Formule: Numere întregi și raționale

Modulul, regulile semnelor și compararea numerelor cu semn. 5 formule, clasa 6.

Modulul (valoarea absolută) — clasa 6
Regula semnelor la înmulțire/împărțire — clasa 6
Scăderea ca adunare cu opusul — clasa 6
Compararea numerelor negative — clasa 6
Puterea unui număr negativ — clasa 6

Modulul (valoarea absolută) — clasa 6

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

$∣ a ∣$ se citește „modulul lui $a$ ” și înseamnă distanța de la $a$ până la $0$ pe axa numerelor — de aceea nu e niciodată negativ. Dacă $a$ e pozitiv sau zero, modulul e chiar $a$ ; dacă $a$ e negativ, modulul e opusul lui, $- a$ . Capcană: $- a$ din formulă nu înseamnă „număr negativ”, ci „opusul lui $a$ ”, care aici iese pozitiv.

Exemplu: $∣ - 7∣ = 7$ , pentru că $- 7$ e la $7$ pași de $0$ pe axă. • $∣4∣ = 4$ și $∣0∣ = 0$ . • Dacă $∣ x ∣ = 5$ , atunci $x = 5$ sau $x = - 5$ — nu uita a doua soluție!

Regula semnelor la înmulțire/împărțire — clasa 6

(+) \cdot (+) = + (-) \cdot (-) = + (+) \cdot (-) = -

La înmulțire și la împărțire: semne la fel → rezultat pozitiv; semne diferite → rezultat negativ. Regula e aceeași pentru $\cdot$ și pentru $:$ . Capcană: la adunare NU merge așa — $(- 3) + (- 4) = - 7$ , nu $+ 7$ !

Exemplu: $(- 3) \cdot (- 4) = + 12$ (semne la fel). • $(- 3) \cdot 4 = - 12$ (semne diferite). • La împărțire, identic: $(- 12) : (- 3) = + 4$ și $12 : (- 3) = - 4$ .

Scăderea ca adunare cu opusul — clasa 6

a - b = a + (- b)

$- b$ este opusul lui $b$ . Orice scădere se transformă în adunare cu opusul: în loc să scazi $b$ , aduni $- b$ . Așa toate calculele cu numere întregi devin adunări și nu mai greșești la semne — mai ales când scazi un număr negativ.

Exemplu: $5 - 9 = 5 + (- 9) = - 4$ : pornesc din $5$ și mă mut $9$ pași spre stânga pe axă. • $3 - (- 6) = 3 + 6 = 9$ : a scădea un număr negativ înseamnă a aduna opusul lui, care e pozitiv.

Compararea numerelor negative — clasa 6

a < b < 0 \Rightarrow ∣ a ∣ > ∣ b ∣

$a < b < 0$ înseamnă că ambele numere sunt negative. Dintre două numere negative, mai mic este cel cu modulul mai mare — cel mai depărtat de $0$ , spre stânga axei. Gândește-te la temperaturi: $- 7^{\circ}$ C e mai frig decât $- 2^{\circ}$ C. Capcană: la numerele pozitive e exact invers!

Exemplu: $- 7 < - 2$ , deși $7 > 2$ : pe axă, $- 7$ e mai la stânga decât $- 2$ . • Ordonate crescător: $- 10 < - 3 < 0 < 2$ .

Puterea unui număr negativ — clasa 6

(- a)^{2 k} = a^{2 k} (- a)^{2 k + 1} = - a^{2 k + 1}

$2 k$ înseamnă exponent par, iar $2 k + 1$ exponent impar. Minusurile se anulează două câte două: la exponent par rezultatul e pozitiv, la exponent impar rămâne negativ. Capcană: $(- 2)^{4} = 16$ , dar $- 2^{4} = - 16$ — fără paranteze, puterea se calculează înaintea minusului!

Exemplu: $(- 2)^{4} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 4 \cdot 4 = 16$ (exponent par → pozitiv). • $(- 2)^{3} = (- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 4 \cdot (- 2) = - 8$ (exponent impar → negativ).