $a_{14}$.

   Lecția: Termenul general al unei progresii aritmetice →

7. Cât este rația progresiei aritmetice $17,12,7,2,\dots$?

   • a) $5$
   • b) $-5$
   • c) $-4$
   • d) $12$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $-5$

   Rația este diferența dintre un termen și cel dinaintea lui, în ordinea asta: $12-17=-5$. Șirul scade, deci rația trebuie să fie negativă — $5$ ar fi ieșit dacă scădeam invers.

   Lecția: Progresia aritmetică și rația ei →

8. O sală de sport cere o taxă de înscriere de $60$ de lei, plus $45$ de lei pe lună. Cât plătește în total cineva care merge $8$ luni?

   • a) $375$ lei
   • b) $405$ lei
   • c) $420$ lei
   • d) $480$ lei
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $420$ lei

   Taxa se plătește o singură dată: $60+8\cdot 45=60+360=420$ de lei. Rezultatul $405$ apare dacă înmulțești $45$ cu $9$, iar $360$ ar fi costul fără taxa de înscriere.

   Lecția: Progresii aritmetice în viața de zi cu zi: dobânda simplă și costurile →

9. Un elev citește $8$ pagini în prima zi și, în fiecare zi următoare, cu $3$ pagini mai mult decât în ziua dinainte. Câte pagini citește în a zecea zi?

   • a) $30$
   • b) $32$
   • c) $35$
   • d) $38$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $35$

   Avem $a_1=8$ și $r=3$, deci $a_{10}=8+9\cdot 3=8+27=35$. Cine înmulțește cu $10$ obține $38$ — dar de la ziua $1$ la ziua $10$ sunt $9$ creșteri. Întrebarea cere pagini într-o zi, nu totalul.

   Lecția: Cum recunoști o progresie aritmetică într-o problemă →

10. În șirul cu $a_n=2n-5$, ce rang are termenul egal cu $17$?

    • a) $9$
    • b) $11$
    • c) $12$
    • d) $22$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $11$

    Aici nu înlocuim, ci rezolvăm ecuația: $2n-5=17$, deci $2n=22$ și $n=11$. Cine se oprește la $2n=22$ răspunde $22$ — dar $22$ este dublul rangului, nu rangul.

    Lecția: Șiruri de numere: termen, rang, formula termenului general →

11. Cât este suma $1+2+3+\dots +60$?

    • a) $1770$
    • b) $1800$
    • c) $1830$
    • d) $3660$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $1830$

    $S_{60}=\frac{(1+60)\cdot 60}{2}=61\cdot 30=1830$. Rezultatul $1770$ este suma până la $59$, iar $3660$ este suma nedivizată la $2$.

    Lecția: Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice →

12. Într-o progresie aritmetică, $a_1=-3$ și $r=7$. Care termen este egal cu $60$?

    • a) $a_9$
    • b) $a_{10}$
    • c) $a_{11}$
    • d) $a_{63}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $a_{10}$

    Din $-3+(n-1)\cdot 7=60$ obținem $(n-1)\cdot 7=63$, deci $n-1=9$ și $n=10$. Cine uită să adune $1$ la final se oprește la $a_9$; cine uită să împartă la $7$ ajunge la $a_{63}$.

    Lecția: Termenul general al unei progresii aritmetice →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.