Forma matriceală: dozarea aditivilor, tehnologic

Un produs alimentar îmbogățit nu primește fiecare substanță dintr-un singur sac: aceeași vitamină poate veni din două premixuri, așa că cine dozează trebuie să țină socoteala tuturor deodată. La clasa a XI-a, filiera tehnologică, socoteala aceasta se scrie ca o singură ecuație între matrice. Lecția te învață să o scrii, să o rezolvi și să o verifici. La Bacalaureatul M3 (M_tehnologic), ecuația a apărut în 2 din cele 83 de probe oficiale.

Situația de pornire

O moară produce făină de panificație tip 650 și o îmbogățește, conform fișei produsului, cu fier, acid folic și tiamină (vitamina B1). Substanțele nu se pun separat în făină: intră prin trei premixuri de la același furnizor, iar fiecare premix are în fișa tehnică propria compoziție, în miligrame de substanță la gram de premix.

Fișa produsului cere, pentru fiecare tonă de făină, 30 000 mg de fier, 1 500 mg de acid folic și 4 000 mg de tiamină, adică 30, 1,5 și 4 mg la kilogram. Dozatorul de pe linia de ambalare primește de la laborator cantitățile de premix, în grame la tona de făină, la începutul fiecărui lot de producție. Șeful laboratorului vrea să le calculeze o singură dată și să refolosească calculul când se schimbă cerințele produsului.

Întrebare: câte grame din fiecare premix intră într-o tonă de făină și cum scrii cele trei condiții ale fișei ca o singură ecuație cu matrice?

De la situație la model

Necunoscutele sunt cantitățile de premix: $x$, $y$ și $z$ sunt gramele de premix I, II și III dozate într-o tonă de făină. Fiecare substanță din fișă dă o condiție, pentru că tot fierul din tonă vine din premixurile care îl conțin, la fel acidul folic și tiamina.

Cum devine un sistem o ecuație cu matrice?

Cele trei condiții se scriu, în aceeași ordine a necunoscutelor $x$, $y$, $z$, astfel: $125x+0y+0z=30000$, $3x+13y+0z=1500$ și $0x+14y+79z=4000$. Zerourile arată premixurile care lipsesc dintr-o condiție. Matricea sistemului este tabloul $A$ al coeficienților, scris linie cu linie, matricea necunoscutelor este coloana $X$, iar matricea termenilor liberi este coloana $B$. Forma matriceală a sistemului este ecuația $A\cdot X=B$.

Produsul $A\cdot X$ are pe fiecare linie exact partea stângă a unei ecuații, deci ecuația matriceală și sistemul spun același lucru: o coloană $X$ este soluție a sistemului dacă și numai dacă $A\cdot X=B$. Unitățile se potrivesc pe linii, fiindcă mg/g înmulțit cu g dă mg, ca în coloana $B$.

De ce rotești tabelul din fișă?

În fișă, fiecare linie descrie un premix, adică o necunoscută. În sistem, fiecare linie descrie o condiție, adică o substanță. Ca să obții $A$, citești tabelul pe coloane: coloana „fier” din fișă devine prima linie a lui $A$, coloana „acid folic” a doua, coloana „tiamină” a treia. Un coeficient nu își schimbă valoarea la rotire, doar poziția: 14 mg/g de tiamină în premixul II stă pe linia tiaminei și în coloana premixului II.

Când poți scrie $X=A^{-1}\cdot B$?

Dacă $\det A\ne 0$, matricea $A$ este inversabilă, iar înmulțind ecuația la stânga cu $A^{-1}$ obții $X=A^{-1}\cdot B$, singura soluție, ca în ecuații matriceale. Calculul inversei folosește pașii din inversa unei matrice 3×3. Când $\det A=0$, formula nu poate fi folosită: ecuația fie nu are nicio soluție, fie are o infinitate de soluții. Când matricea are numai zerouri deasupra diagonalei sau numai zerouri sub ea, iar pe diagonală niciun zero, ca aici, nu ai nevoie de inversă: rezolvi ecuațiile pe rând, începând cu cea care are o singură necunoscută. Un zero pe diagonala unei astfel de matrice face $\det A=0$, iar atunci pașii aceștia nu mai merg.

Metoda pas cu pas

1. Alege o literă pentru fiecare necunoscută și scrie ce măsoară și în ce unitate, de exemplu „$x$ = grame de premix I la tona de făină”. Numără apoi condițiile: trei necunoscute cer trei ecuații.
2. Scrie câte o ecuație pentru fiecare condiție, cu necunoscutele mereu în aceeași ordine. Unde o necunoscută lipsește, scrie coeficientul 0. Dacă datele vin într-un tabel cu necunoscutele pe linii, citește-l pe coloane. Dacă enunțul dă o relație în procente, mută toți termenii cu necunoscute în stânga și lasă numărul în dreapta.
3. Formează $A$ din coeficienți, linie cu linie, $X$ din necunoscute și $B$ din termenii liberi, apoi verifică dimensiunile: $3\times 3$, $3\times 1$ și $3\times 1$. Ordinea liniilor lui $B$ este cea a liniilor lui $A$.
4. Scrie $A\cdot X=B$ și înmulțește în gând prima linie a lui $A$ cu coloana $X$, ca să vezi dacă regăsești prima ecuație. Dacă nu o regăsești, ai greșit o poziție sau ordinea necunoscutelor.
5. Rezolvă. Dacă matricea are zerouri deasupra sau sub diagonală și niciun zero pe diagonală, pornești de la ecuația cu o singură necunoscută și urci sau cobori ecuație cu ecuație; altfel calculezi $\det A$ și, dacă este nenul, afli $X=A^{-1}\cdot B$. Dacă $\det A=0$, formula nu se aplică și ecuația se discută separat.
6. Verifică: calculează $A\cdot X$ și compară rezultatul cu $B$ pe toate cele trei linii, apoi controlează unitățile și sensul soluției, de pildă că cantitățile de premix sunt pozitive. O soluție care ține doar două linii din trei nu este soluție.

Ordinea contează: cine sare peste pasul 1 amestecă unitățile, cine sare peste pasul 4 nu observă o poziție greșită în $A$ sau o ordine greșită a necunoscutelor, iar cine sare peste pasul 6 poate crede că a rezolvat sistemul deși soluția verifică doar două linii din trei.

Fișa de buzunar

$$a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=b_i(i=1,2,3)⟺A\cdot X=B$$

$$\det A\ne 0⟹X=A^{-1}\cdot B$$

Condiții: o linie a lui $A$ pentru fiecare ecuație, o coloană pentru fiecare necunoscută, aceeași ordine a necunoscutelor în toate liniile, coeficient 0 pentru necunoscuta absentă. Alegerea metodei: zerouri pe o parte a diagonalei, dar niciunul pe ea, înseamnă rezolvare ecuație cu ecuație, altfel inversa. Verificare rapidă: $A\cdot X$ trebuie să dea $B$ pe toate cele trei linii, nu doar pe una.

Rezolvăm împreună

Exemplul 1 — Dozarea premixurilor

Domeniu: alimentar.

Enunț. Reia moara din situație. a) Scrie sistemul și forma lui matriceală. b) Află cantitățile de premix la tona de făină. c) Verifică soluția și calculează câte grame de premix intră în total într-o tonă.

Rezolvare. a) Din tabel, coloana „fier” dă prima linie: $A=\left(\begin{array}{ccc}125& 0& 0\\ 3& 13& 0\\ 0& 14& 79\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}30000\\ 1500\\ 4000\end{array}\right)$, adică $A\cdot X=B$. b) Matricea are zerouri deasupra diagonalei, deci pornești de sus: $125x=30000$ dă $x=240$. Apoi $3\cdot 240+13y=1500$, deci $13y=780$ și $y=60$. În final $14\cdot 60+79z=4000$, deci $79z=3160$ și $z=40$. Fiecare ecuație aduce o singură necunoscută nouă, de aceea nu ai nevoie de inversă. Dozatorul primește 240 g, 60 g și 40 g de premix la tona de făină. c) Totalul este $240+60+40=340$ g de premix la tonă.

Capcană. Cine lasă tabelul din fișă așa cum e, cu premixurile pe linii, scrie a treia ecuație $79z=4000$ și obține $x\approx 238,5$, $y\approx 60,9$ și $z\approx 50,6$ grame. Cifrele par plauzibile, dar cu ele tiamina din tonă ar fi $14\cdot 60,9+79\cdot 50,6\approx 4850$ mg, cu 850 mg peste fișă.

Verificare. Produsul $A\cdot X$ dă pe linii $125\cdot 240=30000$, $3\cdot 240+13\cdot 60=720+780=1500$ și $14\cdot 60+79\cdot 40=840+3160=4000$, deci este chiar $B$. Pe kilogram de făină, 240 g la tonă înseamnă 0,24 g, adică $125\cdot 0,24=30$ mg de fier, exact cât cere fișa.

Exemplul 2 — Banchet: citește ecuația și verifică un plan

Domeniu: turism.

Enunț. Bucătăria unui restaurant pregătește pentru un banchet ciorbă, desert și friptură, în loturi de câte 10 porții. Fiecare lot trece prin trei stații: pregătire, gătit și finisare. Fișa de lucru este ecuația $\left(\begin{array}{ccc}53& 23& 33\\ 67& 28& 41\\ 38& 44& 29\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}446\\ 557\\ 429\end{array}\right)$, cu minutele de lucru pe lot în matricea sistemului și minutele lucrate de fiecare stație în coloana din dreapta. a) Scrie cele trei ecuații și spune ce arată linia a doua și coloana a treia. b) Un coleg propune planul de 5 loturi de ciorbă, 5 de desert și 2 de friptură. Este bun?

Rezolvare. a) Ecuațiile sunt $53x+23y+33z=446$, $67x+28y+41z=557$ și $38x+44y+29z=429$, cu $x$, $y$, $z$ loturile de ciorbă, desert și friptură. Linia a doua adună minutele de la gătit, iar coloana a treia arată cât lucrează fiecare stație la un lot de friptură. Un lot are 10 porții, deci planul propus înseamnă 50 de porții de ciorbă, 50 de desert și 20 de friptură. b) Înlocuiești planul $(5;5;2)$: $53\cdot 5+23\cdot 5+33\cdot 2=446$ și $67\cdot 5+28\cdot 5+41\cdot 2=557$ sunt bune, dar $38\cdot 5+44\cdot 5+29\cdot 2=468$, nu 429. Planul nu este soluție.

Capcană. Cine verifică doar primele două ecuații declară planul bun: pregătirea și gătitul ies exact, iar la finisare planul cere cu 39 de minute mai mult decât s-a lucrat.

Verificare. Planul de 4 loturi de ciorbă, 3 de desert și 5 de friptură dă $212+69+165=446$, $268+84+205=557$ și $152+132+145=429$, deci toate cele trei linii ies.

Exemplul 3 — Fondul de reparații, cu procente

Domeniu: constructii.

Enunț. O asociație de proprietari are un fond de 126 360 lei pentru reparațiile unei scări de bloc: zugrăvirea și tâmplăria casei scării $x$, hidroizolația terasei $y$ și înlocuirea coloanelor de apă $z$, toate în lei. Lucrările la casa scării costă 35 % din cât costă, împreună, terasa și coloanele, iar terasa costă cu 6 200 lei mai mult decât coloanele. Află suma pentru fiecare lucrare.

Rezolvare. Condițiile sunt $x+y+z=126360$, $x=0,35(y+z)$ și $y-z=6200$. Zecimala se elimină înmulțind cu 20, fiindcă $0,35=\frac{7}{20}$, iar a doua condiție devine $20x-7y-7z=0$. Scrii $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 20& -7& -7\\ 0& 1& -1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}126360\\ 0\\ 6200\end{array}\right)$. Calculezi $\det A=54\ne 0$, iar matricea adjunctă este $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}14& 2& 0\\ 20& -1& 27\\ 20& -1& -27\end{array}\right)$. Atunci $X=\frac{1}{54}{A}^{\ast }\cdot B=\frac{1}{54}\left(\begin{array}{c}1769040\\ 2694600\\ 2359800\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}32760\\ 49900\\ 43700\end{array}\right)$. Casa scării primește 32 760 lei, terasa 49 900 lei și coloanele 43 700 lei.

Capcană. Cine citește „35 %” ca 35 % din tot fondul scrie $x=0,35\cdot 126360=44226$ lei, cu 11 466 lei mai mult decât cei 32 760 de lei corecți. Textul spune însă „din cât costă, împreună, terasa și coloanele”.

Verificare. Suma este $32760+49900+43700=126360$ lei. Terasa și coloanele fac $49900+43700=93600$ lei, iar 35 % din ei sunt $0,35\cdot 93600=32760$ lei. Diferența $49900-43700=6200$ lei confirmă a treia condiție.

Exemplul 4 — în stilul Bac M3: ecuația matriceală $AX=B$

Domeniu: mecanica.

Enunț. Forma cerinței este cea din probele oficiale, dar matricea și termenii liberi sunt alții: „Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 12& 7\\ 0& 5& 14\\ 0& 0& 9\end{array}\right)$. Rezolvați ecuația matriceală $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}-10\\ 13\\ 18\end{array}\right)$, unde $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.” Ca situație, ar fi o linie de prelucrare cu trei posturi: ultimul lucrează numai cu $z$, penultimul cu $y$ și $z$, iar primul cu toate trei.

Rezolvare. Înmulțești $A$ cu $X$ și egalezi linie cu linie: $3x+12y+7z=-10$, $5y+14z=13$ și $9z=18$. Ultima ecuație dă $z=2$. A doua devine $5y+28=13$, deci $y=-3$. Prima devine $3x-36+14=-10$, deci $3x=12$ și $x=4$. Soluția este $x=4$, $y=-3$, $z=2$.

Capcană. Cine pierde semnul lui $y$ și îl pune $+3$ în prima ecuație obține $3x+36+14=-10$, deci $x=-20$; pusă înapoi în a doua ecuație, perechea $y=3$, $z=2$ dă $15+28=43$, nu 13.

Verificare. $A\cdot X$ are elementele $12-36+14=-10$, $-15+28=13$ și $18$, adică exact coloana dată.

Să exersăm

Nivelul 1 — rutină

1. Scrie sub forma $A\cdot X=B$ sistemul $11x+4y-3z=21$, $7y+12z=117$, $5x-y=12$ și precizează cele trei matrice.

2. Scrie ca sistem de ecuații egalitatea $\left(\begin{array}{ccc}14& 0& -9\\ 6& 5& 0\\ -3& 8& 17\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}38\\ 21\\ 7\end{array}\right)$ și spune câte ecuații și câte necunoscute are.

3. Pentru $A=\left(\begin{array}{ccc}19& 4& 1\\ 2& 7& 5\\ 6& 3& 8\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}54\\ 45\\ 53\end{array}\right)$, spune care dintre coloanele $(2;3;4)$ și $(2;2;8)$ este soluție a ecuației $A\cdot X=B$.

4. Adu la forma $A\cdot X=B$, cu necunoscutele în ordinea $x$, $y$, $z$, sistemul $4y+7x-20=6z$, $z+23=12x$, $9x+20=13y-z$.

Nivelul 2 — situații

5. (Problemă aplicată.) O fermă are trei culturi: grâu, porumb și floarea-soarelui. La hectar, grâul cere 84 L de motorină, 6 ore de tractor și 190 kg de sămânță, porumbul 97 L, 9 ore și 22 kg, iar floarea-soarelui 72 L, 7 ore și 5 kg. Scrie matricea sistemului cu resursele pe linii și verifică dacă planul de 26 ha de grâu, 18 ha de porumb și 14 ha de floarea-soarelui folosește exact 4 938 L de motorină, 416 ore de tractor și 5 406 kg de sămânță.

6. (Problemă aplicată.) Un laborator de chimie prepară o soluție de etalonare din trei soluții-stoc. Conținutul de fier, cupru și zinc al stocurilor, în micrograme pe mililitru, este în matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}8& 16& 3\\ 5& 10& 7\\ 11& 22& 4\end{array}\right)$, cu stocurile pe coloane, iar balonul trebuie să primească $B=\left(\begin{array}{c}98\\ 92\\ 134\end{array}\right)$ micrograme. Stocul II este stocul I, livrat în concentrație dublă. a) Calculează $\det A$ și spune dacă poți folosi $X=A^{-1}\cdot B$. b) Arată că $(10;0;6)$ și $(0;5;6)$ mililitri sunt soluții ale ecuației $A\cdot X=B$.

7. (Problemă aplicată.) O fabrică de mobilă emite într-un an 483 de tone de CO₂ din trei surse: încălzire $x$, transport $y$ și electricitate $z$. Încălzirea emite cu 30 % mai mult decât transportul, iar electricitatea emite cât 40 % din încălzire și transport împreună. Scrie sistemul cu coeficienți întregi sub forma $A\cdot X=B$ și află emisiile.

8. (Problemă aplicată.) Fișa de normă a unui service dă orele pe lucrare: tipul X cere 13 ore de mecanic, 17 de electrician și 6 de vopsitor, tipul Y 8, 0 și 12 ore, iar tipul Z 26, 9 și 7 ore. Într-o lună, mecanicii au lucrat 277 de ore, electricienii 189 și vopsitorii 166, în $x$, $y$ și $z$ lucrări. Ucenicul copiază fișa așa cum e și scrie $A=\left(\begin{array}{ccc}13& 17& 6\\ 8& 0& 12\\ 26& 9& 7\end{array}\right)$. Ce a greșit? Scrie matricea corectă și verifică dacă luna a avut 9, 7 și 4 lucrări.

Nivelul 3 — pe model de examen

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 13& 8\\ 0& 4& 15\\ 0& 0& 7\end{array}\right)$. Rezolvați ecuația matriceală $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}96\\ 69\\ 21\end{array}\right)$, unde $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

10. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}9& 0& 2\\ 0& 2& 1\\ -11& 9& 2\end{array}\right)$. Rezolvați ecuația matriceală $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}17\\ -1\\ -25\end{array}\right)$, unde $X\in {\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$.

11. (Exercițiu tip Bacalaureat M3.) Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 5& 8\\ 0& 11& 8\\ 0& 7& 5\end{array}\right)$. Determinați numerele reale $x$, $y$, $z$ pentru care $A\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22\\ 52\\ 33\end{array}\right)$.

12. (Sinteză.) Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m-4& 17& 0\\ 0& 2& 19\\ 0& 0& m+7\end{array}\right)$. a) Determinați valorile lui $m$ pentru care ecuația $A(m)\cdot X=B$ are o singură soluție, oricare ar fi $B$. b) Pentru $m=5$ și $B=\left(\begin{array}{c}-15\\ 55\\ 36\end{array}\right)$, rezolvați ecuația.

Răspunsuri și verificări

1. $A=\left(\begin{array}{ccc}11& 4& -3\\ 0& 7& 12\\ 5& -1& 0\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}21\\ 117\\ 12\end{array}\right)$. Verificare: coeficienții lipsă sunt 0, adică $x$ în a doua ecuație și $z$ în a treia, iar coloana $(3;3;8)$ dă $33+12-24=21$, $21+96=117$ și $15-3=12$.

2. $14x-9z=38$, $6x+5y=21$ și $-3x+8y+17z=7$: trei ecuații și trei necunoscute. Verificare: linia a doua nu conține $z$, fiindcă acolo coeficientul este 0.

3. Coloana $(2;3;4)$ este soluție: $38+12+4=54$, $4+21+20=45$ și $12+9+32=53$. Coloana $(2;2;8)$ nu este: dă $54$ pe prima linie, dar $58$ și $82$ pe celelalte. Verificare: o soluție trebuie să verifice toate cele trei linii.

4. Mutând termenii cu necunoscute în stânga: $7x+4y-6z=20$, $-12x+z=-23$ și $9x-13y+z=-20$, deci $A=\left(\begin{array}{ccc}7& 4& -6\\ -12& 0& 1\\ 9& -13& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}20\\ -23\\ -20\end{array}\right)$. Verificare: coloana $(2;3;1)$ dă $14+12-6=20$, $-24+1=-23$ și $18-39+1=-20$, iar în prima ecuație inițială $12+14-20=6=6\cdot 1$.

5. Matricea sistemului este $\left(\begin{array}{ccc}84& 97& 72\\ 6& 9& 7\\ 190& 22& 5\end{array}\right)$, cu resursele pe linii și hectarele în $X$. Produsul cu $(26;18;14)$ dă $2184+1746+1008=4938$ L, $156+162+98=416$ ore și $4940+396+70=5406$ kg, deci planul folosește exact resursele. Verificare: fiecare linie are unitatea ei, iar hectarele înmulțite cu consumul la hectar dau totalurile.

6. a) $\det A=0$, fiindcă a doua coloană este dublul primei, deci nu poți folosi $X=A^{-1}\cdot B$. b) Coloana $(10;0;6)$ dă $80+18=98$, $50+42=92$ și $110+24=134$, iar $(0;5;6)$ dă aceleași trei valori. Ecuația are o infinitate de soluții, pentru că 5 mL din stocul II țin locul a 10 mL din stocul I. Verificare: $10\cdot 1=5\cdot 2$, adică ambele soluții aduc aceeași cantitate de metale cât 10 mL din stocul I.

7. Condițiile sunt $x+y+z=483$, $10x-13y=0$ și $2x+2y-5z=0$, deci $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 10& -13& 0\\ 2& 2& -5\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{c}483\\ 0\\ 0\end{array}\right)$. Din a doua, $x=1,3y$; din a treia, $z=0,4\cdot 2,3y=0,92y$; prima dă $3,22y=483$, deci $y=150$, $x=195$ și $z=138$. Emisiile sunt 195 t, 150 t și 138 t de CO₂. Verificare: $195+150+138=483$ t, $195:150=1,3$ și $0,4\cdot 345=138$.

8. Ucenicul a lăsat tipurile de lucrări pe linii, deși o linie a lui $A$ trebuie să fie o meserie. Citită pe coloane, fișa dă $A=\left(\begin{array}{ccc}13& 8& 26\\ 17& 0& 9\\ 6& 12& 7\end{array}\right)$; zeroul arată că electricienii nu lucrează la tipul Y. Planul $(9;7;4)$ dă $117+56+104=277$, $153+36=189$ și $54+84+28=166$ ore. Verificare: toate cele trei linii ies, iar cu matricea ucenicului prima linie ar fi dat $117+119+24=260$ de ore.

9. Ultima ecuație, $7z=21$, dă $z=3$. A doua, cu $z=3$, devine $4y+45=69$, iar de aici $y=6$. Prima, cu $y=6$ și $z=3$, devine $3x+78+24=96$, iar de aici $x=-2$. Soluția este $x=-2$, $y=6$, $z=3$. Verificare: $-6+78+24=96$, $24+45=69$ și $21$.

10. Calculezi $\det A=-1$, deci $A$ este inversabilă. Matricea adjunctă este $A^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-5& 18& -4\\ -11& 40& -9\\ 22& -81& 18\end{array}\right)$, deci $A^{-1}=-A^{\ast }$. Produsul $A^{\ast }\cdot B$ are elementele $-85-18+100=-3$, $-187-40+225=-2$ și $374+81-450=5$, deci $x=3$, $y=2$, $z=-5$. Verificare: $A\cdot X$ dă $27-10=17$, $4-5=-1$ și $-33+18-10=-25$.

11. Ecuațiile a doua și a treia nu conțin pe $x$: $11y+8z=52$ și $7y+5z=33$. Din $7y+5z=33$ afli $z=(33-7y)/5$; pus în $11y+8z=52$, după înmulțirea cu 5, dă $55y+8(33-7y)=260$, adică $-y=-4$, deci $y=4$ și $z=1$. Prima ecuație devine $2x+20+8=22$, deci $x=-3$. Verificare: $A\cdot X$ dă $-6+20+8=22$, $44+8=52$ și $28+5=33$.

12. a) Matricea este triunghiulară, deci $\det A(m)=(m-4)\cdot 2\cdot (m+7)$. Ecuația are o singură soluție, pentru orice $B$, când acest determinant este nenul, adică pentru $m\ne 4$ și $m\ne -7$. b) Pentru $m=5$, diagonala este $1,2,12$. Ecuația de jos, $12z=36$, dă $z=3$. Cu această valoare, ecuația din mijloc devine $2y+57=55$ și dă $y=-1$; ecuația de sus devine $x-17=-15$ și dă $x=2$. Verificare: $5$ este diferit de $4$ și de $-7$, iar $A(5)\cdot (2;-1;3)$ dă $2-17=-15$, $-2+57=55$ și $36$.

Așa vine la Bac M3

Cerința de a rezolva ecuația matriceală $A\cdot X=B$, cu $A$ de ordin 3, a fost dată în două dintre cele 83 de probe oficiale 2013–2026, ambele la Subiectul al II-lea, problema 1. Iată cele două forme, luate din probe diferite:

• Simularea din 2014, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: matricea sistemului are ordinul 3 și toate elementele nenule, iar termenii liberi sunt numere întregi mici; baremul probei dă 2 puncte pentru scrierea ecuației ca sistem de trei ecuații (pasul 4 din Metodă) și 3 puncte pentru soluția sistemului (pasul 5).
• Simularea din 2016, Subiectul al II-lea, exercițiul 1c: matricea are zerouri sub diagonala principală, deci sistemul se rezolvă de jos în sus; baremul probei dă 2 puncte pentru ecuația scrisă ca sistem (pasul 4) și 3 puncte pentru cele trei valori ale necunoscutelor (pasul 5).

În ambele cerințe, necunoscuta este o coloană cu $x$, $y$, $z$, iar primul lucru pe care îl scrii este sistemul: produsul $A\cdot X$ se egalează, linie cu linie, cu elementele lui $B$. Abia după aceea alegi metoda, după felul matricei: zerouri pe o parte a diagonalei și niciunul pe ea înseamnă rezolvare de la ecuația cu o singură necunoscută, altfel folosești inversa. Exercițiile 9–11 exersează aceste tipuri: matrice triunghiulară, matrice oarecare cu determinant nenul și o matrice cu zerouri sub primul element al primei coloane, unde ultimele două ecuații formează un sistem cu două necunoscute; exercițiul 12 adaugă un parametru. Pentru determinanți vezi determinantul de ordin 3, iar ce urmează după această lecție găsești în traseul clasei a XI-a, filiera tehnologică.

Greșeli care costă puncte

• Folosești tabelul din fișă cu premixurile pe linii → cum o prinzi: coloanele lui $A$ sunt necunoscutele, deci o linie a lui $A$ trebuie să descrie o substanță; cu tabelul nerotit, tiamina din Exemplul 1 iese cu 850 mg peste fișă.
• Omiți coeficientul 0 sau îl pui în altă coloană → cum o prinzi: fiecare linie are trei numere, în ordinea $x$, $y$, $z$, iar produsul $A\cdot X$ trebuie să reproducă ecuația; la exercițiul 1, a doua linie a lui $A$ începe cu 0, fiindcă $x$ lipsește din a doua ecuație.
• Verifici soluția doar într-o ecuație → cum o prinzi: înlocuiești în toate cele trei; planul (5; 5; 2) din Exemplul 2 ține primele două linii și rupe a treia.
• Scrii $X=B\cdot A^{-1}$ → cum o prinzi: dimensiunile; $B$ are dimensiunea $3\times 1$ și $A^{-1}$ are $3\times 3$, deci produsul în această ordine nu există.
• Aplici $X=A^{-1}\cdot B$ fără să calculezi $\det A$ → cum o prinzi: la exercițiul 6 determinantul este 0, iar sistemul are o infinitate de soluții.

Programa și examenul

Programa și examenul. Lecția urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XI-a (PROGRAMA 2: OMEC 3252/2006). Forma matriceală a unui sistem liniar cu cel mult trei necunoscute se cere la Subiectul al II-lea, problema 1. În probele oficiale 2013–2026 a apărut în 2 probe. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; lecția de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Întrebări frecvente

Ce se schimbă dacă premixul III conține și 9 mg de fier pe gram?

Prima linie a lui $A$ devine $125,0,9$, iar matricea nu mai are zerouri deasupra diagonalei. Ai nevoie de inversă: $\det A=128753$ și $X=A^{-1}\cdot B$ dau aproximativ 237,1 g, 60,7 g și 39,9 g. Premixul III aduce acum puțin fier, așa că premixul I se reduce.

Furnizorul livrează premixul II cu 16 mg de tiamină pe gram. Ce doze se schimbă?

Se schimbă un singur coeficient, pe linia tiaminei. Primele două ecuații rămân aceleași, deci $x=240$ g și $y=60$ g, iar a treia devine $16\cdot 60+79z=4000$, adică $79z=3040$ și $z\approx 38,5$ g. Doza de premix III scade, fiindcă premixul II aduce acum mai multă tiamină.

Dacă fișa cere de două ori mai mult din fiecare substanță, se dublează dozele?

Da. Termenii liberi devin 60 000, 3 000 și 8 000 mg la tonă, iar $A\cdot (2X)=2\cdot (A\cdot X)=2B$. Dozele devin 480 g, 120 g și 80 g, adică de două ori mai mult. Matricea $A$ rămâne aceeași, fiindcă premixurile nu s-au schimbat.

Moara poate renunța la premixul III?

Nu. Fără el, fierul cere tot $x=240$ g, iar ecuația tiaminei ar da $14y=4000$, deci $y\approx 285,7$ g. Cu aceste doze, acidul folic ar ieși aproximativ $720+3714=4434$ mg, nu 1 500 mg. Trei condiții cu două necunoscute nu au aici nicio soluție, deci cele trei premixuri sunt necesare.

Cât premix intră într-un lot de 18 tone de făină?

Pe tonă intră 340 g de premix în total, adică $240+60+40$. Pentru 18 tone înmulțești dozele: $18\cdot 240=4320$ g de premix I, $18\cdot 60=1080$ g de premix II și $18\cdot 40=720$ g de premix III, în total 6 120 g, adică 6,12 kg.

Se cere forma matriceală a unui sistem la Bacalaureatul M3?

Da, la Subiectul al II-lea, problema 1: ecuația $A\cdot X=B$ cu $A$ de ordin 3 a apărut în 2 din cele 83 de probe oficiale 2013–2026, iar rezolvarea cere scrierea ei ca sistem și apoi soluția. Metoda este cea din lecție, cu verificare prin înlocuire în toate ecuațiile.