Forma trigonometrică a unui număr complex (M2, științe ale naturii)

Un radar meteo nu raportează un nor prin „patru kilometri spre est și trei spre nord”. El spune cât de departe e norul și în ce direcție se află, adică o distanță și un unghi. Numerele complexe pot fi descrise exact la fel: în loc de partea reală și partea imaginară, dai distanța de la origine până la imaginea numărului și unghiul pe care îl face direcția lui cu axa reală. Lecția de față, la clasa a X-a, profilul științe ale naturii (M2), arată pe pași cum se trece de la forma algebrică la această formă nouă, numită trigonometrică. Tema este în programa școlară de 4 ore a clasei, dar nu și în programa bacalaureatului M2 din sesiunile 2027–2029.

Ai nevoie de trei lucruri deja învățate: modulul unui număr complex, planul complex și imaginea geometrică a unui număr și sinusul și cosinusul pe cercul trigonometric, din clasa a IX-a. Forma trigonometrică este prima ușă spre puteri și rădăcini de numere complexe, pe care le lucrezi în lecția despre formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul n.

Ce vei învăța

• Vei ști să descrii imaginea unui număr complex prin distanța până la origine și prin unghiul cu semiaxa pozitivă $Ox$.
• Vei ști ce este argumentul unui număr complex nenul și de ce alegem un argument redus, din intervalul $[0,2\pi )$.
• Vei ști să scrii un număr complex în forma $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, urmând aceiași cinci pași în orice cadran.
• Vei ști să afli cadranul după semnele lui $a$ și $b$ și să nu cazi în capcana tangentei.
• Vei ști să recunoști scrierile care seamănă cu forma trigonometrică, dar nu sunt, și să le corectezi.
• Vei ști să faci drumul invers, de la forma trigonometrică la forma algebrică.

Hai să descoperim împreună

1. Cum descrii un punct prin distanță și direcție?

Fie $z=a+bi$ un număr complex nenul, cu imaginea $M(a,b)$ în planul complex. Pe lângă coordonatele carteziene $a$ și $b$, punctul $M$ mai poate fi fixat prin două mărimi, ca pe ecranul radarului. Coordonatele polare ale punctului $M$ sunt două numere: lungimea segmentului $OM$ și unghiul $\phi$ cu care trebuie rotită direcția axei reale pozitive ca să ajungă pe direcția spre $M$. Rotirea se face invers acelor de ceasornic, adică în sens trigonometric.

Distanța o cunoști deja: este modulul numărului,

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Unghiul se citește pe cercul trigonometric. Punctul cercului de rază $1$ asociat lui $\phi$ are coordonatele $(\cos \phi ,\sin \phi )$. Punctul $M$ e pe aceeași rază, însă de $r$ ori mai departe de origine, așa că ambele lui coordonate se înmulțesc cu $r$:

$$a=r\cos \phi ,b=r\sin \phi .$$

Un exemplu numeric fixează ideea. Numărul $3+4i$ are imaginea în punctul $M(3,4)$, iar distanța până la origine este $\sqrt{9+16}=5$. Pe semidreapta $OM$, punctul cercului de rază $1$ are coordonatele $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$, deci $\cos \phi =\frac{3}{5}$ și $\sin \phi =\frac{4}{5}$. Înmulțind cu $5$ regăsești $a=3$ și $b=4$. Radarul ar raporta acest punct prin „distanța $5$, unghiul $\phi$”, iar planul complex, prin „$3$ și $4$”. Sunt două descrieri ale aceluiași punct.

Aceste două egalități sunt toată lecția. Din ele vin și forma trigonometrică, și pașii prin care o găsești. Gândește-te la un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $OM=r$ și catetele de lungimi $|a|$ și $|b|$: cosinusul și sinusul unghiului dau exact proporțiile catetelor față de ipotenuză, iar semnele lui $a$ și $b$ spun în ce parte a planului se află punctul.

2. Ce este argumentul unui număr complex?

Unghiul $\phi$ nu este unic. Dacă îi adaugi o rotație completă, $2\pi$, ajungi în același punct, la fel cum pe cercul trigonometric numerele $\frac{\pi }{3}$, $\frac{7\pi }{3}$ și $-\frac{5\pi }{3}$ au același punct asociat.

Argumentul unui număr complex nenul $z=a+bi$ este orice număr real $\phi$ pentru care $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$, cu $r=|z|$. Dintre toate argumentele, unul singur se află în intervalul $[0,2\pi )$. El se numește argumentul redus și se notează $\arg z$. Toate celelalte se obțin din el adunând multipli de $2\pi$: $\arg z+2k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$.

Capătul $0$ aparține intervalului, capătul $2\pi$ nu: un unghi de $2\pi$ te-ar aduce exact unde te aduce unghiul $0$, deci ar număra de două ori aceeași direcție. Aceeași convenție o folosesc și lecțiile de mate-info despre numerele complexe, așa că rezultatele tale se potrivesc cu ale lor.

Un singur număr rămâne fără argument: $z=0$. Punctul lui e originea însăși, iar despre un punct aflat la distanța zero nu poți spune în ce direcție se află. Orice unghi ar fi la fel de bun, deci niciunul nu e ales. De aceea, de aici înainte, toate numerele pe care le scriem trigonometric sunt nenule.

3. Cum arată forma trigonometrică?

Dacă înlocuiești $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$ în $z=a+bi$ și dai factor comun pe $r$, obții

$$z=r(\cos \phi +i\sin \phi ),r=|z|>0,\phi =\arg z\in [0,2\pi ).$$

Aceasta este forma trigonometrică a numărului $z$. Pentru fiecare număr complex nenul ea este unică, dacă folosești argumentul redus: modulul e unic, iar în $[0,2\pi )$ există un singur unghi cu un cosinus dat și un sinus dat.

Citește forma pe bucăți. Numărul $r$, în fața parantezei, spune cât de departe e punctul. Paranteza $\cos \phi +i\sin \phi$ e un număr de modul $1$, fiindcă ${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$, și spune doar direcția. Pe scurt: forma trigonometrică înseamnă distanță înmulțită cu direcție.

Ca să verifici o scriere, desfaci paranteza. De exemplu, $4\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=4\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-2+2\sqrt{3}i$. Drumul invers, de la $-2+2\sqrt{3}i$ la modul și argument, e subiectul secțiunii următoare. Aici scriem $2\sqrt{3}i$; în alte lecții, inclusiv la mate-info, vei întâlni scrierea $2i\sqrt{3}$, care desemnează același număr.

De ce ar fi nevoie de o a doua scriere, când forma algebrică merge bine la adunări și scăderi? Pentru că la înmulțiri și la puteri forma algebrică devine greoaie: fiecare înmulțire cere patru produse și o grupare a termenilor. În forma trigonometrică, după cum vei vedea în lecția următoare a temei, modulele se înmulțesc, iar unghiurile se adună. Fiecare formă are deci operațiile ei comode, iar un elev care le știe pe amândouă o alege pe cea potrivită.

4. Care sunt pașii pentru a găsi forma trigonometrică?

Algoritmul are cinci pași și e același în orice cadran. Îl urmărim pe $z=-2+2\sqrt{3}i$.

Pasul 1. Citești $a$ și $b$. Aici $a=-2$ și $b=2\sqrt{3}$.

Pasul 2. Calculezi modulul. $r=\sqrt{(-2{)}^2+{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{4+12}=4$.

Pasul 3. Afli cosinusul și sinusul argumentului. $\cos \phi =\frac{a}{r}=-\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Pasul 4. Stabilești cadranul din semne. Partea reală e negativă, iar partea imaginară e pozitivă, deci punctul $M(-2,2\sqrt{3})$ e în cadranul al II-lea, iar $\phi$ este între $\frac{\pi }{2}$ și $\pi$.

Pasul 5. Găsești unghiul. În cadranul al II-lea, unghiul cu cosinusul $-\frac{1}{2}$ și sinusul $\frac{\sqrt{3}}{2}$ este $\frac{2\pi }{3}$. Așadar $z=4\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$.

Verificarea e cea din secțiunea 3: desfaci paranteza și trebuie să regăsești numărul de la început.

Pentru pasul 5 îți e de folos un tabel mic, cu unghiurile de bază din cadranul I, pe care îl ai din clasa a IX-a: $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$. Din unghiul de bază $\alpha$, cel care are aceleași valori fără semne, obții argumentul după cadran: $\alpha$ în cadranul I, $\pi -\alpha$ în cadranul al II-lea, $\pi +\alpha$ în cadranul al III-lea și $2\pi -\alpha$ în cadranul al IV-lea. Pentru exemplul de mai sus, unghiul de bază e $\frac{\pi }{3}$, iar în cadranul al II-lea argumentul e $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$.

5. Ce argument au numerele de pe axe?

Dacă una dintre părți e zero, punctul stă pe o axă și argumentul se citește direct, fără calcule. Patru exemple:

• $5$ stă pe semiaxa pozitivă $Ox$, deci $5=5(\cos 0+i\sin 0)$;
• $3i$ stă pe semiaxa pozitivă $Oy$, deci $3i=3\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)$;
• $-4$ stă pe semiaxa negativă $Ox$, deci $-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$;
• $-2i$ stă pe semiaxa negativă $Oy$, deci $-2i=2\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$.

Observă că modulul e întotdeauna pozitiv. Minusul din $-4$ nu rămâne în fața parantezei, ci trece în unghi: semiaxa negativă $Ox$ înseamnă argumentul $\pi$. Este cea mai frecventă confuzie la început, așa că merită reținută ca regulă: semnul unui număr nu se scrie niciodată în fața formei trigonometrice, ci se citește din direcție.

Tabelul celor patru direcții se reține ușor dacă te gândești la ceas, parcurs invers: semiaxa pozitivă $Ox$ înseamnă zero, fiecare sfert de tură în sens trigonometric adaugă $\frac{\pi }{2}$, iar după patru sferturi te întorci de unde ai plecat. Numerele reale pozitive au argumentul $0$, cele reale negative au argumentul $\pi$, iar numerele pur imaginare au $\frac{\pi }{2}$ sau $\frac{3\pi }{2}$, după semnul părții imaginare.

6. De ce nu ajunge tangenta?

Din $a=r\cos \phi$ și $b=r\sin \phi$ rezultă, pentru $a\ne 0$, $\mathrm{tg}\phi =\frac{b}{a}$. Pare o scurtătură comodă, dar ascunde o capcană. Ia numerele $\sqrt{3}+i$ și $-\sqrt{3}-i$. Pentru amândouă, $\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, deci tangenta argumentului este aceeași. Totuși, primul e în cadranul I, cu argumentul $\frac{\pi }{6}$, iar al doilea în cadranul al III-lea, cu argumentul $\frac{7\pi }{6}$. Punctele lor sunt simetrice față de origine.

Motivul e simplu: tangenta are perioada $\pi$, deci două unghiuri care diferă cu o jumătate de tură au aceeași tangentă. Tangenta singură nu poate deosebi un punct de punctul diametral opus. Ca să nu greșești, ai două variante. Fie lucrezi cu cosinusul și sinusul, ca în pașii de la secțiunea 4. Fie folosești tangenta, dar numai după ce ai stabilit cadranul din semnele lui $a$ și $b$. Pasul 4, cadranul, nu se sare niciodată.

Dacă alegi a doua variantă, procedura are trei mișcări. Întâi scrii semnele lui $a$ și $b$ și numești cadranul. Apoi afli unghiul de bază $\alpha$ din $\mathrm{tg}\alpha =\left|\frac{b}{a}\right|$, cu $\alpha$ între $0$ și $\frac{\pi }{2}$. La final așezi unghiul în cadran, cu regula de la secțiunea 4. Pentru $-\sqrt{3}-i$: semnele sunt minus și minus, deci cadranul al III-lea; $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ dă $\alpha =\frac{\pi }{6}$; argumentul este $\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$. Rezultatul coincide cu cel obținut prin cosinus și sinus, cum e firesc.

7. Ce scrieri seamănă cu forma trigonometrică, dar nu sunt?

Forma trigonometrică are o structură fixă: un număr pozitiv în față, apoi paranteza în care cosinusul și sinusul au același unghi, iar între ele stă semnul plus. Dacă una dintre condiții lipsește, scrierea nu e formă trigonometrică, chiar dacă reprezintă un număr complex corect.

Primul caz: $2\left(\cos \frac{\pi }{3}-i\sin \frac{\pi }{3}\right)$. Minusul din paranteză se mută în unghi, cu formulele de la lecția despre reducerea la primul cadran: $\cos (2\pi -x)=\cos x$ și $\sin (2\pi -x)=-\sin x$. Rezultă $2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)$, care este formă trigonometrică.

Al doilea caz: $-3\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$. Factorul din față e negativ. Înmulțirea cu $-1$ duce punctul în punctul diametral opus, deci unghiul crește cu $\pi$: $3\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)$.

Al treilea caz: $2\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)$. Unghiurile diferă, deci nu e formă trigonometrică. Aici nu ai ce muta: calculezi forma algebrică, $\sqrt{2}+i$, și o iei de la pasul 1.

8. Cum te întorci la forma algebrică?

Drumul invers e cel mai scurt: înlocuiești cosinusul și sinusul cu valorile lor și desfaci paranteza. De exemplu,

$$6\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right)=6\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=-3\sqrt{3}+3i.$$

Partea reală este $r\cos \phi$, iar partea imaginară este $r\sin \phi$, exact formulele din secțiunea 1. Drumul invers e și proba fiecărei forme trigonometrice pe care o scrii.

Când unghiul nu e unul din tabel, drumul invers dă un rezultat aproximativ. De exemplu, $2(\cos 1+i\sin 1)$, cu unghiul de $1$ radian, devine aproximativ $1,08+1,68i$, valori citite pe calculator. La exercițiile lecției unghiurile sunt alese din tabel, ca rezultatele să fie exacte.

Același unghi apare și în altă lecție a clasei, din unitatea de funcții. În ecuația a sin x + b cos x = c, unghiul ajutător $\phi$ este un argument al numărului $a+bi$, iar $\sqrt{a^2+b^2}$ este modulul lui. Cele două teme se sprijină una pe alta.

9. Când sunt egale două numere scrise trigonometric?

Două numere complexe nenule sunt egale exact când imaginile lor coincid, adică au aceeași distanță față de origine și aceeași direcție. Pentru formele trigonometrice, asta înseamnă două condiții: modulele sunt egale, iar argumentele fie sunt egale, dacă amândouă sunt reduse, fie diferă printr-un număr întreg de rotații complete. Altfel spus,

$$r_1(\cos {\phi }_1+i\sin {\phi }_1)=r_2(\cos {\phi }_2+i\sin {\phi }_2)⟺r_1=r_2\text{ și }{\phi }_1-{\phi }_2=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

De exemplu, $2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ și $2\left(\cos \frac{7\pi }{3}+i\sin \frac{7\pi }{3}\right)$ sunt același număr, $1+\sqrt{3}i$, fiindcă $\frac{7\pi }{3}-\frac{\pi }{3}=2\pi$. Doar prima scriere folosește însă argumentul redus. Criteriul acesta va fi unealta principală în lecția despre rădăcinile de ordinul $n$, unde condiția „argumentele diferă cu $2k\pi$” produce toate rădăcinile odată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Un număr din cadranul I

Scrie în formă trigonometrică numărul $z=9+9\sqrt{3}i$.

Rezolvare. Modulul este $r=\sqrt{81+243}=\sqrt{324}=18$. Atunci $\cos \phi =\frac{9}{18}=\frac{1}{2}$ și $\sin \phi =\frac{9\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ambele părți sunt pozitive, deci punctul e în cadranul I, iar unghiul este $\frac{\pi }{3}$. Așadar

$$z=18\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right).$$

Proba: $18\cdot \frac{1}{2}=9$ și $18\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$.

Exemplul 2 — Un număr din cadranul al II-lea

Scrie în formă trigonometrică numărul $z=-6\sqrt{3}+6i$.

Rezolvare. $r=\sqrt{108+36}=\sqrt{144}=12$. Atunci $\cos \phi =\frac{-6\sqrt{3}}{12}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin \phi =\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$. Partea reală e negativă, iar cea imaginară e pozitivă, deci cadranul e al II-lea. Unghiul de bază este $\frac{\pi }{6}$, iar argumentul este $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$:

$$z=12\left(\cos \frac{5\pi }{6}+i\sin \frac{5\pi }{6}\right).$$

Exemplul 3 — Un număr din cadranul al III-lea

Scrie în formă trigonometrică numărul $z=-5\sqrt{3}-5i$.

Rezolvare. $r=\sqrt{75+25}=10$, $\cos \phi =\frac{-5\sqrt{3}}{10}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =\frac{-5}{10}=-\frac{1}{2}$. Ambele părți sunt negative, deci cadranul e al III-lea. Unghiul de bază este $\frac{\pi }{6}$, iar argumentul este $\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{7\pi }{6}$:

$$z=10\left(\cos \frac{7\pi }{6}+i\sin \frac{7\pi }{6}\right).$$

Exemplul 4 — Un număr din cadranul al IV-lea

Scrie în formă trigonometrică numărul $z=4-4\sqrt{3}i$.

Rezolvare. $r=\sqrt{16+48}=8$, $\cos \phi =\frac{1}{2}$, $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Partea reală e pozitivă, iar cea imaginară e negativă, deci cadranul e al IV-lea. Unghiul de bază este $\frac{\pi }{3}$, iar argumentul este $2\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$:

$$z=8\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right).$$

Un argument negativ, ca $-\frac{\pi }{3}$, ar da același punct, dar nu e redus. Convenția cere unghiul din $[0,2\pi )$, deci adaugi $2\pi$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala

Un elev scrie: „Pentru $z=-1-\sqrt{3}i$ avem $\mathrm{tg}\phi =\frac{-\sqrt{3}}{-1}=\sqrt{3}$, deci $\phi =\frac{\pi }{3}$ și $z=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$.” Unde greșește?

Rezolvare. Modulul e corect, $r=2$. Greșeala e la unghi: elevul a sărit pasul cadranului. Ambele părți ale lui $z$ sunt negative, deci punctul e în cadranul al III-lea, iar $\frac{\pi }{3}$ e în cadranul I. Unghiul corect din cadranul al III-lea cu tangenta $\sqrt{3}$ este $\pi +\frac{\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$, deci $z=2\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$. Proba ar fi prins greșeala: forma elevului, desfăcută, dă $1+\sqrt{3}i$, adică opusul lui $z$.

Exemplul 6 — Poziția unui elicopter

Un elicopter de salvare decolează de pe acoperișul unui spital. După câteva minute, dispeceratul îl localizează la $8$ km de spital, pe o direcție care face un unghi de $225^{\circ }$ cu direcția est, măsurat dinspre est spre nord, adică spre sud-vest. Considerând spitalul în origine, axa reală spre est și axa imaginară spre nord, află afixul punctului în care se află elicopterul.

Rezolvare. Avem $r=8$ și $\phi =225^{\circ }=\frac{5\pi }{4}$. Afixul este

$$z=8\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)=8\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-4\sqrt{2}-4\sqrt{2}i.$$

Așadar elicopterul e la $4\sqrt{2}\approx 5,66$ km spre vest și la tot atâția kilometri spre sud față de spital. Aici forma trigonometrică vine prima, din măsurători, iar forma algebrică e cea calculată, exact invers față de exemplele de mai sus.

Să exersăm

La fiecare formă trigonometrică pe care o scrii, fă proba: desfă paranteza și compară cu numărul de la început.

1. Calculează modulul numerelor: a) $6+8i$; b) $-5i$; c) $-\sqrt{3}+i$.

2. Scrie argumentul redus al numerelor $7$, $2i$, $-3$ și $-6i$.

3. Precizează cadranul în care se află imaginea numerelor $-2+5i$ și $3-i$ și semnele lui $\cos \phi$ și $\sin \phi$ pentru fiecare.

4. Scrie în formă trigonometrică numărul $2+2i$.

5. Scrie în formă trigonometrică numărul $-1+\sqrt{3}i$.

6. Scrie în formă trigonometrică numărul $-4-4i$.

7. Scrie în formă trigonometrică numărul $\sqrt{3}-i$.

8. Scrie în formă trigonometrică numerele $-7$ și $-9i$.

9. Scrie în formă algebrică numărul $6\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)$.

10. Scrie în formă algebrică numerele $3\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$ și $2\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)$.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) Scrierea $3\left(\cos \frac{\pi }{5}-i\sin \frac{\pi }{5}\right)$ este forma trigonometrică a unui număr complex.

12. (Găsește greșeala.) Un elev afirmă că argumentul redus al lui $-3-3i$ este $\frac{\pi }{4}$, „pentru că $\mathrm{tg}\phi =1$”. Corectează.

13. Scrie în formă trigonometrică numărul $-4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$.

14. Determină numărul complex $z$ cu $|z|=12$ și $\arg z=\frac{11\pi }{6}$.

15. Fie $z=7\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$. Scrie în formă trigonometrică conjugatul $\bar{z}$.

16. (Problemă aplicată.) Un radar aflat în origine detectează o dronă în punctul de afix $-6+6\sqrt{3}i$, cu distanțele măsurate în kilometri. La ce distanță se află drona și ce unghi face direcția ei cu direcția est?

17. Determină numărul real $a$ pentru care $\arg (a+3i)=\frac{2\pi }{3}$.

18. (Provocare.) Găsește toate numerele complexe $z$ cu $|z|=2$ și partea reală egală cu $-1$, apoi scrie-le în formă trigonometrică.

Răspunsuri și explicații

1. a) $\sqrt{36+64}=10$. b) $5$. c) $\sqrt{3+1}=2$.

2. $\arg 7=0$, $\arg (2i)=\frac{\pi }{2}$, $\arg (-3)=\pi$, $\arg (-6i)=\frac{3\pi }{2}$.

3. $-2+5i$ e în cadranul al II-lea: $\cos \phi <0$ și $\sin \phi >0$. $3-i$ e în cadranul al IV-lea: $\cos \phi >0$ și $\sin \phi <0$.

4. $r=2\sqrt{2}$, $\cos \phi =\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$, cadranul I: $2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$.

5. $r=2$, $\cos \phi =-\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, cadranul al II-lea: $2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$.

6. $r=4\sqrt{2}$, ambele valori egale cu $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, cadranul al III-lea: $4\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)$.

7. $r=2$, $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \phi =-\frac{1}{2}$, cadranul al IV-lea: $2\left(\cos \frac{11\pi }{6}+i\sin \frac{11\pi }{6}\right)$.

8. $-7=7(\cos \pi +i\sin \pi )$ și $-9i=9\left(\cos \frac{3\pi }{2}+i\sin \frac{3\pi }{2}\right)$.

9. $6\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}i$.

10. $3(0-i)=-3i$ și $2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=\sqrt{2}-\sqrt{2}i$.

11. Fals. Între cosinus și sinus trebuie să stea semnul plus. Cu $\cos (2\pi -x)=\cos x$ și $\sin (2\pi -x)=-\sin x$, numărul se scrie $3\left(\cos \frac{9\pi }{5}+i\sin \frac{9\pi }{5}\right)$, care e forma trigonometrică.

12. Ambele părți sunt negative, deci cadranul e al III-lea, nu I. Argumentul este $\pi +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$, iar $-3-3i=3\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)$.

13. Minusul din față se transformă într-o jumătate de tură: unghiul devine $\frac{4\pi }{3}+\pi =\frac{7\pi }{3}$, iar după scăderea unei ture complete, $\frac{7\pi }{3}-2\pi =\frac{\pi }{3}$. Rezultă $4\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$. Proba: ambele forme dau $2+2\sqrt{3}i$.

14. $z=12\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right)=6\sqrt{3}-6i$.

15. Conjugatul e simetricul față de axa reală, deci are același modul și unghiul $2\pi -\frac{\pi }{4}$: $\bar{z}=7\left(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}\right)$.

16. $r=\sqrt{36+108}=\sqrt{144}=12$ km. $\cos \phi =-\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$, cadranul al II-lea, deci $\phi =\frac{2\pi }{3}$, adică $120^{\circ }$ față de direcția est, spre nord.

17. Unghiul $\frac{2\pi }{3}$ e în cadranul al II-lea, deci $a<0$. Din $\mathrm{tg}\frac{2\pi }{3}=-\sqrt{3}=\frac{3}{a}$ rezultă $a=-\frac{3}{\sqrt{3}}=-\sqrt{3}$. Proba: $r=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}$, $\cos \phi =-\frac{1}{2}$, $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$.

18. Din $z=-1+bi$ și $1+b^2=4$ rezultă $b=\pm \sqrt{3}$. Numerele sunt $-1+\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$ și $-1-\sqrt{3}i=2\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$. Cele două puncte sunt simetrice față de axa reală.

De reținut

• Orice număr complex nenul se scrie unic $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$, cu $r=|z|>0$ și $\phi =\arg z\in [0,2\pi )$; numărul $0$ nu are argument.
• Pașii: $a$ și $b$, modulul, $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$, cadranul din semne, unghiul din tabel.
• Din unghiul de bază $\alpha$: argumentul e $\alpha$, $\pi -\alpha$, $\pi +\alpha$ sau $2\pi -\alpha$, după cadran.
• Tangenta singură nu deosebește două puncte simetrice față de origine; cadranul se stabilește întotdeauna.
• În forma trigonometrică, factorul din față e pozitiv, unghiul e același la cosinus și la sinus, iar între ele stă semnul plus.

Greșeli frecvente

• Minusul lăsat în fața parantezei. Se scrie $-4=-4(\cos 0+i\sin 0)$. Corect: modulul e pozitiv, $-4=4(\cos \pi +i\sin \pi )$.
• Unghiul luat doar din tangentă. Se scrie $\arg (-1-\sqrt{3}i)=\frac{\pi }{3}$. Corect: cadranul al III-lea, argumentul $\frac{4\pi }{3}$.
• Argumentul negativ lăsat așa. Se scrie $\arg (4-4\sqrt{3}i)=-\frac{\pi }{3}$. Corect: argumentul redus e în $[0,2\pi )$, deci $\frac{5\pi }{3}$.
• Minus între cosinus și sinus. Scrierea $2\left(\cos \frac{\pi }{3}-i\sin \frac{\pi }{3}\right)$ nu e formă trigonometrică. Corect: $2\left(\cos \frac{5\pi }{3}+i\sin \frac{5\pi }{3}\right)$.
• Unghiuri diferite în paranteză. O scriere cu $\cos \frac{\pi }{4}$ și $\sin \frac{\pi }{6}$ nu are formă trigonometrică vizibilă. Corect: calculezi forma algebrică și reiei pașii.

Aplică acasă

1. Harta camerei. Alege un colț al camerei drept origine, un perete drept axa reală și celălalt drept axa imaginară. Măsoară poziția a trei obiecte, ca un radar: distanța de la colț și unghiul față de primul perete. Scrie fiecare poziție în formă trigonometrică și apoi în formă algebrică, apoi verifică cu ruleta.

2. Ceasul. Desenează un cadran de ceas de rază $1$, cu centrul în origine, cu axa reală spre ora $3$ și axa imaginară spre ora $12$. Scrie în formă trigonometrică pozițiile vârfului acului mic la orele $3$, $12$, $9$ și $6$; prima este $1=\cos 0+i\sin 0$. Apoi fă la fel pentru orele $1$ și $2$. Atenție: acele ceasului se rotesc invers sensului trigonometric, deci unghiul scade cu $\frac{\pi }{6}$ la fiecare oră; când trece sub $0$, adaugi $2\pi$.

3. Tabelul tău. Fă un tabel cu numerele $\pm 1\pm i$, $\pm \sqrt{3}\pm i$ și $\pm 1\pm \sqrt{3}i$, douăsprezece numere în total. Pentru fiecare scrie modulul, cadranul și argumentul redus. Observă ce au în comun argumentele numerelor opuse.

Pentru părinți și profesori

Lecția este prima întâlnire a elevului de la științe ale naturii cu forma trigonometrică. Am ales un drum cu pași mici: un singur algoritm, cu cinci pași, aplicat în toate cele patru cadrane, fără demonstrația formală a unicității, care se găsește în lecția despre forma trigonometrică, de la mate-info (M1). Pragul real este pasul 4, cadranul: un elev care își spune „întâi semnele, apoi unghiul” evită aproape toate greșelile de argument.

De urmărit în caiet: modulul calculat corect, cadranul scris explicit, argumentul redus în $[0,2\pi )$ și proba prin desfacerea parantezei. Întrebări bune de control: „De ce $\sqrt{3}+i$ și $-\sqrt{3}-i$ au aceeași tangentă, dar argumente diferite?”, „Unde dispare minusul din $-4$?”, „De ce nu are $0$ argument?”.

Dificultatea cea mai des întâlnită nu e calculul, ci trecerea de la valorile $\cos \phi$ și $\sin \phi$ la unghi. Elevii care au lucrat cercul trigonometric din clasa a IX-a cu puncte asociate o fac ușor. Ceilalți au nevoie de tabelul unghiurilor de bază scris pe o fișă și de regula celor patru cadrane, exersată separat pe zece-cincisprezece unghiuri, înainte de numerele complexe. Merită insistat și pe faptul că forma trigonometrică nu e un alt număr, ci altă scriere a aceluiași număr: proba prin desfacerea parantezei face legătura vizibilă.

Pe traseul profilului, lecția stă după ecuațiile bipătrate și înaintea lecțiilor de mate-info despre forma trigonometrică, înmulțire, formula lui Moivre și rădăcinile de ordinul $n$. Elevul care a lucrat pașii de aici poate citi acele lecții ca aprofundare.

Programa și examenul. Programa școlară în vigoare la clasa a X-a în anul școlar 2026–2027 (OMEC 4598/2004, varianta de 4 ore, aplicată la științe ale naturii) conține „Numere complexe sub forma trigonometrică (coordonate polare în plan), înmulțirea numerelor complexe și interpretare geometrică, ridicarea la putere (formula lui Moivre)”. Programa de examen a bacalaureatului M2 (M_șt-nat) din sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) are, la numerele complexe, doar forma algebrică, conjugatul, operațiile, interpretarea geometrică a adunării, a scăderii și a înmulțirii cu un număr real, rezolvarea în $\mathbb{C}$ a ecuației de gradul al doilea cu coeficienți reali și ecuațiile bipătrate. De aceea lecția nu are exerciții marcate pentru bacalaureat. Programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a X-a din 2027–2028, are, în lista de conținuturi, numerele complexe numai în formă algebrică, la fel ca programa probei MAT_P2 din 2030; sugestiile ei metodologice recomandă forma trigonometrică doar când profesorul are timp.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă să scrii un număr complex în formă trigonometrică?

Înseamnă să-l scrii ca $z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$. Numărul $r$ este modulul, adică cât de departe e punctul față de origine, iar $\phi$ este argumentul redus, adică direcția, măsurată de la axa reală pozitivă. De exemplu, $-2+2\sqrt{3}i=4\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$. Orice număr complex nenul are o singură astfel de scriere.

Cum aflu argumentul redus al unui număr complex?

Calculezi modulul $r$, apoi $\cos \phi =\frac{a}{r}$ și $\sin \phi =\frac{b}{r}$. Din semnele lui $a$ și $b$ afli cadranul, iar din tabelul unghiurilor de bază găsești unghiul. În cadranul al II-lea argumentul e $\pi -\alpha$, în al III-lea $\pi +\alpha$, iar în al IV-lea $2\pi -\alpha$, unde $\alpha$ e unghiul de bază.

De ce argumentul redus se ia în intervalul [0, 2π)?

Pentru că un unghi și același unghi plus o rotație completă dau același punct, deci un număr are o infinitate de argumente. Ca scrierea să fie unică, alegem unul singur, cel dintr-o tură. Intervalul $[0,2\pi )$ e convenția folosită pentru argumentul redus în toate lecțiile de numere complexe de pe site.

Pot afla argumentul doar din tangentă?

Numai după ce ai stabilit cadranul. Tangenta are perioada $\pi$, deci două numere opuse au aceeași tangentă a argumentului. De exemplu, $\sqrt{3}+i$ și $-\sqrt{3}-i$ au amândouă $\mathrm{tg}\phi =\frac{1}{\sqrt{3}}$, dar argumentele sunt $\frac{\pi }{6}$, respectiv $\frac{7\pi }{6}$. Semnele lui $a$ și $b$ decid unghiul corect.

Se cere forma trigonometrică la bacalaureatul M2?

Nu. Programa de examen M2 pentru sesiunile 2027–2029 are numerele complexe doar în formă algebrică, iar în cele 92 de probe oficiale M2 din 2010–2026 transcrise pe site forma trigonometrică nu apare. Tema este însă în programa școlară de 4 ore a clasei a X-a, în vigoare în 2026–2027, deci se predă și se evaluează la clasă.

Prin ce diferă lecția aceasta de forma trigonometrică de la mate-info (M1)?

La mate-info, forma trigonometrică e demonstrată riguros, cu existența și unicitatea, și e urmată de exerciții de nivel ridicat, inclusiv tip Bacalaureat M1. Lecția M2 pornește de la imaginea radarului, lucrează un singur algoritm în cinci pași, insistă pe cadran și pe scrierile false și leagă unghiul de ecuațiile trigonometrice ale profilului.

Ce fac dacă unghiul nu e unul din tabel?

Scrii argumentul exact cu o funcție trigonometrică inversă. Pentru $3+4i$, de exemplu, $r=5$, cadranul e I, iar $\phi =\mathrm{arctg}\frac{4}{3}$, aproximativ $0,93$ radiani. În cadranele al II-lea și al III-lea adaugi $\pi$ la arctangentă, iar în al IV-lea adaugi $2\pi$, ca argumentul să rămână în $[0,2\pi )$.