Forma factorizată a legii de compoziție

Formulă din tema Legi de compoziție și clase de resturi, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Este rețeta care rezolvă aproape toate problemele de Bacalaureat M1 cu legi de compoziție: caută $a$ cu $x\ast y=(x-a)(y-a)+a$. Numărul $a$ se citește direct din coeficientul lui $x$ (luat cu semn schimbat), iar criteriul $b=a^2+a$ spune dacă factorizarea chiar există. Din forma factorizată se obțin, fiecare într-o linie: partea stabilă $(a,+\infty )$, elementul neutru $e=a+1$, simetricul $x^{\prime }=a+\frac{1}{x-a}$ și izomorfismul $f(x)=x-a$ cu înmulțirea obișnuită. Când $b\ne a^2+a$, legea nu se factorizează și se lucrează direct cu definiția.

Exemplu: $x\ast y=xy-17x-17y+306$: cu $a=17$ avem $a^2+a=289+17=306$ ✓, deci $x\ast y=(x-17)(y-17)+17$, cu $e=18$.