La integrala $$\int_0^2 (3x+1)\,e^{-x}\,dx$$ se alege $$u = 3x + 1$$ și $$v' = e^{-x}$$. Care este integrala $$\int_0^2 u'(x)\,v(x)\,dx$$ din formula integrării prin părți?

$$\int_0^2 (3x+1)(-e^{-x})\,dx$$

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Părți: ce derivezi, ce integrezi

Cum integrez f de x împărțit la e la x?

Rescrii câtul ca produs, $\frac{f ( x )}{e ^{x}} = f (x) e^{- x}$ , apoi aplici integrarea prin părți, cu polinomul ca $u$ și cu $v = - e^{- x}$ , care are minus. Exemplu: $f (x) = 6 x + 7$ și cerința $\int_{0}^{1} \frac{f ( x )}{e ^{x}} d x$ . Cu $u = 6 x + 7$ obții $[- (6 x + 7) e^{- x}]_{0}^{1} + 6 \int_{0}^{1} e^{- x} d x = (7 - \frac{13}{e}) + 6 (1 - \frac{1}{e}) = 13 - \frac{19}{e}$ . Pentru probă derivezi primitiva $- (6 x + 13) e^{- x}$ și regăsești produsul $(6 x + 7) e^{- x}$ ; rezultatul $13 - \frac{19}{e} \approx 6, 0$ este pozitiv, cum trebuie.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XII-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XII-a → ·

Integrarea prin părți schimbă o integrală de produs cu una mai simplă. Pornește de la derivata unui produs și se scrie $\int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} (x) v (x) d x$ , pentru funcții cu derivate continue pe $[a; b]$ . O folosești la produsele de tipul polinom înmulțit cu $e^{x}$ , cu $e^{- x}$ sau cu $ln x$ .

Totul se hotărăște la alegerea factorilor. Te întrebi, pentru fiecare factor, ce devine el dacă îl derivezi și ce devine dacă îl integrezi. Polinomul își scade gradul, iar $ln x$ devine $\frac{1}{x}$ , deci aceștia se derivează. Exponențiala rămâne la fel, deci se integrează. La $e^{- x}$ primitiva este $- e^{- x}$ , cu minus. Dacă enunțul scade din $f$ anumiți termeni sau împarte la $e^{x}$ , pregătești mai întâi produsul și abia apoi alegi.

Paranteza se scrie cu ambele limite: valoarea din capătul de jos nu dispare, fiindcă $e^{0} = 1$ , dar $ln 1 = 0$ . Integrala rămasă se scade din paranteză, iar dacă mai conține un produs, aplici formula încă o dată.

Verifici derivând primitiva găsită și controlând semnul: integrala unei funcții pozitive nu poate ieși negativă. Un rezultat negativ la o funcție pozitivă trimite la semnul lui $v$ sau la paranteza scrisă cu o singură limită.

De reținut

$\frac{f ( x )}{e ^{x}} = f (x) e^{- x}$ , iar primitiva lui $e^{- x}$ este $- e^{- x}$
polinomul se derivează, exponențiala se integrează; la $ln x$ invers
paranteza $[u v]_{a}^{b}$ se scrie cu ambele limite

Greșeala tipică

Se ia $v = e^{- x}$ , fără minus: la $\int_{0}^{2} e^{- x} d x$ rezultă $e^{- 2} - 1$ , negativ, deși funcția este pozitivă. Corect: $v = - e^{- x}$ și $1 - e^{- 2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

La integrala $\int_{0}^{2} (3 x + 1) e^{- x} d x$ se alege $u = 3 x + 1$ și $v^{'} = e^{- x}$ . Care este integrala $\int_{0}^{2} u^{'} (x) v (x) d x$ din formula integrării prin părți?
- a) $\int_{0}^{2} 3 e^{- x} d x$
- b) $\int_{0}^{2} (- 3 e^{- x}) d x$
- c) $\int_{0}^{2} (3 x + 1) (- e^{- x}) d x$
- d) $\int_{0}^{2} 3 e^{x} d x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\int_{0}^{2} (- 3 e^{- x}) d x$

Derivata lui $u$ este $u^{'} = 3$ , iar o primitivă a lui $e^{- x}$ este $v = - e^{- x}$ , fiindcă derivata lui $- e^{- x}$ este $e^{- x}$ . Produsul $u^{'} v$ este deci $- 3 e^{- x}$ . Varianta $3 e^{- x}$ ia $v = e^{- x}$ , fără minus, varianta cu $(3 x + 1)$ lasă pe $u$ în loc de $u^{'}$ , iar $3 e^{x}$ ia $v = e^{x}$ .
La integrala $\int_{1}^{e} (6 x + 2) ln x d x$ se alege $u = ln x$ și $v^{'} = 6 x + 2$ . Cât este termenul din capete $[u (x) v (x)]_{1}^{e}$ , cu $v$ fără constantă?
- a) $3 e^{2} + 2 e - 5$
- b) $6 e + 2$
- c) $6 e^{2} + 2 e$
- d) $3 e^{2} + 2 e$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $3 e^{2} + 2 e$

O primitivă a lui $6 x + 2$ este $v = 3 x^{2} + 2 x$ . Termenul din capete este $(3 e^{2} + 2 e) ln e - (3 + 2) ln 1 = 3 e^{2} + 2 e$ , fiindcă $ln e = 1$ , iar $ln 1 = 0$ . Varianta cu $- 5$ ia $ln 1 = 1$ . Varianta $6 e + 2$ pune în paranteză chiar $v^{'}$ în loc de $v$ , iar $6 e^{2} + 2 e$ uită împărțirea la 2 din primitiva lui $6 x$ .
Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x^{2} + 6 x + 8$ . Cât este $\int_{1}^{2} (f (x) - 5 x^{2} - 8) e^{x} d x$ ?
- a) $6 e^{2}$
- b) $6 e^{2} + 6 e$
- c) $18 e^{2} - 12 e$
- d) $e^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6 e^{2}$

Scazi mai întâi: $f (x) - 5 x^{2} - 8 = 6 x$ , deci integrala este $6 \int_{1}^{2} x e^{x} d x$ . Cu $u = x$ și $v = e^{x}$ obții $[x e^{x}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} e^{x} d x = (2 e^{2} - e) - (e^{2} - e) = e^{2}$ , deci rezultatul este $6 e^{2}$ . Varianta $e^{2}$ uită factorul 6, varianta $6 e^{2} + 6 e$ nu scade valoarea din limita de jos a parantezei, iar $18 e^{2} - 12 e$ adună integrala rămasă în loc să o scadă.

Întrebări conexe

Cât este integrala din x ori ln x?

Derivezi logaritmul și integrezi polinomul, ca să dispară $ln x$ din integrala rămasă. De exemplu, $\int_{1}^{2} x ln x d x = [\frac{x ^{2}}{2} ln x]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x = 2 ln 2 - \frac{3}{4}$ . Paranteza are valoare doar în limita de sus, fiindcă $ln 1 = 0$ .

Cum controlez semnul unei integrale făcute prin părți?

Te uiți la funcție: dacă integrandul este pozitiv pe interval, rezultatul nu poate fi negativ. De exemplu, $(2 x - 1) ln x \geq 0$ pe $[1; 3]$ , iar $\int_{1}^{3} (2 x - 1) ln x d x = 6 ln 3 - 2 \approx 4, 59$ , pozitiv. Un rezultat negativ arată o greșeală de semn sau o paranteză cu o singură limită.

Cum aflu a când integrala conține un logaritm?

Calculezi integrala în funcție de $a$ prin părți, o egalezi cu valoarea dată și rezolvi ecuația. Pentru $\int_{1}^{e} (a x + 3) ln x d x$ se obține $\frac{a ( e ^{2} + 1 )}{4} + 3$ . Dacă valoarea dată este $\frac{5 ( e ^{2} + 1 )}{4} + 3$ , rezultă $a = 5$ .

Ce fac cu un termen fără exponențială?

Rupi suma pe termeni, cu liniaritatea: integrarea prin părți se folosește numai la produsul cu exponențială, iar restul se integrează direct, cu primitivele din tabel. De exemplu, $\int_{0}^{2} (x e^{x} + 4 x) d x = \int_{0}^{2} x e^{x} d x + 4 \int_{0}^{2} x d x = (e^{2} + 1) + 8 = e^{2} + 9$ .

Cum apare integrarea prin părți în probele oficiale?

Integrarea prin părți a apărut în 29 de probe M_tehnologic din 2013–2026, la problema 2 din Subiectul al III-lea. Integrandul a avut, după reducere, un polinom înmulțit cu o exponențială sau cu un logaritm.

Oamenii mai întreabă și: integrala lui f de x supra e la x · cum scriu câtul cu e la x ca produs · numărul real a din integrala unui cât cu exponențială · f de x ori e la minus x sub integrală