Ecuația a sin x + b cos x = c (M2, științe ale naturii)

Două oscilații de aceeași frecvență se suprapun, de exemplu două unde sonore care ajung la aceeași ureche sau doi curenți alternativi din același circuit. Rezultatul, de pildă $20\sin t+21\cos t$, pare o combinație complicată, dar este tot o singură oscilație, cu amplitudinea $29$. Ideea care o arată este și cheia ecuațiilor de forma $a\sin x+b\cos x=c$: suma unui sinus și a unui cosinus se rescrie ca un singur sinus. Lecția de față, la clasa a X-a, profilul științe ale naturii (M2), tratează cazul general, cu $c$ oarecare, pe pași. Tema este în programa școlară de 4 ore a clasei, dar nu este numită în programa bacalaureatului M2 din sesiunile 2027–2029.

Ai nevoie de ecuațiile trigonometrice elementare, de ecuațiile reductibile, unde ai rezolvat deja cazul $c=0$, și de formulele pentru sinusul sumei din clasa a IX-a. Lecția de aici este prima ușă spre cazul general; aceeași metodă apare, la nivel de mate-info, în lecția despre ecuațiile reductibile de la acel profil.

Ce vei învăța

• Vei ști să recunoști ecuațiile de forma $a\sin x+b\cos x=c$ și cazurile lor particulare.
• Vei ști să rescrii $a\sin x+b\cos x$ ca $r\sin (x+\phi )$, cu $r=\sqrt{a^2+b^2}$, prin metoda unghiului ajutător, în cinci pași.
• Vei ști să decizi dinainte dacă ecuația are soluții, cu condiția $c^2\le a^2+b^2$, și să afli valoarea maximă a expresiei.
• Vei ști să lucrezi și cu unghiuri care nu sunt de tabel, scriindu-le cu arctangentă.
• Vei ști o a doua metodă, cu dreapta și cercul trigonometric, și vei ști de ce ridicarea la pătrat poate adăuga soluții false.
• Vei ști să alegi soluțiile dintr-un interval dat.

Hai să descoperim împreună

1. Ce fel de ecuație este a sin x + b cos x = c?

Ecuația liniară în sinus și cosinus, cum o numim în lecție, este o ecuație de forma $a\sin x+b\cos x=c$, cu $a$, $b$, $c$ numere reale date și cu $a$, $b$ nu amândouă nule. Necunoscuta $x$ apare numai în $\sin x$ și în $\cos x$, fiecare la puterea întâi, de unde vine numele „liniară”.

Câteva cazuri le cunoști deja:

• dacă $b=0$, ecuația devine $a\sin x=c$, adică o ecuație elementară în sinus;
• dacă $a=0$, ecuația devine $b\cos x=c$, o ecuație elementară în cosinus;
• dacă $c=0$, ecuația e omogenă și se reduce la o tangentă, ca în lecția despre ecuațiile reductibile.

Lecția de față tratează cazul în care $a$, $b$ și $c$ sunt toți nenuli, de exemplu $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$. Metoda funcționează însă și în cazurile de mai sus.

Mai rămâne un caz, cel în care $a=b=0$. Atunci membrul stâng e mereu $0$, iar ecuația $0=c$ fie e adevărată pentru orice $x$, dacă $c=0$, fie nu are soluții. Condiția din programă, ca $a$, $b$, $c$ să nu fie simultan nule, exclude doar subcazul $a=b=c=0$; subcazul $a=b=0$, $c\ne 0$ dă ecuația $0=c$, fără soluții. Noi lăsăm deoparte de la început ambele subcazuri, cerând ca $a$ și $b$ să nu fie amândoi nuli.

2. De ce nu merge împărțirea la cos x?

La ecuația omogenă ai împărțit la $\cos x$ și a rămas o singură funcție, tangenta. Când $c\ne 0$, trucul nu mai merge: din $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$ obții $\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}$, iar în ecuație au rămas tot două funcții. Ai mutat dificultatea dintr-un loc în altul. Nici formula fundamentală nu ajută direct: dacă înlocuiești $\cos x$ cu $\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}x}$, apare un radical cu semn nedeterminat, iar ecuația devine mai grea decât cea de la care ai pornit.

Ai nevoie de altă idee. În loc să elimini una dintre funcții, le contopești pe amândouă într-o singură expresie, $\sin (x+\phi )$, pentru un unghi $\phi$ ales potrivit. Atunci ecuația devine elementară.

3. Cum devine o sumă de sinus și cosinus un singur sinus?

Formula sinusului sumei spune că $\sin (x+\phi )=\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi$. Membrul drept are exact forma care ne interesează: un sinus de $x$ înmulțit cu un număr și un cosinus de $x$ înmulțit cu alt număr. Numai că cele două numere nu pot fi oarecare: sunt cosinusul și sinusul aceluiași unghi, deci suma pătratelor lor este $1$.

În ecuația noastră, $a^2+b^2$ nu e neapărat $1$. Soluția este să împarți întâi la $r=\sqrt{a^2+b^2}$:

$$a\sin x+b\cos x=r\left(\frac{a}{r}\sin x+\frac{b}{r}\cos x\right).$$

Acum ${\left(\frac{a}{r}\right)}^2+{\left(\frac{b}{r}\right)}^2=\frac{a^2+b^2}{r^2}=1$, deci punctul $\left(\frac{a}{r},\frac{b}{r}\right)$ stă pe cercul trigonometric. Există un unghi $\phi$ cu $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$, numit unghiul ajutător (în alte lecții, unghiul auxiliar). Cu el,

$$a\sin x+b\cos x=r(\sin x\cos \phi +\cos x\sin \phi )=r\sin (x+\phi ).$$

Aceasta e explicația oscilației din deschidere: $r=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29$, deci $20\sin t+21\cos t=29\sin (t+\phi )$, cu $\cos \phi =\frac{20}{29}$ și $\sin \phi =\frac{21}{29}$. Suma oscilează ca un singur sinus, cu amplitudinea $r=29$ și decalată cu unghiul $\phi$. În fizică, $\phi$ se numește faza inițială: ea spune cu cât e deplasat graficul sumei față de graficul lui $\sin t$. Observă că amplitudinea sumei nu e $20+21=41$, ci $29$. Cele două oscilații nu ating maximul în același moment, așa că nu se adună „vârf peste vârf”.

Dacă ai citit deja forma trigonometrică a unui număr complex, recunoști calculul: $r$ este modulul numărului $a+bi$, iar $\phi$ este un argument al lui. Pentru ecuație nu contează ca $\phi$ să fie argumentul redus: orice unghi cu cosinusul și sinusul potrivite e bun.

4. Care sunt pașii metodei unghiului ajutător?

Urmărim ecuația $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$.

Pasul 1. Calculezi $r$. $r=\sqrt{1+3}=2$.

Pasul 2. Verifici că ecuația are soluții. Trebuie ca $|c|\le r$; aici $\sqrt{3}\le 2$, deci da. Motivul e explicat în secțiunea 5.

Pasul 3. Împarți ecuația la $r$. $\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pasul 4. Găsești unghiul ajutător. Căutăm $\phi$ cu $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{3}$. Ecuația devine $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

De ce cosinusul unghiului ajutător vine din coeficientul lui $\sin x$, și nu invers? Uită-te la formula sinusului sumei: lângă $\sin x$ stă $\cos \phi$, iar lângă $\cos x$ stă $\sin \phi$. Prin urmare, coeficientul lui $\sin x$, adică $\frac{a}{r}$, trebuie să fie $\cos \phi$. Dacă inversezi, obții alt unghi și, de regulă, soluții greșite. Proba de la final prinde și această greșeală.

Pasul 5. Rezolvi ecuația elementară. Cu $t=x+\frac{\pi }{3}$, ecuația $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ are soluțiile $t=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ și $t=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$. Scăzând $\frac{\pi }{3}$ obții

$$S=\left\{2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Proba pe câte un reprezentant din fiecare familie: pentru $x=0$, $0+\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}$; pentru $x=\frac{\pi }{3}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$. Ambele verifică.

5. Când are ecuația soluții?

După pasul 4, ecuația este $\sin (x+\phi )=\frac{c}{r}$. Sinusul ia numai valori între $-1$ și $1$, deci ecuația are soluții exact când $-1\le \frac{c}{r}\le 1$, adică

$$|c|\le \sqrt{a^2+b^2}⟺c^2\le a^2+b^2.$$

Aceeași observație spune și cât de mare poate fi expresia. Fiindcă $a\sin x+b\cos x=r\sin (x+\phi )$, ea ia toate valorile dintre $-r$ și $r$, iar valoarea maximă este $\sqrt{a^2+b^2}$, cea minimă fiind opusa ei. De exemplu, $2\sin x-\cos x$ nu depășește niciodată $\sqrt{5}\approx 2,24$, deci ecuația $2\sin x-\cos x=3$ nu are soluții, iar ecuația $2\sin x-\cos x=2$ are.

Graficul arată același lucru. Funcția $f(x)=a\sin x+b\cos x$ are graficul unei sinusoide care urcă până la $r$ și coboară până la $-r$. Rezolvarea ecuației $f(x)=c$ înseamnă intersecția acestui grafic cu dreapta orizontală $y=c$. Dacă dreapta trece între $-r$ și $r$, o taie de două ori pe fiecare perioadă. Dacă e la nivelul $r$ sau $-r$, doar atinge vârfurile sau văile. Dacă e mai sus sau mai jos, nu o întâlnește deloc.

Pentru $c=0$ condiția e îndeplinită întotdeauna, oricare ar fi $a$ și $b$. Așa se explică faptul că ecuațiile omogene din lecția despre ecuațiile reductibile au mereu soluții: dreapta orizontală $y=0$ taie orice sinusoidă de două ori pe perioadă. Cu cât $|c|$ se apropie de $r$, cu atât cele două soluții dintr-o tură se apropie una de alta, până se contopesc la $|c|=r$.

Condiția merită făcută prima. Dacă iese falsă, te oprești cu răspunsul „ecuația nu are soluții”, fără niciun alt calcul. Dacă $|c|=r$, sinusul trebuie să fie $1$ sau $-1$, iar soluțiile formează o singură familie, nu două.

6. Ce faci când a este negativ sau unghiul nu e de tabel?

Dacă $a<0$, unghiul ajutător are cosinusul negativ și cade în cadranul al II-lea sau al III-lea. Se poate lucra și așa, dar e mai comod să înmulțești întâi ecuația cu $-1$. De exemplu, $-\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$ devine $\sin x-\sqrt{3}\cos x=-1$. Aici $r=2$, $\cos \phi =\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =-\frac{\pi }{3}$, un unghi negativ, perfect valabil. Ecuația devine $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$, cu $x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x-\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$. Rezultă $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$.

Poți lucra și fără înmulțirea cu $-1$. În ecuația inițială, $-\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$, ai $\cos \phi =-\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =\frac{2\pi }{3}$, iar ecuația devine $\sin \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Familiile ies scrise altfel, dar, după reducere, sunt aceleași. Înmulțirea cu $-1$ doar te scutește de un unghi din cadranul al II-lea.

Când $a>0$, unghiul ajutător se poate lua întotdeauna între $-\frac{\pi }{2}$ și $\frac{\pi }{2}$, unde tangenta îl determină singură: $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$, deci $\phi =\mathrm{arctg}\frac{b}{a}$. Așa scrii unghiul exact și când nu e de tabel. De exemplu, la $20\sin t+21\cos t$, unghiul ajutător e $\mathrm{arctg}\frac{21}{20}$, aproximativ $0,81$ radiani. Răspunsul rămâne scris cu arctangentă, ca în lecția despre funcțiile arctangentă și arccotangentă.

7. Ce arată dreapta și cercul trigonometric?

Există și o a doua privire asupra ecuației, fără formula sinusului sumei. Notează $u=\cos x$ și $v=\sin x$. Pe cercul trigonometric, punctul asociat lui $x$ are exact coordonatele $(u,v)$: abscisa este cosinusul, iar ordonata este sinusul. Ecuația devine $av+bu=c$, iar cele două numere sunt legate prin formula fundamentală, $u^2+v^2=1$. Ai deci un sistem:

$$\{\begin{array}{l}av+bu=c\\ u^2+v^2=1.\end{array}$$

Geometric, prima ecuație e o dreaptă, iar a doua e cercul trigonometric, de rază $1$ cu centrul în origine. Soluțiile sistemului sunt punctele în care dreapta taie cercul. Fiecare astfel de punct $(u,v)$ dă valorile lui $\cos x$ și $\sin x$, iar din ele afli $x$.

Imaginea explică din nou condiția de existență. Dreapta $av+bu=c$ se află la distanța $\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ de origine; formula distanței de la un punct la o dreaptă o găsești în lecția despre distanța de la un punct la o dreaptă, din suplimentul clasei. Dreapta taie cercul de rază $1$ exact când această distanță e cel mult $1$, adică $|c|\le \sqrt{a^2+b^2}$. Dacă distanța e chiar $1$, dreapta e tangentă la cerc și ai o singură familie de soluții.

Cazul de tangență se vede bine pe un exemplu. Pentru ecuația $\sqrt{2}\sin x-\sqrt{2}\cos x=2$, dreapta este $\sqrt{2}v-\sqrt{2}u=2$, adică $v-u=\sqrt{2}$. Distanța de la origine la ea este $\frac{2}{\sqrt{2+2}}=1$, deci dreapta atinge cercul într-un singur punct, $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Pe cercul trigonometric, acesta este punctul lui $\frac{3\pi }{4}$, pentru care $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Ecuația are deci o singură familie de soluții, $x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi$.

Metoda e comodă când coeficienții sunt mici, de exemplu la $\sin x-\cos x=1$, rezolvată în exemplul 4. Pentru coeficienți mai incomozi, unghiul ajutător e mai rapid.

8. De ce nu e bine să ridici la pătrat?

O idee care pare naturală este să muți un termen în celălalt membru și să ridici la pătrat, ca să apară ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$. Ridicarea la pătrat poate însă adăuga soluții false, exact ca la ecuațiile cu radicali: din $A=B$ rezultă $A^2=B^2$, dar din $A^2=B^2$ rezultă doar $A=B$ sau $A=-B$. Soluțiile ecuației $A=-B$ se strecoară în răspuns.

Concret, ia ecuația din secțiunea 6, $-\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$. Scrisă $\sqrt{3}\cos x=1+\sin x$ și ridicată la pătrat, devine $3{\cos }^{2}x=1+2\sin x+{\sin }^{2}x$. Cu ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$ obții $2{\sin }^{2}x+\sin x-1=0$, deci $\sin x=\frac{1}{2}$ sau $\sin x=-1$. Într-o tură, asta înseamnă trei valori: $\frac{\pi }{6}$, $\frac{5\pi }{6}$ și $\frac{3\pi }{2}$. Prima și ultima verifică ecuația inițială și sunt chiar soluțiile găsite în secțiunea 6. Pentru $\frac{5\pi }{6}$ însă membrul stâng este $-\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-2$, nu $1$: valoarea provine din ecuația $\sqrt{3}\cos x=-(1+\sin x)$, nu din a noastră.

Dacă alegi totuși acest drum, proba în ecuația inițială devine obligatorie pentru fiecare familie de soluții. Metoda unghiului ajutător nu are această problemă: fiecare pas e o echivalență, deci nu apar soluții străine și nu se pierd soluții.

9. Cum alegi soluțiile dintr-un interval?

Multe probleme nu cer toate soluțiile reale, ci doar pe cele dintr-un interval, de obicei o tură, $[0,2\pi )$. Pornești de la familiile găsite și dai lui $k$ valori întregi, una după alta, păstrând doar numerele din interval. Pentru ecuația din secțiunea 6, familiile sunt $\frac{\pi }{6}+2k\pi$ și $\frac{3\pi }{2}+2k\pi$. În intervalul $[-\pi ,\pi )$, prima dă $\frac{\pi }{6}$, pentru $k=0$, iar a doua dă $-\frac{\pi }{2}$, pentru $k=-1$.

O verificare utilă: când $|c|<r$, un interval semideschis de lungime $2\pi$, de pildă $[0,2\pi )$, conține exact două soluții, câte una din fiecare familie, iar când $|c|=r$ conține una singură. Dacă găsești trei soluții într-un astfel de interval sau două familii care dau același număr, ai greșit un calcul. Atenție: într-un interval închis, ca $[0,2\pi ]$, ambele capete pot fi soluții. La ecuația din secțiunea 4, de pildă, intervalul $[0,2\pi ]$ conține trei soluții: $0$, $\frac{\pi }{3}$ și $2\pi$.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Primul caz, cu unghi de tabel

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\sqrt{3}$.

Rezolvare. Pasul 1: $r=\sqrt{3+1}=2$. Pasul 2: $\sqrt{3}\le 2$, deci ecuația are soluții. Pasul 3: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Pasul 4: $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \phi =\frac{1}{2}$, deci $\phi =\frac{\pi }{6}$, iar ecuația devine $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Pasul 5: $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ sau $x+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, deci

$$S=\left\{\frac{\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}.$$

Proba pentru $x=\frac{\pi }{2}$: $\sqrt{3}\cdot 1+0=\sqrt{3}$. Pentru $x=\frac{\pi }{6}$: $\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

Exemplul 2 — Unghi ajutător negativ

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{3}\sin x-\cos x=\sqrt{3}$.

Rezolvare. $r=\sqrt{3+1}=2$, iar $\sqrt{3}\le 2$. Împărțind la $2$: $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\frac{1}{2}\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Căutăm $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \phi =-\frac{1}{2}$, deci $\phi =-\frac{\pi }{6}$. Ecuația devine $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, cu

$$x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+2k\pi \text{sau}x-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi .$$

Rezultă $S=\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\frac{5\pi }{6}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Proba pentru $x=\frac{5\pi }{6}$: $\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\sqrt{3}$.

Exemplul 3 — O ecuație fără soluții

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $3\sin x+2\cos x=4$.

Rezolvare. $r=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$. Condiția cere $4\le \sqrt{13}$, adică $16\le 13$, ceea ce e fals. Expresia $3\sin x+2\cos x$ nu depășește niciodată $\sqrt{13}\approx 3,61$, deci nu poate fi $4$. Ecuația nu are soluții: $S=\varnothing$.

Observă capcana: fiecare termen în parte pare să poată ajunge la valoarea lui maximă, $3\sin x$ la $3$ și $2\cos x$ la $2$, deci suma ar părea că poate ajunge la $5$, cu atât mai mult la $4$. Dar sinusul și cosinusul nu ating valoarea $1$ în același punct, deci maximul sumei e mai mic decât suma maximelor. Încearcă: pentru $x=\frac{\pi }{2}$ suma este $3$, pentru $x=0$ este $2$, iar cea mai mare valoare posibilă rămâne $\sqrt{13}$.

Exemplul 4 — Metoda dreptei și a cercului

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x-\cos x=1$.

Rezolvare. Cu $u=\cos x$ și $v=\sin x$: $v-u=1$ și $u^2+v^2=1$. Din prima, $v=1+u$. Înlocuind: $u^2+(1+u{)}^2=1$, adică $2u^2+2u=0$, deci $u=0$ sau $u=-1$.

• Pentru $u=0$: $v=1$, punctul $(0,1)$, adică $\cos x=0$ și $\sin x=1$, deci $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$.
• Pentru $u=-1$: $v=0$, punctul $(-1,0)$, adică $\cos x=-1$ și $\sin x=0$, deci $x=\pi +2k\pi$.

Așadar $S=\left\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}\cup \left\{\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Cu unghiul ajutător ai fi obținut $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=1$, cu aceleași două familii.

Exemplul 5 — Un unghi care nu e de tabel

Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $5\sin x+12\cos x=13$.

Rezolvare. $r=\sqrt{25+144}=13$, deci $|c|=r$: ecuația are o singură familie de soluții. Împărțind la $13$: $\frac{5}{13}\sin x+\frac{12}{13}\cos x=1$. Unghiul ajutător are $\cos \phi =\frac{5}{13}$ și $\sin \phi =\frac{12}{13}$; cum $a>0$, luăm $\phi =\mathrm{arctg}\frac{12}{5}$. Ecuația devine $\sin (x+\phi )=1$, deci $x+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$ și

$$x=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}\frac{12}{5}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Numărul $\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}\frac{12}{5}$ se mai scrie $\mathrm{arctg}\frac{5}{12}$, aproximativ $0,39$ radiani. Pentru el, $\sin x=\frac{5}{13}$ și $\cos x=\frac{12}{13}$, iar $5\cdot \frac{5}{13}+12\cdot \frac{12}{13}=\frac{169}{13}=13$.

Metoda dreptei și a cercului confirmă rezultatul: dreapta $5v+12u=13$ se află la distanța $\frac{13}{13}=1$ de origine, deci e tangentă la cerc, chiar în punctul $(u,v)=\left(\frac{12}{13},\frac{5}{13}\right)$. Un singur punct de contact înseamnă o singură familie de soluții, exact ce am obținut.

Exemplul 6 — Mareea

Într-un port, înălțimea apei față de nivelul mediu se descrie prin $h(t)=\sqrt{2}\sin t+\sqrt{2}\cos t$, în metri, cu timpul măsurat într-o unitate convenabilă. Află amplitudinea mareei și momentele din intervalul $[0,2\pi )$ în care apa se află cu $1$ metru deasupra nivelului mediu.

Rezolvare. $r=\sqrt{2+2}=2$, deci amplitudinea este de $2$ metri. Împărțind la $2$: $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t=\frac{1}{2}$, cu $\phi =\frac{\pi }{4}$. Ecuația devine $\sin \left(t+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$, deci $t+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $t+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$. Rezultă $t=-\frac{\pi }{12}+2k\pi$ sau $t=\frac{7\pi }{12}+2k\pi$.

În intervalul $[0,2\pi )$ alegi $k$ potrivit: din prima familie, cu $k=1$, obții $\frac{23\pi }{12}$; din a doua, cu $k=0$, obții $\frac{7\pi }{12}$. Apa se află cu $1$ metru deasupra nivelului mediu la momentele $\frac{7\pi }{12}$ și $\frac{23\pi }{12}$.

Să exersăm

La fiecare ecuație, verifică întâi condiția $c^2\le a^2+b^2$, iar la final fă proba pe câte o soluție din fiecare familie.

1. Decide, fără să rezolvi, dacă ecuațiile au soluții: a) $5\sin x+3\cos x=6$; b) $\sin x+2\cos x=2$; c) $8\sin x+15\cos x=17$.

2. Află valoarea maximă și valoarea minimă a expresiei $E(x)=6\sin x+8\cos x$.

3. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{3}\sin x+\cos x=2$.

4. Rezolvă în $\mathbb{R}$, prin metoda dreptei și a cercului, ecuația $\sin x+\cos x=-1$.

5. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin x-\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$.

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\cos x-\sqrt{3}\sin x=1$.

7. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2}\sin x+\sqrt{2}\cos x=\sqrt{3}$.

8. (Adevărat/Fals cu motivare.) Ecuația $2\sin x+2\cos x=3$ nu are soluții reale.

9. Determină valorile reale ale lui $m$ pentru care ecuația $\sqrt{5}\sin x+2\cos x=m$ are soluții.

10. (Găsește greșeala.) Pentru ecuația $\sin x-\cos x=-1$, un elev ridică la pătrat, obține $1-2\sin x\cos x=1$, deci $\sin x\cos x=0$, și scrie soluțiile $0$, $\frac{\pi }{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi }{2}$ în intervalul $[0,2\pi )$. Care dintre ele sunt false?

11. Rezolvă ecuația $\sin x+\sqrt{3}\cos x=-1$ pe intervalul $[0,2\pi )$.

12. (Problemă aplicată.) Poziția unui corp care oscilează este $y(t)=8\sin t+6\cos t$, în centimetri. Află amplitudinea oscilației și primul moment $t\ge 0$ în care corpul ajunge la poziția maximă.

13. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{3}\sin x+\cos x=-2$.

14. Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $2\sin x-2\cos x=\sqrt{6}$.

15. Scrie expresia $\sin x+\cos x$ sub forma $r\sin (x+\phi )$ și află pentru ce valori ale lui $x$ ea își atinge maximul.

16. Câte soluții are ecuația $4\sin x-3\cos x=1$ în intervalul $[0,2\pi )$?

17. Determină valorile reale ale lui $a$ pentru care ecuația $a\sin x+\cos x=2$ are soluții.

18. (Provocare.) Rezolvă în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=1$.

Răspunsuri și explicații

1. a) $r=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$, iar $34<36$, deci $r<6$: nu are soluții. b) $r=\sqrt{5}$, iar $4\le 5$: are soluții. c) $r=\sqrt{64+225}=17$: are soluții, o singură familie.

2. $r=\sqrt{36+64}=10$, deci maximul este $10$, iar minimul este $-10$.

3. $r=2$, $\phi =\frac{\pi }{6}$: $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=1$, deci $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ și $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$.

4. Cu $u=\cos x$ și $v=\sin x$: $u+v=-1$ și $u^2+v^2=1$ dau $2uv=(u+v{)}^2-(u^2+v^2)=0$, deci $uv=0$. Fie $u=-1$, $v=0$, punctul $(-1,0)$, adică $x=\pi +2k\pi$, fie $u=0$, $v=-1$, punctul $(0,-1)$, adică $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$.

5. $r=2$, $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $\phi =-\frac{\pi }{3}$: $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Rezultă $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ sau $x-\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$, adică $x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi$ sau $x=\pi +2k\pi$.

6. Ordonezi și înmulțești cu $-1$: $\sqrt{3}\sin x-\cos x=-1$, cu $r=2$, $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =-\frac{1}{2}$, deci $\phi =-\frac{\pi }{6}$ și $\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$. Rezultă $x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ sau $x-\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, adică $x=2k\pi$ sau $x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$.

7. $r=2$, $\phi =\frac{\pi }{4}$: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci $x=\frac{\pi }{12}+2k\pi$ sau $x=\frac{5\pi }{12}+2k\pi$.

8. Adevărat. $r=2\sqrt{2}$, iar $9>8$, deci $3>2\sqrt{2}$ și condiția de existență nu e îndeplinită.

9. $r=\sqrt{5+4}=3$, deci ecuația are soluții exact pentru $m\in [-3,3]$.

10. Proba în ecuația inițială: pentru $\frac{\pi }{2}$, $1-0=1\ne -1$; pentru $\pi$, $0-(-1)=1\ne -1$. Acestea sunt false, venite din ecuația $\sin x-\cos x=1$. Rămân $0$ și $\frac{3\pi }{2}$, adică $x=2k\pi$ sau $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$.

11. $r=2$, $\phi =\frac{\pi }{3}$: $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$, deci $x+\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$ sau $\frac{11\pi }{6}+2k\pi$. În $[0,2\pi )$: $x=\frac{5\pi }{6}$ și $x=\frac{3\pi }{2}$.

12. Amplitudinea este $r=\sqrt{64+36}=10$ cm. $y(t)=10\sin (t+\phi )$, cu $\phi =\mathrm{arctg}\frac{6}{8}=\mathrm{arctg}\frac{3}{4}$. Maximul e atins prima dată când $t+\phi =\frac{\pi }{2}$, deci $t=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arctg}\frac{3}{4}=\mathrm{arctg}\frac{4}{3}\approx 0,93$.

13. $r=2$, $\phi =\frac{\pi }{6}$: $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=-1$, deci $x+\frac{\pi }{6}=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$ și $x=\frac{4\pi }{3}+2k\pi$.

14. $r=2\sqrt{2}$, $\frac{c}{r}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\phi =-\frac{\pi }{4}$: $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Rezultă $x=\frac{7\pi }{12}+2k\pi$ sau $x=\frac{11\pi }{12}+2k\pi$.

15. $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Maximul, $\sqrt{2}$, e atins când $x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, adică $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$.

16. $r=5$ și $\frac{c}{r}=\frac{1}{5}$, un număr strict între $-1$ și $1$. Ecuația $\sin (x+\phi )=\frac{1}{5}$ are două soluții în fiecare tură, deci ecuația are $2$ soluții în $[0,2\pi )$.

17. Condiția este $a^2+1\ge 4$, adică $a^2\ge 3$, deci $a\in \left(-\infty ,-\sqrt{3}\right]\cup \left[\sqrt{3},+\infty \right)$.

18. Cu $t=2x$: $r=2$, $\phi =\frac{\pi }{6}$, $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$. Atunci $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2k\pi$, deci $x=k\pi$, sau $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$, deci $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$. Observă că perioada familiilor devine $\pi$, pentru că necunoscuta e $2x$.

De reținut

• $a\sin x+b\cos x=r\sin (x+\phi )$, cu $r=\sqrt{a^2+b^2}$, $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$.
• Ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ are soluții exact când $c^2\le a^2+b^2$; dacă $|c|=r$, soluțiile formează o singură familie.
• Valoarea maximă a expresiei $a\sin x+b\cos x$ este $\sqrt{a^2+b^2}$, iar cea minimă este $-\sqrt{a^2+b^2}$.
• Pentru $a>0$, unghiul ajutător e $\phi =\mathrm{arctg}\frac{b}{a}$; pentru $a<0$, înmulțești întâi ecuația cu $-1$.
• Metoda unghiului ajutător lucrează prin echivalențe; ridicarea la pătrat poate adăuga soluții false și cere probă.

Greșeli frecvente

• Condiția de existență uitată. Se caută soluții pentru $3\sin x+2\cos x=4$. Corect: $\sqrt{13}<4$, deci nu există soluții.
• Împărțirea doar a membrului stâng. Se scrie $\sin (x+\phi )=c$ în loc de $\frac{c}{r}$. Corect: împarți toată ecuația la $r$.
• Cosinusul și sinusul inversate. Se ia $\cos \phi =\frac{b}{r}$. Corect: coeficientul lui $\sin x$, adică $a$, dă cosinusul unghiului ajutător, după formula sinusului sumei.
• Soluții false după ridicarea la pătrat. Se păstrează toate valorile obținute. Corect: proba în ecuația inițială elimină familiile străine.
• Perioada greșită la argument dublu. La $\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=\sqrt{3}$ se scrie $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$. Corect: după împărțirea la $2$, termenul periodic devine $k\pi$: $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

Aplică acasă

1. Două oscilații. Cu un program de grafice sau pe hârtie milimetrică, desenează pe același sistem de axe $y=20\sin t$, $y=21\cos t$ și suma lor, cu o unitate potrivită pe axa verticală. Măsoară pe grafic înălțimea maximă a sumei și compar-o cu $29$. Marchează și locul primului maxim. Repetă desenul pentru $y=20\sin t-21\cos t$: amplitudinea rămâne $29$, dar maximul se mută. Explică de ce semnul unui coeficient schimbă faza, dar nu și amplitudinea.

2. Ecuații inventate. Alege trei perechi de numere $(a,b)$ pentru care $\sqrt{a^2+b^2}$ e număr întreg, de exemplu $(3,4)$, $(5,12)$ și $(8,15)$. Pentru fiecare, scrie o ecuație cu soluții și una fără soluții, apoi dă-le unui coleg să le claseze fără să le rezolve.

3. Robotul de pe cerc. Un robot se mișcă pe un cerc de rază $1$ cu centrul în originea unui sistem de axe $Ouv$. Un senzor detectează robotul doar când acesta trece printr-o anumită dreaptă, de pildă $v-u=1$. Desenează cercul și dreapta, găsește punctele de intersecție și explică de ce, pentru dreapta $u+v=2$, senzorul nu îl detectează niciodată.

Pentru părinți și profesori

Lecția tratează cazul general al ecuației $a\sin x+b\cos x=c$, care la profilul științe ale naturii avea până acum doar cazul $c=0$. Am ales metoda unghiului ajutător ca metodă principală, scrisă în cinci pași, și am adăugat interpretarea prin dreaptă și cerc, care explică vizual condiția de existență. Metoda substituției cu tangenta jumătății de unghi nu e folosită: cere grijă la valorile $x=\pi +2k\pi$ și nu aduce nimic în plus la acest nivel. Pentru comparație și pentru exerciții de nivel ridicat, vezi lecția despre ecuațiile trigonometrice reductibile, de la mate-info (M1), secțiunea despre metoda unghiului auxiliar.

Ordinea secțiunilor e gândită pentru elevul de la științe ale naturii: întâi motivul pentru care metodele cunoscute nu ajung, apoi o singură idee nouă, contopirea într-un sinus, și abia apoi condiția de existență și cazurile mai incomode. Interpretarea cu dreapta și cercul e utilă mai ales pentru elevii care învață vizual și leagă trigonometria de geometria analitică din clasa a IX-a. Exemplul cu mareea și problema cu oscilația unui corp pot fi discutate împreună cu profesorii de geografie și de fizică.

De urmărit în caiet: $r$ calculat, condiția scrisă explicit, unghiul ajutător ales cu cosinusul din coeficientul lui $\sin x$ și proba pe câte un reprezentant din fiecare familie. Întrebări bune de control: „Cât de mare poate fi $20\sin x+21\cos x$?”, „De ce nu e maximul sumei egal cu suma maximelor?”, „Ce se întâmplă dacă dreapta $av+bu=c$ e tangentă la cerc?”.

Programa și examenul. Programa școlară în vigoare la clasa a X-a în anul școlar 2026–2027 (OMEC 4598/2004, varianta de 4 ore, aplicată la științe ale naturii) numește, printre ecuațiile trigonometrice, „$a\sin x+b\cos x=c$, unde $a$, $b$, $c$ nu sunt simultan nule”. Programa de examen a bacalaureatului M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) enumeră ecuațiile trigonometrice până la $\mathrm{ctg}f(x)=\mathrm{ctg}g(x)$ și nu numește această formă, deși are, la materia clasei a IX-a, formulele sinusului și cosinusului sumei. De aceea lecția nu are exerciții marcate pentru bacalaureat. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28) și programa probei MAT_P2 din 2030 vorbesc doar despre „ecuații trigonometrice”, fără să numească această formă și fără formulele de adunare.

Întrebări frecvente

Ce pași urmezi când rezolvi a sin x + b cos x = c?

Prin metoda unghiului ajutător. Calculezi $r=\sqrt{a^2+b^2}$, verifici că $|c|\le r$, împarți ecuația la $r$ și alegi unghiul $\phi$ cu $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$. Ecuația devine $\sin (x+\phi )=\frac{c}{r}$, o ecuație elementară, din care scazi apoi $\phi$ ca să afli $x$.

Când are soluții o ecuație de tipul a sin x + b cos x = c?

Exact când $c^2\le a^2+b^2$. Motivul este că expresia $a\sin x+b\cos x$ se scrie $r\sin (x+\phi )$, cu $r=\sqrt{a^2+b^2}$, deci ia numai valori între $-r$ și $r$. De exemplu, $3\sin x+2\cos x=4$ nu are soluții, pentru că $\sqrt{13}<4$.

Cât de mare poate deveni suma a sin x + b cos x?

Este $\sqrt{a^2+b^2}$, iar valoarea minimă este $-\sqrt{a^2+b^2}$. De exemplu, $9\sin x+12\cos x$ ia valori între $-15$ și $15$. Maximul nu este $|a|+|b|$, pentru că sinusul și cosinusul nu ating valoarea $1$ în același punct.

Pot rezolva ecuația ridicând la pătrat?

Poți, dar ridicarea la pătrat poate adăuga soluții false, așa că proba în ecuația inițială devine obligatorie. De exemplu, la $-\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$, scrisă $\sqrt{3}\cos x=1+\sin x$ și ridicată la pătrat, apare și valoarea $\frac{5\pi }{6}$, care nu verifică. Metoda unghiului ajutător lucrează prin echivalențe și nu are această problemă.

Apare forma a sin x + b cos x = c la bacalaureatul M2?

Programa de examen M2 pentru sesiunile 2027–2029 nu numește această formă: ecuațiile trigonometrice enumerate acolo se opresc la egalitățile de tipul $\mathrm{ctg}f(x)=\mathrm{ctg}g(x)$. Formulele sinusului și cosinusului sumei, pe care se sprijină metoda, sunt însă în programa de examen. Ecuația este în programa școlară de 4 ore a clasei a X-a.

Prin ce diferă lecția aceasta de ecuațiile reductibile de la mate-info (M1)?

La mate-info, ecuația $a\sin x+b\cos x=c$ este o secțiune dintr-o lecție mai largă despre ecuații reductibile, cu exerciții de nivel ridicat. Lecția M2 îi dedică o pagină întreagă, cu metoda în cinci pași, condiția de existență, unghiuri care nu sunt de tabel, interpretarea prin dreaptă și cerc și aplicații din fizică.

Ce legătură are unghiul ajutător cu numerele complexe?

Numărul $r=\sqrt{a^2+b^2}$ este modulul numărului complex $a+bi$, iar unghiul ajutător $\phi$ este un argument al lui. Altfel spus, a găsi unghiul ajutător înseamnă a scrie $a+bi$ în formă trigonometrică, $r(\cos \phi +i\sin \phi )$. Pentru ecuație, unghiul nu trebuie să fie argumentul redus.