Expresia $$\sqrt3\sin x-\cos x$$ este egală, pentru orice $$x$$, cu:

$$2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$$

$$2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)$$

$$2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$$

$$\sqrt2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Ecuația a sin x + b cos x = c

Când are soluții ecuația a sin x + b cos x = c?

Are soluții exact când $c^{2} \leq a^{2} + b^{2}$ , fiindcă suma din stânga este $r sin (x + φ)$ , cu $r = a^{2} + b^{2}$ , și nu iese din intervalul $[- r, r]$ , oricât ai alege unghiul $x$ . Verificarea se face înainte de orice calcul, pe coeficienți. De exemplu, $3 sin x + 2 cos x = 4$ nu are soluții, fiindcă $13 < 4$ , iar $3 sin x + cos x = 3$ are, cu $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ sau $x = \frac{π}{2} + 2 k π$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a X-a → ·

Suma $a sin x + b cos x$ arată ca o combinație de două funcții, dar e de fapt un singur sinus, deplasat și întins: $r sin (x + φ)$ , unde $r = a^{2} + b^{2}$ . Unghiul $φ$ , numit unghi ajutător, are cosinusul $\frac{a}{r}$ și sinusul $\frac{b}{r}$ . Totul se sprijină pe formula sinusului unei sume.

Cu această rescriere, ecuația $a sin x + b cos x = c$ se transformă într-una elementară, $sin (x + φ) = \frac{c}{r}$ . Ea are soluții doar când $c^{2} \leq a^{2} + b^{2}$ . Dacă $∣ c ∣$ e strict mai mic decât $r$ , obții două familii de soluții; dacă $∣ c ∣ = r$ , obții una singură.

Din aceeași scriere afli și cât de mult poate crește expresia: valorile ei rămân între $- r$ și $r$ . Maximul e mai mic decât $∣ a ∣ + ∣ b ∣$ , fiindcă atunci când sinusul ajunge la $1$ , cosinusul este $0$ , iar cele două părți nu pot fi mari în același timp.

Există și o privire geometrică: cu $u = cos x$ și $v = sin x$ , coordonatele punctului lui $x$ pe cercul trigonometric, cauți punctele comune ale dreptei $a v + b u = c$ cu cercul de rază $1$ . Iar dacă alegi să ridici la pătrat, nu uita proba, fiindcă pătratul poate aduce soluții străine.

De reținut

$a sin x + b cos x = r sin (x + φ)$ , cu $r = a^{2} + b^{2}$
soluții există numai dacă $c^{2} \leq a^{2} + b^{2}$
la $∣ c ∣ = r$ rămâne o singură familie de soluții

Greșeala tipică

Se caută soluții pentru o ecuație ca $6 sin x + 8 cos x = 11$ , deși $36 + 64 = 10 < 11$ ; condiția de existență se verifică prima și oprește calculul.

Exerciții din această mini-lecție

Valoarea maximă a expresiei $12 sin x + 16 cos x$ este:
- a) $20$
- b) $28$
- c) $16$
- d) $4$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $20$

Expresia se scrie $20 sin (x + φ)$ , fiindcă $144 + 256 = 400 = 20$ . Maximul este deci $20$ . Varianta $28$ este suma coeficienților, care nu poate fi atinsă.
Care dintre ecuațiile de mai jos nu are soluții reale?
- a) $sin x + cos x = 1$
- b) $6 sin x + 8 cos x = 11$
- c) $sin x - cos x = 1$
- d) $3 sin x + cos x = 2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $6 sin x + 8 cos x = 11$

Pentru $6 sin x + 8 cos x$ , $r = 36 + 64 = 10$ , iar $11 > 10$ , deci ecuația nu are soluții. La celelalte, $∣ c ∣$ nu depășește $2$ , $2$ , respectiv $2$ .
Expresia $3 sin x - cos x$ este egală, pentru orice $x$ , cu:
- a) $2 sin (x - \frac{π}{6})$
- b) $2 sin (x + \frac{π}{6})$
- c) $2 sin (x - \frac{π}{3})$
- d) $2 sin (x - \frac{π}{6})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $2 sin (x - \frac{π}{6})$

Avem $r = 3 + 1 = 2$ , $cos φ = \frac{3}{2}$ și $sin φ = - \frac{1}{2}$ , deci $φ = - \frac{π}{6}$ . Proba pentru $x = 0$ : membrul stâng este $- 1$ , iar $2 sin (- \frac{π}{6}) = - 1$ .

Întrebări conexe

Cum aleg unghiul ajutător?

Împarți ambii coeficienți la $r = a^{2} + b^{2}$ și cauți unghiul $φ$ cu $cos φ = \frac{a}{r}$ și $sin φ = \frac{b}{r}$ . Ordinea nu e la întâmplare, ci vine din formula $sin (x + φ) = sin x cos φ + cos x sin φ$ : în ea, lângă $sin x$ apare cosinusul unghiului ajutător.

Care este maximul lui 20 sin x + 21 cos x?

Este $29$ , adică $400 + 441 = 841$ , nu $41$ . Când sinusul e $1$ , cosinusul e $0$ , și invers, așa că cele două părți nu pot fi maxime deodată, iar suma coeficienților nu e atinsă. Expresia oscilează între $- 29$ și $29$ .

Ce fac dacă coeficientul lui sin x este negativ?

Înmulțești întâi ecuația cu $- 1$ . De exemplu, $- sin x + 3 cos x = 1$ devine $sin x - 3 cos x = - 1$ , cu unghiul ajutător $- \frac{π}{3}$ . Fără acest pas, unghiul ajutător ar avea cosinusul negativ; rezultatul ar fi tot corect, dar calculul e mai incomod.

Ce se întâmplă dacă ridic ecuația la pătrat?

Poți, dar pătratul aduce și soluțiile ecuației cu membrul drept schimbat de semn. La $- sin x + 3 cos x = 1$ , scrisă $3 cos x = 1 + sin x$ și ridicată la pătrat, apare astfel și $\frac{5 π}{6}$ , care nu verifică. De aceea, după ridicarea la pătrat, proba pe fiecare familie de soluții e obligatorie.

Ce legătură are ecuația cu cercul trigonometric?

Cu $u = cos x$ (abscisa) și $v = sin x$ (ordonata), punctul lui $x$ pe cercul trigonometric este $(u, v)$ , iar ecuația cere un punct comun al dreptei $a v + b u = c$ cu cercul $u^{2} + v^{2} = 1$ . Distanța de la originea axelor până la această dreaptă este $\frac{∣ c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ , iar dreapta întâlnește cercul numai când distanța nu trece de $1$ .

Oamenii mai întreabă și: condiția de existență pentru a sin x + b cos x = c · valoarea maximă a lui a sin x + b cos x · unghiul ajutător pas cu pas · ecuație cu sinus și cosinus fără soluții