Compoziția unei soluții se scrie pe o linie: grame de substanță și grame de solvent. Două soluții au aceeași compoziție când cele două linii sunt proporționale. Prima soluție este $$(12;\ 18)$$. Pentru care dintre fișele de mai jos, cu a doua soluție pe linia a doua, cele două soluții au aceeași compoziție?

$$\begin{pmatrix} 12 & 18 \\ 20 & 30 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 12 & 18 \\ 20 & 32 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 12 & 18 \\ 30 & 22 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 18 & 12 \\ 20 & 30 \end{pmatrix}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Produse în cruce, determinant

Cum compar două plăci cu un determinant 2×2?

Scrii dimensiunile fiecărei plăci pe câte o linie și calculezi $a d - b c$ . Dacă iese 0, plăcile au aceeași formă. Pentru plăcile de $168 \times 112$ mm și $105 \times 70$ mm, $168 \cdot 70 - 112 \cdot 105 = 11760 - 11760 = 0$ , deci raportul este același, $1, 5$ . La $105 \times 72$ mm iese $12096 - 11760 = 336$ mm², deci formele diferă.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Determinantul matricei $(a c b d)$ este numărul $a d - b c$ : produsul de pe diagonala principală minus cel de pe diagonala secundară, în ordinea aceasta. Există numai pentru matrice pătratice. Pe linii pui obiectele comparate, pe coloane mărimile, iar într-o coloană stau numai valori măsurate în aceeași unitate.

Valoarea 0 apare tocmai atunci când liniile sunt proporționale, adică una iese din cealaltă prin înmulțirea ambelor numere cu același factor. De aceea îl folosești ca să afli dacă două obiecte păstrează aceeași proporție între mărimi, fără împărțiri cu zecimale. Semnul lui arată care linie are raportul mai mare.

Câteva proprietăți te scutesc de calcul: la schimbarea liniilor semnul se inversează, factorul comun al unei linii iese în fața determinantului, iar adunarea unui multiplu al unei linii la cealaltă lasă valoarea neschimbată. Pentru toată matricea, $det (k A) = k^{2} det A$ .

La o cerință cu parametru scrii determinantul cu paranteze la fiecare element, reduci termenii și rezolvi ecuația rezultată. Verifici cu o valoare concretă și urmărești unitatea: mm² dacă lungimile sunt în mm.

De reținut

$det (a c b d) = a d - b c$ , diagonala principală minus cea secundară
determinantul este 0 exact când liniile sunt proporționale
$det (k A) = k^{2} det A$ pentru matrice de ordin 2

Greșeala tipică

Se adună produsele în cruce în loc să se scadă. Pentru plăcile de mai sus ar ieși $11760 + 11760 = 23520$ și plăcile bune ar fi respinse; se scrie întâi $a d - b c$ , cu minus.

Exerciții din această mini-lecție

Compoziția unei soluții se scrie pe o linie: grame de substanță și grame de solvent. Două soluții au aceeași compoziție când cele două linii sunt proporționale. Prima soluție este $(12; 18)$ . Pentru care dintre fișele de mai jos, cu a doua soluție pe linia a doua, cele două soluții au aceeași compoziție?
- a) $(12201832)$
- b) $(12301822)$
- c) $(12201830)$
- d) $(18201230)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(12201830)$

Liniile sunt proporționale exact când determinantul este 0. Pentru $(12; 18)$ și $(20; 30)$ , $12 \cdot 30 - 18 \cdot 20 = 360 - 360 = 0$ . Celelalte fișe dau $24$ , $- 276$ și $300$ ; ultima are chiar liniile tentante, dar cu prima linie întoarsă, $(18; 12)$ , și raportul se inversează.
Variațiile numărului de camere rezervate în două pensiuni, în două luni, sunt scrise în matricea $V = (- 6 5 74)$ (valorile negative sunt anulări). Cât este $det V$ ?
- a) $59$
- b) $- 59$
- c) $11$
- d) $- 11$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $- 59$

Produsele în cruce sunt $(- 6) \cdot 4 = - 24$ și $7 \cdot 5 = 35$ , iar $det V = - 24 - 35 = - 59$ . Valoarea $59$ scade diagonalele în ordine inversă. Valoarea $11$ adună produsele în loc să le scadă, iar $- 11$ pierde minusul din $- 6$ .
Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A (x) = (x 6 3 x + 3)$ . Pentru ce valori reale ale lui $x$ avem $det A (x) = 10$ ?
- a) $x \in {- 6; 3}$
- b) $x \in {- 5; 2}$
- c) $x \in {- 4; 7}$
- d) $x \in {- 7; 4}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x \in {- 7; 4}$

$det A (x) = x (x + 3) - 3 \cdot 6$ . Egalitatea cu 10 cere ca produsul $x (x + 3)$ să fie 28, adică doi factori care diferă cu 3, $4 \cdot 7$ . Se întâmplă pentru $x = 4$ , când factorii sunt 4 și 7, și pentru $x = - 7$ , când sunt $- 7$ și $- 4$ . Mulțimea ${- 6; 3}$ rezolvă $det A (x) = 0$ , adică $x (x + 3) = 18$ . Mulțimea ${- 5; 2}$ egalează cu 10 numai produsul diagonalei principale, iar ${- 4; 7}$ are rădăcinile cu semnele schimbate.

Întrebări conexe

Cum compar trei plăci între ele cu determinanți?

Calculezi determinantul fiecărei perechi, în total trei. Pentru plăcile $(24; 16)$ , $(36; 24)$ și $(30; 18)$ avem $24 \cdot 24 - 16 \cdot 36 = 0$ , $24 \cdot 18 - 16 \cdot 30 = - 48$ și $36 \cdot 18 - 24 \cdot 30 = - 72$ . Doar primele două plăci au aceeași formă.

Se schimbă determinantul dacă trec dimensiunile din mm în m?

Da, fiindcă fiecare coloană se împarte la 1000, deci determinantul se împarte la $1000 \cdot 1000$ . Pentru $150608050 = 2700$ mm², matricea în metri are determinantul $0, 0027$ m². Zero rămâne zero în orice unitate.

Cum scriu cu determinant că două rapoarte sunt egale?

Rapoartele $\frac{a}{b}$ și $\frac{c}{d}$ sunt egale când $a d = b c$ , adică $a c b d = 0$ . Pentru $\frac{6}{9}$ și $\frac{10}{15}$ : $6 \cdot 15 - 9 \cdot 10 = 90 - 90 = 0$ . Calculul folosește doar numere întregi, deci nu apar rotunjiri și nici împărțiri cu rest.

Cum calculez un determinant cu zecimale fără greșeli?

Înmulțești fiecare linie cu o putere a lui 10 ca să dispară zecimalele, apoi împarți rezultatul la produsul acestor factori. Pentru $2, 4 0, 8 1, 5 3$ înmulțești ambele linii cu 10, obții $720 - 120 = 600$ și împarți la 100: determinantul este 6.

Cum apare determinantul 2×2 în probele oficiale?

Determinantul de ordin 2 a apărut în 79 de probe M_tehnologic din 2013–2026. Cerințele cer valoarea lui pentru o matrice dată sau pentru un parametru, o ecuație cu determinant nul sau o inegalitate. Scrii mereu cele două produse în cruce separat, apoi le scazi.

Oamenii mai întreabă și: determinant nul la două plăci cu laturi proporționale · dreptunghiuri asemenea verificate cu determinantul · produsele în cruce pentru lungime și lățime · două piese au același raport între laturi