Un tabel dă conținutul a trei furaje (I, II, III), pe linii, în unități pe kilogram: $$18, 4, 6$$ pentru furajul I, apoi $$12, 9, 3$$ pentru II și $$25, 2, 11$$ pentru III, cu coloanele proteină, calciu și fosfor. Notezi cu $$x$$, $$y$$, $$z$$ kilogramele din furajele I, II, III. Condițiile pe nutrienți, în ordinea proteină, calciu, fosfor, se scriu $$A \cdot X = B$$. Care este matricea $$A$$?

$$\begin{pmatrix} 18 & 12 & 25 \\ 4 & 9 & 2 \\ 6 & 3 & 11 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 18 & 4 & 6 \\ 12 & 9 & 3 \\ 25 & 2 & 11 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 4 & 9 & 2 \\ 18 & 12 & 25 \\ 6 & 3 & 11 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 18 & 25 & 12 \\ 4 & 2 & 9 \\ 6 & 11 & 3 \end{pmatrix}$$

Trei cantități $$x$$, $$y$$, $$z$$ de piese, în sute de bucăți, verifică relațiile $$3x + 8 = y + 2z$$, $$4y - 11 = 5x + z$$ și $$x + y + z + 6 = 40$$. Sistemul se aduce la forma $$A \cdot X = B$$, cu necunoscutele în ordinea $$x, y, z$$ și cu toți termenii cu necunoscute în stânga. Care este coloana $$B$$?

$$\begin{pmatrix} -8 \\ 11 \\ 34 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 8 \\ -11 \\ 34 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -8 \\ 11 \\ 40 \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 8 \\ 11 \\ 34 \end{pmatrix}$$

Lecția pe scurt · clasa a XI-a · Condiții pe linii, produse pe coloane

De ce rotesc tabelul la matricea sistemului?

Pentru că o linie a matricei este o condiție, nu un produs. Dacă tabelul are aditivii A, B, C pe rânduri și vitamina C, zincul, fierul pe coloane, citești pe coloane: vitamina C dă prima linie. La rândurile $(40; 5; 0)$ , $(0; 8; 12)$ și $(25; 0; 6)$ rezultă $A = 405008122506$ , cu aditivii pe coloane. Proba: coloana 1 a lui $A$ este exact rândul aditivului A.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

Forma matriceală înlocuiește un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute printr-o singură egalitate, $A \cdot X = B$ . Matricea $A$ cuprinde coeficienții, coloana $X$ cuprinde necunoscutele, iar coloana $B$ cuprinde termenii liberi. Scrierea e utilă când mai multe produse aduc aceeași substanță, cum se întâmplă la dozarea aditivilor.

O linie a lui $A$ este o condiție, iar o coloană este o necunoscută. De aceea un tabel în care fiecare rând descrie un produs se citește pe coloane: ce trebuie respectat devine rând, iar produsul devine coloană. Unde o necunoscută lipsește dintr-o condiție, pui 0. Dacă enunțul dă relații în procente sau în raporturi, muți toți termenii cu necunoscute în stânga și lași numărul în dreapta.

Rezolvarea depinde de forma lui $A$ . Când sub diagonală sunt numai zerouri, sau deasupra ei, și niciunul nu stă pe diagonală, începi cu ecuația în care apare o singură necunoscută și continui ecuație după ecuație. În celelalte cazuri calculezi $det A$ și, dacă este nenul, scrii $X = A^{- 1} B$ . Dacă $det A = 0$ , formula nu se aplică.

Verificarea cere să calculezi $A \cdot X$ și să compari rezultatul cu $B$ pe fiecare linie, apoi să controlezi unitățile. Dacă măcar o linie nu se potrivește, ceea ce ai găsit nu este soluție.

De reținut

$A \cdot X = B$ : o linie a lui $A$ este o condiție, o coloană este o necunoscută
tabelul cu produsele pe rânduri se citește pe coloane
$det A \neq = 0 \Rightarrow X = A^{- 1} B$ ; zerouri pe o parte a diagonalei înseamnă rezolvare ecuație cu ecuație

Greșeala tipică

Se copiază tabelul așa cum e. La exemplul de mai sus, prima linie ar deveni $(40; 5; 0)$ , adică aditivul A, deși prima ecuație trebuie să adune vitamina C din toți aditivii, $(40; 0; 25)$ .

Exerciții din această mini-lecție

Un tabel dă conținutul a trei furaje (I, II, III), pe linii, în unități pe kilogram: $18, 4, 6$ pentru furajul I, apoi $12, 9, 3$ pentru II și $25, 2, 11$ pentru III, cu coloanele proteină, calciu și fosfor. Notezi cu $x$ , $y$ , $z$ kilogramele din furajele I, II, III. Condițiile pe nutrienți, în ordinea proteină, calciu, fosfor, se scriu $A \cdot X = B$ . Care este matricea $A$ ?
- a) $1812254926311$
- b) $4186912322511$
- c) $1846252111293$
- d) $1846129325211$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: d) $1846129325211$

Fiecare linie a lui $A$ trebuie să descrie un nutrient, iar fiecare coloană un furaj, deci tabelul din fișă se rotește: coloana „proteină” $(18; 12; 25)$ devine prima linie. Varianta a) copiază tabelul cu furajele pe linii. Varianta b) schimbă ordinea condițiilor, calciul fiind pe prima linie. Varianta c) schimbă coloanele lui II și III, deci coeficienții lui $y$ ajung la furajul III.
Un atelier de bobinaj execută trei tipuri de lot. Consumul de cupru, izolație și ambalaj, în kilograme pe lot, este în matricea $A = 412611546104$ , cu materialele pe linii și loturile pe coloane. S-au consumat exact $B = 122214108$ kg. Care dintre planurile $(x; y; z)$ de mai jos este soluția ecuației $A \cdot X = B$ ?
- a) $(7; 2; 12)$
- b) $(12; 4; 5)$
- c) $(2; 10; 14)$
- d) $(10; 2; 10)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(12; 4; 5)$

Planul trebuie să verifice toate cele trei linii. Pentru $(12; 4; 5)$ : $4 \cdot 12 + 11 \cdot 4 + 6 \cdot 5 = 122$ , $12 \cdot 12 + 5 \cdot 4 + 10 \cdot 5 = 214$ și $6 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 5 = 108$ . Fiecare dintre celelalte trei planuri verifică exact două linii: a) cuprul și izolația, c) izolația și ambalajul, d) cuprul și ambalajul, dar rupe a treia.
Trei cantități $x$ , $y$ , $z$ de piese, în sute de bucăți, verifică relațiile $3 x + 8 = y + 2 z$ , $4 y - 11 = 5 x + z$ și $x + y + z + 6 = 40$ . Sistemul se aduce la forma $A \cdot X = B$ , cu necunoscutele în ordinea $x, y, z$ și cu toți termenii cu necunoscute în stânga. Care este coloana $B$ ?
- a) $8 - 11 34$
- b) $- 8 1140$
- c) $- 8 1134$
- d) $81134$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $- 8 1134$

Prima relație devine $3 x - y - 2 z = - 8$ , a doua $- 5 x + 4 y - z = 11$ , iar a treia $x + y + z = 34$ , fiindcă $40 - 6 = 34$ . Varianta a) pune semnele inversate la primele două linii. Varianta b) uită să scadă 6 din 40. Varianta d) păstrează $+ 8$ în prima linie, deși termenul liber se mută cu semn schimbat.

Întrebări conexe

Cum scriu o relație în procente ca linie a matricei?

O aduci la forma $a x + b y + cz = d$ . Dacă $x$ este $25%$ din $y + z$ , atunci $4 x = y + z$ , deci linia este $(4; - 1; - 1)$ , cu $0$ în dreapta. Împreună cu $x + y + z = 300$ , ies $x = 60$ și $y + z = 240$ : într-adevăr $4 \cdot 60 = 240$ .

Cum aleg între rezolvarea pe rând și inversa matricei?

Te uiți la zerouri. Pentru $A = 723051004$ , toate elementele de deasupra diagonalei sunt 0, iar pe diagonală niciunul, deci pornești de sus. Cu $B = 282339$ , prima ecuație dă $x = 4$ , a doua $y = 3$ , a treia $z = 6$ . Fără zerouri, calculezi $det A$ și folosești $A^{- 1}$ .

Ce înseamnă un coeficient negativ în matricea sistemului?

Apare de obicei din mutarea unui termen dintr-un membru în altul. De exemplu, $5 x + 4 = 2 y - z$ devine $5 x - 2 y + z = - 4$ : coeficientul lui $y$ este $- 2$ , iar termenul liber este $- 4$ . Un coeficient negativ nu înseamnă o cantitate negativă, ci doar o scădere în acea condiție.

Cum transform o doză la tonă într-o doză la kilogram?

Împarți la 1000, fiindcă o tonă are 1000 kg. O doză de $180$ g de premix la tonă înseamnă $0, 18$ g la kilogram de făină. Dacă premixul are $20$ mg de substanță pe gram, atunci la kilogram ajung $20 \cdot 0, 18 = 3, 6$ mg de substanță.

Cum văd care condiție strică un plan propus?

Calculezi $A \cdot X$ și îl scazi din $B$ , linie cu linie. Pentru $A = 312241125$ și planul $(4; 5; 3)$ , produsul este $(25; 30; 28)$ . Dacă $B = (25; 30; 31)$ , primele două linii ies, iar a treia lipsește cu $3$ unități: condiția a treia strică planul.

Oamenii mai întreabă și: rotirea tabelului din fișă · matricea sistemului din tabelul unei rețete · linii și coloane la matricea sistemului · tabel cu produsele pe linii și matricea sistemului