Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Derivata derivatei, pas cu pas

Cum derivez de două ori un binom la pătrat?

Dezvolți binomul înainte de derivare, pentru că derivarea funcțiilor compuse nu face parte din materia acestei clase. Pentru $f (x) = (3 x - 8)^{2}$ obții $f (x) = 9 x^{2} - 48 x + 64$ , apoi $f^{'} (x) = 18 x - 48$ și $f^{''} (x) = 18$ . Controlul: $f^{''}$ este constantă pozitivă, iar $f^{'}$ crește cu $18$ la fiecare pas, de pildă $f^{'} (3) = 6$ și $f^{'} (4) = 24$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Derivata a doua este derivata derivatei: $f^{''} = (f^{'})^{'}$ . Dacă $f^{'}$ spune cât de repede se schimbă $f$ , atunci $f^{''}$ spune cât de repede se schimbă acel ritm, în unități ale lui $f$ pe unitatea lui $x$ la pătrat. Poate fi calculată doar în punctele în care $f^{'}$ este la rândul ei derivabilă, iar calculul folosește regulile pentru adunare, înmulțire și împărțire, plus rândurile tabelului.

Metoda: derivezi o dată și simplifici, pregătind funcția pentru a doua derivare, adică termeni separați, binoame dezvoltate și numitor scris ca produs de factori. Derivezi rezultatul, scoți factorul comun și lași numitorul în factori, ca să se vadă semnul. Verifici comparând $f^{'}$ în două puncte apropiate: unde $f^{''} > 0$ , ritmul crește.

Semnul lui $f^{''}$ nu spune dacă mărimea crește sau scade, ci dacă ritmul ei urcă sau coboară. O creștere cu $f^{''} < 0$ continuă, dar încetinit, iar o scădere cu $f^{''} < 0$ se grăbește. Alte capcane: o singură derivare, un minus pierdut la prima derivată și logaritmul zecimal tratat ca logaritm natural, caz în care lipsește factorul $ln 10$ .

Din tabel reții că la o putere $x^{n}$ apare produsul $n (n - 1)$ , iar puterea coboară cu două unități. Funcția $e^{x}$ rămâne aceeași, iar $ln x$ are derivata a doua $- \frac{1}{x ^{2}}$ .

De reținut

$f^{''} = (f^{'})^{'}$ : derivezi rezultatul primei derivări
binomul se dezvoltă înainte de derivare
$f^{''}$ se măsoară în unități ale lui $f$ pe pătratul unității lui $x$

Greșeala tipică

Te oprești după prima derivare și scrii $18 x - 48$ drept derivata a doua a lui $(3 x - 8)^{2}$ . Derivezi încă o dată: $f^{''} (x) = 18$ .

Exerciții din această mini-lecție

Pentru $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = ln x$ , cât este $f^{''} (\frac{1}{2})$ ?
- a) $2$
- b) $4$
- c) $- 4$
- d) $- 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 4$

Din tabel, $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ și $f^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ , deci $f^{''} (\frac{1}{2}) = - 4$ . Valoarea $2$ este prima derivată, $f^{'} (\frac{1}{2})$ , rezultat al unei singure derivări. Valoarea $4$ pierde minusul, iar $- 2$ derivează $\frac{1}{x}$ ca $- \frac{1}{x}$ , fără pătrat.
Pentru $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = 6 x$ , valoarea lui $f^{''} (4)$ este:
- a) $\frac{3}{16}$
- b) $- \frac{3}{16}$
- c) $- \frac{3}{8}$
- d) $- \frac{1}{32}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- \frac{3}{16}$

Avem $f^{'} (x) = \frac{3}{x}$ și $f^{''} (x) = - \frac{3}{2 x x}$ , deci $f^{''} (4) = - \frac{3}{16}$ . Varianta $\frac{3}{16}$ pierde minusul. Varianta $- \frac{3}{8}$ uită $x$ din numitor și ia $- \frac{3}{2 x}$ , iar $- \frac{1}{32}$ derivează doar $x$ , fără factorul $6$ .
Pentru $f : (1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{7 x + 3}{x - 1}$ , valoarea lui $f^{''} (2)$ este:
- a) $- 10$
- b) $- 20$
- c) $10$
- d) $20$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $20$

Împărțind, $f (x) = 7 + \frac{10}{x - 1}$ , deci $f^{'} (x) = - \frac{10}{( x - 1 ) ^{2}}$ și $f^{''} (x) = \frac{20}{( x - 1 ) ^{3}}$ ; la $x = 2$ rezultă $20$ . Varianta $- 10$ este prima derivată $f^{'} (2)$ , iar $- 20$ pierde semnul. Varianta $10$ uită factorul $2$ care apare la derivarea numitorului $(x - 1)^{2}$ .

Întrebări conexe

Ce fac când binomul este ridicat la puterea a treia?

Dezvolți cubul, fiindcă nu ai regula lanțului la dispoziție: $(x - 9)^{3} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$ . Apoi $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 54 x + 243$ și $f^{''} (x) = 6 x - 54 = 6 (x - 9)$ . Rezultatul se poate scrie factorizat, iar $f^{''} (9) = 0$ , valoare care contează pentru semnul lui $f^{''}$ .

Cum derivez de două ori o fracție cu numitor binom?

Pentru $f (x) = \frac{12}{x + 5}$ obții $f^{'} (x) = - \frac{12}{( x + 5 ) ^{2}}$ și apoi $f^{''} (x) = \frac{24}{( x + 5 ) ^{3}}$ . Numitorul la pătrat se scrie ca produs de doi factori egali și se derivează cu regula produsului, iar de aici apare factorul $2$ din numărător.

Cum verific derivata a doua cu două valori ale lui f'?

Calculezi $f^{'}$ în două puncte apropiate; diferența împărțită la distanța dintre ele trebuie să fie aproape de $f^{''}$ . Pentru $f (x) = x^{4} - 8 x$ , $f^{'} (1) = - 4$ și $f^{'} (1, 1) = - 2, 676$ , deci raportul $\frac{- 2 , 676 + 4}{0 , 1} = 13, 24$ este aproape de $f^{''} (1) = 12$ .

De ce înălțimea în cm duce la cm pe zi la pătrat?

Prima derivare împarte unitatea lui $h$ la zile: cm pe zi. A doua derivare împarte din nou la zile: cm pe zi la pătrat. Dacă $h^{''} (t) = 0, 04$ cm pe zi la pătrat, viteza de creștere urcă cu $0, 04$ cm pe zi în fiecare zi, deci cu $0, 28$ cm pe zi într-o săptămână.

Când aduc derivata a doua la același numitor?

Când ai de comparat rezultatul cu o formă dată sau de citit semnul. Pentru $f (x) = 2 x^{2} - 3 ln x$ avem $f^{''} (x) = 4 + \frac{3}{x ^{2}} = \frac{4 x ^{2} + 3}{x ^{2}}$ , iar un numărător pozitiv și un numitor pozitiv arată imediat semnul pe tot domeniul.

Cum estimez cu f'' schimbarea ritmului într-un interval scurt?

Schimbarea ritmului este aproximativ $f^{''} (t_{0})$ înmulțit cu durata. Pentru $f^{''} (t_{0}) = 0, 03$ cm pe zi la pătrat și $4$ zile, ritmul crește cu aproximativ $0, 12$ cm pe zi. Estimarea este bună doar pe intervale scurte, în jurul punctului $t_{0}$ .

Oamenii mai întreabă și: derivata a doua a lui (3x−8) la pătrat · derivata a doua fără regula lanțului · cum derivez de două ori un pătrat de binom · binom la pătrat derivata a doua