Bac tehnologic: alegerea funcțiilor la părți

Cu câte zile întârzie, în medie, banii unei facturi? Contabila unei firme de închirieri află răspunsul dintr-o integrală a unui produs, timpul înmulțit cu ritmul încasărilor. O calculezi prin părți: derivezi un factor, îl integrezi pe celălalt și alegi bine care e care. Tema ține de clasa a XII-a, iar exemplele vin din meseriile liceului tehnologic. Au cerut-o 29 de probe ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), toate în problema 2 a Subiectului al III-lea.

Situația de pornire

O firmă de închirieri de utilaje pentru construcții emite la sfârșitul lunii facturi în valoare totală de 84 000 de lei și așteaptă banii de la clienți. Contabila vrea să afle în câte zile, în medie, se încasează banii, fiindcă firma plătește dobândă la linia de credit cât timp facturile rămân neplătite. Din registrul de încasări a copiat, pe decade, adică pe perioade de câte zece zile de la emitere, cât a intrat în cont. Cu fiecare perioadă intră mai puțin, pentru că rămân tot mai puține facturi de plătit. Programul contabil ajustează după aceste sume o formulă pentru ritmul încasărilor, pe care o vezi în secțiunea următoare.

Întrebare: care este termenul mediu de încasare, în zile, al banilor intrați în primele două luni, adică în cele 60 de zile?

De la situație la model

Contabila presupune că în fiecare zi se plătește aceeași parte din ce a rămas neplătit. Atunci soldul scade ca $84000e^{-t}$, cu $t$ în luni de la emitere, iar ritmul încasărilor, în lei pe lună, este

$$p(t)=84000e^{-t}$$

Formula (model din exemplu) reproduce sumele din tabel, rotunjite la sute: fiecare e încasarea uneia dintre cele șase decade.

Termenul mediu de încasare este media timpurilor la care a intrat fiecare leu: suma „leu înmulțit cu timpul lui”, împărțită la numărul de lei. Numitorul, ${\int }_0^{2}p(t)dt$, se calculează cu primitiva $-e^{-t}$ a exponențialei $e^{-t}$, fără regulă nouă. Numărătorul are produsul $t{e}^{-t}$: primul factor crește, al doilea scade, iar o primitivă a produsului nu se găsește în tabel. Pentru asemenea produse există regula din secțiunea următoare.

Regula produsului, citită invers

Integrarea prin părți este regula care înlocuiește integrala unui produs cu alta, mai ușoară. Pornești de la derivata unui produs, $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. O integrezi de la $a$ la $b$ și obții $u(b)v(b)-u(a)v(a)={\int }_a^b{u}^{\prime }v+{\int }_a^{b}u{v}^{\prime }$. Mutând un termen în cealaltă parte, ajungi la

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$$

Regula cere ca $u^{\prime }$ și $v^{\prime }$ să fie continue pe $[a;b]$; demonstrația nu se cere. Ea nu calculează integrala, ci o înlocuiește cu alta: câștigi numai dacă $\int u^{\prime }v$ e mai ușoară decât $\int u{v}^{\prime }$. Paranteza din dreapta, $[uv{]}_a^b$, înseamnă valoarea lui $uv$ în $b$ minus valoarea în $a$, deci o scrii cu ambele limite.

Ce factor derivezi la numărătorul contabilei?

Alegerea decide dacă regula ajută sau încurcă. La $t{e}^{-t}$, ca la orice produs, pune fiecărui factor două întrebări. Ce devine când îl derivez? Un polinom își scade gradul cu 1, iar $\ln x$ devine $\frac{1}{x}$: amândoi se simplifică. Exponențiala $e^x$ rămâne la fel. Ce devine când îl integrez? $e^x$ rămâne la fel, iar $e^{-x}$ capătă un minus. Un polinom primește un grad în plus, iar $\ln x$ cere primitiva $x\ln x-x$, care nu e în tabel. Din cele două întrebări rezultă ce derivezi, adică $u$, și ce integrezi, adică $v^{\prime }$:

Unde se ascunde produsul într-o cerință de examen?

În toate cele 29 de probe cu această metodă, cerința a pornit de la o funcție $f$ dată la începutul problemei, de pildă cu ${\int }_0^1(f(x)-a{x}^2-b)e^{x}dx$, cu $a$ și $b$ date în enunț, sau cu ${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx$. Mai întâi scazi din $f$ termenii numiți, ca să rămână un polinom mic, sau rescrii câtul ca produs cu $e^{-x}$. Abia apoi alegi $u$ și $v^{\prime }$. O sumă de forma „polinom · $e^x$ + polinom” o rupi pe termeni, cu liniaritatea.

Metoda pas cu pas

1. Pregătește produsul. Dacă enunțul scade din $f$ o parte, fă scăderea în paranteză; rescrie $\frac{f(x)}{e^x}$ ca $f(x)e^{-x}$ și rupe sumele pe termeni. Trebuie să rămână un polinom înmulțit cu $e^x$, cu $e^{-x}$ sau cu $\ln x$; dacă produsul e deja așa, pasul 1 se încheie imediat.
2. Alege cu cele două întrebări: $u$ e factorul care devine mai simplu când îl derivezi, adică polinomul sau $\ln x$, iar $v^{\prime }$ e celălalt. Scrie $u^{\prime }$ și $v$; la $e^{-x}$ ai $v=-e^{-x}$, fiindcă derivata lui $-e^{-x}$ este $e^{-x}$. Constanta de la primitivă nu se scrie: o primitivă oarecare ajunge.
3. Scrie formula cu ambele limite, $[uv{]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$. Calculează paranteza separat, cu valorile din $b$ și din $a$: $\ln 1=0$, iar $e^0=1$, deci în 0 termenul cu exponențiala nu dispare.
4. Calculează integrala rămasă, de regulă mai ușoară. Dacă mai are un produs, aplici regula încă o dată, cu aceeași alegere: polinomul rămâne $u$. Scazi, apoi simplifică; la „Determinați $a$” rezolvi ecuația. Dacă integrala rămasă are un polinom de grad mai mare decât la început, schimbi rolurile de la pasul 2.
5. Verifică: derivează primitiva găsită și compar-o cu produsul de la început; controlează semnul rezultatului, fiindcă integrala unei funcții pozitive nu poate fi negativă; la o ecuație, pune valoarea găsită înapoi și refă calculul cu ea.

Dacă ai nevoie de primitivele de bază, le găsești la primitive uzuale, iar regula liniarității a integralei definite e în lecția despre integrala pe tronsoane. Cealaltă metodă de calcul, schimbarea de variabilă, e în lecția despre substituția t = u(x). Tot traseul clasei, lecție după lecție, e în hubul clasei a XII-a, filiera tehnologică.

Fișa de buzunar

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=[u(x)v(x){]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }(x)v(x)dx$$

Se aplică produsului a două funcții cu derivate continue pe $[a;b]$. Derivezi factorul care se simplifică, polinomul sau $\ln x$, și integrezi celălalt factor. Paranteza se scrie cu ambele limite. Verificare rapidă: derivata primitivei găsite dă produsul de la început, iar semnul rezultatului este cel așteptat.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Termenul mediu de încasare

Domeniu: economic.

Enunț. Reluăm facturile firmei de închirieri: ritmul încasărilor este $p(t)=84000e^{-t}$ lei pe lună, cu $t$ în luni de la emitere. Aflați termenul mediu de încasare, în zile, al banilor intrați în primele două luni, adică în 60 de zile. Se dă $e^{-2}\approx 0,1353$.

Rezolvare. Pasul 1: numitorul este ${\int }_0^{2}84000e^{-t}dt=84000(1-e^{-2})\approx 72632$ lei. Numărătorul conține produsul $t{e}^{-t}$, deci scoți 84 000 în fața integralei și lași produsul pentru părți. Pasul 2: derivezi polinomul, $u=t$, deci $u^{\prime }=1$, și integrezi exponențiala, $v^{\prime }=e^{-t}$, deci $v=-e^{-t}$. Pașii 3 și 4:

$${\int }_0^{2}t{e}^{-t}dt=[-t{e}^{-t}{]}_0^2+{\int }_0^2{e}^{-t}dt=-2e^{-2}+(1-e^{-2})=1-3e^{-2}$$

Numărătorul este $84000(1-3e^{-2})\approx 49896$ lei·luni, iar termenul mediu este $\frac{1-3e^{-2}}{1-e^{-2}}\approx 0,687$ luni, adică $0,687\cdot 30\approx 20,6$ zile. Fiecare leu a așteptat deci în medie aproximativ 20,6 zile, mai puțin de jumătate din cele 60, fiindcă banii intră mai des la început și tot mai rar spre sfârșit.

Capcană. Cine ia $v=e^{-t}$, fără minus, obține $[t{e}^{-t}{]}_0^2-{\int }_0^2{e}^{-t}dt=2e^{-2}-(1-e^{-2})=3e^{-2}-1\approx -0,59$. Un număr negativ e imposibil aici, fiindcă $t{e}^{-t}\ge 0$ pe $[0;2]$. Greșeala vine de la derivata lui $e^{-t}$, care este $-e^{-t}$: primitiva lui $e^{-t}$ trebuie să aibă minus.

Verificare. Derivata lui $-(t+1)e^{-t}$ este $-e^{-t}+(t+1)e^{-t}=t{e}^{-t}$, deci primitiva e bună. Din tabel, cu mijlocul fiecărei decade, adică 5, 15, 25, 35, 45 și 55 de zile, ies $\frac{5\cdot 23800+15\cdot 17100+25\cdot 12200+35\cdot 8800+45\cdot 6300+55\cdot 4500}{72700}\approx 20,9$ zile, aproape de 20,6.

Exemplul 2 — Comenzile unui magazin online

Domeniu: comert.

Enunț. Un magazin online de piese pentru biciclete își lansează oferta de primăvară. Ritmul comenzilor, în comenzi pe lună, la $x$ luni de la lansare, este aproximat de $r(x)=(50x+90)e^x$, pentru $0\le x\le 1$ (model din exemplu). Aflați câte comenzi primește magazinul în prima lună. Se dă $e\approx 2,718$.

Rezolvare. Pasul 1: produsul e polinom · $e^x$, gata de părți. Pasul 2: $u=50x+90$, deci $u^{\prime }=50$, iar $v^{\prime }=e^x$, deci $v=e^x$. Pașii 3 și 4:

$${\int }_0^1(50x+90)e^{x}dx=[(50x+90)e^x{]}_0^1-{\int }_0^{1}50e^{x}dx=140e-90-50(e-1)=90e-40$$

Cu $e\approx 2,718$, magazinul primește $90\cdot 2,718-40\approx 205$ comenzi. După primul pas, polinomul din fața exponențialei a scăzut de la gradul 1 la gradul 0, așa că a doua integrală e o simplă exponențială: asta înseamnă că alegerea ajută. Ritmul crește de la 90 de comenzi pe lună, la lansare, la $140e\approx 381$ pe lună, după o lună, deci 205 comenzi într-o lună e un total rezonabil.

Capcană. Cine scrie paranteza doar cu valoarea din 1, $140e$, uită că în $x=0$ ea nu e zero: $(50\cdot 0+90)e^0=90$. Obține $140e-50(e-1)=90e+50\approx 295$ de comenzi, cu 90 mai multe decât a primit magazinul.

Verificare. Derivata lui $(50x+40)e^x$ este $50e^x+(50x+40)e^x=(50x+90)e^x$.

Exemplul 3 — Anvelopele unui ucenic

Domeniu: auto.

Enunț. La un atelier de vulcanizare, un ucenic montează anvelope. Productivitatea lui crește cu experiența ca $1+\ln x$ anvelope pe oră, iar programul crește de la 20 de ore în săptămâna 1 la 38 de ore în săptămâna 4, adică $P(x)=14+6x$ ore pe săptămână, cu $x$ în săptămâni, $1\le x\le 4$ (modele din exemplu). Aflați câte anvelope montează ucenicul între $x=1$ și $x=4$. Se dă $\ln 2\approx 0,693$.

Rezolvare. Pasul 1: anvelopele pe săptămână sunt $(14+6x)(1+\ln x)=(14+6x)+(14+6x)\ln x$, iar liniaritatea rupe integrala în două. Prima este ${\int }_1^4(14+6x)dx=42+45=87$. Pentru a doua, pasul 2: $u=\ln x$, deci $u^{\prime }=\frac{1}{x}$, iar $v^{\prime }=14+6x$, deci $v=14x+3x^2$. Pașii 3 și 4:

$${\int }_1^4(14+6x)\ln xdx=[(14x+3x^2)\ln x{]}_1^4-{\int }_1^4(14+3x)dx=104\ln 4-64,5$$

Paranteza în $x=4$ este $(56+48)\ln 4=104\ln 4$, iar în $x=1$ este 0, fiindcă $\ln 1=0$. Cu $\ln 4=2\ln 2\approx 1,386$, a doua integrală e $104\cdot 1,386-64,5\approx 79,6$. Ucenicul montează $87+79,6\approx 167$ de anvelope, rotunjit la un număr întreg. Ritmul crește de la 20 de anvelope pe săptămână, în săptămâna 1, la aproximativ 91, în săptămâna 4, fiindcă și productivitatea, și programul cresc, deci un total de 167 în trei săptămâni e plauzibil.

Capcană. Cine uită paranteza $\left[uv\right]$ și scrie doar $-\int u^{\prime }vdx$ obține $-64,5$ pentru a doua integrală. Rezultatul e negativ, deși $(14+6x)\ln x\ge 0$ pe $[1;4]$: logaritmul și polinomul sunt pozitive.

Verificare. Derivata lui $(14x+3x^2)\ln x-14x-1,5x^2$ este $(14+6x)\ln x+(14+3x)-14-3x=(14+6x)\ln x$. Unitățile se potrivesc: anvelope pe oră ori ore pe săptămână dă anvelope pe săptămână, iar integrala după săptămâni dă anvelope.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: reducere și părți

Domeniu: lemn.

Enunț. La examen, cerințele vin fără poveste, ca un calcul pe funcții date; aici sunt două, cu forme diferite. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^2+7x+3$. a) Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-4x^2-3)e^{x}dx=7$. b) Determinați numărul real $a$, știind că ${\int }_1^e(ax+2)\ln xdx=\frac{3e^2+11}{4}$.

Rezolvare. a) Pasul 1: produsul nu e gata, fiindcă paranteza are mai mulți termeni. Scazi din $f$ termenii numiți și obții $f(x)-4x^2-3=7x$, deci integrala este $7{\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$, adică un polinom de gradul 1 înmulțit cu $e^x$. Pasul 2: $u=x$, $u^{\prime }=1$, $v^{\prime }=e^x$, $v=e^x$. Pașii 3 și 4: ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$, deci integrala este 7. b) Pasul 2: $u=\ln x$ și $v^{\prime }=ax+2$, deci $v=\frac{a{x}^2}{2}+2x$. Pașii 3 și 4:

$${\int }_1^e(ax+2)\ln xdx=\left[\right(\frac{a{x}^2}{2}+2x)\ln x{]}_1^e-{\int }_1^e(\frac{ax}{2}+2)dx=\frac{a(e^2+1)}{4}+2$$

Ecuația $\frac{a(e^2+1)}{4}+2=\frac{3e^2+11}{4}$ dă $a(e^2+1)=3e^2+3$, deci $a=3$.

Capcană. La b), cine ia $\ln 1=1$ obține, în loc de rezultatul de mai sus, $\frac{a(e^2-1)}{4}$, apoi $a=\frac{3e^2+11}{e^2-1}\approx 5,19$. Cu acest $a$, integrala nu dă $\frac{3e^2+11}{4}$; valoarea corectă este $a=3$.

Verificare. La a), derivata lui $x{e}^x-e^x$ este $x{e}^x$. La b), cu $a=3$, separat: ${\int }_1^{e}3x\ln xdx=\frac{3(e^2+1)}{4}\approx 6,29$ și ${\int }_1^{e}2\ln xdx=2$, iar $6,29+2\approx 8,29\approx \frac{3e^2+11}{4}$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează ${\int }_0^1(9x+4)e^{x}dx$ și scrie rezultatul exact.

2. Calculează ${\int }_1^e(10x+6)\ln xdx$ și scrie rezultatul exact.

3. Calculează ${\int }_0^2(5x-2)e^{-x}dx$ și scrie rezultatul exact.

4. Pentru fiecare integrală spune ce derivezi și ce integrezi, fără să o calculezi, și de câte ori aplici regula: a) ${\int }_0^1(x^2+3)e^{x}dx$; b) ${\int }_1^e(4x+1)\ln xdx$; c) ${\int }_0^1(2x+5)e^{-x}dx$.

Nivelul 2 — situații

5. Un camping de pe litoral deschide rezervările de vară, iar ritmul lor, în rezervări pe lună, la $x$ luni de la deschidere, este $r(x)=(30x+50)e^x$, pentru $0\le x\le 2$ (model din exemplu). Câte rezervări primește campingul în primele 2 luni și câte în a doua lună? Se dau $e\approx 2,718$ și $e^2\approx 7,389$.

6. Un apicultor ține stupii lângă un lan de floarea-soarelui. Mierea adusă de toate familiile de albine ale stânei, în kg pe zi, la $x$ zile după ce s-au deschis primele flori, este aproximată de $m(x)=(x+4)\ln x$, pentru $1\le x\le 9$ (model din exemplu). Câtă miere strâng stupii între $x=1$ și $x=9$? Se dă $\ln 3\approx 1,099$.

7. Un contract aduce unui atelier venituri care cresc în timp, $v(t)=22+5t$ mii de lei pe an, pe 5 ani. Un analist financiar actualizează fiecare venit cu factorul $e^{-t/10}$, cu $t$ în ani. Calculează valoarea actualizată a contractului, ${\int }_0^5(22+5t)e^{-t/10}dt$, în mii de lei. Se dă $e^{-1/2}\approx 0,6065$.

8. Pentru un îngrășământ cu eliberare lentă, producătorul garantează că în primele 6 luni de la aplicare granulele dau în sol 48,4 kg de azot la hectar. Ritmul eliberării este $a(t)=(12+bt)e^{-t/2}$ kg la hectar pe lună, cu $t$ în luni (model din exemplu). Află numărul $b$. Se dă $e^{-3}\approx 0,0498$.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+6x+9$. Arătați că ${\int }_0^1(f(x)-2x^2-9)e^{x}dx=6$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=9x^2+5$. Calculați ${\int }_1^{e}f(x)\ln xdx$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+4x+1$. Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx=6+\frac{a}{e}$.

12. (Sinteză.) Altă firmă are ritmul încasărilor $p(t)=(30000+20000t)e^{-t}$ lei pe lună, cu $t$ în luni de la emitere. a) Câți lei încasează în primele două luni? b) Calculează ${\int }_0^{2}tp(t)dt$; pentru termenul $t^2{e}^{-t}$ aplici regula de două ori. c) Care este termenul mediu de încasare, în zile? Se dă $e^{-2}\approx 0,1353$.

Răspunsuri și verificări

1. $u=9x+4$, $v^{\prime }=e^x$: $[(9x+4)e^x{]}_0^1-9{\int }_0^1{e}^{x}dx=(13e-4)-9(e-1)=4e+5$. Verificare: derivata lui $(9x-5)e^x$ este $(9x+4)e^x$, iar $4e+5\approx 15,87>0$, ca la o funcție pozitivă.

2. $u=\ln x$, $v^{\prime }=10x+6$, $v=5x^2+6x$: $[(5x^2+6x)\ln x{]}_1^e-{\int }_1^e(5x+6)dx=(5e^2+6e)-(2,5e^2+6e-8,5)=2,5e^2+8,5$. Verificare: derivata lui $(5x^2+6x)\ln x-2,5x^2-6x$ este $(10x+6)\ln x$, iar rezultatul $\approx 26,97$ e pozitiv.

3. $u=5x-2$, $v^{\prime }=e^{-x}$, $v=-e^{-x}$: $[-(5x-2)e^{-x}{]}_0^2+5{\int }_0^2{e}^{-x}dx=(-8e^{-2}-2)+5(1-e^{-2})=3-13e^{-2}$. Verificare: derivata lui $-(5x+3)e^{-x}$ este $(5x-2)e^{-x}$.

4. a) $u=x^2+3$, $v^{\prime }=e^x$; după prima aplicare rămâne $\int 2x{e}^{x}dx$, încă un produs, deci regula se aplică de 2 ori. b) $u=\ln x$, $v^{\prime }=4x+1$; rămâne o integrală de polinom, deci o singură dată. c) $u=2x+5$, $v^{\prime }=e^{-x}$, $v=-e^{-x}$; rămâne $\int 2e^{-x}dx$, deci o singură dată. Verificare: după primul pas, gradul polinomului scade cu 1 sau logaritmul dispare.

5. $\int (30x+50)e^{x}dx=(30x+20)e^x$. În 2 luni: $[(30x+20)e^x{]}_0^2=80e^2-20\approx 571$ de rezervări. În a doua lună: $[(30x+20)e^x{]}_1^2=80e^2-50e\approx 455$ de rezervări. Verificare: $571-455=116$ rezervări în prima lună, iar ${\int }_0^1=50e-20\approx 116$.

6. $u=\ln x$, $v^{\prime }=x+4$, $v=\frac{x^2}{2}+4x$: $\left[\right(\frac{x^2}{2}+4x)\ln x{]}_1^9-{\int }_1^9(\frac{x}{2}+4)dx=76,5\ln 9-52=153\ln 3-52\approx 116$ kg de miere. Verificare: derivata lui $(\frac{x^2}{2}+4x)\ln x-\frac{x^2}{4}-4x$ este $(x+4)\ln x$.

7. $u=22+5t$, $v^{\prime }=e^{-t/10}$, $v=-10e^{-t/10}$: $[-10(22+5t)e^{-t/10}{]}_0^5+50{\int }_0^5{e}^{-t/10}dt=-470e^{-1/2}+220+500(1-e^{-1/2})=720-970e^{-1/2}\approx 131,7$ mii de lei. Verificare: derivata lui $-10(5t+72)e^{-t/10}$ este $(22+5t)e^{-t/10}$.

8. ${\int }_0^{6}12e^{-t/2}dt=24(1-e^{-3})$, iar prin părți, cu $u=t$ și $v=-2e^{-t/2}$: ${\int }_0^{6}t{e}^{-t/2}dt=[-2t{e}^{-t/2}{]}_0^6+2{\int }_0^6{e}^{-t/2}dt=4-16e^{-3}$. Ecuația $24-24e^{-3}+b(4-16e^{-3})=48,4$ dă $b\approx \frac{25,595}{3,203}\approx 8$. Verificare: cu $b=8$, integrala este $56-152e^{-3}\approx 48,4$ kg/ha, cât garantează producătorul.

9. Reducem: $f(x)-2x^2-9=6x$, deci integrala este $6{\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$. Cu $u=x$ și $v=e^x$: $[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$. Integrala este 6. Verificare: derivata lui $6x{e}^x-6e^x$ este $6x{e}^x$.

10. Cu $u=\ln x$ și $v=3x^3+5x$: $[(3x^3+5x)\ln x{]}_1^e-{\int }_1^e(3x^2+5)dx$. Paranteza dă $3e^3+5e$, iar ${\int }_1^e(3x^2+5)dx=e^3+5e-6$. Rezultatul este $2e^3+6\approx 46,2$. Verificare: derivata lui $(3x^3+5x)\ln x-x^3-5x$ este $(9x^2+5)\ln x$.

11. $\frac{f(x)}{e^x}=1+(4x+1)e^{-x}$, deci integrala este ${\int }_0^{1}dx+{\int }_0^1(4x+1)e^{-x}dx$. Cu $u=4x+1$ și $v=-e^{-x}$: $[-(4x+1)e^{-x}{]}_0^1+4{\int }_0^1{e}^{-x}dx=(-5e^{-1}+1)+4(1-e^{-1})=5-\frac{9}{e}$. Integrala totală este $6-\frac{9}{e}$, deci $a=-9$. Verificare: $6-\frac{9}{e}=6+\frac{-9}{e}$, iar $6-3,31\approx 2,69>0$.

12. a) ${\int }_0^2(30000+20000t)e^{-t}dt=[-(30000+20000t)e^{-t}{]}_0^2+20000{\int }_0^2{e}^{-t}dt=50000-90000e^{-2}\approx 37820$ lei. b) ${\int }_0^{2}tp(t)dt=30000{\int }_0^{2}t{e}^{-t}dt+20000{\int }_0^2{t}^2{e}^{-t}dt$, cu ${\int }_0^{2}t{e}^{-t}dt=1-3e^{-2}$ și ${\int }_0^2{t}^2{e}^{-t}dt=-4e^{-2}+2(1-3e^{-2})=2-10e^{-2}$. Rezultatul este $70000-290000e^{-2}\approx 30753$ lei·luni. c) Termenul mediu este $\frac{30753}{37820}\approx 0,813$ luni, adică aproximativ 24,4 zile. Verificare: rezultatul e între 0 și 60 de zile și mai mare decât cele 20,6 zile de la prima firmă, fiindcă aici ritmul scade mai încet: după o lună mai rămâne 61% din ritmul inițial, față de 37% la prima firmă.

Așa vine la Bac M3

Toate cerințele cu această metodă au stat la Subiectul al III-lea, problema 2, iar indexul celor 83 de probe oficiale le găsește în 29 dintre ele (2013–2026). Iată trei, din probe diferite, cu formele în care a venit metoda:

• Simularea din 2023, Subiectul al III-lea, exercițiul 2b: se dă o funcție polinomială de gradul al doilea, iar integrala cerută este a lui $f(x)-3x^2-2$ înmulțit cu $e^x$ pe $[0;1]$, cu rezultatul 4, deci pasul 1 din Metodă reduce paranteza, iar baremul probei dă 3 puncte pentru primitiva prin părți, la pașii 2 și 3, și 2 puncte pentru valorile din capete, la pasul 4.
• Iunie 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: se dă $f(x)=3x^2+1$ și se cere integrala lui $f(x)\ln x$ pe $[1;e]$, deci pasul 2 alege $u=\ln x$ și $v^{\prime }=f(x)$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru formula părților cu $v=x^3+x$, la pașii 2 și 3, și 2 puncte pentru valoarea $\frac{2e^3+4}{3}$, la pasul 4.
• Simularea din 2025, Subiectul al III-lea, exercițiul 2c: funcția are termenul $e^x$, iar cerința îl împarte pe $f(x)$ la $e^x$ și lasă o necunoscută $a$ în rezultat, deci pasul 1 rescrie câtul ca $1+(2x+2)e^{-x}$, iar baremul probei dă 3 puncte pentru integrala prin părți cu $v=-e^{-x}$, la pașii 2 și 3, și 2 puncte pentru rezultatul de forma „5 minus o fracție cu $e$ la numitor” și pentru $a=-6$, la pasul 4.

Exercițiile 9–11 au aceleași trei forme: paranteza redusă înmulțită cu $e^x$, polinomul înmulțit cu $\ln x$ și câtul cu $e^x$ cu o necunoscută $a$. Forma cu două aplicări, $\int t^2{e}^{-t}dt$, e în exercițiul 12.

Greșeli care costă puncte

• Derivezi exponențiala și integrezi polinomul → cum o prinzi: după primul pas polinomul are un grad în plus; dacă integrala rămasă pare mai grea, ai ales invers, ca la $\int (50x+90)e^{x}dx$ cu $u=e^x$.
• Uiți paranteza $[uv{]}_a^b$ sau o scrii cu o singură limită → cum o prinzi: controlezi semnul; la o funcție pozitivă, ca $(14+6x)\ln x$ pe $[1;4]$, rezultatul $-64,5$ e imposibil.
• La $e^{-x}$ iei $v=e^{-x}$ în loc de $v=-e^{-x}$ → cum o prinzi: derivezi $v$; derivata lui $e^{-x}$ e $-e^{-x}$, nu $e^{-x}$. Cu greșeala, termenul mediu din primul exemplu ieșea negativ.
• Pui $\ln 1=1$ la limita de jos → cum o prinzi: $\ln 1=0$, deci paranteza are doar termenul din limita de sus; cu $\ln 1=1$, la exemplul 4 b) ieșea $a\approx 5,19$ în loc de 3.
• Scazi o parte din $f$ cu semnul schimbat, $f(x)+3x^2$ în loc de $f(x)-3x^2$ → cum o prinzi: pui valorile lui $f$ în paranteză și compari fiecare termen; după scădere, polinomul trebuie să arate așa cum cere enunțul, fără $x^2$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006). Calculul integralelor definite prin integrarea prin părți se cere la Subiectul al III-lea, problema 2. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 29 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă la termenul mediu de încasare dacă facturile sunt de 126 000 de lei, nu de 84 000? Nimic: valoarea facturilor apare și la numărător, și la numitor, deci se simplifică. Termenul rămâne la aproximativ 20,6 zile. Se schimbă doar suma încasată în primele două luni: $126000\left(1-e^{-2}\right)\approx 108948$ lei, în loc de 72 632 de lei.

Cât rămâne neîncasat după 60 de zile și cât costă dobânda, dacă linia de credit are 1,2% pe lună? După 60 de zile rămân neîncasați $84000e^{-2}\approx 11368$ lei, iar $72632+11368=84000$, adică tot ce a fost facturat. Dobânda se calculează la soldul neplătit din fiecare moment, nu la cel de la sfârșit, deci la ${\int }_0^{2}84000e^{-t}dt\approx 72632$ lei·luni: $0,012\cdot 72632\approx 872$ lei. Calculul nu cere regula părților, ci doar primitiva exponențialei.

De ce nu împarte contabila simplu cele 60 de zile la 2? Media simplă, 30 de zile, ar presupune că banii intră la fel de repede în toată perioada. Aici intră 23 800 de lei în prima decadă și numai 4 500 în ultima, deci leii plătiți devreme sunt mult mai mulți și trag media în jos, la aproximativ 20,6 zile. De aceea fiecare sumă se înmulțește cu timpul ei înainte de împărțire.

Pot folosi tabelul cu sume pe decade în loc de formulă? Poți obține o aproximare: cu mijlocul fiecărei decade, termenul mediu iese aproximativ 20,9 zile. Formula dă valoarea exactă, aproximativ 20,6 zile; tabelul e rotunjit la sute și are doar șase decade, deci diferența dintre cele două rezultate e mică.

Ce se schimbă dacă firma urmărește încasările 90 de zile, nu 60? Limita de sus devine 3 luni. Numărătorul este $84000(1-4e^{-3})$, numitorul $84000(1-e^{-3})\approx 79818$ lei, iar termenul mediu crește la aproximativ 25,3 zile: leii plătiți în a treia lună au așteptat mult și ridică media. Calculul cere aceeași aplicare a regulii, cu altă limită.

Ce forme a luat integrarea prin părți la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)? În cele 29 de probe cu această temă, integrandul a avut o exponențială în 19 și un logaritm în 11; o singură probă le-a avut pe amândouă. În 9 dintre ele, cerința nu arăta nici exponențiala, nici logaritmul: apăreau abia după ce înlocuiai funcția $f$ dată la început. Forma cu exponențială a fost deci cea mai frecventă, după indexul celor 83 de probe.