Test tehnologic: inversa, ecuații matriceale, sisteme

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Matrice inversabile și ecuații matriceale

Exerciții

Partea I – Rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Care dintre matricele de mai jos este inversabilă?

Variantele: a) „ $(28204230)$ ”; b) „ $(28264239)$ ”; c) „ $(28204232)$ ”; d) „ $(28344251)$ ”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Rezolvă ecuația matriceală $(518311) \cdot X = (29105)$ , unde $X$ este o matrice cu două linii și o coloană.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se consideră ecuația $6 - 2 - 1 0 - 3 0 3 - 5 13 \cdot x y z = 21 - 25 37$ . Care dintre tripletele $(x; y; z)$ de mai jos este soluția ei?

Variantele: a) „ $(5; 10; - 3)$ ”; b) „ $(2; 2; 3)$ ”; c) „ $(2; - 4; 3)$ ”; d) „ $(- 3; - 4; 13)$ ”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculează inversa matricei $A = (71046)$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Rezolvă cu metoda lui Cramer sistemul $13 x + 6 y = 83$ , $7 x - 4 y = 23$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Un teren are forma unui triunghi cu vârfurile $A (12; 7)$ , $B (30; 19)$ și $C (21; 40)$ , cu coordonatele în metri. Calculează aria terenului, în m², cu un determinant.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Într-un salon de coafură, un client poate cere tuns (T), vopsit (V) sau coafat (C). Matricea $F = 95128510213$ dă timpul în minute, cu operațiile pe linii (spălare, tratament, uscare) și serviciile pe coloane (T, V, C): de exemplu, un tuns cere 9 minute la spălare, 5 la tratament și 12 la uscare.

a) (5 puncte) Calculează $det F$ , cele nouă complemente algebrice ale elementelor lui $F$ și inversa $F^{- 1}$ .

b) (5 puncte) Într-o zi, salonul a lucrat 124 de minute la spălare, 71 de minute la tratament și 164 de minute la uscare. Cu ajutorul lui $F^{- 1}$ , află câți clienți a avut la fiecare serviciu.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Pe un teren în pantă, o linie electrică aeriană are trei stâlpi: $A (30; 16)$ , $B (85; m)$ și $C (180; 46)$ , unde prima coordonată este distanța pe orizontală, în metri, iar a doua este înălțimea la care sunt fixate cablurile, în metri față de un reper. Cablul trebuie să fie drept, deci cei trei stâlpi trebuie să fie coliniari.

a) (5 puncte) Scrie condiția de coliniaritate cu un determinant și află $m$ .

b) (5 puncte) Scrie cu un determinant ecuația dreptei $A C$ și află la ce înălțime se fixează cablul la un al patrulea stâlp, aflat la 130 m pe orizontală.

Exercițiul 9 (10 puncte)

O fermă de porci pregătește un amestec din șrot de soia ( $x$ kg), orz ( $y$ kg) și porumb ( $z$ kg). Fișa de rație cere trei totaluri, în unități nutritive: $10 x + y + 7 z = 66$ (proteină), $2 x + 2 y + 9 z = 45$ (energie) și $7 x + y + 8 z = 57$ (minerale).

a) (5 puncte) Calculează determinantul $Δ$ al sistemului.

b) (5 puncte) Calculează $Δ_{z}$ și află, cu metoda lui Cramer, cantitatea $z$ de porumb.

Partea a III-a – Pe model de examen (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricele $M (m) = (m + 6 16 2 m + 10)$ , $A = (114197)$ , $B = (7 - 4 - 19 11)$ și $C = (763513161)$ , unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $m$ pentru care matricea $M (m)$ este inversabilă.

b) (5 puncte) Demonstrați că matricea $B$ este inversa matricei $A$ .

c) (5 puncte) Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $X \cdot A = C$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Item tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A = 5411186432$ .

a) (5 puncte) Determinați inversa matricei $A$ .

b) (5 puncte) Rezolvați ecuația matriceală $A \cdot X = 26215$ , unde $X = x y z \in M_{3, 1} (R)$ .

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ , $y$ , $z$ pentru care $A \cdot x y z = 1289$ .

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare din barem este scrisă pe pași, cu punctele fiecărui pas între paranteze, iar rezultatele finale sunt îngroșate. O altă rezolvare corectă are același punctaj. La Partea a III-a, un rezultat fără drumul spre el nu ia punctajul subpunctului.

Exercițiul 1.

O matrice de ordin 2 este inversabilă dacă determinantul ei este diferit de 0 (1 p). Determinanții sunt $28 \cdot 30 - 42 \cdot 20 = 0$ la $a)$ , $28 \cdot 39 - 42 \cdot 26 = 0$ la $b)$ , $28 \cdot 32 - 42 \cdot 20 = 56$ la $c)$ și $28 \cdot 51 - 42 \cdot 34 = 0$ la $d)$ (3 p). Singura matrice cu determinantul nenul este cea de la $c)$ , deci răspunsul este $c)$ (1 p). Verificare: la $a)$ , $b)$ și $d)$ liniile sunt proporționale ( $28 : 20 = 42 : 30$ , $28 : 26 = 42 : 39$ , $28 : 34 = 42 : 51$ ), iar la $c)$ nu ( $28 : 20 \neq = 42 : 32$ ).

Exercițiul 2.

Determinantul matricei $A$ este $5 \cdot 11 - 3 \cdot 18 = 1 \neq = 0$ , deci $A$ este inversabilă și $X = A^{- 1} \cdot B$ (1 p). Inversa este $A^{- 1} = \frac{1}{1} (11 - 18 - 3 5)$ (2 p). Atunci $X = (11 \cdot 29 - 3 \cdot 105 - 18 \cdot 29 + 5 \cdot 105) = (319 - 315 - 522 + 525) = (43)$ (2 p). Verificare: $5 \cdot 4 + 3 \cdot 3 = 29$ și $18 \cdot 4 + 11 \cdot 3 = 105$ , deci ambele linii ale ecuației sunt verificate.

Exercițiul 3.

Ecuația înseamnă sistemul $6 x + 3 z = 21$ , $- 2 x - 3 y - 5 z = - 25$ , $- x + 13 z = 37$ (1 p). Un triplet este soluție numai dacă verifică toate cele trei ecuații (1 p). Tripletul $(5; 10; - 3)$ verifică primele două ( $30 - 9 = 21$ și $- 10 - 30 + 15 = - 25$ ), dar nu și a treia ( $- 5 - 39 = - 44$ ); $(2; - 4; 3)$ verifică prima ( $12 + 9 = 21$ ) și a treia ( $- 2 + 39 = 37$ ), dar nu și a doua ( $- 4 + 12 - 15 = - 7$ ); $(- 3; - 4; 13)$ verifică numai prima ( $- 18 + 39 = 21$ ), iar la a doua $6 + 12 - 65 = - 47$ (2 p). Tripletul $(2; 2; 3)$ verifică toate trei: $12 + 9 = 21$ , $- 4 - 6 - 15 = - 25$ și $- 2 + 39 = 37$ , deci răspunsul este $b)$ (1 p). Verificare: prima ecuație este verificată de toate cele patru variante, deci nu ajunge să o verifici doar pe ea.

Exercițiul 4.

Determinantul este $7 \cdot 6 - 4 \cdot 10 = 42 - 40 = 2 \neq = 0$ , deci inversa există (1 p). Se schimbă între ele elementele diagonalei principale, se schimbă semnul celor de pe diagonala secundară și se împarte la determinant (2 p): $A^{- 1} = \frac{1}{2} (6 - 10 - 4 7)$ (2 p). Verificare: $A \cdot A^{- 1}$ are primul element $\frac{1}{2} (7 \cdot 6 + 4 \cdot (- 10)) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ și elementul din colțul de sus, din dreapta, $\frac{1}{2} (7 \cdot (- 4) + 4 \cdot 7) = 0$ ; cine uită împărțirea la 2 obține $A \cdot A^{- 1}$ cu diagonala 2, nu 1.

Exercițiul 5.

Determinantul sistemului este $Δ = 137 6 - 4 = 13 \cdot (- 4) - 6 \cdot 7 = - 52 - 42 = - 94 \neq = 0$ (1 p). În $Δ_{x}$ se înlocuiește coloana lui $x$ cu termenii liberi: $Δ_{x} = 83 \cdot (- 4) - 6 \cdot 23 = - 332 - 138 = - 470$ , iar în $Δ_{y}$ coloana lui $y$ : $Δ_{y} = 13 \cdot 23 - 83 \cdot 7 = 299 - 581 = - 282$ (2 p). Atunci $x = \frac{- 470}{- 94} = 5$ și $y = \frac{- 282}{- 94} = 3$ (2 p). Verificare: $13 \cdot 5 + 6 \cdot 3 = 83$ și $7 \cdot 5 - 4 \cdot 3 = 23$ .

Exercițiul 6.

Aria este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ , cu $Δ = 12302171940111$ (1 p). Pe diagonalele principale produsele sunt $12 \cdot 19 \cdot 1 = 228$ , $7 \cdot 1 \cdot 21 = 147$ și $1 \cdot 30 \cdot 40 = 1200$ , iar pe cele secundare $1 \cdot 19 \cdot 21 = 399$ , $12 \cdot 1 \cdot 40 = 480$ și $7 \cdot 30 \cdot 1 = 210$ (2 p). Rezultă $Δ = 1575 - 1089 = 486$ și aria $\frac{486}{2} = 243$ m² (2 p). Verificare: din $Δ > 0$ vârfurile sunt luate în sens trigonometric; cu vârfurile în altă ordine, $Δ$ ar schimba semnul, iar aria ar rămâne aceeași.

Exercițiul 7.

a) (5 p) $det F = (135 + 96 + 100) - (120 + 90 + 120) = 331 - 330 = 1 \neq = 0$ , deci $F$ este inversabilă (1 p). Complementele algebrice sunt $δ_{11} = 5 \cdot 3 - 1 \cdot 10 = 5$ , $δ_{12} = - (5 \cdot 3 - 1 \cdot 12) = - 3$ , $δ_{13} = 5 \cdot 10 - 5 \cdot 12 = - 10$ , $δ_{21} = - (8 \cdot 3 - 2 \cdot 10) = - 4$ , $δ_{22} = 9 \cdot 3 - 2 \cdot 12 = 3$ , $δ_{23} = - (9 \cdot 10 - 8 \cdot 12) = 6$ , $δ_{31} = 8 \cdot 1 - 2 \cdot 5 = - 2$ , $δ_{32} = - (9 \cdot 1 - 2 \cdot 5) = 1$ și $δ_{33} = 9 \cdot 5 - 8 \cdot 5 = 5$ (2 p). Inversa este $\frac{1}{1}$ ori transpusa matricei complementelor: $F^{- 1} = 5 - 3 - 10 - 4 36 - 2 15$ (2 p).

b) (5 p) Dacă salonul a avut $a$ clienți la tuns, $b$ la vopsit și $c$ la coafat, atunci $F \cdot a b c = 12471164$ , deci $a b c = F^{- 1} \cdot 12471164$ (1 p). Calculând pe linii, $a = 5 \cdot 124 - 4 \cdot 71 - 2 \cdot 164 = 620 - 284 - 328 = 8$ , $b = - 3 \cdot 124 + 3 \cdot 71 + 164 = - 372 + 213 + 164 = 5$ și $c = - 10 \cdot 124 + 6 \cdot 71 + 5 \cdot 164 = - 1240 + 426 + 820 = 6$ (4 p). Verificare: la spălare sunt $9 \cdot 8 + 8 \cdot 5 + 2 \cdot 6 = 124$ minute, la tratament $5 \cdot 8 + 5 \cdot 5 + 1 \cdot 6 = 71$ minute, iar la uscare $12 \cdot 8 + 10 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 164$ minute.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Stâlpii sunt coliniari dacă $3085180 16 m 46 111 = 0$ (1 p). Produsele cu plus dau $30 m + 2880 + 3910$ , iar cele cu minus $180 m + 1380 + 1360$ , deci determinantul este $30 m + 6790 - 180 m - 2740 = - 150 m + 4050$ (2 p). Din $- 150 m + 4050 = 0$ rezultă $m = \frac{4050}{150} = 27$ m (2 p).

b) (5 p) Un punct $(x; y)$ se află pe dreapta $A C$ dacă $x 30180 y 1646 111 = 0$ (1 p). Produsele cu plus dau $16 x + 180 y + 1380$ , iar cele cu minus $2880 + 46 x + 30 y$ , deci $- 30 x + 150 y - 1500 = 0$ , adică, după împărțirea la $- 30$ , $x - 5 y + 50 = 0$ (2 p). Pentru $x = 130$ rezultă $5 y = 180$ , deci cablul se fixează la $y = 36$ m (2 p). Verificare: pantele sunt egale, $\frac{27 - 16}{85 - 30} = \frac{1}{5} = \frac{46 - 16}{180 - 30}$ , iar la $x = 130$ înălțimea $16 + \frac{1}{5} \cdot 100 = 36$ confirmă rezultatul.

Exercițiul 9.

a) (5 p) $Δ = 1027121798$ (1 p). Pe diagonalele principale, produsele sunt $10 \cdot 2 \cdot 8 = 160$ , $1 \cdot 9 \cdot 7 = 63$ și $7 \cdot 2 \cdot 1 = 14$ , cu suma $237$ (2 p); pe cele secundare, $7 \cdot 2 \cdot 7 = 98$ , $10 \cdot 9 \cdot 1 = 90$ și $1 \cdot 2 \cdot 8 = 16$ , cu suma $204$ , deci $Δ = 237 - 204 = 33$ (2 p).

b) (5 p) În $Δ_{z}$ coloana a treia se înlocuiește cu termenii liberi: $Δ_{z} = 1027121664557$ (1 p). Diagonalele principale dau $10 \cdot 2 \cdot 57 + 1 \cdot 45 \cdot 7 + 66 \cdot 2 \cdot 1 = 1140 + 315 + 132 = 1587$ , iar cele secundare $66 \cdot 2 \cdot 7 + 10 \cdot 45 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 57 = 924 + 450 + 114 = 1488$ , deci $Δ_{z} = 99$ (2 p). Cum $Δ \neq = 0$ , $z = \frac{Δ _{z}}{Δ} = \frac{99}{33} = 3$ kg de porumb (2 p). Verificare: pentru $x = 4$ kg și $y = 5$ kg, prima ecuație dă $10 \cdot 4 + 5 + 7 \cdot 3 = 40 + 5 + 21 = 66$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) $det M (m) = (m + 6) (m + 10) - 2 \cdot 16 = m^{2} + 16 m + 60 - 32 = m^{2} + 16 m + 28$ (2 p). Matricea este inversabilă dacă $det M (m) \neq = 0$ ; ecuația $m^{2} + 16 m + 28 = 0$ are $Δ = 256 - 112 = 144$ și rădăcinile $m = \frac{- 16 \pm 12}{2}$ , adică $- 2$ și $- 14$ , deci $M (m)$ este inversabilă pentru $m \in R ∖ {- 14, - 2}$ (3 p).

b) (5 p) $A \cdot B = (11 \cdot 7 + 19 \cdot (- 4) 4 \cdot 7 + 7 \cdot (- 4) 11 \cdot (- 19) + 19 \cdot 11 4 \cdot (- 19) + 7 \cdot 11) = (1001) = I_{2}$ (2 p). Analog, $B \cdot A = (7 \cdot 11 + (- 19) \cdot 4 - 4 \cdot 11 + 11 \cdot 4 7 \cdot 19 + (- 19) \cdot 7 - 4 \cdot 19 + 11 \cdot 7) = I_{2}$ , deci $B$ este inversa lui $A$ (3 p).

c) (5 p) $A$ este inversabilă, iar din $X \cdot A = C$ , înmulțind la dreapta cu $A^{- 1}$ , rezultă $X = C \cdot A^{- 1} = C \cdot B = (76 \cdot 7 + 131 \cdot (- 4) 35 \cdot 7 + 61 \cdot (- 4) 76 \cdot (- 19) + 131 \cdot 11 35 \cdot (- 19) + 61 \cdot 11)$ (3 p). Efectuând calculele, $X = (532 - 524 245 - 244 - 1444 + 1441 - 665 + 671) = (81 - 3 6)$ (2 p). Verificare: $8 \cdot 11 + (- 3) \cdot 4 = 76$ și $1 \cdot 19 + 6 \cdot 7 = 61$ , ca în $C$ ; cine pune inversa în stânga obține $B \cdot C = (- 133 81 - 242 147)$ , care nu verifică ecuația.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Pe diagonalele principale produsele sunt $5 \cdot 8 \cdot 2 = 80$ , $11 \cdot 3 \cdot 1 = 33$ și $4 \cdot 4 \cdot 6 = 96$ , cu suma $209$ ; pe cele secundare, $4 \cdot 8 \cdot 1 = 32$ , $5 \cdot 3 \cdot 6 = 90$ și $11 \cdot 4 \cdot 2 = 88$ , cu suma $210$ , deci $det A = 209 - 210 = - 1 \neq = 0$ și $A$ este inversabilă (2 p). Complementele algebrice sunt $δ_{11} = - 2$ , $δ_{12} = - 5$ , $δ_{13} = 16$ , $δ_{21} = 2$ , $δ_{22} = 6$ , $δ_{23} = - 19$ , $δ_{31} = 1$ , $δ_{32} = 1$ și $δ_{33} = - 4$ ; transpusa lor, împărțită la $det A = - 1$ , dă $A^{- 1} = 25 - 16 - 2 - 6 19 - 1 - 1 4$ (3 p).

b) (5 p) Ecuația înseamnă sistemul $5 x + 11 y + 4 z = 26$ , $4 x + 8 y + 3 z = 21$ , $x + 6 y + 2 z = 5$ , iar $X = A^{- 1} \cdot B$ cu inversa de la a) (2 p). Atunci $x = 2 \cdot 26 - 2 \cdot 21 - 1 \cdot 5 = 5$ , $y = 5 \cdot 26 - 6 \cdot 21 - 1 \cdot 5 = - 1$ și $z = - 16 \cdot 26 + 19 \cdot 21 + 4 \cdot 5 = 3$ (3 p). Verificare: $5 \cdot 5 + 11 \cdot (- 1) + 4 \cdot 3 = 26$ , $4 \cdot 5 + 8 \cdot (- 1) + 3 \cdot 3 = 21$ și $5 + 6 \cdot (- 1) + 2 \cdot 3 = 5$ .

c) (5 p) Matricea sistemului este aceeași, deci inversa de la a) se folosește din nou: $x y z = A^{- 1} \cdot 1289$ (2 p). Rezultă $x = 2 \cdot 12 - 2 \cdot 8 - 1 \cdot 9 = - 1$ , $y = 5 \cdot 12 - 6 \cdot 8 - 1 \cdot 9 = 3$ și $z = - 16 \cdot 12 + 19 \cdot 8 + 4 \cdot 9 = - 4$ (3 p). Verificare: $5 \cdot (- 1) + 11 \cdot 3 + 4 \cdot (- 4) = 12$ , $4 \cdot (- 1) + 8 \cdot 3 + 3 \cdot (- 4) = 8$ și $- 1 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot (- 4) = 9$ .

Pentru părinți și profesori

Testul se sprijină pe șase lecții ale clasei a XI-a, filiera tehnologică: două despre inversa unei matrice („Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic” și „Inversa 3×3 în patru pași, la tehnologic”), una despre ecuațiile matriceale („Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic”), una despre scrierea unui sistem sub forma $A \cdot X = B$ („Forma matriceală: dozarea aditivilor, tehnologic”), una despre metoda lui Cramer („Cramer pas cu pas: sisteme 3×3 la tehnologic”) și una despre aria unui triunghi calculată cu un determinant („Aria triunghiului din coordonate, tehnologic”). Sumele, produsele și determinanții au fost verificați de testul anterior, iar limitele rămân în sarcina unui test separat.

Punctaj: 90 de puncte din exerciții și 10 puncte din oficiu, deci cel mult 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul rezolvă singur, pe foaie, fără calculator; numerele sunt alese ca să iasă exact. Partea a III-a cere calculul scris pe pași: un rezultat corect, dar fără drum până la el, nu primește punctele subpunctului. Ghidajul descompune fiecare exercițiu în întrebări scurte, cu variante sau cu un număr de aflat, iar fiecare variantă greșită arată ce s-a greșit; îl folosești când un exercițiu nu iese.
Între 90 și 100 de puncte: ai stăpânit unitatea și poți trece la testul următor.
Între 75 și 89 de puncte: refă, cu ghidajul, exercițiile pierdute.
Între 60 și 74 de puncte: recitește lecțiile din tabelul de mai jos pentru exercițiile cu mai puțin de jumătate dintre puncte; testul se repetă peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: parcurge din nou cele șase lecții, în ordinea lor, și lucrează testul cu ghidajul pornit de la început.
Formule de reținut: $A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)$ pentru $a d - b c \neq = 0$ , iar $A \cdot A^{- 1} = I_{2}$ ; $A^{- 1} = \frac{1}{det A} A^{*}$ , unde $A^{*}$ este transpusa matricei complementelor algebrice $δ_{ij} = (- 1)^{i + j} Δ_{ij}$ , pentru o matrice de ordin 3 cu $det A \neq = 0$ ; din $A X = B$ rezultă $X = A^{- 1} B$ , iar din $X A = B$ rezultă $X = B A^{- 1}$ , cu factorii în ordinea scrisă; un sistem cu trei ecuații și trei necunoscute se scrie $A \cdot X = B$ , cu o linie pentru fiecare ecuație, o coloană pentru fiecare necunoscută și coeficientul 0 pentru necunoscuta absentă; în metoda lui Cramer, $Δ \neq = 0$ dă $x = \frac{Δ _{x}}{Δ}$ , $y = \frac{Δ _{y}}{Δ}$ , $z = \frac{Δ _{z}}{Δ}$ , iar în $Δ_{x}$ se schimbă numai coloana lui $x$ ; aria triunghiului $A B C$ este $\frac{1}{2} ∣ Δ ∣$ , unde $Δ$ este determinantul cu liniile $x_{A}, y_{A}, 1$ / $x_{B}, y_{B}, 1$ / $x_{C}, y_{C}, 1$ , iar punctele sunt coliniare dacă $Δ = 0$ .

Exercițiile	Ce verifică	Lecția de reluat dacă ies prost
1, 4	inversabilitatea și inversa unei matrice de ordin 2	Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic
7	inversa unei matrice de ordin 3	Inversa 3×3 în patru pași, la tehnologic
2, 10	ecuațiile matriceale $A X = B$ și $X A = B$ , cu inversa pe partea potrivită	Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic (pentru 10, și lecția despre inversa 2×2)
3, 11	forma matriceală a sistemului	Forma matriceală: dozarea aditivilor, tehnologic (pentru 11, și lecția despre inversa 3×3)
5, 9	metoda lui Cramer	Cramer pas cu pas: sisteme 3×3 la tehnologic
6, 8	aria triunghiului și coliniaritatea, cu determinantul	Aria triunghiului din coordonate, tehnologic

Exercițiile 10 și 11 sunt marcate „tip Bacalaureat M3”: ele au forma problemei 1 din Subiectul al II-lea (trei cerințe pe aceleași matrice), dar cu alte matrice și alte numere decât în probele oficiale.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Inversa unei matrice apare la Subiectul al II-lea, problema 1; în probele oficiale 2013–2026, inversa unei matrice de ordin 2 a apărut în 17 probe, inversa unei matrice de ordin 3 într-o singură probă, ecuația matriceală în 15 probe, iar forma matriceală a sistemului cu trei necunoscute în 2 probe. Metoda lui Cramer și aria unui triunghi din coordonate fac parte din programa de examen pentru Subiectul al II-lea, problema 1, dar nu au apărut în probele 2013–2026; fiind în programă, pot fi cerute. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.