Într-o tâmplărie, planul a două comenzi duce la ecuația $$2X \cdot A = B$$, cu $$A = \begin{pmatrix} 13 & 5 \\ 8 & 3 \end{pmatrix}$$ și $$B = \begin{pmatrix} 190 & 72 \\ 162 & 62 \end{pmatrix}$$. Care este $$X$$?

$$\begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 6 & 14 \\ 10 & 4 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 12 & 28 \\ 20 & 8 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 120 & 47 \\ -293 & -115 \end{pmatrix}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Dimensiuni și partea inversei

Cum aflu din dimensiuni pe ce parte pun inversa?

Scrii dimensiunile fiecărui factor și păstrezi produsul care există. Dacă $X A = B$ , cu $A$ de $3 \times 3$ și $B$ de $5 \times 3$ , produsul $B \cdot A^{- 1}$ se poate efectua, fiindcă $B$ are 3 coloane, iar $A^{- 1}$ are 3 linii. Produsul $A^{- 1} \cdot B$ nu există: $A^{- 1}$ are 3 coloane, dar $B$ are 5 linii. Deci $X = B A^{- 1}$ , de dimensiune $5 \times 3$ , ca $B$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

O ecuație matriceală are drept necunoscută o matrice întreagă, de pildă $A X = B$ sau $X A = B$ . Matricele nu se împart, dar se pot înmulți cu inversa, dacă matricea cunoscută este pătratică și are $det \neq = 0$ . Fiindcă produsul de matrice depinde de ordine, tot ce contează este partea pe care așezi inversa.

Regula este una singură: inversa se pune pe aceeași parte cu matricea cunoscută, la ambii membri, ca să se întâlnească cu ea. Dacă matricea cunoscută stă înaintea lui $X$ , ai $X = A^{- 1} B$ ; dacă stă după $X$ , ai $X = B A^{- 1}$ ; dacă $X$ este închis între două matrice, pui câte o inversă pe fiecare parte. Un număr din fața lui $X$ trece în dreapta ca fracție. Dimensiunile confirmă alegerea, fiindcă numai unul dintre cele două produse poate fi efectuat.

Când $X$ apare în doi termeni, scrii primul termen ca $X \cdot I_{n}$ și scoți $X$ factor, pentru că un simplu 1 nu poate fi adunat la o matrice. Termenii fără $X$ trec în membrul drept. Apoi verifici determinantul matricei care a rămas lângă $X$ și continui ca mai sus.

La final pui soluția în ecuația de la început, cu factorii în aceeași ordine, și controlezi dimensiunile. Dacă la un număr de piese ies valori fracționare sau negative, de obicei inversa a ajuns pe partea greșită.

De reținut

inversa se așază lângă matricea cunoscută, identic în ambii membri ai ecuației
dimensiunile arată care dintre cele două produse poate fi efectuat
$X$ în doi termeni: $X + X S = X (I_{n} + S)$ , iar inversa este a sumei

Greșeala tipică

Se pune inversa pe partea greșită și se uită să se verifice dimensiunile: pentru $X A = B$ cu $B$ de $5 \times 3$ , scrierea $A^{- 1} B$ cere ca 3 să fie egal cu 5, deci produsul nu există.

Exerciții din această mini-lecție

O fermă planifică hrănirea a 4 loturi de animale cu 2 sortimente de furaj. Matricea necunoscută $X$ are 4 linii și 2 coloane și verifică $X \cdot A = B$ , unde $A$ este pătratică de ordin 2, cu $det A \neq = 0$ , iar $B$ are tot 4 linii și 2 coloane. Care este soluția?
- a) $X = A^{- 1} \cdot B$
- b) $X = A \cdot B^{- 1}$
- c) $X = B \cdot A^{- 1}$
- d) $X = \frac{B}{A}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $X = B \cdot A^{- 1}$

Necunoscuta stă înaintea lui $A$ , deci inversa se pune în dreapta: $X = B \cdot A^{- 1}$ , produs dintre o matrice $4 \times 2$ și una $2 \times 2$ , care există și dă o matrice $4 \times 2$ , ca $X$ . Varianta a) cere produsul dintre $2 \times 2$ și $4 \times 2$ , care nu se poate efectua. Varianta b) cere $B^{- 1}$ , dar $B$ nu este pătratică. Varianta d) împarte la o matrice, operație care nu există.
La un calcul de consumuri dintr-un service se ajunge la ecuația $X \cdot A = B$ , cu $B = (6755181148)$ . Se știe că $A^{- 1} = (19 - 7 - 8 3)$ . Cât este elementul de pe linia 2, coloana 1 al lui $X$ ?
- a) $9$
- b) $- 304$
- c) $1201$
- d) $- 139$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $9$

Nu mai calculezi inversa, ți-o dă enunțul. Din $X \cdot A = B$ rezultă $X = B \cdot A^{- 1}$ , iar elementul cerut este linia 2 a lui $B$ , $(55; 148)$ , înmulțită cu coloana 1 a lui $A^{- 1}$ , $(19; - 7)$ : $1045 - 1036 = 9$ . Varianta $- 304$ face produsul $A^{- 1} \cdot B$ , în ordine inversă. Varianta $1201$ înmulțește cu $A = (37819)$ în loc de inversă. Varianta $- 139$ folosește transpusa inversei.
Într-o tâmplărie, planul a două comenzi duce la ecuația $2 X \cdot A = B$ , cu $A = (13853)$ și $B = (1901627262)$ . Care este $X$ ?
- a) $(610144)$
- b) $(1220288)$
- c) $(120 - 293 47 - 115)$
- d) $(3572)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $(3572)$

Factorul 2 trece în dreapta ca $\frac{1}{2}$ , iar necunoscuta stă înaintea lui $A$ , deci $X = \frac{1}{2} B \cdot A^{- 1}$ . Cu $det A = - 1$ și $A^{- 1} = (- 3 8 5 - 13)$ , produsul $B \cdot A^{- 1}$ este varianta a), iar jumătatea lui este răspunsul. Varianta a) uită factorul 2. Varianta b) îl înmulțește în loc să împartă. Varianta c) pune inversa în stânga, $\frac{1}{2} A^{- 1} \cdot B$ .

Întrebări conexe

Cum scriu ecuația când tabelul are utilajele pe linii?

Transpui tot: din $X A = B$ rezultă $A^{T} X^{T} = B^{T}$ , deci inversa lui $A^{T}$ trece în stânga. Pentru $A = (191665)$ și $B = (2772908791)$ , ecuația $A^{T} Y = B^{T}$ dă $Y = (A^{T})^{- 1} B^{T} = (79611)$ , adică transpusa lui $X = (76911)$ .

Ce fac cu un număr din fața lui X?

Îl treci în membrul drept ca fracție, fără să schimbi ordinea matricelor. Pentru $2 X \cdot A = B$ , cu $A = (151143)$ și $B = (2543586896)$ , ai $X = \frac{1}{2} B A^{- 1}$ . Cum $det A = 1$ , $B A^{- 1} = (141848)$ , deci $X = (7924)$ .

Cum aflu un singur element al lui X?

Nu rezolvi toată ecuația: la $X = B A^{- 1}$ , elementul de pe linia $i$ , coloana $j$ este linia $i$ a lui $B$ înmulțită cu coloana $j$ a lui $A^{- 1}$ . Pentru $A = (18572)$ și $B = (1741826871)$ , linia 1 a lui $B$ cu coloana 2 a inversei $(2 - 5 - 7 18)$ dă $174 \cdot (- 7) + 68 \cdot 18 = 6$ .

Când înmulțesc cu factorul 1/det: la început sau la sfârșit?

La sfârșit. Întâi înmulțești matricele cu numere întregi, apoi împarți rezultatul la determinant. Pentru $A = (151186)$ , cu $det A = 2$ , și $B = (18917510294)$ , produsul $B \cdot (6 - 11 - 8 15) = (12161810)$ , iar jumătatea lui este $X = (6895)$ .

Cum rezolv AX = B când A este diagonală?

Inversa unei matrice diagonale are pe diagonală inversele numerelor, deci la $A X = B$ împarți fiecare linie a lui $B$ la numărul de pe linia ei. Pentru $A = (4005)$ și $B = (1215835)$ obții $X = (3327)$ . La $X A = B$ împarți coloanele, nu liniile.

Oamenii mai întreabă și: pe ce parte pun inversa · inversa la stânga sau la dreapta · dimensiunile unui produs de matrice · ordinea factorilor la ecuații cu matrice