Pentru legea $$x \circ y = xy + 4x + 4y + 25$$, care afirmație este adevărată?

$$x \circ (-4) = 9$$ pentru orice număr real $$x$$

Ce aflu din forma factorizată despre x ° x?

Că x ° x = k(x - a)² + a, deci ecuația x ° x = c devine un pătrat egal cu un număr. La x * y = 3(x - 11)(y - 11) + 11, x * x = 59 dă (x - 11)² = 16, deci x = 7 sau x = 15. Pentru k > 0, rezultatul nu coboară sub a.

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Forma factorizată și ce citești din ea

Ce îmi spune forma factorizată despre o lege?

Din $x \circ y = k (x - a) (y - a) + a$ citești fără calcule: $a$ absoarbe, neutrul este $a + \frac{1}{k}$ , legea e comutativă, iar $x \circ x = k (x - a)^{2} + a$ . La $x \circ y = 3 x y - 33 x - 33 y + 374 = 3 (x - 11) (y - 11) + 11$ : 11 absoarbe, neutrul e $\frac{34}{3}$ , iar pentru $x, y > 11$ rezultatul trece de 11. Dacă la final stă alt număr decât cel din paranteze, nimic nu mai absoarbe și legea nu are neutru, deci compari întâi constanta.

Forma factorizată scrie o lege ca produs de două paranteze plus o constantă. Pornești de la $(x - a) (y - a) = x y - a x - a y + a^{2}$ : legea $x y - a x - a y + b$ devine $(x - a) (y - a) + b - a^{2}$ . Numărul $a$ e coeficientul lui $x$ cu semn schimbat; dacă în fața lui $x y$ stă un coeficient $k$ , împarți întâi la el.

Din forma $k (x - a) (y - a) + a$ citești direct: $a$ absoarbe, fiindcă un factor devine 0; neutrul este $a + \frac{1}{k}$ ; $x \circ x = k (x - a)^{2} + a$ , deci pentru $k > 0$ rezultatul nu coboară sub $a$ . Pe legea $x \circ y = x y - 35 x - 35 y + 1260$ , adică $(x - 35) (y - 35) + 35$ , calculul $37 \circ 39 = 2 \cdot 4 + 35 = 43$ se face în cap.

Dacă la final stă o constantă $c \neq = a$ , atunci $x \circ a = c$ pentru orice $x$ , dar nimic nu absoarbe și legea nu are neutru. Dacă $x$ și $y$ au coeficienți diferiți, $x y + p x + q y + r = (x + q) (y + p) + r - pq$ , iar legea nu e comutativă.

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), forma factorizată s-a cerut în 34 din cele 60 de probe din 2013–2026, ca egalitate de arătat. Proba rapidă: o pereche de numere pusă în ambele forme dă același rezultat.

De reținut

la $k (x - a) (y - a) + a$ : $a$ absoarbe, neutrul este $a + \frac{1}{k}$
o constantă finală $c \neq = a$ înseamnă: nimic nu absoarbe și nu există neutru
paranteze cu numere diferite înseamnă o lege necomutativă

Greșeala tipică

Se citește „absoarbe $- 6$ , neutrul $- 5$ ” din legea $x \circ y = (x + 6) (y + 6) + 14$ , fără să se compare constanta finală cu $- 6$ . Corect: $x \circ (- 6) = 14$ , deci $- 6$ nu absoarbe, iar legea nu are neutru.

Exerciții din această mini-lecție

Care este forma factorizată a legii $x \circ y = x y - 32 x - 32 y + 1056$ ?
- a) $(x - 32) (y - 32) + 1056$
- b) $(x + 32) (y + 32) + 32$
- c) $(x - 32) (y - 32) + 32$
- d) $(x - 32) (y - 32) - 32$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $(x - 32) (y - 32) + 32$

$3 2^{2} = 1024$ , iar $1056 - 1024 = 32$ , deci $x \circ y = (x - 32) (y - 32) + 32$ . Varianta cu $+ 1056$ uită să scadă $3 2^{2}$ , cea cu $(x + 32) (y + 32)$ greșește semnul din paranteze, iar cea cu $- 32$ scade invers, $1024 - 1056$ . Verificare: $33 \circ 33 = 33 \cdot 33 - 32 \cdot 66 + 1056 = 1089 - 2112 + 1056 = 33$ .
Legea $x \circ y = 2 x y - 22 x - 22 y + 253$ se scrie $2 (x - 11) (y - 11) + 11$ . Care este elementul ei neutru?
- a) $11$
- b) $\frac{23}{2}$
- c) $12$
- d) $13$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{23}{2}$

Neutrul este $11 + \frac{1}{2} = \frac{23}{2}$ : $x \circ \frac{23}{2} = 2 (x - 11) \cdot \frac{1}{2} + 11 = x$ . Numărul 11 absoarbe, nu e neutru; 12 ar fi neutrul fără factorul 2; 13 adună 2 în loc de $\frac{1}{2}$ .
Pentru legea $x \circ y = x y + 4 x + 4 y + 25$ , care afirmație este adevărată?
- a) numărul $- 4$ absoarbe
- b) $- 3$ este element neutru
- c) legea nu este comutativă
- d) $x \circ (- 4) = 9$ pentru orice număr real $x$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $x \circ (- 4) = 9$ pentru orice număr real $x$

Forma factorizată este $(x + 4) (y + 4) + 9$ , iar $x \circ (- 4) = 0 + 9 = 9$ pentru orice $x$ . Numărul $- 4$ nu absoarbe, fiindcă rezultatul e 9, nu $- 4$ . Nici $- 3$ nu e neutru: $0 \circ (- 3) = 4 \cdot 1 + 9 = 13$ , nu 0. Legea este comutativă, fiindcă parantezele au același număr.

Întrebări conexe

De ce absoarbe numărul din paranteze?

Pentru că, pus în locul lui $x$ sau al lui $y$ , face un factor egal cu 0. La $x \circ y = (x - 35) (y - 35) + 35$ , $35 \circ 48 = 0 \cdot 13 + 35 = 35$ , oricare ar fi al doilea număr. Asta merge doar dacă la final se adaugă tot 35.

Ce se schimbă dacă la final nu stă numărul din paranteze?

Atunci nu mai absoarbe nimic și legea nu are neutru. La $x \circ y = (x + 6) (y + 6) + 14$ , $x \circ (- 6) = 14$ pentru orice $x$ , dar $- 6$ nu absoarbe, fiindcă rezultatul e 14. Un neutru ar cere $e = - 5$ , iar $0 \circ (- 5) = 20$ , nu 0.

Cum aflu neutrul când în față stă un coeficient?

Adaugi la numărul din paranteze inversul coeficientului. La $x \circ y = 2 (x - 13) (y - 13) + 13$ , neutrul e $13 + \frac{1}{2} = 13, 5$ , fiindcă $13, 5 \circ 20 = 2 \cdot 0, 5 \cdot 7 + 13 = 20$ . Fără coeficient, la $(x - a) (y - a) + a$ , neutrul e $a + 1$ . Proba pe un număr oarecare prinde o fracție scrisă greșit.

Ce aflu din forma factorizată despre $x \circ x$ ?

Că $x \circ x = k (x - a)^{2} + a$ , deci ecuația $x \circ x = c$ devine un pătrat egal cu un număr. La $x * y = 3 (x - 11) (y - 11) + 11$ , $x * x = 59$ dă $(x - 11)^{2} = 16$ , deci $x = 7$ sau $x = 15$ . Pentru $k > 0$ , rezultatul nu coboară sub $a$ .

Cum recunosc o lege necomutativă după formă?

Parantezele au numere diferite. La $x \circ y = x y - 5 x - 3 y + 18 = (x - 3) (y - 5) + 3$ avem $4 \circ 6 = 4$ , dar $6 \circ 4 = 0$ . Paranteza lui $x$ primește coeficientul lui $y$ , iar a lui $y$ pe al lui $x$ , de aceea ordinea contează.

Cât de des cere Bacalaureatul M4 forma factorizată?

Ca egalitate „Arătați că $x * y = \dots$ ”, forma factorizată s-a cerut în 34 de probe M_pedagogic, dintre cele 60 date între 2013 și 2026. În 14 dintre ele forma era $(x - a) (y - a) + a$ , în 15 avea un coeficient în față, în 4 constanta de la final diferea de numărul din paranteze, iar într-una parantezele aveau numere diferite.

Oamenii mai întreabă și: ce se poate citi din forma cu paranteze a unei legi · forma factorizată și elementul neutru · la ce folosește forma factorizată la bacalaureat pedagogic · legea scrisă ca produs de paranteze plus o constantă