Determinanți de ordin 2 și 3: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Determinanți și matrice inversabile, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XI-a; în tema ei stă la finalul paginii „Determinanți și matrice inversabile”.

Aici $a_{ij}$ stă pe linia $i$, în coloana $j$. Primul rând scade din produsul elementelor diagonalei principale produsul celor de pe diagonala secundară; al doilea are șase produse, trei adunate și trei scăzute. În $\Delta$, coordonatele punctelor stau în aceeași unitate, iar ${\mathcal{S}}_{ABC}$ iese în unitatea pătrată a coordonatelor. Pentru oricare trei puncte se scrie același tabel, cu coloana de 1 la sfârșit. Capcană: $\Delta =0$ arată doar că punctele sunt pe aceeași dreaptă, nu că unul stă între celelalte două. Control: aria se regăsește ca jumătate din modulul determinantului de ordin 2 al coordonatelor vectorilor $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.

Exemplu: Un apicultor așază trei stupi în punctele $A(1;2)$, $B(7;4)$ și $C(4;10)$, în metri. Cu cele șase produse, $\Delta =(4+8+70)-(16+10+14)=82-40=42$. Cum $\Delta \ne 0$, stupii nu sunt pe o dreaptă, iar triunghiul dintre ei are $\frac{1}{2}\cdot 42=21$ m². Control: $\overrightarrow{AB}=(6;2)$ și $\overrightarrow{AC}=(3;8)$ dau $6\cdot 8-2\cdot 3=42$. Un gard urmează dreapta $AB$ și trece prin $D(4;3)$ dacă determinantul cu $D$ în locul lui $C$ este 0: $(4+8+21)-(16+3+14)=33-33=0$, iar abscisa 4 stă între 1 și 7, deci $D$ e chiar pe segmentul $AB$.