Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid

Într-un atelier de debitare, tehnologul vrea să știe dacă două plăci de tablă au aceeași formă, adică același raport între lungime și lățime. Un singur număr, calculat din cele patru dimensiuni, răspunde la întrebare: determinantul. Lecția de clasa a XI-a pentru filiera tehnologică arată cum îl calculezi din produsele în cruce și cum ocolești numerele mari cu ajutorul proprietăților. Determinantul de ordin 2 apare la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 79 din cele 83 de probe oficiale.

Situația de pornire

Un atelier de debitare taie plăci din tablă de oțel după desen. Plăcile cu același raport între lungime și lățime se pot decupa din același șablon, mărit sau micșorat la scară, fără să se refacă dispozitivul de prindere. Tehnologul primește dimensiunile a patru plăci și vrea să afle, fără împărțiri cu zecimale, care perechi au aceeași formă. Împărțirile lungi se fac greu pe hârtie, iar rotunjirea ascunde diferențe mici; de aceea preferă un calcul numai cu numere întregi, pe care îl poate controla și un coleg de la altă mașină. Dimensiunile din tabel sunt cele măsurate la debitare, în milimetri.

Întrebare: care dintre cele șase perechi de plăci au aceeași formă și ce număr, calculat din dimensiuni, o arată?

De la situație la model

Pentru o pereche de plăci, scrie dimensiunile pe două linii, câte o placă pe linie. Cele patru numere formează o matrice de ordin 2.

Ce este determinantul de ordin 2?

Determinantul de ordin 2 al unei matrice $A$ este numărul $\det A=ad-bc$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. Îl mai scrii cu bare verticale în loc de paranteze rotunde: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$. Produsele $ad$ și $bc$ se numesc produsele în cruce, iar scăderea se face în această ordine: diagonala principală minus cea secundară. Determinantul există doar pentru matrice pătratice, adică cu tot atâtea linii câte coloane are; o placă cu trei dimensiuni ar da o matrice cu trei coloane, la care formula de mai sus nu se aplică.

De ce arată determinantul 0 că plăcile au aceeași formă?

Două plăci au aceeași formă când $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, adică, prin înmulțire în cruce, când $ad=bc$. Asta înseamnă $ad-bc=0$. Cu alte cuvinte, determinantul este 0 exact când cele două linii sunt proporționale: una se obține din cealaltă înmulțind ambele numere cu același factor. Când lățimile sunt pozitive, semnul arată care placă e mai alungită: $ad-bc>0$ exact când $\frac{a}{b}>\frac{c}{d}$, fiindcă $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$. Fiindcă lungimile și lățimile sunt în milimetri, un determinant nenul se măsoară în mm². Fiecare linie descrie un obiect și fiecare coloană o mărime, așa că în aceeași coloană nu amesteci unități: lungimile stau lângă lungimi, lățimile lângă lățimi.

Ce proprietăți te ajută să calculezi repede?

Dacă schimbi între ele cele două linii, determinantul își schimbă semnul. Dacă toate numerele dintr-o linie au un factor comun, factorul iese în fața determinantului. Dacă la o linie adaugi un multiplu al celeilalte, determinantul nu se schimbă. Dacă o linie este nulă sau cele două linii sunt proporționale, determinantul este 0. Proprietățile sunt valabile și pentru coloane, iar pentru toată matricea $\det (kA)=k^2\det A$, fiindcă factorul $k$ iese din ambele linii.

Metoda pas cu pas

1. Așază dimensiunile într-o matrice de ordin 2, câte un obiect pe linie, și scrie ce arată fiecare coloană. Aduci mai întâi toate numerele la aceeași unitate de măsură, altfel produsele în cruce nu se pot compara.
2. Calculează produsele în cruce: $ad$, adică diagonala principală, și $bc$, adică diagonala secundară. Dacă numerele sunt mari, nu le înmulți încă: întreabă-te mai întâi dacă o linie are un factor comun sau dacă un zero se poate obține dintr-o singură scădere de linii.
3. Scade al doilea produs din primul: $\det A=ad-bc$, în această ordine. Dacă schimbi ordinea, semnul se schimbă, iar un rezultat cu minus poate fi corect, deoarece depinde de ce obiect ai scris pe prima linie.
4. Pentru numere mari, simplifică înainte de calcul: scoate factorul comun dintr-o linie sau dintr-o coloană, ori scade un multiplu al unei linii din cealaltă, ca să apară un zero. Cu un zero sub diagonala principală, determinantul este doar produsul numerelor de pe această diagonală.
5. La o cerință cu parametru, scrie determinantul simbolic, cu paranteze la fiecare element, și rezolvă ecuația sau inecuația rezultată; la „pentru orice număr real” caută un pătrat plus o constantă, fiindcă un pătrat nu este niciodată negativ.
6. Verifică: recalculează determinantul pe alt drum, de pildă cu liniile schimbate (semnul se schimbă), și controlează unitatea, care la lungimi în mm este mm². La o cerință cu parametru, pune în rezultat o valoare concretă și vezi dacă determinantul iese cum ai găsit. Dacă un rezultat nu se potrivește, reia produsele în cruce una câte una.

Fișa de buzunar

$$\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc,\det \left(\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right)=-(ad-bc)$$

$$\det \left(\begin{array}{cc}ka& kb\\ c& d\end{array}\right)=k(ad-bc),\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c+ka& d+kb\end{array}\right)=ad-bc$$

$$\det (kA)=k^2\det A$$

Condiții: determinantul este nul exact când liniile sunt proporționale, iar formulele se aplică numai matricelor pătratice de ordin 2. Verificare rapidă: calculează cele două produse în cruce separat și compară-le înainte să scazi; dacă sunt egale, rezultatul este 0. Ține minte: diagonala principală minus cea secundară, în această ordine.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Plăcile de tablă: care se potrivesc

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia plăcile P1–P4 din situație. a) Calculează determinantul matricei formate din P1 și P2. b) Calculează determinantul pentru P1 și P4. c) Calculează toți cei șase determinanți și spune care perechi au aceeași formă.

Rezolvare. a) Matricea este $\left(\begin{array}{cc}126& 84\\ 45& 30\end{array}\right)$, deci $\det =126\cdot 30-84\cdot 45=3780-3780=0$. b) Pentru P1 și P4, $\det =126\cdot 62-84\cdot 91=7812-7644=168$ mm². c) Celelalte perechi dau: P1–P3, $-294$; P2–P3, $-105$; P2–P4, 60; P3–P4, 343 (toate în mm²). Singurul determinant nul este cel al perechii P1–P2: doar aceste două plăci au aceeași formă. Celelalte cinci numere nu sunt zero, deci perechile respective trebuie decupate din șabloane diferite.

Capcană. Cine adună produsele în cruce în loc să le scadă obține pentru P1 și P2 numărul $3780+3780=7560$, care nu e zero, și respinge perechea bună. Determinantul scade diagonala secundară din cea principală.

Verificare. Pe alt drum, prin rapoarte: $126:84=1,5$ și $45:30=1,5$, egale, deci determinantul este 0; pentru P1 și P4, $126:84=1,5$, dar $91:62\approx 1,47$, deci determinantul nu este 0 și are semnul pozitiv, fiindcă $126\cdot 62>84\cdot 91$.

Exemplul 2 — Două mașini de ambalat: calcul rapid

Domeniu: alimentar.

Enunț. La o prăjitorie de cafea, două mașini umplu pungi de 250 g. Prima a umplut 1365 de pungi în 52 de minute, a doua 840 de pungi în 34 de minute. Calculează determinantul matricei $\left(\begin{array}{cc}1365& 52\\ 840& 34\end{array}\right)$ fără produse de patru cifre și spune, după semn, care mașină a lucrat mai repede.

Rezolvare. Din prima linie iese factorul 13, fiindcă $1365=13\cdot 105$ și $52=13\cdot 4$: $\det =13\cdot \left|\begin{array}{cc}105& 4\\ 840& 34\end{array}\right|$. Scazi acum de 8 ori prima linie din a doua, adică $840-8\cdot 105=0$ și $34-8\cdot 4=2$; determinantul nu se schimbă și iese $\left|\begin{array}{cc}105& 4\\ 0& 2\end{array}\right|=105\cdot 2-4\cdot 0=210$. Deci $\det =13\cdot 210=2730$. Factorul 13 este cel mai mare număr care împarte ambele elemente ale primei linii, iar după el rămân numere mici, ușor de înmulțit în minte. Rezultatul e pozitiv, iar minutele sunt pozitive, deci raportul pungi pe minut e mai mare pe prima linie: prima mașină a lucrat mai repede.

Capcană. Cine scoate factorul 13 și apoi îl uită la sfârșit scrie $\det =210$, de 13 ori mai puțin. Semnul iese bun, dar valoarea e greșită, iar la o cerință „Calculați” rezultatul nu mai este cel corect.

Verificare. Direct, $1365\cdot 34-52\cdot 840=46410-43680=2730$, la fel ca prin simplificare. Ritmurile confirmă semnul: $1365:52=26,25$ pungi pe minut, iar $840:34\approx 24,7$.

Exemplul 3 — Panouri din PAL: unități diferite

Domeniu: lemn.

Enunț. O tâmplărie are două panouri din plăci de PAL: A are 2,16 m pe 144 cm, iar B are 70 cm pe 480 mm. a) Scrie dimensiunile în centimetri. b) Calculează determinantul matricei formate din cele două panouri. c) Află determinantul în mm² fără să refaci produsele.

Rezolvare. a) 2,16 m = 216 cm și 480 mm = 48 cm, deci A are 216 și 144, iar B are 70 și 48. b) $\det =216\cdot 48-144\cdot 70=10368-10080=288$ cm²; nu e 0, deci panourile nu au aceeași formă. c) În milimetri, fiecare dimensiune se înmulțește cu 10, adică fiecare coloană. Din fiecare coloană iese factorul 10, deci determinantul se înmulțește cu $10\cdot 10=100$ și devine 28 800 mm². Factorul 10 iese o dată din coloana lungimilor și o dată din coloana lățimilor; de aceea unitatea trece din cm² în mm², iar valoarea crește de o sută de ori, nu de zece.

Capcană. Dacă lași lungimea lui B în centimetri și lățimea în milimetri, scrii $\left|\begin{array}{cc}216& 144\\ 70& 480\end{array}\right|=216\cdot 480-144\cdot 70=103680-10080=93600$. Numărul amestecă centimetri cu milimetri, așa că nu are unitate de măsură și nu mai arată dacă panourile au aceeași formă.

Verificare. Direct în milimetri: $2160\cdot 480-1440\cdot 700=1036800-1008000=28800$ mm², la fel ca prin factorul 100.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: det(A + xB) = 0

Domeniu: chimie.

Enunț. La Subiectul al II-lea, cerința are forma de mai jos, cu numere noi: „Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-29& -10\\ 13& 2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}17& 5\\ 10& 3\end{array}\right)$. Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A+xB)=0$.” Ca situație, $A$ și $B$ ar fi două tabele cu variații ale unor concentrații, iar $x$ un coeficient de amestec; ecuația spune pentru ce valori ale lui $x$ liniile devin proporționale.

Rezolvare. $A+xB=\left(\begin{array}{cc}17x-29& 5x-10\\ 10x+13& 3x+2\end{array}\right)$. Determinantul este $(17x-29)(3x+2)-(5x-10)(10x+13)$. Primul produs, cu parantezele păstrate la fiecare element, dă $51x^2-53x-58$, iar al doilea $50x^2-35x-130$, deci $\det (A+xB)=x^2-18x+72$. Diferența se face termen cu termen, iar al doilea trinom se scade întreg, cu semnele schimbate. Ecuația $x^2-18x+72=0$ are rădăcinile $x=6$ și $x=12$.

Capcană. Cine scrie $\det (A+xB)=\det A+x\cdot \det B$ calculează $\det A=72$ și $\det B=1$, deci $72+x=0$ și $x=-72$. Valoarea e greșită: determinantul unei sume nu este suma determinanților, iar $x^2$ din rezultatul corect lipsește.

Verificare. Pentru $x=6$, $A+6B=\left(\begin{array}{cc}73& 20\\ 73& 20\end{array}\right)$, cu cele două linii egale, deci determinantul este 0. Pentru $x=12$, $A+12B=\left(\begin{array}{cc}175& 50\\ 133& 38\end{array}\right)$, iar $175\cdot 38=6650=50\cdot 133$, deci tot 0.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Calculează determinantul fiecărei matrice: a) $\left(\begin{array}{cc}37& 9\\ 5& 8\end{array}\right)$; b) $\left(\begin{array}{cc}29& -6\\ 14& 7\end{array}\right)$; c) $\left(\begin{array}{cc}38& 57\\ 26& 39\end{array}\right)$; d) $\left(\begin{array}{cc}0& 41\\ 13& 0\end{array}\right)$.

2. Calculează rapid, scoțând întâi factorul comun din prima linie: a) $\left|\begin{array}{cc}96& 144\\ 35& 52\end{array}\right|$; b) $\left|\begin{array}{cc}75& 90\\ 17& 21\end{array}\right|$.

3. Determină numărul real $x$ pentru care $\det \left(\begin{array}{cc}x& 14\\ 3& 6\end{array}\right)=0$.

4. Se știe că $A=\left(\begin{array}{cc}17& 7\\ 4& 3\end{array}\right)$ are $\det A=23$. Fără să recalculezi cele patru produse, află determinantul matricei obținute din $A$ prin: a) schimbarea celor două linii; b) înmulțirea primei linii cu 4; c) înmulțirea întregii matrice cu 3, adică $\det (3A)$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un magazin primește de la furnizor trei oferte de ulei: 45 de litri cu 405 lei, 60 de litri cu 540 de lei și 70 de litri cu 658 de lei. Pentru fiecare pereche de oferte, scrie litrii și prețul pe câte o linie și calculează determinantul. Care oferte au același preț pe litru?

6. (Problemă aplicată.) La o instalație electrică, un circuit are tensiunea de 24 V și curentul de 3 A, iar altul tensiunea de 56 V și curentul de 6,5 A. Scrie tensiunea și curentul fiecărui circuit pe câte o linie, calculează determinantul și spune, după semnul lui, care circuit are rezistența, adică tensiunea împărțită la curent, mai mare.

7. (Problemă aplicată.) Într-o săptămână, o dubă de livrări a parcurs 1350 km cu 108 litri de motorină, iar alta 950 km cu 78 de litri. Scrie kilometrii și litrii fiecărei dube pe câte o linie și calculează determinantul scoțând întâi un factor comun din prima linie, apoi făcând un zero. Au cele două dube același consum la kilometru?

8. (Problemă aplicată.) O brutărie are rețeta de aluat cu 450 g de făină și 297 g de apă. Pentru o altă cantitate, brutarul folosește $x$ grame de făină și 363 g de apă și vrea același raport făină:apă. Scrie condiția cu un determinant și află $x$.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}17& 6\\ 5& 8\end{array}\right)$. Arătați că $\det A=106$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $x$ se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}3x+28& -9\\ 15& 2x-1\end{array}\right)$. Arătați că $\det (A(2))=237$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}7& 28\\ 17& 54\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 9& 11\end{array}\right)$. Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A+xB)=0$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}16& 10\\ -5& 2\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Demonstrați că $\det (A-a{I}_2)\ge 1$, pentru orice număr real $a$.

Răspunsuri și verificări

1. a) $37\cdot 8-9\cdot 5=296-45=251$; b) $29\cdot 7-(-6)\cdot 14=203+84=287$; c) $38\cdot 39-57\cdot 26=1482-1482=0$; d) $0\cdot 0-41\cdot 13=-533$. Verificare: la c), $38:57=26:39=2:3$, deci liniile sunt proporționale, iar determinantul este 0.

2. a) Din prima linie iese 48, fiindcă $96=48\cdot 2$ și $144=48\cdot 3$: $48\cdot \left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 35& 52\end{array}\right|=48\cdot (104-105)=-48$. b) Iese 15: $15\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 17& 21\end{array}\right|=15\cdot (105-102)=45$. Verificare: direct, $96\cdot 52-144\cdot 35=4992-5040=-48$ și $75\cdot 21-90\cdot 17=1575-1530=45$.

3. Determinantul este $6x-14\cdot 3=6x-42$. Din $6x-42=0$ rezultă $x=7$. Verificare: pentru $x=7$, liniile $(7;14)$ și $(3;6)$ sunt proporționale: în fiecare linie, al doilea număr este dublul primului.

4. a) Cu liniile schimbate determinantul își schimbă semnul: $-23$. b) Factorul 4 iese în fața determinantului: $4\cdot 23=92$. c) Factorul 3 iese din ambele linii: $\det (3A)=3^2\cdot 23=207$. Verificare: pentru $A$, $3A=\left(\begin{array}{cc}51& 21\\ 12& 9\end{array}\right)$ și $51\cdot 9-21\cdot 12=459-252=207$.

5. Pentru ofertele 1 și 2: $45\cdot 540-405\cdot 60=24300-24300=0$. Pentru 1 și 3: $45\cdot 658-405\cdot 70=29610-28350=1260$. Pentru 2 și 3: $60\cdot 658-540\cdot 70=39480-37800=1680$. Doar ofertele 1 și 2 au același preț pe litru. Verificare: $405:45=9$ lei pe litru și $540:60=9$ lei pe litru.

6. $24\cdot 6,5-3\cdot 56=156-168=-12$. Determinantul e negativ, iar curenții de 3 A și 6,5 A sunt pozitivi, deci $24:3$ este mai mic decât $56:6,5$: al doilea circuit are rezistența mai mare. Verificare: $24:3=8$ Ω, iar $56:6,5\approx 8,6$ Ω.

7. Din prima linie iese 54, fiindcă $1350=54\cdot 25$ și $108=54\cdot 2$. Scazi de 38 de ori linia $(25;2)$ din a doua: $950-38\cdot 25=0$ și $78-38\cdot 2=2$. Rămâne $54\cdot \left|\begin{array}{cc}25& 2\\ 0& 2\end{array}\right|=54\cdot 50=2700$ (km·L), deci consumurile diferă. Verificare: direct, $1350\cdot 78-108\cdot 950=105300-102600=2700$; prima dubă consumă 8 litri la 100 km, a doua aproximativ 8,2.

8. Rapoartele sunt egale când $\left|\begin{array}{cc}450& 297\\ x& 363\end{array}\right|=0$, adică $450\cdot 363-297x=0$. De aici $297x=163350$, deci $x=550$ g de făină. Verificare: $450:297=50:33$ și $550:363=50:33$.

9. Produsele în cruce sunt $17\cdot 8=136$ și $6\cdot 5=30$. Atunci $\det A=136-30$. Deci $\det A=106$. Verificare: scazi din prima linie dublul celei de-a doua și obții linia $(7;-10)$, iar $7\cdot 8-(-10)\cdot 5=56+50=106$.

10. Pentru $x=2$ se obține $A(2)=\left(\begin{array}{cc}34& -9\\ 15& 3\end{array}\right)$. Determinantul este $34\cdot 3-(-9)\cdot 15=102+135$. Deci $\det (A(2))=237$. Verificare: pe alt drum, $\det (A(x))=(3x+28)(2x-1)+135=6x^2+53x+107$, iar pentru $x=2$ iese $24+106+107=237$.

11. $A+xB=\left(\begin{array}{cc}5x+7& 6x+28\\ 9x+17& 11x+54\end{array}\right)$, deci $\det (A+xB)=(5x+7)(11x+54)-(6x+28)(9x+17)$. Primul produs este $55x^2+347x+378$, iar al doilea $54x^2+354x+476$. Rezultă $\det (A+xB)=x^2-7x-98$, adică $x^2-7x-98=0$. Deci $x=-7$ sau $x=14$. Verificare: pentru $x=14$, $A+14B=\left(\begin{array}{cc}77& 112\\ 143& 208\end{array}\right)$, iar $77\cdot 208=16016=112\cdot 143$, deci determinantul este 0.

12. $A-a{I}_2=\left(\begin{array}{cc}16-a& 10\\ -5& 2-a\end{array}\right)$, deci $\det (A-a{I}_2)=(16-a)(2-a)+50$. Aceasta este $a^2-18a+82=(a-9{)}^2+1$. Cum $(a-9{)}^2\ge 0$, rezultă $\det (A-a{I}_2)\ge 1$. Verificare: pentru $a=9$ egalitatea se atinge, $\det (A-9I_2)=1$.

Așa vine la Bac M3

Determinantul de ordin 2 se cere la Subiectul al II-lea, problema 1, și apare în 79 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, uneori de două ori în aceeași probă. Patru exemple, din probe diferite, arată ce poți primi:

• Iunie 2025, Subiectul al II-lea, exercițiul 1a: matricea este dată numeric și se cere valoarea determinantului; baremul probei dă 3 puncte pentru diferența produselor în cruce scrisă corect (pașii 2 și 3 din Metodă) și 2 puncte pentru calculul final.
• Simularea din 2023, Subiectul al II-lea, exercițiul 1a: matricea depinde de $x$, iar determinantul se cere pentru o valoare dată a parametrului; baremul probei dă 3 puncte pentru matricea $A(2)$ și diferența produselor în cruce (pașii 2 și 3 din Metodă) și 2 puncte pentru rezultat.
• Modelul din 2014, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: se cer valorile lui $x$ pentru care determinantul unei sume $A+xB$ este 0; baremul probei dă 3 puncte pentru determinantul scris ca expresie în $x$ (pasul 5) și 2 puncte pentru rădăcinile ecuației.
• Proba specială din 2015, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: se cere să arăți că determinantul lui $A-a{I}_2$ este cel puțin 1 pentru orice $a$; baremul probei dă 3 puncte pentru determinantul în $a$ și 2 puncte pentru forma „pătrat plus constantă” și concluzia (pasul 5).

Exercițiile 9–12 repetă aceste patru forme. Matricele $A+xB$ se formează ca în adunarea matricelor și înmulțirea cu un număr. Determinantul cu trei linii vine în determinantul de ordin 3; pentru sisteme vezi sisteme rezolvate cu determinanți, iar celelalte lecții sunt în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Aduni produsele în cruce în loc să le scazi → cum o prinzi: scrii $ad-bc$ cu semnul minus înainte de calcul; la P1 și P2, $3780-3780=0$, nu $3780+3780$.
• Scazi diagonala principală din cea secundară → cum o prinzi: verifici semnul pe un caz simplu; pentru $\left(\begin{array}{cc}105& 4\\ 0& 2\end{array}\right)$ din Exemplul 2 determinantul este $+210$, nu $-210$.
• La $\det (A+xB)$ scrii $\det A+x\det B$ → cum o prinzi: determinantul unei sume nu este suma determinanților; în Exemplul 4 ai fi obținut $x=-72$ în loc de 6 și 12, iar $x^2$ ar fi lipsit.
• Amesteci unitățile în aceeași matrice → cum o prinzi: scrii unitatea fiecărei coloane și transformi înainte de calcul; pentru panourile A și B, 93 600 nu are unitate, iar 288 cm² are.
• Uiți factorul la $\det (kA)$ → cum o prinzi: scoți $k$ din fiecare linie; pentru $A$ din exercițiul 4, $\det (3A)=9\cdot 23=207$, nu $3\cdot 23$.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Calculul determinantului de ordin 2 se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 79 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se întâmplă dacă tehnologul scrie una dintre plăci cu lățimea înaintea lungimii?

Determinantul nu mai arată forma. Pentru P1 și P2, cu P2 scrisă invers, iese $126\cdot 45-84\cdot 30=5670-2520=3150$, deși plăcile au aceeași formă. Coloanele trebuie să aibă același înțeles pe toate liniile: prima lungimile, a doua lățimile. Dacă schimbi coloanele la ambele plăci deodată, se schimbă doar semnul.

Ce înseamnă că perechea P1–P4 are determinantul 168?

Înseamnă că plăcile nu au aceeași formă: $126\cdot 62$ este mai mare decât $84\cdot 91$ cu 168 mm². Semnul depinde de ordinea plăcilor, deoarece schimbarea lor dă $-168$, dar zero rămâne zero în orice ordine. Mărimea 168 nu se compară direct cu alte perechi, pentru că depinde și de dimensiunile plăcilor.

Cum ajung la 0 pentru P1 și P2 fără să înmulțesc numere mari?

Scoți factorul 42 din prima linie și 15 din a doua: $126=42\cdot 3$, $84=42\cdot 2$, $45=15\cdot 3$, $30=15\cdot 2$. Rămân liniile $(3;2)$ și $(3;2)$, adică două linii egale, deci determinantul este 0. Rezultatul final este $42\cdot 15\cdot 0=0$, fără să fi înmulțit vreun număr de patru cifre.

Dacă lățimea plăcii P2 e măsurată greșit cu 1 mm, mai iese determinantul 0?

Nu. Cu 31 mm în loc de 30 mm, determinantul P1–P2 devine $126\cdot 31-84\cdot 45=3906-3780=126$ mm², adică lungimea lui P1 înmulțită cu eroarea de 1 mm. De aceea, la plăci măsurate, tehnologul compară determinantul cu ce poate produce o eroare de măsurare, nu doar cu zero.

Ce se cere la Bacalaureatul M3 despre determinantul de ordin 2?

În 79 din cele 83 de probe oficiale (2013–2026), problema 1 din Subiectul al II-lea conține o cerință cu determinant. Din cele 117 cerințe de acest fel, 78 cer valoarea unui determinant cu numere date sau pentru o valoare a parametrului. Printre celelalte sunt ecuații de forma $\det (\dots )=0$ cu un parametru, iar inegalitățile, ca $\det (A-a{I}_2)\ge 1$, apar doar în 7 probe.

De ce nu împarte tehnologul lungimea la lățime și compară rapoartele?

Poate, dar rapoartele ies cu zecimale. Rotunjite la zecimi, P4 dă $91:62\approx 1,5$, la fel ca P1, deși cele două plăci nu au aceeași formă. Determinantul perechii P1–P4, 168 mm², nu este 0 și arată diferența fără nicio rotunjire, numai cu înmulțiri de numere întregi.