Numărul funcțiilor de la o mulțime la alta: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Combinatorică, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a X-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a X-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Combinatorică”.

$m$ este numărul de elemente al domeniului $A$, iar $n$ cel al codomeniului $B$, pentru funcții $f:A\to B$. Baza este numărul de valori disponibile, exponentul numărul de elemente de servit — inversarea lor schimbă complet răspunsul. Numărul funcțiilor injective este $0$ când $m>n$, iar bijecțiile există numai dacă cele două mulțimi au același număr de elemente; tot $n!$ este și numărul de ordonări ale unei mulțimi cu $n$ elemente, fiindcă o ordonare e o bijecție de la $\{1,2,\dots ,n\}$ la ea.

Exemplu: Pentru $A$ cu $3$ elemente și $B$ cu $5$: $5^3=125$ funcții, dintre care $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ injective. • Pentru $A=B$ cu $4$ elemente: $4^4=256$ funcții și $4!=24$ bijective. • Probabilitatea ca o funcție luată la întâmplare, cu $m=3$ și $n=4$, să fie injectivă: $\frac{24}{64}=\frac{3}{8}$.