Ecuații și inecuații cu o lege, la pedagogic

Cea mai des cerută sarcină cu o lege de compoziție este o ecuație: afli numărul $x$ pentru care $x \circ x$ sau $x \circ (x + 1)$ dă un rezultat fixat. Cu forma cu paranteze, ecuația devine un pătrat egal cu un număr. Pentru clasa a XI-a de la profilul pedagogic, aici rezolvi ecuații, inecuații și ecuații cu puteri ca $2^{x}$ . La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), ecuațiile cu legea au apărut în toate cele 60 de probe din 2013–2026.

Situația de pornire

Doamna profesoară Mihaela pregătește lucrarea scrisă la matematică pentru clasa a XI-a de la profilul pedagogic. Folosește legea $x \circ y = x y - 4 x - 4 y + 29$ și vrea o cerință de forma „rezolvați ecuația $x \circ x = c$ ”. Înainte să aleagă numărul $c$ , verifică pe ciornă ce soluții dă fiecare variantă. Vrea soluții întregi, ca elevii să nu se încurce în radicali, dar și o variantă fără soluții, pentru discuția de la oră.

Varianta	Numărul $c$ din cerință	Ecuația după forma cu paranteze	Soluțiile reale
A	22	$(x - 4)^{2} = 9$	1 și 7
B	13	$(x - 4)^{2} = 0$	4
C	16	$(x - 4)^{2} = 3$	$4 - 3$ și $4 + 3$
D	11	$(x - 4)^{2} = - 2$	niciuna

Întrebare: ce numere $c$ dau soluții întregi? De ce varianta D nu are nicio soluție reală?

De la situație la model

În situație	În matematică
legea din lucrare	$x \circ y = (x - 4) (y - 4) + 13$
cerința „rezolvați ecuația $x \circ x = c$ ”	ecuația $(x - 4)^{2} + 13 = c$
numărul $c$ ales de profesoară	membrul drept, un număr real
soluțiile întregi dorite	$c - 13$ este pătratul unui număr întreg
varianta fără soluții	$c - 13 < 0$

O ecuație cu o lege de compoziție este o egalitate în care necunoscuta stă în compunere, ca $x \circ x = 22$ sau $x \circ 4 = 19$ . Se rezolvă scriind compunerea cu formula legii, de preferat în forma cu paranteze. Rezultatul e o ecuație obișnuită, de gradul I sau al II-lea.

Cum rezolvi ecuația $x \circ x = c$ ?

Pui $y = x$ în forma cu paranteze: $x \circ x = k (x - a)^{2} + c_{0}$ , unde $c_{0}$ e constanta de la final. Ecuația devine $(x - a)^{2} = \frac{c - c _{0}}{k}$ . Dacă membrul drept e pozitiv, ai două soluții, $a$ plus și minus radicalul lui; dacă e 0, una singură; dacă e negativ, niciuna, fiindcă un pătrat nu e negativ.

Ce faci când $x$ apare o singură dată?

Ecuații ca $x \circ 4 = 19$ , în care al doilea număr e dat, au necunoscuta într-o singură paranteză, deci sunt de gradul I. La fel se rezolvă cele în care $x$ apare și în membrul drept, ca „ $- 3$ compus cu $x$ dă $x$ ”. De pildă, la legea $x \circ y = 3 x y - 6 x - 6 y + 13 = 3 (x - 2) (y - 2) + 1$ , ecuația $x \circ 4 = 19$ devine $6 (x - 2) + 1 = 19$ , cu soluția $x = 5$ .

Ce faci când în ecuație apar puteri ca $2^{x}$ ?

Notezi $t = 2^{x}$ și rezolvi ecuația în $t$ . Apoi păstrezi doar valorile $t > 0$ , fiindcă $2^{x}$ e pozitiv pentru orice $x$ , și afli $x$ din $2^{x} = t$ . La logaritmi procedezi la fel, cu $t = l g x$ și condiția $x > 0$ .

Cum rezolvi o inecuație cu o lege?

Ajungi, ca la ecuații, la o inegalitate de forma $(x - a)^{2} \leq d$ sau la un produs de doi factori. Inegalitatea $(x - a)^{2} \leq d$ , cu $d > 0$ , înseamnă $- d \leq x - a \leq d$ . Dacă se cer numere naturale, scrii la final lista lor, nu intervalul.

Metoda pas cu pas

Scrie legea în forma cu paranteze. Fără ea, $x \circ x$ dă o ecuație de gradul al II-lea cu toți termenii; cu ea, dă direct un pătrat.
Înlocuiește în compunere expresia cerută: $y = x$ , $y = x + 1$ sau $x = t = 2^{x}$ . Scrie ecuația obținută și adu-o la forma $(x - a)^{2} = d$ , la un produs egal cu 0 sau la o ecuație de gradul I.
Rezolvă ecuația și pune condițiile: $t = 2^{x} > 0$ , $x > 0$ pentru $l g x$ , $n$ natural dacă se cer numere naturale. Păstrează ambele semne ale radicalului, apoi elimină doar valorile care încalcă o condiție, spunând care.
Verifică fiecare soluție în ecuația cu legea, nu doar în ecuația de gradul al II-lea. La o inecuație verifică și capetele intervalului, plus câte un număr din afara lui.

Forma cu paranteze, pe care se sprijină toți pașii, e în lecția despre forma factorizată a unei legi, la pedagogic. Calculul cu formula legii e în lege de compoziție la tehnologic: tabla, iar proprietățile legii, ca neutrul, în asociativă, comutativă, neutru, la tehnologic. Restul clasei e în traseul clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

Ce se cere	La ce ajungi	Atenție la
$x \circ x = c$	$(x - a)^{2} = d$	ambele semne; $d < 0$ înseamnă fără soluții
$x \circ b = c$	ecuație de gradul I	dacă $b = a$ , membrul stâng e constant
$x \circ (x + 1) = c$	ecuație de gradul al II-lea	desfaci produsul $(x - a) (x + 1 - a)$
$2^{x} \circ 2^{x} = c$	ecuație în $t = 2^{x}$	păstrezi doar $t > 0$
$n \circ (n + 1) \leq c$ , cu $n$ natural	inecuație de gradul al II-lea	scrii lista numerelor naturale
$m \circ n = c$ , cu $m, n$ naturale	$(m - a) (n - a) = c - a$	divizorii, cu $m - a \geq - a$

$x \circ x = c ⟺ k (x - a)^{2} = c - c_{0}$

Condiții: forma cu paranteze se scrie înainte de orice ecuație. Verificare rapidă: înlocuiești soluția în compunerea de la început și trebuie să obții exact $c$ .

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Variantele doamnei Mihaela

Domeniu: evaluare la clasă.

Enunț. Reia legea din situația de pornire, $x \circ y = x y - 4 x - 4 y + 29$ . a) Arată că $x \circ y = (x - 4) (y - 4) + 13$ . b) Rezolvă ecuația $x \circ x = 22$ . c) Pentru ce valori ale lui $c$ , între 14 și 30, ecuația $x \circ x = c$ are soluții întregi? d) De ce varianta cu $c = 11$ nu are soluții reale?

Rezolvare. a) $(x - 4) (y - 4) + 13 = x y - 4 x - 4 y + 16 + 13 = x y - 4 x - 4 y + 29$ . b) $x \circ x = (x - 4)^{2} + 13 = 22$ , deci $(x - 4)^{2} = 9$ . Rezultă $x - 4 = 3$ sau $x - 4 = - 3$ , adică $x = 7$ sau $x = 1$ . c) Soluțiile sunt întregi când $c - 13$ e pătratul unui număr natural. Între 14 și 30 asta se întâmplă pentru $c = 14$ , $c = 17$ , $c = 22$ și $c = 29$ , cu soluțiile 3 și 5, 2 și 6, 1 și 7, respectiv 0 și 8. d) Ecuația devine $(x - 4)^{2} = - 2$ , iar un pătrat nu poate fi negativ.

Capcană. Cine scrie „ $x - 4 = 3$ , deci $x = 7$ ” și se oprește pierde soluția 1. Din $(x - 4)^{2} = 9$ urmează două posibilități, cu plus și cu minus.

Verificare. $1 \circ 1 = 1 - 8 + 29 = 22$ și $7 \circ 7 = 49 - 56 + 29 = 22$ . Pentru $c = 29$ : $8 \circ 8 = 16 + 13 = 29$ .

Exemplul 2 — Paginile alăturate

Domeniu: activități de lectură.

Enunț. La cercul de lectură al școlii, Ana propune jocul „Ghicește pagina”: un elev deschide cartea și spune doar rezultatul compunerii numerelor celor două pagini alăturate, $n \circ (n + 1)$ , cu legea $x \circ y = x y - 10 x - 10 y + 104$ . Colegii trebuie să ghicească paginile. a) Scrie legea în forma cu paranteze. b) Elevul spune 46. Ce pagini pot fi? c) Are nevoie Ana de o întrebare în plus ca să afle exact paginile?

Rezolvare. a) $x \circ y = (x - 10) (y - 10) + 4$ , fiindcă $104 - 100 = 4$ . b) $n \circ (n + 1) = (n - 10) (n - 9) + 4 = 46$ , deci $(n - 10) (n - 9) = 42$ . Desfăcut: $n^{2} - 19 n + 90 = 42$ , adică $n^{2} - 19 n + 48 = 0$ , cu $Δ = 361 - 192 = 169$ . Rezultă $n = \frac{19 + 13}{2} = 16$ sau $n = \frac{19 - 13}{2} = 3$ . La o carte deschisă, pagina din stânga are număr par, deci rămâne doar perechea 16 și 17; $n = 3$ e soluție a ecuației, dar paginile 3 și 4 sunt pe aceeași foaie. c) Ana nu mai are nevoie de altă întrebare: paginile sunt 16 și 17.

Capcană. Cine scrie ambele perechi uită că paginile alăturate încep cu un număr par. Ecuația are două soluții, dar contextul păstrează doar una.

Verificare. $3 \circ 4 = (- 7) \cdot (- 6) + 4 = 46$ și $16 \circ 17 = 6 \cdot 7 + 4 = 46$ . Pe forma desfăcută: $16 \circ 17 = 272 - 160 - 170 + 104 = 46$ .

Exemplul 3 — Cartonașele câștigătoare

Domeniu: joc didactic.

Enunț. O educatoare are cartonașe cu numerele naturale de la 0 la 15. Un copil trage un cartonaș cu numărul $n$ și câștigă dacă $n \circ (n + 1) \leq 22$ , unde $x \circ y = x y - 5 x - 5 y + 27$ . a) Care cartonașe sunt câștigătoare? b) Ce probabilitate are un copil să câștige la o singură tragere?

Rezolvare. a) Legea este $(x - 5) (y - 5) + 2$ , deci $n \circ (n + 1) = (n - 5) (n - 4) + 2$ . Inecuația devine $(n - 5) (n - 4) \leq 20$ , adică $n^{2} - 9 n + 20 \leq 20$ , deci $n (n - 9) \leq 0$ . Produsul nu e pozitiv pentru $0 \leq n \leq 9$ . Câștigă cartonașele 0, 1, 2, …, 9, adică 10 cartonașe. b) Sunt 16 cartonașe, deci probabilitatea este $\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$ .

Capcană. Cine rezolvă doar ecuația $n \circ (n + 1) = 22$ găsește $n = 0$ și $n = 9$ și crede că sunt singurele cartonașe câștigătoare. Inegalitatea cuprinde și toate numerele dintre ele.

Verificare. La capăt, $9 \circ 10 = 4 \cdot 5 + 2 = 22$ , care e cel mult 22. Imediat după, $10 \circ 11 = 5 \cdot 6 + 2 = 32$ , peste 22. În interior: $5 \circ 6 = 0 + 2 = 2$ .

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: ecuație, putere, inecuație

Domeniu: fără context.

Enunț. Exemplul urmează forma Subiectului al II-lea din probele M_pedagogic, fără context. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y + 3 x + 3 y + 12$ . a) Arătați că $x * y = (x + 3) (y + 3) + 3$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x = 12$ . c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x} * 2^{x} = 52$ . d) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x * x \leq 19$ . e) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n * (n + 1) < 60$ .

Rezolvare. a) $(x + 3) (y + 3) + 3 = x y + 3 x + 3 y + 9 + 3 = x y + 3 x + 3 y + 12$ . b) $(x + 3)^{2} + 3 = 12$ dă $(x + 3)^{2} = 9$ , deci $x + 3 = 3$ sau $x + 3 = - 3$ , adică $x = 0$ sau $x = - 6$ . c) Cu $t = 2^{x} > 0$ : $(t + 3)^{2} + 3 = 52$ , deci $(t + 3)^{2} = 49$ . Din $t + 3 = 7$ rezultă $t = 4$ ; din $t + 3 = - 7$ ar rezulta $t = - 10$ , imposibil, fiindcă $2^{x} > 0$ . Atunci $2^{x} = 4$ și $x = 2$ . d) $(x + 3)^{2} \leq 16$ înseamnă $- 4 \leq x + 3 \leq 4$ , deci $x \in [- 7, 1]$ . e) $(n + 3) (n + 4) + 3 < 60$ , adică $(n + 3) (n + 4) < 57$ . Produsul crește cu $n$ : pentru $n = 4$ dă $7 \cdot 8 = 56 < 57$ , iar pentru $n = 5$ dă $8 \cdot 9 = 72$ . Numerele sunt 0, 1, 2, 3 și 4.

Capcană. La c), cine păstrează și $t = - 10$ caută un $x$ cu $2^{x} = - 10$ , care nu există. Valoarea negativă a lui $t$ se elimină, cu motivul scris: $2^{x} > 0$ .

Verificare. La c): $4 * 4 = 7 \cdot 7 + 3 = 52$ . La d), capetele: $1 * 1 = 16 + 3 = 19$ și $(- 7) * (- 7) = 16 + 3 = 19$ , iar $2 * 2 = 25 + 3 = 28$ , peste 19.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Pe ℝ se definește $x \circ y = x y - 6 x - 6 y + 46$ . Rezolvă ecuația $x \circ x = 26$ .

2. Pe ℝ se definește $x \circ y = 3 x y - 6 x - 6 y + 13$ . Rezolvă ecuația $x \circ 4 = 19$ .

3. Pe ℝ se definește $x \circ y = x y + x + y + 8$ . Rezolvă ecuația $x \circ (x + 2) = 22$ .

4. Pe ℝ se definește $x \circ y = x y - 2 x - 2 y + 9$ . Rezolvă inecuația $x \circ x \leq 14$ .

Nivelul 2 — situații

5. Vlad a rezolvat ecuația $x \circ x = 21$ pentru legea $x \circ y = x y - 3 x - 3 y + 14$ și a scris: „ $(x - 3)^{2} = 16$ , deci $x - 3 = 4$ și $x = 7$ ”. a) Verifică soluția lui Vlad. b) Ce a uitat? c) Scrie toate soluțiile.

6. O învățătoare are cartonașe cu numerele naturale de la 0 la 20. Pentru legea $x \circ y = x y - 8 x - 8 y + 70$ , ea păstrează cartonașele cu $n \circ n \leq n$ . a) Scrie inecuația ca inecuație de gradul al II-lea. b) Care cartonașe rămân? c) Care e cel mai mare număr păstrat?

7. La jocul „Perechi”, doi copii aleg fiecare câte un număr natural, $m$ și $n$ , iar perechea $(m, n)$ câștigă dacă $m \circ n = 14$ , unde $x \circ y = x y - 3 x - 3 y + 11$ . a) Scrie condiția ca produs de două paranteze. b) Câte perechi câștigătoare există, dacă ordinea contează? c) Scrie-le.

8. Profesorul Dan pregătește trei variante ale cerinței „rezolvați ecuația $x \circ x = c$ ”, pentru legea $x \circ y = 2 x y - 2 x - 2 y + 7$ . Vrea o variantă cu două soluții, una cu o singură soluție și una fără soluții reale. a) Scrie $x \circ x$ cu un pătrat. b) Pentru ce $c$ are ecuația exact o soluție? c) Dă câte un exemplu de $c$ pentru celelalte două variante.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - 4 x - 4 y + 22$ . a) Arătați că $x * y = (x - 4) (y - 4) + 6$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x} * 3^{x} = 31$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = - x y + 14 x + 14 y - 182$ . Determinați numărul real $x$ pentru care $x \circ x \circ x = 41$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 2 x y - 10 x - 10 y + 53$ . Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x * (x + 1) \leq 15$ .

12. (Sinteză.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea $x \circ y = x y + 2 x + 2 y + 3$ . a) Determinați numerele reale $x > 0$ pentru care $l g x \circ l g x = 8$ . b) Determinați perechile $(m, n)$ de numere întregi pentru care $m \circ n = 5$ .

Răspunsuri și verificări

1. Legea este $(x - 6) (y - 6) + 10$ , deci $(x - 6)^{2} + 10 = 26$ și $(x - 6)^{2} = 16$ . Rezultă $x - 6 = 4$ sau $x - 6 = - 4$ , adică $x = 10$ sau $x = 2$ . Verificare: $2 \circ 2 = 4 - 24 + 46 = 26$ .

2. Legea este $3 (x - 2) (y - 2) + 1$ , deci $x \circ 4 = 3 (x - 2) \cdot 2 + 1 = 6 (x - 2) + 1$ . Din $6 (x - 2) + 1 = 19$ rezultă $x - 2 = 3$ , adică $x = 5$ . Verificare: $5 \circ 4 = 60 - 30 - 24 + 13 = 19$ .

3. Legea este $(x + 1) (y + 1) + 7$ , deci $(x + 1) (x + 3) + 7 = 22$ , adică $x^{2} + 4 x + 3 = 15$ și $x^{2} + 4 x - 12 = 0$ . Soluțiile sunt $x = 2$ sau $x = - 6$ . Verificare: $2 \circ 4 = 3 \cdot 5 + 7 = 22$ și $(- 6) \circ (- 4) = (- 5) \cdot (- 3) + 7 = 22$ .

4. Legea este $(x - 2) (y - 2) + 5$ , deci $(x - 2)^{2} \leq 9$ , adică $- 3 \leq x - 2 \leq 3$ . Mulțimea soluțiilor este $[- 1, 5]$ . Verificare: $5 \circ 5 = 9 + 5 = 14$ , la capăt, iar $6 \circ 6 = 16 + 5 = 21$ , în afară.

5. a) $7 \circ 7 = 49 - 21 - 21 + 14 = 21$ : soluția e bună. b) A uitat cazul $x - 3 = - 4$ . c) $x = 7$ sau $x = - 1$ . Verificare: $(- 1) \circ (- 1) = 1 + 3 + 3 + 14 = 21$ .

6. a) Legea este $(x - 8) (y - 8) + 6$ , deci $(n - 8)^{2} + 6 \leq n$ , adică $n^{2} - 17 n + 70 \leq 0$ . b) $n^{2} - 17 n + 70 = (n - 7) (n - 10)$ , iar produsul nu e pozitiv pentru $7 \leq n \leq 10$ . Rămân cartonașele 7, 8, 9 și 10. c) 10. Verificare: $10 \circ 10 = 4 + 6 = 10 \leq 10$ , iar $11 \circ 11 = 9 + 6 = 15$ , peste 11.

7. a) Legea este $(x - 3) (y - 3) + 2$ , deci condiția e $(m - 3) (n - 3) = 12$ . b) Cum $m - 3 \geq - 3$ și $n - 3 \geq - 3$ , perechile de factori negativi ( $- 1$ și $- 12$ , $- 2$ și $- 6$ , $- 3$ și $- 4$ ) nu se potrivesc. Rămân factorii pozitivi: 6 perechi. c) $(4, 15)$ , $(5, 9)$ , $(6, 7)$ , $(7, 6)$ , $(9, 5)$ și $(15, 4)$ . Verificare: $6 \circ 7 = 3 \cdot 4 + 2 = 14$ .

8. a) Legea este $2 (x - 1) (y - 1) + 5$ , deci $x \circ x = 2 (x - 1)^{2} + 5$ . b) Exact o soluție pentru $c = 5$ , și anume $x = 1$ . c) Două soluții pentru orice $c > 5$ , de pildă $c = 13$ , cu $(x - 1)^{2} = 4$ ; nicio soluție pentru $c < 5$ , de pildă $c = 3$ . Verificare: $3 \circ 3 = 2 \cdot 4 + 5 = 13$ și $(- 1) \circ (- 1) = 2 \cdot 4 + 5 = 13$ .

9. a) $(x - 4) (y - 4) + 6 = x y - 4 x - 4 y + 16 + 6 = x y - 4 x - 4 y + 22$ . b) Cu $t = 3^{x} > 0$ : $(t - 4)^{2} + 6 = 31$ , deci $(t - 4)^{2} = 25$ . Din $t - 4 = 5$ rezultă $t = 9$ , iar $t - 4 = - 5$ ar da $t = - 1$ , imposibil. Atunci $3^{x} = 9$ și $x = 2$ . Verificare: $9 * 9 = 25 + 6 = 31$ .

10. Legea este $- (x - 14) (y - 14) + 14$ , deci $x \circ x = - (x - 14)^{2} + 14$ . Apoi $(x \circ x) \circ x = - (- (x - 14)^{2}) (x - 14) + 14 = (x - 14)^{3} + 14$ . Din $(x - 14)^{3} + 14 = 41$ rezultă $(x - 14)^{3} = 27$ . Deci $x - 14 = 3$ și $x = 17$ . Verificare: $17 \circ 17 = - 9 + 14 = 5$ , iar $5 \circ 17 = - (- 9) \cdot 3 + 14 = 41$ .

11. Legea este $2 (x - 5) (y - 5) + 3$ , deci $x * (x + 1) = 2 (x - 5) (x - 4) + 3 \leq 15$ . Rezultă $(x - 5) (x - 4) \leq 6$ , adică $x^{2} - 9 x + 14 \leq 0$ , sau $(x - 2) (x - 7) \leq 0$ . Mulțimea soluțiilor este $[2, 7]$ . Verificare: $2 * 3 = 2 \cdot (- 3) \cdot (- 2) + 3 = 15$ și $7 * 8 = 2 \cdot 2 \cdot 3 + 3 = 15$ , la capete.

12. a) Legea este $(x + 2) (y + 2) - 1$ . Cu $t = l g x$ : $(t + 2)^{2} - 1 = 8$ , deci $t + 2 = 3$ sau $t + 2 = - 3$ . Rezultă $l g x = 1$ , adică $x = 10$ , sau $l g x = - 5$ , adică $x = \frac{1}{100000}$ ; ambele sunt pozitive. b) $(m + 2) (n + 2) = 6$ : factorii sunt $1$ și $6$ , $2$ și $3$ , $- 1$ și $- 6$ , $- 2$ și $- 3$ , în ambele ordini, deci 8 perechi: $(- 1, 4)$ , $(4, - 1)$ , $(0, 1)$ , $(1, 0)$ , $(- 3, - 8)$ , $(- 8, - 3)$ , $(- 4, - 5)$ , $(- 5, - 4)$ . Verificare: $0 \circ 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ .

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), ecuațiile cu legea de compoziție au apărut în toate cele 60 de probe din 2013–2026, cu 110 cerințe în total, toate la Subiectul al II-lea. Dintre ele, 28 au necunoscuta în exponent, sub logaritm sau sub radical, ca $9^{x} * 3^{x}$ sau $l g x * l g x$ . Inecuațiile de rezolvat au fost mai rare: 19 cerințe, în 18 probe, multe cu numere naturale.

Modelul din 2024, cerința 5: se cere $x \circ x = 4$ ; e pasul 2 din Metodă, iar pagina probei dă 2 puncte pentru ecuația scrisă cu forma cu paranteze și 3 puncte pentru cele două soluții.
August 2023, cerința 5: ecuația are puteri, $9^{x} * 3^{x} = 3$ ; folosești pașii 2 și 3, iar pagina probei dă 2 puncte pentru compunerea scrisă cu forma cu paranteze și 3 puncte pentru rezolvare.
Modelul din 2023, cerința 4: inecuația $x \circ (x + 2) \leq - 8$ devine un produs de doi factori; pagina probei dă 2 puncte pentru compunere și 3 puncte pentru intervalul soluțiilor.

Exercițiile 9 și 11 reiau ecuația cu puteri și inecuația; exercițiul 10 adaugă o compunere repetată, $x \circ x \circ x = 41$ .

Greșeli care costă puncte

Păstrezi o singură rădăcină → Vlad a dat doar 7 la $(x - 3)^{2} = 16$ ; cum o prinzi: scrii mereu „ $x - 3 = 4$ sau $x - 3 = - 4$ ”.
Păstrezi valorile negative ale lui $2^{x}$ → la $2^{x} * 2^{x} = 52$ apare $t = - 10$ ; cum o prinzi: scrii condiția $t > 0$ chiar lângă notație.
Rezolvi ecuația în loc de inecuație → la cartonașe găsești doar 0 și 9; cum o prinzi: încerci un număr din interior, ca 5, și unul din afară, ca 10.
Uiți condiția din context → la paginile alăturate păstrezi și perechea 3 și 4; cum o prinzi: verifici fiecare soluție în situație.
Lucrezi pe forma desfăcută → $x \circ x$ dă o ecuație cu toți termenii și calcule lungi; cum o prinzi: primul rând al rezolvării e forma cu paranteze.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006). Conținutul atins este „Legi de compoziție, proprietăți”, folosit împreună cu ecuațiile de gradul al II-lea și cu ecuațiile exponențiale din clasele a IX-a și a X-a. La examen, ecuațiile cu legea se cer la Subiectul al II-lea; în probele M_pedagogic 2013–2026 au apărut în toate cele 60 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

De ce a ales doamna Mihaela variantele cu $c - 13$ pătrat perfect? Fiindcă ecuația $x \circ x = c$ devine $(x - 4)^{2} = c - 13$ , iar soluțiile sunt întregi doar dacă $c - 13$ e pătratul unui număr natural. Cu $c = 22$ obține 1 și 7; cu $c = 16$ ar obține $4 \pm 3$ , iar elevii ar lucra cu radicali.

Ce soluții ar avea varianta cu $c = 38$ ? Ecuația devine $(x - 4)^{2} = 25$ , deci $x - 4 = 5$ sau $x - 4 = - 5$ , adică $x = 9$ sau $x = - 1$ . Ambele sunt întregi, fiindcă 25 e pătratul lui 5. Verificarea, cu $x \circ y = (x - 4) (y - 4) + 13$ : $9 \circ 9 = 25 + 13 = 38$ , iar $(- 1) \circ (- 1) = 25 + 13 = 38$ .

De ce varianta B are o singură soluție? Pentru $c = 13$ , ecuația devine $(x - 4)^{2} = 0$ , iar un pătrat e 0 doar când baza e 0, deci $x = 4$ . Celelalte variante au membrul drept pozitiv și dau două soluții, sau negativ și nu dau niciuna. O ecuație cu o singură soluție e utilă la oră pentru discuția despre $Δ = 0$ .

Ce fac dacă ecuația paginilor are două soluții? Verifici fiecare soluție în situație, nu doar în ecuație. La Ana, 46 vine din $n = 3$ sau din $n = 16$ , dar numai 16 și 17 pot fi pagini față în față: paginile 3 și 4 sunt pe aceeași foaie. Ecuația dă două numere, iar contextul păstrează unul.

Câte cerințe cu ecuații a avut Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele M_pedagogic 2013–2026 au fost 110 cerințe cu ecuații, în toate cele 60 de probe, toate la Subiectul al II-lea. Dintre ele, 28 au avut necunoscuta în exponent, sub logaritm sau sub radical. Inecuațiile de rezolvat au fost 19, în 18 probe, iar multe au cerut numere naturale.

Trebuie să verific soluțiile în ecuația cu legea? Da, fiindcă o greșeală de desfacere sau o condiție uitată se vede abia acolo. La legea $x * y = (x + 3) (y + 3) + 3$ , cu $2^{x} * 2^{x} = 52$ , verificarea $4 * 4 = 52$ confirmă $x = 2$ . Dacă ai fi păstrat $t = - 10$ , n-ai fi găsit niciun $x$ de verificat, semn că valoarea trebuia eliminată.