Forma factorizată a unei legi, la pedagogic

O regulă ca „scade 35 din fiecare număr, înmulțește rezultatele, adaugă 35” se calculează în cap, dar aceeași regulă, scrisă desfăcut, cere produse de patru cifre. Trecerea de la forma desfăcută la cea cu paranteze se numește forma factorizată. Din ea citești, fără alte calcule, neutrul și numărul care absoarbe. Lecția e pentru clasa a XI-a de la profilul pedagogic, iar la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) forma factorizată s-a cerut în 34 din cele 60 de probe din 2013–2026.

Situația de pornire

Andrei, elev în clasa a XI-a la profilul pedagogic, pregătește pentru practica de la clasa a IV-a jocul „Mașina cu două intrări”. Un copil scrie câte un număr pe două bilețele și le pune în cele două fante ale unei cutii, iar Andrei scoate bilețelul cu rezultatul. Pe cutie, regula pentru copii e scrisă în cuvinte: „scade 35 din fiecare număr, înmulțește rezultatele, adaugă 35”. Profesorul de matematică i-a dat aceeași regulă scrisă altfel: $x \circ y = x y - 35 x - 35 y + 1260$ . Andrei a probat cutia pe patru perechi.

Proba	Prima intrare (număr)	A doua intrare (număr)	Ieșirea (număr)
1	37	39	43
2	36	40	40
3	35	48	35
4	41	38	53

Întrebare: sunt cele două reguli aceeași lege? De ce iese 35 ori de câte ori un copil pune 35 într-o fantă, iar 36 lasă celălalt număr neschimbat?

De la situație la model

În situație	În matematică
numerele de pe bilețele	numerele reale $x$ și $y$
regula scrisă pe cutie	forma factorizată $(x - 35) (y - 35) + 35$
regula de la profesor	forma desfăcută $x y - 35 x - 35 y + 1260$
numărul care face ca ieșirea să fie mereu 35	elementul care absoarbe, $a = 35$
numărul care lasă neschimbat celălalt număr	elementul neutru, $e = 36$

Cele două forme sunt aceeași lege dacă dau același rezultat pentru orice $x$ și $y$ . Forma factorizată a unei legi este scrierea ei ca un produs de două paranteze, eventual cu un coeficient în față, la care se adaugă o constantă: $k (x - a) (y - b) + c$ . La probele M_pedagogic, de cele mai multe ori $b = a$ .

Cum obții forma factorizată din forma desfăcută?

Pornești de la produsul $(x - a) (y - a) = x y - a x - a y + a^{2}$ . Dacă legea are termenii $x y - a x - a y$ , îi completezi cu $a^{2}$ și scazi la loc: $x y - a x - a y + b = (x - a) (y - a) + b - a^{2}$ . Pe legea lui Andrei, $a = 35$ și $3 5^{2} = 1225$ , deci $x y - 35 x - 35 y + 1260 = (x - 35) (y - 35) + 35$ . Numărul din paranteză se citește din coeficientul lui $x$ , cu semn schimbat.

Ce faci când în fața lui $x y$ stă un coeficient?

Scoți coeficientul în fața primilor trei termeni. De pildă, $2 x y - 26 x - 26 y + 351 = 2 (x y - 13 x - 13 y) + 351$ . Apoi completezi paranteza: $x y - 13 x - 13 y = (x - 13) (y - 13) - 169$ . Rezultă $2 (x - 13) (y - 13) - 338 + 351 = 2 (x - 13) (y - 13) + 13$ . Regula: $a$ este coeficientul lui $x$ împărțit la coeficientul lui $x y$ , cu semn schimbat.

Ce citești din forma $k (x - a) (y - a) + c$ ?

Dacă $c = a$ , legea are elementul care absoarbe $a$ , fiindcă un factor devine 0, și elementul neutru $e = a + \frac{1}{k}$ . Tot de aici, $x \circ x = k (x - a)^{2} + a$ : pentru $k > 0$ , rezultatul nu coboară sub $a$ . Dacă $c \neq = a$ , atunci $x \circ a = c$ pentru orice $x$ , dar $c$ nu absoarbe, iar legea nu are element neutru.

Ce faci când coeficienții lui $x$ și $y$ diferă?

Legea $x y + p x + q y + r$ se scrie $(x + q) (y + p) + r - pq$ : paranteza lui $x$ primește coeficientul lui $y$ , iar paranteza lui $y$ pe al lui $x$ . Exemplu: $x y - 3 x - 8 y + 26 = (x - 8) (y - 3) + 2$ . O asemenea lege nu e comutativă: schimbarea lui $x$ cu $y$ schimbă parantezele.

Metoda pas cu pas

Citește coeficienții: al lui $x y$ (notat $k$ ), al lui $x$ și al lui $y$ . Dacă cei doi sunt egali, numărul din paranteze este $a = - \frac{coeficientul lui x}{k}$ . Dacă diferă, paranteza lui $x$ primește coeficientul lui $y$ împărțit la $k$ , iar paranteza lui $y$ pe al lui $x$ împărțit la $k$ .
Calculează constanta: scazi din termenul liber produsul $k \cdot a^{2}$ , sau, la parantezele diferite, $k$ ori produsul celor două numere din paranteze. Ce rămâne este $c$ . Scrie forma $k (x - a) (y - a) + c$ .
Verifică forma pe două căi: desfaci parantezele și regăsești legea dată, apoi încerci o pereche de numere în ambele forme. Pe legea lui Andrei, perechea 37 și 39 dă 43 în ambele. O constantă greșită se vede imediat pe un număr.
Citește din formă ce ți se cere. Dacă $c = a$ : elementul care absoarbe e $a$ , neutrul e $a + \frac{1}{k}$ , iar $x \circ x = k (x - a)^{2} + a$ . Dacă $c \neq = a$ : $x \circ a = c$ , dar legea nu are neutru. Semnul lui $k (x - a) (y - a)$ arată dacă rezultatul trece peste $a$ sau sub $a$ .

Simetricul unui element, aflat tot pe forma cu paranteze, e în lecția despre simetricul unui element, la pedagogic. Proprietățile pe care le citești aici sunt definite în lecția asociativă, comutativă, neutru, la tehnologic, iar calculul unei legi și tabla ei sunt în lege de compoziție la tehnologic: tabla. Restul clasei e în traseul clasei a XI-a, profilul pedagogic.

Fișa de buzunar

Forma desfăcută	Forma factorizată	Ce citești din ea
$x y - a x - a y + a^{2} + a$	$(x - a) (y - a) + a$	absoarbe $a$ ; neutrul $a + 1$
$k x y - k a x - k a y + k a^{2} + a$	$k (x - a) (y - a) + a$	absoarbe $a$ ; neutrul $a + \frac{1}{k}$
$x y - a x - a y + a^{2} + c$ , cu $c \neq = a$	$(x - a) (y - a) + c$	$x \circ a = c$ ; fără neutru
$x y + p x + q y + r$	$(x + q) (y + p) + r - pq$	necomutativă dacă $p \neq = q$

$x y - a x - a y = (x - a) (y - a) - a^{2}$

Condiții: forma se scrie pentru orice $x$ și $y$ reali. Verificare rapidă: o pereche de numere pusă în ambele forme trebuie să dea același rezultat.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Mașina lui Andrei

Domeniu: învățământ primar.

Enunț. Reia jocul din situația de pornire, cu legea $x \circ y = x y - 35 x - 35 y + 1260$ . a) Arată că $x \circ y = (x - 35) (y - 35) + 35$ . b) Calculează $37 \circ 39$ în ambele forme. c) Explică ieșirile din probele 2 și 3. d) Ce iese dacă un copil pune 33 și 34?

Rezolvare. a) $(x - 35) (y - 35) + 35 = x y - 35 x - 35 y + 1225 + 35 = x y - 35 x - 35 y + 1260$ . b) Pe forma cu paranteze: $37 \circ 39 = 2 \cdot 4 + 35 = 43$ . Pe forma desfăcută: $37 \cdot 39 - 35 \cdot 37 - 35 \cdot 39 + 1260 = 1443 - 1295 - 1365 + 1260 = 43$ . c) La proba 2, $36 - 35 = 1$ , deci $36 \circ 40 = 1 \cdot 5 + 35 = 40$ : 36 e elementul neutru. La proba 3, $35 - 35 = 0$ , deci produsul e 0 și iese 35, oricare ar fi celălalt număr. d) $33 \circ 34 = (- 2) \cdot (- 1) + 35 = 37$ .

Capcană. Cine uită să adauge 35 la final dă copilului bilețelul $2 \cdot 4 = 8$ pentru 37 și 39. Tabelul arată 43, deci regula are trei pași, nu doi.

Verificare. Proba 4 din tabel: $41 \circ 38 = 6 \cdot 3 + 35 = 53$ , cât a ieșit din cutie. Pe forma desfăcută: $1558 - 1435 - 1330 + 1260 = 53$ .

Exemplul 2 — Proba de calcul rapid

Domeniu: concurs școlar.

Enunț. La concursul de calcul rapid al școlii, elevii au 30 de secunde pentru $15 \circ 16$ , unde $x \circ y = 2 x y - 26 x - 26 y + 351$ . a) Scrie legea în forma factorizată. b) Calculează $15 \circ 16$ și $12 \circ 14$ . c) Care este elementul neutru și care absoarbe? d) Care este cel mai mic rezultat pe care îl poate da $x \circ x$ ?

Rezolvare. a) $2 x y - 26 x - 26 y + 351 = 2 (x y - 13 x - 13 y) + 351 = 2 [(x - 13) (y - 13) - 169] + 351 = 2 (x - 13) (y - 13) + 13$ . b) $15 \circ 16 = 2 \cdot 2 \cdot 3 + 13 = 25$ și $12 \circ 14 = 2 \cdot (- 1) \cdot 1 + 13 = 11$ . c) Constanta 13 e egală cu numărul din paranteze, deci 13 absoarbe, iar neutrul e $13 + \frac{1}{2} = 13, 5$ . d) $x \circ x = 2 (x - 13)^{2} + 13 \geq 13$ , cu egalitate pentru $x = 13$ : cel mai mic rezultat e 13.

Capcană. Cine scrie $(x - 13) (y - 13) + 13$ , fără factorul 2, obține $15 \circ 16 = 6 + 13 = 19$ , nu 25. Coeficientul lui $x y$ rămâne în fața parantezelor.

Verificare. Pe forma desfăcută: $15 \circ 16 = 480 - 390 - 416 + 351 = 25$ . Pentru neutru: $13, 5 \circ 20 = 2 \cdot 0, 5 \cdot 7 + 13 = 20$ .

Exemplul 3 — Fișa colegei

Domeniu: pregătirea unei fișe de lucru.

Enunț. Pentru ora de pregătire, Daria a scris o fișă cu legea $x \circ y = x y + 6 x + 6 y + 50$ și a trecut la răspunsuri: „elementul care absoarbe este $- 6$ , iar neutrul este $- 5$ ”. Colega ei, Ioana, verifică fișa. a) Scrie legea în forma factorizată. b) Calculează $x \circ (- 6)$ . Absoarbe $- 6$ ? c) Are legea element neutru?

Rezolvare. a) $(x + 6) (y + 6) = x y + 6 x + 6 y + 36$ , deci $x \circ y = (x + 6) (y + 6) + 14$ . b) $x \circ (- 6) = (x + 6) \cdot 0 + 14 = 14$ pentru orice $x$ . Rezultatul e mereu 14, nu $- 6$ , deci $- 6$ nu absoarbe. c) Un neutru $e$ ar trebui să dea $(x + 6) (e + 6) + 14 = x$ pentru orice $x$ . Coeficientul lui $x$ cere $e + 6 = 1$ , deci $e = - 5$ , dar atunci $x \circ (- 5) = x + 6 + 14 = x + 20$ , nu $x$ . Legea nu are element neutru, iar răspunsurile Dariei trebuie corectate.

Capcană. Cine citește din paranteze „absoarbe $- 6$ , neutrul $- 5$ ”, ca la forma $(x - a) (y - a) + a$ , nu observă că la final stă 14, nu $- 6$ . Regula de citire merge doar dacă constanta e chiar numărul din paranteze.

Verificare. $0 \circ (- 5) = 6 \cdot 1 + 14 = 20$ , nu 0, deci $- 5$ nu e neutru. Iar $3 \circ (- 6) = 14$ și $10 \circ (- 6) = 14$ : ieșirea nu depinde de celălalt număr.

Exemplul 4 — în stilul Bac M4: forma, apoi ce se citește din ea

Domeniu: fără context.

Enunț. Exemplul urmează forma Subiectului al II-lea din probele M_pedagogic, fără context. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 3 x y - 33 x - 33 y + 374$ . a) Arătați că $x * y = 3 (x - 11) (y - 11) + 11$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Arătați că $e = \frac{34}{3}$ este elementul neutru al legii. c) Arătați că $x * 11 = 11$ , pentru orice număr real $x$ . d) Arătați că, dacă $x$ și $y$ sunt numere reale mai mari decât 11, atunci $x * y > 11$ . e) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x = 59$ .

Rezolvare. a) $3 (x - 11) (y - 11) + 11 = 3 (x y - 11 x - 11 y + 121) + 11 = 3 x y - 33 x - 33 y + 374$ . b) $x * \frac{34}{3} = 3 (x - 11) \cdot \frac{1}{3} + 11 = x$ , iar forma nu se schimbă la schimbarea lui $x$ cu $y$ , deci și $\frac{34}{3} * x = x$ . c) $x * 11 = 3 (x - 11) \cdot 0 + 11 = 11$ . d) Dacă $x > 11$ și $y > 11$ , ambii factori sunt pozitivi, deci $3 (x - 11) (y - 11) > 0$ și $x * y > 11$ . e) $3 (x - 11)^{2} + 11 = 59$ dă $(x - 11)^{2} = 16$ , deci $x - 11 = 4$ sau $x - 11 = - 4$ , adică $x = 15$ sau $x = 7$ .

Capcană. Cine desface greșit și scrie $3 (x - 11) (y - 11) = 3 x y - 33 x - 33 y + 121$ înmulțește cu 3 doar primii trei termeni. Constanta corectă e $3 \cdot 121 = 363$ , iar $363 + 11 = 374$ .

Verificare. La e): $15 * 15 = 3 \cdot 4 \cdot 4 + 11 = 59$ și $7 * 7 = 3 \cdot (- 4) \cdot (- 4) + 11 = 59$ . La b), cu un număr: $\frac{34}{3} * 14 = 3 \cdot \frac{1}{3} \cdot 3 + 11 = 14$ .

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie în forma factorizată legea $x \circ y = x y - 33 x - 33 y + 1122$ și calculează $30 \circ 31$ .

2. Scrie în forma factorizată legea $x \circ y = x y + 20 x + 20 y + 380$ . Care număr absoarbe și care e elementul neutru?

3. Scrie în forma factorizată legea $x \circ y = 2 x y - 24 x - 24 y + 300$ și află elementul neutru.

4. Pentru legea $x \circ y = x y - 5 x - 5 y + 31$ , scrie forma factorizată, calculează $x \circ 5$ și arată că legea nu are element neutru.

Nivelul 2 — situații

5. Bianca a construit pentru clasa a III-a o altă mașină, cu regula „scade 9 din fiecare număr, înmulțește rezultatele, triplează, adaugă 9”. a) Scrie regula ca lege $x \circ y$ în forma desfăcută. b) Ce iese pentru 10 și 12? c) Ce număr, pus într-o fantă, face ca ieșirea să fie mereu 9? d) Există un bilețel cu număr natural care lasă celălalt număr neschimbat?

6. Pentru legea $x \circ y = x y - 4 x - 4 y + 21$ , Radu a scris la tablă: „ $x y - 4 x - 4 y + 21 = (x - 4) (y - 4) + 21$ ”. a) Verifică egalitatea lui pe perechea 5 și 6. b) Găsește greșeala și scrie forma corectă. c) Care număr absoarbe?

7. O mașină de numere are o fantă roșie, pentru primul număr, și una albastră, pentru al doilea. Regula ei e $x \circ y = x y - 5 x - 3 y + 18$ , cu $x$ în fanta roșie. a) Scrie legea ca produs de două paranteze plus o constantă. b) Calculează $4 \circ 6$ și $6 \circ 4$ . Contează în ce fantă pui bilețelul? c) Ce număr, pus în fanta roșie, dă mereu 3? Dar în fanta albastră?

8. Pentru mașina Biancăi din exercițiul 5, adică $x \circ y = 3 (x - 9) (y - 9) + 9$ , Ana spune: „dacă pui două numere mai mari decât 9, iese un număr mai mare decât 9; dacă pui două numere mai mici decât 9, iese un număr mai mic decât 9”. a) Are dreptate în prima parte? b) Dar în a doua? Încearcă 7 și 8. c) Ce se întâmplă cu un număr mai mare și unul mai mic decât 9?

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - 34 x - 34 y + 1190$ . a) Arătați că $x * y = (x - 34) (y - 34) + 34$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Calculați $33 * 35$ .

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = - 2 x y + 14 x + 14 y - 91$ . a) Demonstrați că $x \circ y = - 2 (x - 7) (y - 7) + 7$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Arătați că $x \circ 7 = 7 \circ x = 7$ , pentru orice număr real $x$ .

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M4.) Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - 3 x - 6 y + 22$ . a) Arătați că $x * y = (x - 6) (y - 3) + 4$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . b) Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 3 = x$ .

12. (Sinteză.) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $4 x y - 52 x - 52 y + b = 4 (x - a) (y - a) + a$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ . Pentru legea $x \circ y = 4 x y - 52 x - 52 y + b$ obținută, aflați elementul neutru și rezolvați ecuația $x \circ x = 14$ .

Răspunsuri și verificări

1. $3 3^{2} = 1089$ , iar $1122 - 1089 = 33$ , deci $x \circ y = (x - 33) (y - 33) + 33$ . Apoi $30 \circ 31 = (- 3) \cdot (- 2) + 33 = 39$ . Verificare: pe forma desfăcută, $930 - 990 - 1023 + 1122 = 39$ .

2. $(x + 20) (y + 20) = x y + 20 x + 20 y + 400$ , deci $x \circ y = (x + 20) (y + 20) - 20$ . Absoarbe $- 20$ , iar neutrul este $- 20 + 1 = - 19$ . Verificare: $(- 19) \circ 5 = 1 \cdot 25 - 20 = 5$ .

3. $2 x y - 24 x - 24 y + 300 = 2 (x - 12) (y - 12) - 288 + 300 = 2 (x - 12) (y - 12) + 12$ . Neutrul este $12 + \frac{1}{2} = \frac{25}{2}$ . Verificare: $\frac{25}{2} \circ 20 = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 8 + 12 = 20$ .

4. $x \circ y = (x - 5) (y - 5) + 6$ , fiindcă $31 - 25 = 6$ . Atunci $x \circ 5 = 6$ pentru orice $x$ . Un neutru ar cere $e - 5 = 1$ , deci $e = 6$ , dar $x \circ 6 = (x - 5) + 6 = x + 1$ , nu $x$ . Verificare: $0 \circ 6 = (- 5) \cdot 1 + 6 = 1$ , nu 0.

5. a) $x \circ y = 3 (x - 9) (y - 9) + 9 = 3 x y - 27 x - 27 y + 243 + 9 = 3 x y - 27 x - 27 y + 252$ . b) $10 \circ 12 = 3 \cdot 1 \cdot 3 + 9 = 18$ . c) 9, fiindcă un factor devine 0. d) Neutrul ar fi $9 + \frac{1}{3} = \frac{28}{3}$ , care nu e număr natural, deci niciun bilețel nu lasă celălalt număr neschimbat. Verificare: $10 \circ 12 = 360 - 270 - 324 + 252 = 18$ .

6. a) Legea dă $30 - 20 - 24 + 21 = 7$ , iar forma lui Radu dă $1 \cdot 2 + 21 = 23$ : diferă. b) Radu n-a scăzut $4^{2} = 16$ : forma corectă e $(x - 4) (y - 4) + 5$ . c) Constanta 5 nu e 4, deci niciun număr nu absoarbe; $x \circ 4 = 5$ pentru orice $x$ . Verificare: $(5 - 4) (6 - 4) + 5 = 7$ , ca legea.

7. a) $(x - 3) (y - 5) = x y - 5 x - 3 y + 15$ , deci $x \circ y = (x - 3) (y - 5) + 3$ . b) $4 \circ 6 = 1 \cdot 1 + 3 = 4$ , iar $6 \circ 4 = 3 \cdot (- 1) + 3 = 0$ : fanta contează. c) În fanta roșie, 3, fiindcă $3 \circ y = 0 \cdot (y - 5) + 3 = 3$ . În fanta albastră, 5, fiindcă $x \circ 5 = 3$ . Verificare: $4 \circ 6 = 24 - 20 - 18 + 18 = 4$ .

8. a) Da: $x \circ y - 9 = 3 (x - 9) (y - 9)$ , iar doi factori pozitivi dau un produs pozitiv. b) Nu: doi factori negativi dau tot un produs pozitiv, deci iese tot peste 9: $7 \circ 8 = 3 \cdot (- 2) \cdot (- 1) + 9 = 15$ . c) Un factor pozitiv și unul negativ dau un produs negativ, deci iese sub 9. Verificare: $12 \circ 8 = 3 \cdot 3 \cdot (- 1) + 9 = 0$ .

9. a) $(x - 34) (y - 34) + 34 = x y - 34 x - 34 y + 1156 + 34 = x y - 34 x - 34 y + 1190$ . b) $33 * 35 = (- 1) \cdot 1 + 34 = 33$ . Verificare: pe forma desfăcută, $1155 - 1122 - 1190 + 1190 = 33$ .

10. a) $- 2 (x - 7) (y - 7) + 7 = - 2 (x y - 7 x - 7 y + 49) + 7 = - 2 x y + 14 x + 14 y - 98 + 7 = - 2 x y + 14 x + 14 y - 91$ . b) $x \circ 7 = - 2 (x - 7) \cdot 0 + 7 = 7$ , iar $7 \circ x = - 2 \cdot 0 \cdot (x - 7) + 7 = 7$ . Verificare: $2 \circ 7 = - 28 + 28 + 98 - 91 = 7$ .

11. a) $(x - 6) (y - 3) + 4 = x y - 3 x - 6 y + 18 + 4 = x y - 3 x - 6 y + 22$ . b) $x * 3 = (x - 6) \cdot 0 + 4 = 4$ , deci ecuația $x * 3 = x$ devine $4 = x$ , cu soluția $x = 4$ . Verificare: $4 * 3 = 12 - 12 - 18 + 22 = 4$ .

12. Desfăcut, $4 (x - a) (y - a) + a = 4 x y - 4 a x - 4 a y + 4 a^{2} + a$ . Coeficientul lui $x$ dă $- 4 a = - 52$ , deci $a = 13$ , iar $b = 4 \cdot 169 + 13 = 689$ . Legea este $x \circ y = 4 (x - 13) (y - 13) + 13$ , cu neutrul $13 + \frac{1}{4} = \frac{53}{4}$ . Din $4 (x - 13)^{2} + 13 = 14$ rezultă $(x - 13)^{2} = \frac{1}{4}$ , deci $x = \frac{27}{2}$ sau $x = \frac{25}{2}$ . Verificare: $\frac{27}{2} \circ \frac{27}{2} = 4 \cdot \frac{1}{4} + 13 = 14$ .

Așa vine la Bac M4

La Bacalaureatul M4 (M_pedagogic), forma factorizată a legii s-a cerut în 34 din cele 60 de probe din 2013–2026, mereu la Subiectul al II-lea, ca egalitate de arătat: „Arătați că $x * y = \dots$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ ”. În 14 probe forma era $(x - a) (y - a) + a$ , în 15 avea în față un coeficient diferit de 1, în 4, cu coeficientul 1, constanta de la final nu era numărul din paranteze, iar o dată parantezele aveau numere diferite. Simularea din 2025, $7 - \frac{1}{6} (x - 6) (y - 6)$ , are și coeficient, și constantă diferită; e numărată la cele 15.

August 2025, cerința 2: legea se aduce la forma cu $a = 9$ ; e pasul 2 din Metodă, iar pagina probei dă 2 puncte pentru scrierea termenului liber ca $81 + 9$ și 3 puncte pentru grupare.
August 2022, cerința 3: constanta de la final este $- 18$ , nu numărul din paranteze, ca în Exemplul 3; pagina probei dă 3 puncte pentru scrierea lui 7 ca $25 - 18$ și 2 puncte pentru grupare.
Iunie 2026, cerința 4: parantezele au numere diferite, $(x - 2) (y - 1) + 2$ , ca la exercițiile 7 și 11; pagina probei dă 2 puncte pentru împărțirea constantei și 3 puncte pentru grupare.

Greșeli care costă puncte

Uiți să scazi $a^{2}$ → Radu a scris $(x - 4) (y - 4) + 21$ în loc de $(x - 4) (y - 4) + 5$ ; cum o prinzi: pui perechea 5 și 6 în ambele forme și obții 7 față de 23.
Pierzi coeficientul din fața lui $x y$ → $15 \circ 16$ iese 19 în loc de 25; cum o prinzi: desfaci forma găsită și compari coeficientul lui $x y$ cu cel din lege.
Citești „absoarbe $a$ ” fără să compari constanta cu $a$ → la fișa Dariei, cu legea $x \circ y = (x + 6) (y + 6) + 14$ , $- 6$ nu absoarbe, fiindcă $x \circ (- 6) = 14$ ; cum o prinzi: calculezi $x \circ a$ pe formă și vezi dacă iese $a$ .
Pui numerele în parantezele greșite la o lege necomutativă → pentru $x y - 3 x - 8 y + 26$ ar ieși $(x - 3) (y - 8) + 2$ , care dă alt rezultat; cum o prinzi: desfaci și compari coeficienții lui $x$ și $y$ pe rând.
Înmulțești cu $k$ doar o parte din termeni → la Exemplul 4 constanta iese 132 în loc de 374; cum o prinzi: verifici forma pe perechea $x = y = 0$ , care dă direct termenul liber.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M4 (M_pedagogic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), scrisă pentru specializarea învățător-educatoare, și programa școlară a clasei a XI-a pentru profilul pedagogic (PROGRAMA 4, OMEC 3252/2006). Conținutul atins este „Legi de compoziție, proprietăți”. La examen, forma factorizată a legii se cere la Subiectul al II-lea; în probele M_pedagogic 2013–2026 a apărut în 34 din cele 60 de probe. Elevii care dau Bacalaureatul din 2030 învață după un plan-cadru nou (OMEC 4152/2026) și dau alt tip de probă (OMEC 4138/2026); lecția de față nu este scrisă pentru ei.

Întrebări frecvente

De ce calculează Andrei mai repede pe regula de pe cutie? Fiindcă pe forma cu paranteze lucrează cu diferențe mici: pentru 37 și 39 înmulțește 2 cu 4 și adaugă 35. Pe forma desfăcută ar calcula $37 \cdot 39 = 1443$ și încă două produse de patru cifre. Rezultatul e același, 43, doar drumul e mai scurt.

Ce s-ar schimba dacă regula de pe cutie ar spune „adaugă 40” la final? Legea ar deveni $x \circ y = (x - 35) (y - 35) + 40$ , adică $x y - 35 x - 35 y + 1265$ . Numărul 35 n-ar mai absoarbe: un bilețel cu 35 ar scoate mereu 40. Legea n-ar mai avea nici element neutru, deci 36 n-ar mai lăsa celălalt număr neschimbat: $36 \circ 40 = 45$ .

Poate ieși din mașina lui Andrei un număr mai mic decât 35? Da, dacă un număr e mai mare decât 35 și celălalt mai mic: produsul diferențelor e negativ. De pildă, cu $x \circ y = (x - 35) (y - 35) + 35$ , obții $40 \circ 30 = 5 \cdot (- 5) + 35 = 10$ . Dacă ambele numere sunt de aceeași parte a lui 35, ieșirea e cel puțin 35.

Cum găsesc numărul din paranteze când legea are coeficient în față? Împarți coeficientul lui $x$ la coeficientul lui $x y$ și schimbi semnul. La $2 x y - 26 x - 26 y + 351$ : $26 : 2 = 13$ , deci parantezele sunt $(x - 13) (y - 13)$ . Constanta se află apoi din termenul liber: $351 - 2 \cdot 169 = 13$ .

Cât de des s-a cerut forma factorizată la Bacalaureatul M4 (M_pedagogic)? În probele M_pedagogic 2013–2026, forma factorizată s-a cerut în 34 din cele 60 de probe, ca egalitate de arătat la Subiectul al II-lea. În 14 dintre ele forma era cea simplă, $(x - a) (y - a) + a$ ; restul aveau un coeficient în față, o constantă diferită sau paranteze cu numere diferite.

Trebuie să desfac parantezele sau să grupez termenii? Ambele drumuri sunt corecte, dacă arăți egalitatea pentru orice $x$ și $y$ . Cel mai sigur e să desfaci forma cerută și să ajungi la legea dată, ca la exercițiul 9. Gruparea, cu termenul liber scris ca o sumă, e drumul pe care îl arată paginile probelor.