Pentru $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}$$ și $$\rho=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$$, compunerea $$\sigma\circ\rho$$ este:

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}$$

Inversa permutării $$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$$ este:

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}$$

Lecția pe scurt · clasa a XII-a · Grupul S₃

Cum se compun două permutări de grad 3?

Aplici întâi permutarea din dreapta și apoi pe cea din stânga: $(σ \circ ρ) (k) = σ (ρ (k))$ . Pentru $σ = (122331)$ și $ρ = (122133)$ , numărul $1$ merge în $2$ și apoi în $3$ , numărul $2$ merge în $1$ și apoi în $2$ , iar $3$ rămâne pe loc și apoi merge în $1$ . Rezultatul este $(132231)$ ; în ordinea inversă se obține altă permutare.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — mini-lecția M1 pereche →; pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — traseul tehnologic, clasa a XII-a → ·

O permutare de grad $3$ este o reașezare a numerelor $1$ , $2$ , $3$ , scrisă ca tabel cu două linii: sus numărul, jos locul în care ajunge. Există $3! = 6$ astfel de permutări: identitatea $e$ , două rotiri în cerc și trei schimbări de câte două numere.

Compunerea $σ \circ ρ$ înseamnă: întâi $ρ$ , apoi $σ$ . Fiecare număr se urmărește separat, iar rezultatul este din nou o permutare de grad $3$ . Identitatea nu schimbă nimic, iar inversa unei permutări se obține schimbând liniile tabelului și ordonând coloanele.

Cu aceste proprietăți, plus asociativitatea moștenită de la compunerea funcțiilor, mulțimea $S_{3}$ formează un grup cu șase elemente. Grupul nu este comutativ: o rotire urmată de o schimbare dă alt rezultat decât schimbarea urmată de rotire. Din acest motiv, ecuația $σ \circ x = ρ$ are soluția $σ^{- 1} \circ ρ$ , iar $x \circ σ = ρ$ are soluția $ρ \circ σ^{- 1}$ .

Puterile se repetă: o rotire revine la identitate după trei pași, o schimbare după doi, așa că la un exponent mare contează doar restul împărțirii. Tabla compunerii conține fiecare element o singură dată pe orice linie și pe orice coloană.

De reținut

$(σ \circ ρ) (k) = σ (ρ (k))$ : întâi $ρ$ , apoi $σ$
$S_{3}$ are $6$ elemente și nu este comutativ
inversa: schimbi liniile și reordonezi coloanele

Greșeala tipică

Se compune în ordinea citirii, de la stânga la dreapta; în $σ \circ ρ$ trebuie folosită mai întâi $ρ$ , apoi $σ$ , iar rezultatul se controlează pe fiecare dintre numerele $1$ , $2$ , $3$ .

Exerciții din această mini-lecție

Câte elemente are grupul $(S_{3}, \circ)$ ?
- a) $3$
- b) $9$
- c) $6$
- d) $27$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $6$

Elementele sunt toate ordonările a trei numere, iar acestea sunt $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ .
Pentru $σ = (132132)$ și $ρ = (112332)$ , compunerea $σ \circ ρ$ este:
- a) $(122133)$
- b) $(132231)$
- c) $(122331)$
- d) $(112233)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(132231)$

Aplicăm întâi $ρ$ : $σ (ρ (1)) = σ (1) = 3$ , $σ (ρ (2)) = σ (3) = 2$ , $σ (ρ (3)) = σ (2) = 1$ . Varianta a) este $ρ \circ σ$ , compunerea în ordinea greșită.
Inversa permutării $(122331)$ este:
- a) $(132132)$
- b) $(122331)$
- c) $(112332)$
- d) $(132231)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(132132)$

Schimbăm liniile, $(213213)$ , și ordonăm coloanele după prima linie: $(132132)$ . Proba: compunerea celor două lasă fiecare număr pe loc.

Întrebări conexe

Cum construiesc tabla compunerii în S3?

Scrii cele șase permutări în capul liniilor și al coloanelor și treci în fiecare căsuță compusul dintre permutarea liniei și cea a coloanei, aplicând întâi coloana. Linia și coloana permutării identice se copiază direct. La final verifici că fiecare permutare apare o singură dată pe fiecare linie și pe fiecare coloană.

Cum găsesc inversa unei permutări de grad 3?

Schimbi între ele cele două linii ale tabelului și ordonezi coloanele după numerele de sus. Pentru $(122331)$ obții $(132132)$ . Proba: compunerea lor, în orice ordine, lasă fiecare număr pe loc.

Cum rezolv o ecuație de forma σ∘x = ρ în S3?

Compui ambii membri la stânga cu inversa lui $σ$ și obții $x = σ^{- 1} \circ ρ$ . Dacă necunoscuta stă în stânga, ca în $x \circ σ = ρ$ , inversa se pune la dreapta: $x = ρ \circ σ^{- 1}$ . Cele două soluții pot fi diferite, pentru că $S_{3}$ nu este comutativ.

Ce permutări din S3 sunt propriile lor inverse?

Permutarea identică și cele trei permutări care schimbă între ele doar două numere, lăsând al treilea pe loc. Aplicate de două ori, acestea readuc totul în poziția inițială. Cele două rotiri în cerc nu au proprietatea: fiecare este inversa celeilalte.

Câte permutări de grad 3 schimbă doar două numere?

Trei, câte una pentru fiecare număr lăsat pe loc. Cea care fixează $1$ schimbă pe $2$ cu $3$ , cea care fixează $2$ schimbă pe $1$ cu $3$ , iar cea care fixează $3$ schimbă pe $1$ cu $2$ . Împreună cu identitatea și cu cele două rotiri în cerc, ele dau cele șase elemente ale lui $S_{3}$ .

Oamenii mai întreabă și: compunerea permutărilor de grad 3 · cum calculez sigma compus cu tau · ordinea la compunerea a două permutări · produsul a două permutări din S3