Bac tehnologic: derivate de ordinul doi pe exemple

Un agronom nu vrea doar să știe cât de înaltă este o plantă, nici doar cu ce viteză crește, ci și dacă viteza aceasta se grăbește sau încetinește de la o zi la alta. Răspunsul îl dă derivata derivatei. Elevii filierei tehnologice o calculează în clasa a XI-a cu aceleași reguli ca prima derivată. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), derivata a doua se cere la Subiectul al III-lea, în cerințe despre convexitate, inflexiune și creșterea primei derivate.

Situația de pornire

Pe un teren de 24 de hectare un fermier a semănat floarea-soarelui. O dată pe săptămână, un agronom măsoară înălțimea medie a unui eșantion de plante, numărând zilele de la răsărire. Fermierul programează irigarea și tratamentele după cât de repede cresc plantele, nu după cât de înalte sunt. Valorile sunt medii pe eșantion, nu măsurători ale unei singure plante. În tabel, diferențele dintre măsurători nu sunt egale: urcarea pe zi crește la început, apoi scade.

Cele cinci valori, rotunjite la zecimi, se potrivesc cu formula $h(t)=0,075t^2-0,0005t^3$, valabilă pentru $0\le t\le 80$, cu $t$ în zile și $h$ în centimetri.

Întrebare: la ziua 28 și la ziua 72, cu ce viteză crește floarea-soarelui și această viteză crește sau scade de la o zi la alta?

De la situație la model

Premisele sunt regulile de derivare și derivata într-un punct. Locul lecției în anul școlar îl arată traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Ce este derivata a doua?

Derivata a doua a funcției $f$ este derivata derivatei: $f^{\prime \prime }(x)=(f^{\prime }{)}^{\prime }(x)$. Dacă $f^{\prime }$ spune cu ce viteză se schimbă $f$, atunci $f^{\prime \prime }$ spune cu ce viteză se schimbă $f^{\prime }$. Unitatea ei este unitatea lui $f$ pe unitatea lui $x$ la pătrat: aici, centimetri pe zi la pătrat. Se calculează numai acolo unde $f^{\prime }$ există și este ea însăși derivabilă. Notația $f^{\prime \prime }$ se citește „f secund”. Ca la prima derivată, derivata a doua a unei sume este suma derivatelor a doua, iar un factor constant iese în față. La un produs sau la un cât regulile se aplică de două ori: întâi pe funcție, apoi pe derivata ei.

Cum derivezi de două ori?

Derivezi, simplifici, apoi derivezi rezultatul, cu aceleași reguli de sumă, produs și cât și cu tabelul din fișă. Pentru înălțimea plantei, termen cu termen, $h^{\prime }(t)=0,15t-0,0015t^2$ și $h^{\prime \prime }(t)=0,15-0,003t$. Derivarea funcțiilor compuse (regula lanțului) are lecția ei; la un binom la pătrat e însă mai scurt să dezvolți înainte să derivezi: din $(x+17{)}^2$ obții $x^2+34x+289$, cu derivata $2x+34$. Un produs cu $e^x$ își păstrează forma: factorul $e^x$ rămâne, iar în paranteză apare polinomul plus derivata lui. Pentru o fracție $f(x)=\frac{k}{x+m}$ obții $f^{\prime }(x)=-\frac{k}{(x+m{)}^2}$, iar a doua oară, cu regula câtului, $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2k}{(x+m{)}^3}$.

Ce spune semnul derivatei a doua?

Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)>0$, viteza de variație crește în jurul lui $x_0$: o creștere se grăbește, o scădere încetinește. Dacă $f^{\prime \prime }(x_0)<0$, viteza de variație scade: o creștere încetinește, o scădere se grăbește. Pe grafic, $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval înseamnă că funcția este convexă, iar $f^{\prime \prime }<0$ înseamnă că este concavă; ele sunt tratate în convexitate și inflexiune. Semnul se citește pe un interval, nu într-un punct izolat, iar în punctele în care $f^{\prime \prime }$ se anulează semnul poate să se schimbe.

Metoda pas cu pas

1. Derivează o dată și simplifică. Scrie $f^{\prime }$ într-o formă ușor de derivat din nou: termeni separați, iar la o fracție numitorul ca produs de factori, de pildă $(x+13{)}^2=(x+13)(x+13)$, pentru regula produsului.
2. Derivează rezultatul. Aplică aceleași reguli, sumă, produs și cât, și tabelul din fișă, fără să sari peste simplificarea intermediară. O constantă dispare, iar un factor constant iese în față.
3. Simplifică $f^{\prime \prime }$. Scoate factorul comun sau adu la același numitor. Numitorul rămâne în factori, ca să se vadă semnul.
4. Verifică. Compară $f^{\prime }$ în două puncte apropiate: dacă $f^{\prime \prime }$ este pozitivă, $f^{\prime }$ crește de la primul la al doilea. Dacă $f^{\prime \prime }$ iese negativă, dar $f^{\prime }$ crește între două puncte apropiate, ai greșit un semn. Unitatea trebuie să fie cea a lui $f$ pe unitatea lui $x$ la pătrat. La o relație dată în enunț, pune o valoare simplă în ambele părți.

Alege calea după forma funcției. La un polinom derivezi termen cu termen de două ori, iar gradul scade cu 2. La un cât, simplifici prima derivată până rămâne o fracție cu numitor în factori, apoi derivezi din nou cu regula câtului; dacă numărătorul este o constantă, derivata lui este 0 și rămâne un singur termen. La un produs cu $e^x$, scoți $e^x$ factor comun după fiecare derivare, ca expresia să nu crească. La $\sqrt{x}$ și la $\ln x$ pornești din tabel, cu $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ și cu $\frac{1}{x}$, și derivezi fracțiile cu regula câtului. Dacă enunțul cere doar semnul lui $f^{\prime \prime }$, tot calculezi expresia întreagă, fiindcă semnul se citește din factori. Nu înlocui valoarea înainte să derivezi: derivata unui număr este 0. Înlocuiești abia în $f^{\prime \prime }$, ca la prima derivată.

Fișa de buzunar

$$f^{\prime \prime }(x)=(f^{\prime }{)}^{\prime }(x)$$

Tabelul completează lista din lecția despre reguli: coloana celei de-a doua derivate pentru funcțiile de acolo și trei funcții noi, $\sqrt[3]{x}$, $a^x$ și ${\log }_{a}x$.

Condiții: $f^{\prime \prime }$ există numai unde $f^{\prime }$ este derivabilă; la $\sqrt{x}$ numai pentru $x>0$. La o putere $x^n$, cu $n\ge 2$ întreg, coeficientul se înmulțește cu $n$ și cu $n-1$, iar exponentul scade cu 2. Verificare rapidă: unde $f^{\prime \prime }>0$, valorile lui $f^{\prime }$ în două puncte apropiate trebuie să crească, iar unde $f^{\prime \prime }<0$, să scadă.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Cum se schimbă viteza de creștere a plantei

Domeniu: agricol.

Enunț. Revenim la floarea-soarelui din situație, cu $h(t)=0,075t^2-0,0005t^3$, unde $t$ e în zile și $h$ în centimetri. a) Calculează $h^{\prime }(t)$ și $h^{\prime \prime }(t)$. b) Calculează viteza de creștere și derivata a doua la ziua 28 și la ziua 72. c) Spune în cuvinte ce înseamnă cele patru rezultate.

Rezolvare. a) Termen cu termen, $h^{\prime }(t)=0,15t-0,0015t^2$ și $h^{\prime \prime }(t)=0,15-0,003t$. b) La ziua 28: $h^{\prime }(28)=4,2-1,176=3,024$ cm pe zi și $h^{\prime \prime }(28)=0,15-0,084=0,066$ cm pe zi la pătrat. La ziua 72: $h^{\prime }(72)=10,8-7,776=3,024$ cm pe zi și $h^{\prime \prime }(72)=0,15-0,216=-0,066$ cm pe zi la pătrat. c) În ambele zile planta crește în ritm de 3,024 cm pe zi. La ziua 28 viteza urcă în ritm de 0,066 cm pe zi, de la o zi la alta, deci creșterea se grăbește. La ziua 72 viteza scade în același ritm, deci creșterea încetinește. Între cele două zile se află momentul în care viteza este cea mai mare, ziua 50, unde $h^{\prime \prime }(50)=0$; ce înseamnă un astfel de punct explică lecția despre convexitate și inflexiune.

Capcană. Cine citește $h^{\prime \prime }(72)=-0,066$ ca „planta scade cu 0,066 cm pe zi” uită că $h^{\prime }(72)=3,024$ este pozitivă. De la ziua 72 la ziua 73 înălțimea trece de la 202,176 la 205,1665 cm, adică urcă cu 2,9905 cm.

Verificare. Pe pași de o zi, $h^{\prime }(29)=3,0885$ și $h^{\prime }(28)=3,024$, deci viteza a urcat cu $0,0645$ cm pe zi, aproape de $h^{\prime \prime }(28)=0,066$.

Exemplul 2 — Prețul pe bucată la o comandă mare

Domeniu: comert.

Enunț. Un distribuitor de piese de schimb vinde o piesă la prețul $p(q)=36+\frac{480}{q+13}$ lei pe bucată, unde $q$ este numărul de bucăți din comandă. a) Calculează $p^{\prime }(q)$ și $p^{\prime \prime }(q)$. b) Pentru o comandă de 12 bucăți, calculează $p^{\prime }(12)$ și $p^{\prime \prime }(12)$ și spune cum se schimbă prețul. c) Compară $p^{\prime }(12)$ cu $p^{\prime }(22)$.

Rezolvare. a) Constanta 36 dispare, iar numărătorul 480 are derivata 0, deci $p^{\prime }(q)=\frac{0\cdot (q+13)-480\cdot 1}{(q+13{)}^2}=-\frac{480}{(q+13{)}^2}$. Numitorul $(q+13{)}^2$ este produsul $(q+13)(q+13)$, cu derivata $2(q+13)$. Atunci $p^{\prime \prime }(q)=\frac{0\cdot (q+13{)}^2-(-480)\cdot 2(q+13)}{(q+13{)}^4}=\frac{960}{(q+13{)}^3}$. b) $p(12)=36+\frac{480}{25}=55,2$ lei, $p^{\prime }(12)=-\frac{480}{625}=-0,768$ lei pe bucată, la fiecare bucată în plus, și $p^{\prime \prime }(12)=\frac{960}{15625}=0,06144$. Prețul scade, iar $p^{\prime \prime }(12)>0$ arată că scăderea încetinește. c) $p^{\prime }(22)=-\frac{480}{1225}\approx -0,392$. Scăderea de preț pe bucată în plus se înjumătățește aproape, de la 0,768 la 0,392 lei.

Capcană. Cine pierde minusul și scrie $p^{\prime \prime }(q)=-\frac{960}{(q+13{)}^3}$ conchide că prețul scade tot mai repede. Dar $p^{\prime }(12)=-0,768$ și $p^{\prime }(22)\approx -0,392$: ritmul de scădere slăbește, deci derivata a doua trebuie să fie pozitivă.

Verificare. Pe un pas de o bucată, $p(13)-p(12)=54,4615-55,2=-0,7385$ lei. Numărul stă între $p^{\prime }(12)=-0,768$ și $p^{\prime }(13)=-\frac{480}{676}\approx -0,710$.

Exemplul 3 — Zgomotul compresorului la hotarul curții

Domeniu: mediu.

Enunț. O fabrică de mobilă are un compresor în aer liber. La $d$ metri de el, nivelul sonor este $L(d)=96-20{\log }_{10}d$ decibeli, pentru $d\ge 10$. Pe planul de situație al fabricii, la scara 1:500, casa unui vecin este la 8 cm de compresor. a) Transformă distanța de pe plan în metri. b) Calculează $L^{\prime }(d)$ și $L^{\prime \prime }(d)$. c) Calculează $L^{\prime }$ și $L^{\prime \prime }$ pentru distanța de la a), rotunjind la a patra zecimală, și spune cum se schimbă zgomotul.

Rezolvare. a) La scara 1:500, 8 cm pe plan înseamnă $8\cdot 500=4000$ cm, adică 40 m. b) Din tabel, ${\log }_{10}d$ are derivata $\frac{1}{d\ln 10}$, deci $L^{\prime }(d)=-\frac{20}{d\ln 10}$ și $L^{\prime \prime }(d)=\frac{20}{d^2\ln 10}$. c) Cu $\ln 10\approx 2,302585$: $L(40)\approx 63,9588$ dB, $L^{\prime }(40)\approx -0,2171$ dB pe metru și $L^{\prime \prime }(40)\approx 0,0054$ dB pe metru la pătrat. Zgomotul scade cu aproape 0,22 dB la fiecare metru în plus, iar scăderea încetinește, fiindcă $L^{\prime \prime }(40)>0$. La 80 m, $L^{\prime }(80)\approx -0,1086$ dB pe metru, jumătate din valoarea de la 40 m: cu cât te depărtezi, cu atât ajută mai puțin fiecare metru în plus.

Capcană. Cine uită factorul $\ln 10$ și derivează ${\log }_{10}d$ ca $\frac{1}{d}$ obține $L^{\prime }(40)=-\frac{20}{40}=-0,5$ dB pe metru, de peste două ori prea mult. Doar logaritmul natural are derivata $\frac{1}{x}$.

Verificare. De la 40 m la 41 m, $L(41)-L(40)=-20{\log }_{10}\frac{41}{40}\approx -0,2145$ dB. Numărul stă între $L^{\prime }(40)\approx -0,2171$ și $L^{\prime }(41)\approx -0,2119$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: curentul la capătul unui cablu lung

Domeniu: electric.

Enunț. Pe un banc de probă, o sursă de 28 V alimentează un rezistor de sarcină de $x$ ohmi printr-un cablu lung, cu rezistența de 13 Ω pe cele două fire, iar prin sarcină trece curentul $f(x)=\frac{28}{x+13}$ amperi. La problema 1 din Subiectul al III-lea apar cerințe de acest fel. O funcție este convexă pe un interval dacă $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe acel interval; convexitatea e tratată în lecția despre convexitate. Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{28}{x+13}$. a) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{28}{(x+13{)}^2}$, $x\in (0,+\infty )$. b) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(0,+\infty )$.

Rezolvare. a) Cu regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{0\cdot (x+13)-28\cdot 1}{(x+13{)}^2}=-\frac{28}{(x+13{)}^2}$. b) Numitorul $(x+13{)}^2$ este produsul $(x+13)(x+13)$, cu derivata $(x+13)+(x+13)=2(x+13)$, deci $f^{\prime \prime }(x)=\frac{0\cdot (x+13{)}^2-(-28)\cdot 2(x+13)}{(x+13{)}^4}=\frac{56}{(x+13{)}^3}$. Pentru $x>0$ avem $x+13>0$, deci și cubul lui este pozitiv, $f^{\prime \prime }(x)>0$, iar $f$ este convexă pe $(0,+\infty )$.

Capcană. Cine uită minusul de la a) și scrie $f^{\prime }(x)=\frac{28}{(x+13{)}^2}$ obține $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{56}{(x+13{)}^3}<0$ și concluzia greșită că $f$ este concavă. Valorile prind greșeala: $f(1)=2$, $f(7)=1,4$ și $f(13)\approx 1,077$, iar 1,4 este sub media celorlalte două, $\frac{2+1,077}{2}\approx 1,538$: graficul este sub coardă, deci convex.

Verificare. $f^{\prime }(2)=-\frac{28}{225}\approx -0,12444$ și $f^{\prime }(3)=-\frac{28}{256}\approx -0,10938$, deci $f^{\prime }$ crește cu $0,01507$ de la 2 la 3, aproape de $f^{\prime \prime }(2,5)=\frac{56}{15,5^3}\approx 0,01504$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru $f(x)=2x^4-7x^3+5x^2-13x+6$, calculează $f^{\prime }(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ și $f^{\prime \prime }(2)$.

2. Pentru $g(x)=\frac{5x-3}{x-4}$, cu $x>4$, calculează $g^{\prime }(x)$ și $g^{\prime \prime }(x)$, lăsând numitorul în factori, apoi $g^{\prime \prime }(6)$.

3. Pentru $h(x)=6\sqrt{x}-5\ln x$, cu $x>0$, calculează $h^{\prime }(x)$ și $h^{\prime \prime }(x)$, apoi $h^{\prime \prime }(4)$.

4. Pentru $k(x)=(3x^2-4x+10)e^x$, calculează $k^{\prime }(x)$ și $k^{\prime \prime }(x)$, scoțând $e^x$ factor comun, apoi $k^{\prime \prime }(0)$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Într-un stâlp de beton, carbonatarea a pătruns până la adâncimea $d(t)=3,8\sqrt{t}$ milimetri după $t$ ani, pentru $1\le t\le 60$. Calculează $d^{\prime }(16)$ și $d^{\prime \prime }(16)$ și explică semnul și unitatea lui $d^{\prime \prime }(16)$.

6. (Problemă aplicată.) Un arboret tânăr de molid are acum 210 m³ de lemn pe hectar, iar volumul crește cu 4 % pe an: $V(t)=210\cdot 1,04^t$ m³ după $t$ ani. Calculează $V^{\prime }(5)$ și $V^{\prime \prime }(5)$, cu $\ln 1,04\approx 0,039221$, rotunjite la zecimi, respectiv la sutimi, și spune ce arată semnul lui $V^{\prime \prime }$.

7. (Problemă aplicată.) La o agenție de turism, numărul cumulat de rezervări la $t$ zile după deschiderea ofertei este $N(t)=0,6t^2-0,008t^3$, pentru $0\le t\le 50$. Calculează $N^{\prime }(30)$ și $N^{\prime \prime }(30)$, apoi află ziua în care $N^{\prime \prime }(t)=0$ și ce se întâmplă cu viteza rezervărilor în acea zi.

8. (Problemă aplicată.) Săgeata unei console de beton de 6 m, încărcată la capătul liber, este $y(x)=0,05x^2(18-x)$ milimetri, cu $x$ în metri de la încastrare. Derivata a doua $y^{\prime \prime }$ este proporțională cu momentul încovoietor din secțiune. Dezvoltă $y(x)$, calculează $y^{\prime \prime }(x)$ și $y^{\prime \prime }(2)$ și arată că $y^{\prime \prime }(6)=0$, apoi spune ce înseamnă aceasta pentru capătul liber.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(6x+1)e^x$. Verificați dacă $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2f^{\prime }(x)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(7,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x^2+5}{x-7}$. Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(7,+\infty )$, știind că o funcție este convexă pe un interval dacă derivata ei a doua este pozitivă pe acel interval.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(5,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x+7}{x-5}$. Demonstrați că funcția $g:(5,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=f^{\prime }(x)$ este crescătoare.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-5\ln x$. Arătați că $f^{\prime \prime }(x)=6+\frac{5}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$, apoi demonstrați că $f$ este convexă pe $(0,+\infty )$.

Răspunsuri și verificări

1. $f^{\prime }(x)=8x^3-21x^2+10x-13$ și $f^{\prime \prime }(x)=24x^2-42x+10$. Atunci $f^{\prime \prime }(2)=96-84+10=22$. Verificare: $f^{\prime }(1,9)=-14,938$, $f^{\prime }(2)=-13$ și $f^{\prime }(2,1)=-10,522$, deci pantele lui $f^{\prime }$ pe pași de $0,1$ sunt $19,38$ înainte de 2 și $24,78$ după 2, iar 22 stă între ele.

2. $g^{\prime }(x)=\frac{5(x-4)-(5x-3)}{(x-4{)}^2}=-\frac{17}{(x-4{)}^2}$ și $g^{\prime \prime }(x)=\frac{34}{(x-4{)}^3}$. Atunci $g^{\prime \prime }(6)=\frac{34}{8}=4,25$. Verificare: $g^{\prime }(6)=-\frac{17}{4}=-4,25$ și $g^{\prime }(7)=-\frac{17}{9}\approx -1,889$, deci $g^{\prime }$ crește pe tronsonul 6–7, în acord cu $g^{\prime \prime }>0$.

3. $h^{\prime }(x)=\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{5}{x}$ și $h^{\prime \prime }(x)=-\frac{3}{2x\sqrt{x}}+\frac{5}{x^2}$. Atunci $h^{\prime \prime }(4)=-\frac{3}{16}+\frac{5}{16}=\frac{1}{8}$. Verificare: $h^{\prime }(4)=1,5-1,25=0,25$ și $h^{\prime }(5)=\frac{3}{\sqrt{5}}-1\approx 0,3416$, deci $h^{\prime }$ crește cu $0,0916$ pe tronsonul 4–5, între $h^{\prime \prime }(4)=\frac{1}{8}$ și $h^{\prime \prime }(5)\approx 0,0658$.

4. $k^{\prime }(x)=(6x-4)e^x+(3x^2-4x+10)e^x=(3x^2+2x+6)e^x$ și $k^{\prime \prime }(x)=(6x+2)e^x+(3x^2+2x+6)e^x=(3x^2+8x+8)e^x$. Atunci $k^{\prime \prime }(0)=8$. Verificare: $k^{\prime }(0)=6$, $k^{\prime }(0,1)\approx 6,8852$ și $k^{\prime }(-0,1)\approx 5,2752$, deci pantele lui $k^{\prime }$ pe pași de $0,1$ sunt $8,852$ la dreapta și $7,248$ la stânga, iar 8 stă între ele.

5. $d^{\prime }(t)=\frac{1,9}{\sqrt{t}}$ și $d^{\prime \prime }(t)=-\frac{0,95}{t\sqrt{t}}$. La $t=16$: $d^{\prime }(16)=\frac{1,9}{4}=0,475$ mm pe an și $d^{\prime \prime }(16)=-\frac{0,95}{64}\approx -0,0148$ mm pe an la pătrat. Carbonatarea avansează, dar tot mai încet: viteza ei scade în ritm de aproape 0,015 mm pe an, de la un an la altul. Verificare: $d^{\prime }(17)=\frac{1,9}{\sqrt{17}}\approx 0,4608$, cu $0,0142$ mai puțin decât $d^{\prime }(16)$.

6. $V^{\prime }(t)=V(t)\ln 1,04$ și $V^{\prime \prime }(t)=V(t)(\ln 1,04{)}^2$. La $t=5$: $V(5)\approx 255,5$ m³, $V^{\prime }(5)\approx 10,0$ m³ pe an și $V^{\prime \prime }(5)\approx 0,39$ m³ pe an la pătrat. Semnul pozitiv arată că volumul crește tot mai repede. Verificare: $V(6)-V(5)\approx 10,2$ m³, între $V^{\prime }(5)\approx 10,0$ și $V^{\prime }(6)\approx 10,4$.

7. $N^{\prime }(t)=1,2t-0,024t^2$ și $N^{\prime \prime }(t)=1,2-0,048t$. La $t=30$: $N^{\prime }(30)=36-21,6=14,4$ rezervări pe zi și $N^{\prime \prime }(30)=1,2-1,44=-0,24$ rezervări pe zi la pătrat. $N^{\prime \prime }(t)=0$ pentru $t=\frac{1,2}{0,048}=25$: în ziua 25 viteza rezervărilor nu mai crește, iar $N^{\prime }(25)=15$ rezervări pe zi. Verificare: $N^{\prime }(24)=14,976$ și $N^{\prime }(26)=14,976$, ambele sub 15.

8. $y(x)=0,9x^2-0,05x^3$, deci $y^{\prime }(x)=1,8x-0,15x^2$ și $y^{\prime \prime }(x)=1,8-0,3x$. Atunci $y^{\prime \prime }(2)=1,2$ mm pe metru la pătrat, iar $y^{\prime \prime }(6)=1,8-1,8=0$. La capătul liber momentul încovoietor este nul, în acord cu rezultatul. Verificare: $y^{\prime \prime }(x)=0,3(6-x)$.

9. $f^{\prime }(x)=6e^x+(6x+1)e^x=(6x+7)e^x$ și $f^{\prime \prime }(x)=6e^x+(6x+7)e^x=(6x+13)e^x$. Atunci $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=(6x+13)e^x+(6x+1)e^x=(12x+14)e^x$, iar $2f^{\prime }(x)=(12x+14)e^x$, deci relația este adevărată. Verificare: la $x=0$, $f^{\prime \prime }(0)+f(0)=13+1=14$ și $2f^{\prime }(0)=14$.

10. $f(x)=3x+21+\frac{152}{x-7}$, deoarece $(3x+21)(x-7)+152=3x^2+5$. Atunci $f^{\prime }(x)=3-\frac{152}{(x-7{)}^2}$ și $f^{\prime \prime }(x)=\frac{304}{(x-7{)}^3}$. Pentru $x>7$ avem $x-7>0$, deci și cubul lui este pozitiv, $f^{\prime \prime }(x)>0$, iar $f$ este convexă pe $(7,+\infty )$. Verificare: $f(8)=197$, $f(12)=87,4$ și $f(16)\approx 85,89$, iar $f(12)$ este sub media $\frac{197+85,89}{2}\approx 141,44$: graficul e sub coardă.

11. $f^{\prime }(x)=\frac{4(x-5)-(4x+7)}{(x-5{)}^2}=-\frac{27}{(x-5{)}^2}$, deci $g^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)=\frac{54}{(x-5{)}^3}$. Pentru $x>5$, $g^{\prime }(x)>0$, deci $g$ este crescătoare pe $(5,+\infty )$. Verificare: $g(6)=-27$, $g(7)=-6,75$ și $g(8)=-3$, valori care cresc.

12. $f^{\prime }(x)=6x-\frac{5}{x}$ și $f^{\prime \prime }(x)=6+\frac{5}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$. Ambii termeni sunt pozitivi, deci $f^{\prime \prime }(x)>0$ și $f$ este convexă pe $(0,+\infty )$. Verificare: la $x=1$, $f^{\prime \prime }(1)=11$; $f^{\prime }(1)=1$ și $f^{\prime }(1,1)=6,6-4,545\approx 2,055$, deci $f^{\prime }$ crește.

Așa vine la Bac M3

În probele oficiale 2013–2026, derivata a doua apare în 15 din cele 83 de probe, în câte o cerință, iar toate cele 15 sunt la problema 1 din Subiectul al III-lea. Douăsprezece cer să arăți că funcția este convexă sau concavă, una cere o relație între $f^{\prime \prime }$, $f^{\prime }$ și $f$, una cere să arăți că $f^{\prime }$ este crescătoare și una cere să arăți că funcția nu are puncte de inflexiune. Patru cerințe reale, din probe diferite, arată formele:

• Proba specială din 2013, Subiectul al III-lea, exercițiul 1b: se cere să verifici o relație între $f^{\prime \prime }$, $f$ și $f^{\prime }$ pentru $f(x)=x{e}^x$; baremul probei dă 2 puncte pentru $f^{\prime \prime }$ (pașii 1–3 din Metodă) și 3 puncte pentru înlocuirea în relație (pasul 4).
• Modelul din 2024, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: se cere să arăți că $g=f^{\prime }$ este crescătoare, unde $f$ este o fracție cu numitorul $x-4$; baremul probei dă 3 puncte pentru $g^{\prime }=f^{\prime \prime }$ (pașii 2–3 din Metodă) și 2 puncte pentru semnul lui $g^{\prime }$, care ține de lecția despre monotonie.
• Modelul din 2019, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: se cere să arăți că funcția este convexă, pentru un cât cu numărătorul de gradul al doilea; baremul probei dă 2 puncte pentru $f^{\prime \prime }$ (pașii 1–3 din Metodă) și 3 puncte pentru semnul ei, pe care îl tratează lecția despre convexitate.
• Modelul din 2018, Subiectul al III-lea, exercițiul 1c: se cere să arăți că funcția nu are puncte de inflexiune, pentru un cât cu numărătorul de gradul al doilea; baremul probei dă 3 puncte pentru $f^{\prime \prime }$ (pașii 1–3 din Metodă) și 2 puncte pentru concluzia din semn.

La toate patru, pasul care se învață aici este $f^{\prime \prime }$. Concluzia din semnul lui $f^{\prime \prime }$ vine în convexitate și inflexiune, iar creșterea lui $g=f^{\prime }$, în lecția despre monotonie. Exercițiile 9–12 exersează aceleași tipuri de cerințe, cu alte funcții.

Greșeli care costă puncte

• O singură derivare. Te oprești la $f^{\prime }$ și treci semnul ei drept semn al lui $f^{\prime \prime }$ → verifică ce ceri: „convexă” înseamnă semnul lui $f^{\prime \prime }$, nu al lui $f^{\prime }$, iar rezultatul trebuie să conțină o a doua derivare.
• Minus pierdut la prima derivată. Scrii $\frac{28}{(x+13{)}^2}$ în loc de $-\frac{28}{(x+13{)}^2}$ → compară $f^{\prime }$ în două puncte: dacă $f$ scade, $f^{\prime }$ trebuie să fie negativă.
• Semnul lui $h^{\prime \prime }$ citit ca sensul lui $h$. Spui că planta scade, fiindcă $h^{\prime \prime }(72)<0$ → uită-te la $h^{\prime }$: ritmul tot e pozitiv, iar înălțimea din ziua următoare, calculată din formulă, este mai mare.
• Binom derivat fără dezvoltare. Scrii $(x+17{)}^2$ cu derivata $x^2+289$ sau $2x$ → derivezi produsul $(x+17)(x+17)$ sau dezvolți binomul, termen cu termen.
• Logaritm zecimal ca logaritm natural. Derivezi ${\log }_{10}d$ ca $\frac{1}{d}$ → compară cu diferența dintre două valori apropiate.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul derivatelor de ordinul al II-lea, cu aplicația la convexitate, se cere la Subiectul al III-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 15 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Cu cât se schimbă viteza de creștere a florii-soarelui de la ziua 28 la ziua 35?

Din formule, $h^{\prime }(35)=5,25-1,8375=3,4125$ cm pe zi, iar $h^{\prime }(28)=3,024$, deci viteza urcă cu $0,3885$ cm pe zi într-o săptămână. Estimarea cu $7\cdot h^{\prime \prime }(28)=0,462$ iese mai mare, fiindcă $h^{\prime \prime }$ scade în acest interval. În ziua 35 creșterea s-a grăbit deja, deci viteza din ziua 35 este mai mare decât cea din ziua 28.

În ce zi nu se mai grăbește creșterea și cât este atunci viteza?

Din $h^{\prime \prime }(t)=0,15-0,003t=0$ rezultă $t=50$. În ziua 50 viteza nu mai crește: $h^{\prime }(50)=7,5-3,75=3,75$ cm pe zi, cea mai mare din tot intervalul. Înainte de ziua 50 creșterea se grăbește, după ea încetinește. Ce înseamnă aceasta pentru grafic explică lecția despre convexitate și inflexiune.

Pot afla derivata a doua doar din tabelul de măsurători?

Aproximativ. Viteza medie între zilele 21 și 33 este $\frac{63,7-28,4}{12}\approx 2,94$ cm pe zi, iar între 33 și 47 este $\frac{113,8-63,7}{14}\approx 3,58$. Diferența împărțită la $13$ zile, cât e între mijloace, dă $0,049$, aproape de $h^{\prime \prime }(33,5)=0,0495$. Cu cât măsurătorile sunt mai dese, cu atât aproximarea este mai bună.

Cum se schimbă $h^{\prime \prime }$ dacă înălțimea e dată în metri, nu în centimetri?

Toate valorile se împart la 100. Atunci $h^{\prime \prime }(28)$ devine $0,00066$ metri pe zi la pătrat, în loc de $0,066$ centimetri pe zi la pătrat. Semnul rămâne același, deci și concluzia despre o creștere care se grăbește sau încetinește.

Ce cerințe cu derivata a doua au apărut la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic)?

Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, 15 conțin o cerință cu derivata a doua, toate la problema 1 din Subiectul al III-lea. Dintre aceste 15 cerințe, 12 cer convexitatea sau concavitatea, iar câte una cere o relație cu $f^{\prime }$, creșterea lui $f^{\prime }$ sau absența punctelor de inflexiune. Calculul lui $f^{\prime \prime }$ e primul pas la toate.

Pot deriva direct $(x+17{)}^2$ ca $2(x+17)$?

Rezultatul este corect: e regula lanțului aplicată unei puteri; dacă n-o folosești, îl justifici altfel. Derivezi produsul $(x+17)(x+17)$, adică $(x+17)+(x+17)$, sau dezvolți $x^2+34x+289$ și derivezi termen cu termen: obții $2x+34$, același rezultat. La fracții, dezvoltarea numitorului e pasul care înlocuiește regula.