Principiul includerii și al excluderii: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Combinatorică, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a X-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a X-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Combinatorică”.

$n(A)$ este numărul de elemente (cardinalul) al mulțimii finite $A$. Elementele comune sunt numărate de mai multe ori la adunare, deci se scad; la trei mulțimi, intersecția tuturor ajunge la zero după cele trei scăderi, așa că se adaugă înapoi o dată — tiparul semnelor este plus, minus, plus. Un număr dat pentru „$A$ și $B$" înseamnă întreaga intersecție, iar elementele care nu au niciuna dintre proprietăți se numără scăzând reuniunea din numărul total de obiecte.

Exemplu: Într-o grupă de $30$ de elevi, $17$ fac chimie, $14$ fac fizică și $6$ fac amândouă: $n(A\cup B)=17+14-6=25$ de elevi fac cel puțin o activitate, deci $5$ nu fac niciuna. • Câte numere din $\{1,\dots ,200\}$ sunt divizibile cu $4$ sau cu $6$? $50+33-16=67$, unde intersecția înseamnă multiplii lui $\mathrm{cmmmc}(4,6)=12$, nu ai lui $24$.