Tabelul derivatelor: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XI-a; celelalte formule de la tehnologic ale temei sunt la finalul paginii „Derivate”.

$c$ e o constantă, $n\ge 1$ întreg, iar $x_0$ un punct din domeniu. Prima linie și a doua dau derivatele de ordinul I: $\frac{1}{x}$ pentru $x\ne 0$, $\sqrt{x}$ și $\ln x$ pentru $x>0$. A treia derivează încă o dată. Ultima este tangenta în $x_0$. Capcană: $(e^x{)}^{\prime }=e^x$, nu $x{e}^{x-1}$; regula puterii cere baza variabilă și exponentul număr. Control: pentru un pas mic $h$, $f(x_0+h)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)h$.

Exemplu: La o fundație, tasarea în mm după $t\ge 1$ luni este $s(t)=14\sqrt{t}+3\ln t-\frac{6}{t}+4$. Constanta 4 dispare: $s^{\prime }(t)=\frac{7}{\sqrt{t}}+\frac{3}{t}+\frac{6}{t^2}$, deci $s^{\prime }(1)=7+3+6=16$ mm pe lună, iar $s(1)=14+0-6+4=12$. Tangenta în $t=1$ este $y-12=16(t-1)$, adică $y=16t-4$. A doua derivată, $s^{\prime \prime }(t)=-\frac{7}{2t\sqrt{t}}-\frac{3}{t^2}-\frac{12}{t^3}$, dă $s^{\prime \prime }(1)=-\frac{7}{2}-3-12=-18,5$: tasarea încetinește. Control: tangenta dă $12+16\cdot 0,1=13,6$, iar $s(1,1)\approx 13,51$.