Elementul neutru

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Elementul neutru, dacă există, este unic (dacă $e$ și $e^{\prime }$ ar fi amândouă neutre, $e=e\ast e^{\prime }=e^{\prime }$). ⚠️ Cea mai scumpă condiție a capitolului: $e$ trebuie să fie în mulțimea dată, nu doar să existe ca număr real — pe $(2,+\infty )$ legea $(x-2)(y-2)+2$ are $e=3\in (2,+\infty )$ ✓, dar aceeași lege pe $(3,+\infty )$ nu mai are element neutru. La legile scrise cu ambele variabile se rezolvă ecuația $x\ast e=x$ și se verifică apoi și $e\ast x=x$ (la legile comutative, a doua verificare e automată).

Exemplu: Pentru $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$: $e=3$, fiindcă $x\ast 3=(x-2)\cdot 1+2=x$ ✓. • Pentru $x\ast y=x+y-3$: $e=3$.