Forma trigonometrică a numărului $$3+3i$$ este:

$$3\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$$

$$3\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$$

$$3\sqrt2\left(\cos\dfrac{5\pi}{4}+i\sin\dfrac{5\pi}{4}\right)$$

$$3\sqrt2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$$

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Forma trigonometrică

Cum afli modulul și argumentul lui a + bi?

Modulul este $r = a^{2} + b^{2}$ , iar argumentul redus este unghiul din $[0, 2 π)$ cu $cos φ = \frac{a}{r}$ și $sin φ = \frac{b}{r}$ ; cadranul îl dau semnele lui $a$ și $b$ . Pentru $- 2 + 23 i$ : $r = 4$ , cosinusul e $- \frac{1}{2}$ , sinusul e $\frac{3}{2}$ , cadranul al II-lea, deci argumentul este $\frac{2 π}{3}$ și numărul se scrie $4 (cos \frac{2 π}{3} + i sin \frac{2 π}{3})$ .

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a X-a → ·

Un număr complex nenul poate fi fixat în plan, ca un obiect văzut pe ecranul unui radar, prin două informații: distanța imaginii lui până la origine și direcția în care se află. Distanța este modulul, $r = a^{2} + b^{2}$ . Direcția este un unghi $φ$ , numit argument, măsurat de la axa reală pozitivă, în sens invers acelor de ceasornic.

Cu ele numărul capătă scrierea $z = r (cos φ + i sin φ)$ . Fiindcă o tură în plus nu schimbă direcția, unghiul se alege din $[0, 2 π)$ și poartă numele de argument redus. Originea, adică numărul $0$ , nu primește niciun argument.

Calculul merge mereu pe același drum. Împarți $a$ și $b$ la modul și afli astfel cosinusul și sinusul unghiului. Din semnele lui $a$ și $b$ deduci cadranul, apoi din unghiul de bază $α$ obții argumentul: $α$ , $π - α$ , $π + α$ sau $2 π - α$ . Raportul $\frac{b}{a}$ singur te poate păcăli, pentru că puncte diametral opuse dau același raport.

Atenție și la scrierile care doar seamănă cu forma cerută: un factor negativ în față, un minus în paranteză sau două unghiuri diferite. Primele două se corectează mutând semnul în unghi; la unghiuri diferite calculezi forma algebrică și reiei pașii. Proba constă în a desface paranteza și a regăsi numărul inițial.

De reținut

modulul: $r = a^{2} + b^{2}$ , întotdeauna pozitiv
cadranul se citește din semnele lui $a$ și $b$
argumentul redus stă în $[0, 2 π)$ ; $0$ nu are argument

Greșeala tipică

Se ia argumentul doar din tangentă și se scrie $ar g (- 1 - 3 i) = \frac{π}{3}$ ; numărul e în cadranul al III-lea, deci argumentul corect este $\frac{4 π}{3}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Argumentul redus al numărului $- 6$ este:
- a) $0$
- b) $π$
- c) $\frac{π}{2}$
- d) $2 π$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $π$

Imaginea lui $- 6$ stă pe semiaxa negativă a axei reale, deci unghiul este $π$ . Unghiul $2 π$ dă aceeași direcție ca $0$ și nu aparține intervalului $[0, 2 π)$ .
Forma trigonometrică a numărului $3 + 3 i$ este:
- a) $32 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$
- b) $3 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$
- c) $32 (cos \frac{5 π}{4} + i sin \frac{5 π}{4})$
- d) $32 (cos \frac{π}{4} - i sin \frac{π}{4})$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $32 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$

Modulul este $9 + 9 = 32$ , iar cosinusul și sinusul argumentului sunt egale cu $\frac{2}{2}$ , în cadranul I, deci unghiul este $\frac{π}{4}$ . A doua variantă are modulul greșit, a treia are aceeași tangentă, dar e în cadranul al III-lea, iar ultima are minus între cosinus și sinus.
Argumentul redus al numărului $- 23 + 6 i$ este:
- a) $\frac{5 π}{3}$
- b) $\frac{2 π}{3}$
- c) $\frac{π}{3}$
- d) $\frac{4 π}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{2 π}{3}$

Modulul este $12 + 36 = 48 = 43$ , deci $cos φ = \frac{- 2 3}{4 3} = - \frac{1}{2}$ și $sin φ = \frac{6}{4 3} = \frac{3}{2}$ . Partea reală e negativă, iar cea imaginară e pozitivă, deci cadranul e al II-lea, iar unghiul este $π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$ . Varianta $\frac{5 π}{3}$ are aceeași tangentă, dar e în cadranul al IV-lea.

Întrebări conexe

De ce argumentul se ia între 0 și 2π?

Rotind cu încă o tură completă, $2 π$ , ajungi exact în aceeași direcție, așa că orice număr nenul are o infinitate de argumente. Dintre ele se păstrează unul singur, cel din $[0, 2 π)$ , numit redus, ca fiecare număr să aibă o singură scriere trigonometrică.

Ce argument are opusul unui număr complex?

Argumentul lui crescut cu $π$ și, dacă trece de $2 π$ , redus în $[0, 2 π)$ . Punctul lui $- z$ este simetricul punctului lui $z$ față de origine, deci direcția se întoarce cu o jumătate de tură, iar modulul rămâne același. De exemplu, $1 + i$ are argumentul $\frac{π}{4}$ , iar $- 1 - i$ are argumentul $\frac{5 π}{4}$ .

Pot afla argumentul doar cu tangenta?

Numai după ce ai stabilit cadranul. Numerele $1 + 3 i$ și $- 1 - 3 i$ au amândouă raportul $\frac{b}{a} = 3$ , dar argumentele lor sunt $\frac{π}{3}$ și $\frac{4 π}{3}$ . Tangenta nu deosebește un punct de punctul diametral opus.

Este 2(cos π/3 − i sin π/3) o formă trigonometrică?

Nu. Forma corectă cere plus între cele două funcții și același unghi în ambele locuri. Minusul se mută în unghi cu formulele de reducere $cos (2 π - x) = cos x$ și $sin (2 π - x) = - sin x$ , iar numărul se scrie corect $2 (cos \frac{5 π}{3} + i sin \frac{5 π}{3})$ , adică $1 - 3 i$ .

De ce nu are 0 argument?

Imaginea lui $0$ este chiar originea. Un punct care coincide cu originea nu are o direcție anume față de ea: orice unghi ales ar descrie la fel de bine poziția, așa că nu se alege niciunul. De aceea forma trigonometrică se scrie doar pentru numerele nenule, iar $0$ rămâne în forma algebrică.

Oamenii mai întreabă și: forma trigonometrică pas cu pas · cum găsesc unghiul unui număr complex · argumentul redus în cadranul al treilea · modul și argument la științe ale naturii