Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic

Un atelier mecanic împarte pe săptămâni orele de mașină rezervate de un client, iar loturile ies dintr-o ecuație în care necunoscuta este o matrice întreagă. Elevul de la tehnologic întâlnește asemenea ecuații în clasa a XI-a și le rezolvă cu inversa, dar întâi alege partea pe care o pune, fiindcă produsul de matrice depinde de ordinea factorilor. Dintre probele oficiale 2013–2026 ale Bacalaureatului M3 (M_tehnologic), 15 din cele 83 conțin o ecuație matriceală.

Situația de pornire

Un atelier de prelucrări mecanice din Reșița execută pentru un client două repere, roata dințată și flanșa, pe strungurile și pe freza atelierului. Fișa tehnologică dă orele de lucru pe lot. Clientul a rezervat pentru fiecare săptămână un număr de ore de mașină, pe care le plătește oricum, iar planificatorul trebuie să-i spună câte loturi din fiecare reper ies exact din aceste ore; piesele se lucrează numai în loturi întregi.

Întrebare: câte loturi din fiecare reper ies în fiecare săptămână și pe ce parte a matricei orelor pui inversa?

De la situație la model

Orele pe lot formează matricea $P$, cu reperul pe linie și utilajul pe coloană. Loturile dintr-o săptămână formează o linie cu două numere, iar cele trei săptămâni formează matricea $X$, cu trei linii. Dicționarul traduce situația.

Ce este o ecuație matriceală?

O ecuație matriceală este o egalitate în care necunoscuta este o matrice, ca $X\cdot P=B$ din atelier. Seamănă cu o ecuație de gradul I, numai că matricele nu se împart: se înmulțește cu inversa matricei cunoscute, iar ea există numai când determinantul este nenul, ca în inversa 2×2.

De ce contează partea pe care înmulțești?

Produsul a două matrice se poate schimba dacă inversezi ordinea factorilor, așa cum arată înmulțirea matricelor. De aceea înmulțești ambii membri cu inversa, pe aceeași parte, astfel încât $A^{-1}$ să se întâlnească cu $A$:

$$A^{-1}(AX)=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B,(XA)A^{-1}=B{A}^{-1}\Rightarrow X=B{A}^{-1}$$

În atelier, $B$ are trei linii și două coloane, iar $P^{-1}$ are două linii și două coloane: produsul $B\cdot P^{-1}$ există, dar $P^{-1}\cdot B$ nu există.

Ce faci când tabelul are utilajele pe linii?

Dacă planul se ține răsturnat, cu utilajele pe linii și săptămânile pe coloane, matricele se transpun: orele pe lot devin $A=P^T$, iar necunoscuta $Y=X^T$ stă acum în dreapta lui $A$. Ecuația este $A\cdot Y=B^T$, deci inversa trece în stânga. Planul este același, scris pe coloane, iar loturile nu se schimbă.

Ce faci când necunoscuta apare în doi termeni?

La $X+X\cdot S=T$ nu poți scrie $X(1+S)$, fiindcă numărul 1 nu se adună cu o matrice. Scrii primul termen $X=X\cdot I_2$ și obții $X(I_2+S)=T$, o ecuație cu necunoscuta pe o singură parte.

Ce faci când necunoscuta este o coloană?

Dacă $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ și $A$ are ordin 3, ecuația $A\cdot X=b$ este sistemul celor trei ecuații scrise pe scurt. Îl rezolvi direct sau cu $X=A^{-1}b$, unde inversa se află ca în inversa 3×3 în patru pași.

Metoda pas cu pas

1. Adu ecuația la una dintre formele $AX=B$, $XA=B$ sau $AXC=B$. Dacă $X$ apare în doi termeni, scrie $X=X\cdot I_n$ și scoate-l factor; termenii fără $X$ trec în membrul drept. Un număr din fața lui $X$, ca în $2X$, trece de cealaltă parte ca fracție.
2. Verifică dimensiunile și calculează determinantul fiecărei matrice cu care vei înmulți. Dacă unul este 0, matricea nu are inversă și formulele de mai jos nu se aplică. Dimensiunile îți spun și ce produs are sens: dacă $B$ are trei linii, doar $B\cdot P^{-1}$ există.
3. Alege partea cu tabelul de mai jos: inversa se pune pe partea unde stă matricea cunoscută, la ambii membri, astfel încât $A^{-1}$ să se întâlnească cu $A$.
4. Calculează produsul în ordinea scrisă. Păstrează factorul $\frac{1}{\det A}$ în față și înmulțește mai întâi matricele întregi; la ordinul 3 folosești adjuncta.
5. Verifică: înlocuiește $X$ în ecuația inițială, cu factorii în aceeași ordine, și controlează dimensiunile și semnele rezultatului.

Fișa de buzunar

$$AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B,XA=B\Rightarrow X=B{A}^{-1},AXC=B\Rightarrow X=A^{-1}B{C}^{-1}$$

$$A^{-1}A=A{A}^{-1}=I_n$$

Se aplică numai când matricele cu care înmulțești sunt pătratice, cu determinant nenul, iar dimensiunile se potrivesc. Factorii se înmulțesc mereu în ordinea scrisă, fără să fie mutați. Verificare rapidă: după ce ai găsit $X$, înmulțește-l cu matricea cunoscută pe aceeași parte și trebuie să regăsești membrul drept.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Loturile atelierului: tabelul în două feluri

Domeniu: mecanica.

Enunț. Reia atelierul din situație. a) Află matricea $X$ a loturilor din $X\cdot P=B$. b) Scrie același plan cu utilajele pe linii și arată că inversa trece în stânga.

Rezolvare. a) $\det P=11\cdot 3-4\cdot 9=-3$, deci $P^{-1}$ există. Necunoscuta stă în stânga lui $P$, așa că inversa se pune în dreapta: $X=B\cdot P^{-1}$, cu $P^{-1}=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ -9& 11\end{array}\right)$. Fiecare linie a lui $B$ se înmulțește cu aceeași matrice întreagă, apoi totul se împarte la $-3$:

$$X=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-21& -24\\ -12& -33\\ -18& -27\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 4& 11\\ 6& 9\end{array}\right)$$

Planificatorul îi spune clientului: 7 loturi de roți dințate și 8 de flanșe în săptămâna 1, 4 și 11 în săptămâna 2, 6 și 9 în săptămâna 3.

b) Cu utilajele pe linii, $A=P^T$, iar necunoscuta $Y=X^T$ stă acum în dreapta lui $A$, deci $Y=A^{-1}\cdot B^T$. Prima coloană a lui $Y$ iese $(7;8)$, adică prima linie a lui $X$ scrisă pe coloană, iar celelalte coloane se calculează la fel. Planul este același, doar inversa a trecut din dreapta în stânga.

Capcană. Cine pune inversa în stânga scrie $P^{-1}\cdot B$, un produs dintre o matrice $2\times 2$ și una $3\times 2$, care nu există. Pe primele două săptămâni, unde $B$ are două linii, produsul există, dar dă pe prima linie $\frac{125}{3}$ și $\frac{40}{3}$ în loc de 7 și 8, adică loturi fracționare.

Verificare. Pentru săptămâna 1, $7\cdot 11+8\cdot 9=149$ ore la strung și $7\cdot 4+8\cdot 3=52$ ore la freză, exact ca în tabel.

Exemplul 2 — Șarjele a două secții: necunoscuta în stânga

Domeniu: chimie.

Enunț. O fabrică de chimicale prepară, în două secții, soluțiile S1 și S2 din reactivii R1 și R2. O șarjă de S1 consumă 7 kg de R1 și 8 kg de R2, iar o șarjă de S2 consumă 17 kg de R1 și 19 kg de R2. Matricea consumurilor este $A=\left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 17& 19\end{array}\right)$, cu soluția pe linie. Cele două secții au consumat într-o lună $B=\left(\begin{array}{cc}107& 121\\ 319& 359\end{array}\right)$ kg, cu secția pe linie și reactivul pe coloană. Află matricea $X$ a șarjelor, cu secția pe linie și soluția pe coloană, din $X\cdot A=B$.

Rezolvare. $\det A=7\cdot 19-8\cdot 17=133-136=-3$. Necunoscuta stă în stânga lui $A$, deci inversa se pune în dreapta: $X=B\cdot A^{-1}$, cu $A^{-1}=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}19& -8\\ -17& 7\end{array}\right)$. Atunci

$$X=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}107& 121\\ 319& 359\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}19& -8\\ -17& 7\end{array}\right)=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-24& -9\\ -42& -39\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 14& 13\end{array}\right)$$

Prima secție a făcut 8 șarje de S1 și 3 de S2, iar a doua 14 și 13. Rezultatul are numai numere întregi și pozitive, cum se cuvine la șarje numărate.

Capcană. Cine scrie $A^{-1}\cdot B$, din obișnuința ecuației $A\cdot X=B$, obține $\left(\begin{array}{cc}173& 191\\ -138& -152\end{array}\right)$. Matricea are șarje negative, deci nu poate fi un raport de producție, și nu verifică ecuația $X\cdot A=B$: aici inversa trebuie să stea în dreapta.

Verificare. Pentru prima secție, $8\cdot 7+3\cdot 17=107$ kg de R1 și $8\cdot 8+3\cdot 19=121$ kg de R2. Rezultatul coincide cu prima linie a lui $B$, deci șarjele refac consumul declarat de prima secție.

Exemplul 3 — Vânzări și produse gratuite: necunoscuta în doi termeni

Domeniu: comert.

Enunț. Două magazine ale unei ceainării vând ceai la pachet și miere la borcan, cu o promoție: la fiecare 4 pachete de ceai vândute, clientul primește gratuit încă un pachet de ceai și un borcan de miere, iar la fiecare 6 borcane de miere vândute, încă un borcan de miere și un pachet de ceai. Transformată pe bucata vândută, promoția dă matricea $S=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{6}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$, cu produsul vândut pe linie. Gestiunea arată ieșirile din stoc, vândute și gratuite, $T=\left(\begin{array}{cc}72& 62\\ 66& 88\end{array}\right)$ bucăți, cu magazinul pe linie și ceaiul pe prima coloană. Află vânzările $X$ din $X+X\cdot S=T$, ca să le compari cu casa de marcat.

Rezolvare. Scrii $X+X\cdot S=X(I_2+S)$, cu $I_2+S=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{6}& \frac{7}{6}\end{array}\right)$ și $\det (I_2+S)=\frac{35}{24}-\frac{1}{24}=\frac{17}{12}$. Necunoscuta stă în stânga, deci $X=T\cdot (I_2+S{)}^{-1}$, cu $(I_2+S{)}^{-1}=\frac{12}{17}\left(\begin{array}{cc}\frac{7}{6}& -\frac{1}{4}\\ -\frac{1}{6}& \frac{5}{4}\end{array}\right)=\frac{1}{17}\left(\begin{array}{cc}14& -3\\ -2& 15\end{array}\right)$:

$$X=\frac{1}{17}\left(\begin{array}{cc}72& 62\\ 66& 88\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}14& -3\\ -2& 15\end{array}\right)=\frac{1}{17}\left(\begin{array}{cc}884& 714\\ 748& 1122\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}52& 42\\ 44& 66\end{array}\right)$$

Primul magazin a vândut 52 de pachete de ceai și 42 de borcane de miere, iar al doilea 44 și 66.

Capcană. Cine pune inversa în stânga, $(I_2+S{)}^{-1}\cdot T$, obține pe prima linie $\frac{810}{17}$ și $\frac{604}{17}$, adică pachete fracționare: rezultatul nu poate fi o vânzare și nu verifică ecuația, fiindcă aici necunoscuta stă în stânga lui $I_2+S$.

Verificare. Pe promoție: primul magazin a dat gratuit $52:4+42:6=13+7=20$ de pachete de ceai și tot 20 de borcane de miere; $52+20=72$ și $42+20=62$, prima linie a lui $T$.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: o ecuație cu matrice de parametru

Domeniu: constructii.

Enunț. Enunțul urmează modelul cerințelor din probe, cu alte numere: „Fie $A(m)=\left(\begin{array}{cc}2m+4& 2\\ 11& 3m+1\end{array}\right)$, cu $m\in \mathbb{R}$. a) Calculați $\det A(1)$. b) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A(1)\cdot X=A(4)$.”

Rezolvare. a) $A(1)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 11& 4\end{array}\right)$ și $\det A(1)=6\cdot 4-2\cdot 11=2$. b) Necunoscuta stă în dreapta lui $A(1)$, deci inversa se pune în stânga: $X=A(1{)}^{-1}\cdot A(4)$, cu $A(4)=\left(\begin{array}{cc}12& 2\\ 11& 13\end{array}\right)$ și $A(1{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -11& 6\end{array}\right)$:

$$X=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}4& -2\\ -11& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}12& 2\\ 11& 13\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}26& -18\\ -66& 56\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}13& -9\\ -33& 28\end{array}\right)$$

Capcană. Cine pune inversa pe partea greșită, $A(4)\cdot A(1{)}^{-1}$, obține $\left(\begin{array}{cc}13& -6\\ -\frac{99}{2}& 28\end{array}\right)$. Pe poziția $(1,1)$, produsul lui $A(1)$ cu această matrice este $6\cdot 13+2\cdot \left(-\frac{99}{2}\right)=-21$, nu $12$.

Verificare. Prima linie a lui $A(1)\cdot X$ este $6\cdot 13+2\cdot (-33)=12$ și $6\cdot (-9)+2\cdot 28=2$, adică prima linie a lui $A(4)$.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pentru fiecare ecuație, în care matricele cunoscute sunt inversabile, spune pe ce parte pui inversa și cum arată $X$: a) $A\cdot X=B$; b) $X\cdot A=B$; c) $A\cdot X\cdot C=B$; d) $2X\cdot A=B$.

2. Rezolvă ecuația $A\cdot X=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 16& 14\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}124& 123\\ 288& 286\end{array}\right)$.

3. Rezolvă ecuația $X\cdot A=B$, unde $A=\left(\begin{array}{cc}7& 3\\ 13& 6\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}171& 78\\ 354& 159\end{array}\right)$.

4. Pentru care dintre matricele a) $\left(\begin{array}{cc}11& 13\\ 22& 26\end{array}\right)$, b) $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 12& 7\end{array}\right)$, c) $\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 19& 0\end{array}\right)$, luată drept $A$, se poate rezolva ecuația $A\cdot X=B$ prin $X=A^{-1}\cdot B$?

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) Un atelier de automatizări asamblează trei tipuri de tablouri electrice. Un tablou din fiecare tip conține siguranțe automate, relee și blocuri de borne, după matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}8& 4& 4\\ 11& 7& 2\\ 9& 4& 6\end{array}\right)$, cu componenta pe linie și tabloul pe coloană. Într-o lună s-au montat 264 de siguranțe, 323 de relee și 316 blocuri de borne. Câte tablouri din fiecare tip s-au asamblat?

6. (Problemă aplicată.) Bucătăria unui restaurant de hotel pregătește pentru grupuri două meniuri: un meniu standard cere 19 zeci de grame de carne și 17 zeci de grame de legume, iar un meniu pentru copii 8 și 7 zeci de grame. Matricea este $A=\left(\begin{array}{cc}19& 17\\ 8& 7\end{array}\right)$, cu meniul pe linie. Pentru raportul de gestiune, bucătarul-șef știe că s-au consumat într-o zi 408 zeci de grame de carne și 363 de legume. Scrie ecuația cu necunoscuta $X=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$ și află câte meniuri din fiecare fel s-au servit.

7. (Problemă aplicată.) Un atelier planifică 4 luni, 3 utilaje și 3 repere. Scrie ecuația și spune pe ce parte pui inversa: a) lunile sunt în coloanele lui $X$ și $B$, iar $A$ are utilajul pe linie; b) același plan, cu lunile pe linii, deci $B^{\prime }$ are 4 linii și 3 coloane; c) totalul livrat $T$ este comanda $X$ plus piesele de schimb $X\cdot S$.

8. (Problemă aplicată.) La o fabrică de vopsea, un lot de vopsea lavabilă consumă $k$ kg de dioxid de titan și 6 zeci de kilograme de liant, iar un lot de email 12 kg de dioxid de titan și 3 zeci de kilograme de liant; cantitatea $k$ o alege tehnologul. Matricea este $A(k)=\left(\begin{array}{cc}k& 12\\ 6& 3\end{array}\right)$, cu materia primă pe linie și vopseaua pe coloană. Loturile din două săptămâni formează coloanele lui $X$, iar consumurile coloanele lui $B$, cu $A(k)\cdot X=B$. a) Pentru ce valoare a lui $k$ consumurile nu mai spun câte loturi s-au făcut din fiecare vopsea? b) Pentru $k=26$ și $B=\left(\begin{array}{cc}102& 352\\ 24& 84\end{array}\right)$, află $X$.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 7& 11\\ 0& 2& 6\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$. Rezolvați ecuația matriceală $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}119\\ 58\\ 9\end{array}\right)$, unde $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{cc}2m+2& 3\\ 11& m+8\end{array}\right)$. Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X\cdot A(1)=A(3)$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}22& 8\\ 13& 37\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}19& 1\\ 2& 19\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A\cdot X-B\cdot X=I_2-X$.

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 11\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}49& 139\\ 186& 528\end{array}\right)$. Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $A\cdot X\cdot A=B$.

Răspunsuri și verificări

1. Inversa merge pe partea pe care stă matricea cunoscută: a) $X=A^{-1}B$; b) $X=B{A}^{-1}$; c) $X=A^{-1}B{C}^{-1}$; d) factorul 2 trece de cealaltă parte ca $\frac{1}{2}$, deci $X=\frac{1}{2}B{A}^{-1}$. Verificare: în fiecare caz, $X$ înmulțit cu matricea cunoscută, pe aceeași parte, dă $B$.

2. $\det A=7\cdot 14-6\cdot 16=2$, iar $X=A^{-1}B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}14& -6\\ -16& 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}124& 123\\ 288& 286\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 16& 17\end{array}\right)$. Verificare: $7\cdot 4+6\cdot 16=124$, primul element al lui $B$.

3. $\det A=7\cdot 6-3\cdot 13=3$, iar $X=B{A}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}171& 78\\ 354& 159\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ -13& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 11\\ 19& 17\end{array}\right)$. Verificare: $4\cdot 7+11\cdot 13=171$, primul element al lui $B$.

4. Numai b). La a) a doua linie este dublul primei, iar la c) a doua coloană este nulă, deci $\det =0$ în ambele cazuri. La b) $\det =4\cdot 7-2\cdot 12=4$. Verificare: la a), $22:11=26:13=2$.

5. $\det A=4$ și $A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}34& -8& -20\\ -48& 12& 28\\ -19& 4& 12\end{array}\right)$. Necunoscuta stă în dreapta lui $A$, deci $X=A^{-1}b$. Înmulțită cu $\left(\begin{array}{c}264\\ 323\\ 316\end{array}\right)$, ea dă $\left(\begin{array}{c}72\\ 52\\ 68\end{array}\right)$, iar împărțirea la 4 dă 18, 13 și 17 tablouri. Verificare: $8\cdot 18+4\cdot 13+4\cdot 17=264$ de siguranțe; la relee și la borne ies 323, respectiv 316.

6. Ecuația este $X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}408& 363\end{array}\right)$, cu $X$ în stânga lui $A$. $\det A=19\cdot 7-17\cdot 8=-3$, deci $X=B{A}^{-1}=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}408& 363\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}7& -17\\ -8& 19\end{array}\right)=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-48& -39\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}16& 13\end{array}\right)$. S-au servit 16 meniuri standard și 13 pentru copii. Verificare: $16\cdot 19+13\cdot 8=408$ zeci de grame de carne și $16\cdot 17+13\cdot 7=363$ de legume.

7. a) $A\cdot X=B$, iar $A$ stă în stânga lui $X$: $X=A^{-1}B$. b) $X^{\prime }\cdot A^{\prime }=B^{\prime }$, cu $A^{\prime }=A^T$ și $X^{\prime }$ în stânga lui $A^{\prime }$: $X^{\prime }=B^{\prime }{A}^{\prime -1}$. c) $X+X\cdot S=T$ devine $X(I_3+S)=T$, deci $X=T(I_3+S{)}^{-1}$. Verificare: la b), $B^{\prime }$ (4 linii, 3 coloane) și $A^{\prime -1}$ (3 linii, 3 coloane) permit $B^{\prime }{A}^{\prime -1}$, dar nu $A^{\prime -1}{B}^{\prime }$.

8. a) $\det A(k)=3k-72$, care este 0 pentru $k=24$: atunci ambele vopsele folosesc dioxid de titan și liant în același raport, 4 la 1, și matricea nu are inversă. b) $A(26)=\left(\begin{array}{cc}26& 12\\ 6& 3\end{array}\right)$ are $\det =6$, iar $X=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{cc}3& -12\\ -6& 26\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}102& 352\\ 24& 84\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 8\\ 2& 12\end{array}\right)$. Deci 3 și 2 loturi în prima săptămână, 8 și 12 în a doua. Verificare: $26\cdot 3+12\cdot 2=102$, primul element al lui $B$.

9. $A\cdot X=b$ înseamnă sistemul $2x+7y+11z=119$, $2y+6z=58$, $z=9$. Din ultima, $z=9$; din a doua, $y=\frac{58-54}{2}=2$; din prima, $x=\frac{119-14-99}{2}=3$, deci $X=(3;2;9)$. Verificare: $2\cdot 3+7\cdot 2+11\cdot 9=119$ și $2\cdot 2+6\cdot 9=58$.

10. $A(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 11& 9\end{array}\right)$ are $\det =3$, iar $A(3)=\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 11& 11\end{array}\right)$. Necunoscuta stă în stânga, deci $X=A(3)\cdot A(1{)}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}8& 3\\ 11& 11\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}9& -3\\ -11& 4\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}39& -12\\ -22& 11\end{array}\right)$. Deci $X=\left(\begin{array}{cc}13& -4\\ -\frac{22}{3}& \frac{11}{3}\end{array}\right)$. Verificare: $13\cdot 4+(-4)\cdot 11=8$, primul element al lui $A(3)$.

11. Grupezi termenii cu $X$: $(A-B+I_2)\cdot X=I_2$. Matricea $C=A-B+I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 11& 19\end{array}\right)$ are $\det C=76-77=-1\ne 0$. Deci $X=C^{-1}=-\left(\begin{array}{cc}19& -7\\ -11& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-19& 7\\ 11& -4\end{array}\right)$. Verificare: $C\cdot X$ are prima linie $4\cdot (-19)+7\cdot 11=1$ și $4\cdot 7+7\cdot (-4)=0$, deci $C\cdot X=I_2$.

12. $\det A=1\cdot 11-3\cdot 4=-1$, deci $A^{-1}=-\left(\begin{array}{cc}11& -3\\ -4& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-11& 3\\ 4& -1\end{array}\right)$. $X$ stă între două copii ale lui $A$, deci $X=A^{-1}B{A}^{-1}$. Mai întâi $A^{-1}B=\left(\begin{array}{cc}19& 55\\ 10& 28\end{array}\right)$, apoi $X=\left(\begin{array}{cc}19& 55\\ 10& 28\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-11& 3\\ 4& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}11& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$. Verificare: $A\cdot X$ are prima linie $(17;8)$, iar înmulțită cu $A$ dă $17\cdot 1+8\cdot 4=49$, primul element al lui $B$.

Așa vine la Bac M3

Din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, 15 au o ecuație matriceală, de fiecare dată la Subiectul al II-lea, problema 1, subpunctul c. Necunoscuta stă în dreapta matricei date în 6 dintre cele 15 cerințe, în stânga ei în 4, între două matrice în 2 și în mai mulți termeni în 2; cea din modelul din 2021 cere un sistem pe elemente. Inversele sunt cele din inversa 2×2, iar la ordinul 3 din inversa 3×3 în patru pași. Patru forme, fiecare repetată de un exercițiu:

• Simularea din 2014, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: necunoscuta este o coloană cu trei elemente, iar matricea dată are ordin 3; baremul probei dă 2 puncte pentru ecuația scrisă pe componente, ca sistem, și 3 puncte pentru soluția găsită (pasul 4 din Metodă); vezi exercițiul 9.
• August 2024, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: necunoscuta stă în stânga unei matrice cu parametru, luată într-o valoare; baremul probei dă 3 puncte pentru inversa matricei date și 2 puncte pentru produsul care dă $X$ (pasul 3 și pasul 4); vezi exercițiul 10.
• Iunie 2021, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: necunoscuta apare în mai mulți termeni, inclusiv în membrul drept; baremul probei dă 2 puncte pentru gruparea ecuației sub forma $(A-B+I_2)\cdot X=I_2$ (pasul 1) și 3 puncte pentru determinantul nenul și matricea $X$ (pașii 2 și 4); vezi exercițiul 11.
• Simularea din 2025, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: necunoscuta stă între două copii ale aceleiași matrice, luate în aceeași valoare a parametrului; baremul probei dă 2 puncte pentru formula $X=A^{-1}\cdot B\cdot A^{-1}$ (pasul 3) și 3 puncte pentru inversa și matricea $X$ (pasul 4); vezi exercițiul 12.

Celelalte lecții sunt în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Pui inversa pe partea greșită, $A^{-1}\cdot B$ în loc de $B\cdot A^{-1}$ → cum o prinzi: scrii dimensiunile factorilor; la Exemplul 2 ar ieși șarje negative, iar la Exemplul 4 produsul cu $A(1)$ dă $-21$ în loc de $12$.
• Scoți $X$ factor scriind $X(1+S)$ sau uiți primul termen → cum o prinzi: scrii $X=X\cdot I_2$ și numai apoi grupezi; la Exemplul 3, fără primul termen rămâne $X\cdot S=T$, iar $S$ nu are inversă, fiindcă $\det S=0$.
• Începi calculul fără să verifici că determinantul este nenul → cum o prinzi: calculezi întâi $\det A$; la exercițiul 8, valoarea $k=24$ îl anulează și formulele nu se mai pot folosi.
• Scrii inversa corect, dar o înmulțești greșit cu membrul drept → cum o prinzi: verifici $A\cdot X$ sau $X\cdot A$; la cerința din 2024, trei din cele cinci puncte sunt pentru inversa matricei date.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Rezolvarea ecuațiilor matriceale se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 15 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

De ce am scris în atelier $X\cdot P=B$ și nu $P\cdot X=B$?

Pentru că loturile unei săptămâni formează o linie, iar o linie se înmulțește cu matricea orelor din dreapta ei și dă linia orelor folosite. Cu $P$ în față, matricele de $2\times 2$ și $3\times 2$ nu s-ar potrivi, iar forma ecuației urmează felul în care sunt scrise tabelele.

Pot afla loturile unei singure săptămâni fără restul matricei?

Da. Fiecare linie a lui $X$ se înmulțește singură cu $P$, deci o linie a lui $X$ se află din linia aceleiași săptămâni din $B$, înmulțită la dreapta cu $P^{-1}$. Pentru săptămâna 2, linia $(143;49)$ înmulțită la dreapta cu $P^{-1}$ dă linia $(4;11)$: 4 loturi de roți dințate și 11 de flanșe.

Cum verific planul fără să refac calculul cu inversa?

Înmulțești $X$ cu $P$, în aceeași ordine: fiecare linie a lui $X\cdot P$ trebuie să fie linia de ore a săptămânii. Pentru săptămâna 3, $6\cdot 11+9\cdot 9=147$ de ore la strunguri și $6\cdot 4+9\cdot 3=51$ de ore la freză, exact cât a rezervat clientul.

Ce fac dacă flanșa ar cere de două ori orele roții dințate?

Atunci $P$ ar avea a doua linie dublul primei, deci $\det P=11\cdot 8-4\cdot 22=0$. Matricea nu ar avea inversă, iar din orele totale nu s-ar mai putea afla loturile fiecărui reper. Ecuația nu ar mai avea o soluție unică, iar formulele din Metodă nu se aplică.

Ce cer cerințele cu ecuații matriceale la Bacalaureatul M3?

În probele oficiale 2013–2026 au apărut în 15 probe, în fiecare la Subiectul al II-lea, problema 1, subpunctul c. Prima este din 2014, ultima din 2026. Cer să alegi partea inversei, apoi să calculezi produsul în ordinea scrisă.