Grupul permutărilor S₃ (M2, științe ale naturii)

Molecula de trifluorură de bor are atomul de bor în centru și trei atomi de fluor în vârfurile unui triunghi echilateral. Dacă o rotești cu o treime de tură sau o răstorni în jurul unei legături, arată exact la fel, dar fiecare atom de fluor a ajuns în locul altuia. Câte astfel de mișcări există, ce iese când faci două la rând și contează ordinea în care le faci? Răspunsul îl dă un singur obiect matematic, grupul permutărilor de grad $3$, notat $S_3$. La clasa a XII-a, profilul științe ale naturii (M2), el este unul dintre exemplele de grupuri numite de programa școlară, alături de grupurile numerice, de cele de matrice și de ${\mathbb{Z}}_n$, deși bacalaureatul M2 din sesiunile 2027–2029 nu îl cere.

Lecția face parte din unitatea despre grupuri și se citește după grupurile de matrice: acolo ai văzut primul grup necomutativ, aici vezi unul care are doar șase elemente și încape întreg într-un tabel. Pe traseu, lecția stă în unitatea de supliment pentru bacalaureat, fiindcă acolo sunt lecțiile despre grupuri, dar ea însăși nu e materie de examen: o parcurgi pentru programa școlară. Definiția grupului vine din lecția despre grupuri, iar numărul $3!=6$ din lecția de clasa a X-a despre permutări. Compunerea permutărilor este compunerea funcțiilor, lucrată la operațiile cu funcții.

Ce vei învăța

• Vei ști să scrii o permutare de grad $3$ ca tabel cu două linii și să citești din el unde ajunge fiecare număr.
• Vei ști să compui două permutări în ordinea corectă, „întâi cea din dreapta”, și să verifici rezultatul pe fiecare număr.
• Vei ști să găsești permutarea identică și inversa unei permutări, prin schimbarea liniilor.
• Vei ști să construiești tabla grupului $S_3$ și să citești din ea elementul neutru, inversele și lipsa comutativității.
• Vei ști să calculezi puterile unei permutări, inclusiv la exponenți mari, ca $2026$.
• Vei ști să rezolvi ecuațiile $\sigma \circ x=\rho$ și $x\circ \sigma =\rho$ și să explici de ce au, în general, soluții diferite.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este o permutare de grad 3?

Ia trei locuri numerotate cu $1$, $2$ și $3$ și trei obiecte așezate pe ele. O mutare care le reașază, fără să lase vreun loc gol și fără să pună două obiecte în același loc, spune pentru fiecare loc de plecare locul de sosire. Ea este, deci, o funcție de la $\{1,2,3\}$ la $\{1,2,3\}$ care nu trimite două numere în același număr.

O permutare de grad 3 este o funcție bijectivă $\sigma :\{1,2,3\}\to \{1,2,3\}$. Se scrie ca tabel cu două linii: pe prima, numerele de plecare, iar sub fiecare, imaginea lui.

$$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)\text{ıˆnseamna˘}\sigma (1)=3,\sigma (2)=1,\sigma (3)=2.$$

Testul rapid: linia de jos trebuie să conțină fiecare dintre numerele $1$, $2$, $3$ exact o dată. Un tabel cu linia de jos $2,2,1$ nu este permutare, fiindcă trimite și pe $1$, și pe $2$ în $2$, iar pe $3$ nu îl atinge nimeni. Mulțimea tuturor permutărilor de grad $3$ se notează $S_3$ și are $3!=6$ elemente, pentru că imaginea lui $1$ se alege în trei feluri, a lui $2$ în două, iar a lui $3$ e impusă.

În lecția de față le dăm nume fixe. Permutarea care nu mișcă nimic este $e$. Două permutări mută toate numerele „în cerc”, iar trei schimbă între ele două numere și lasă pe loc al treilea; indicele arată numărul lăsat pe loc:

$$e=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right),\alpha =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right),$$

$${\tau }_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right),{\tau }_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right),{\tau }_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right).$$

Permutarea $\sigma$ de mai sus este, cu aceste nume, chiar $\beta$.

2. Cum se compun două permutări?

Două mutări făcute una după alta dau tot o mutare. Dacă întâi aplici $\rho$ și apoi $\sigma$, fiecare număr $k$ ajunge întâi în $\rho (k)$ și apoi în $\sigma (\rho (k))$. Rezultatul se notează $\sigma \circ \rho$:

$$(\sigma \circ \rho )(k)=\sigma (\rho (k)),k\in \{1,2,3\}.$$

Atenție la ordine: în $\sigma \circ \rho$ lucrează întâi $\rho$, cea din dreapta, apoi $\sigma$. Este aceeași convenție ca la compunerea funcțiilor, iar în toată lecția nu folosim alta.

Calculul se face număr cu număr. Pentru $\alpha \circ {\tau }_1$ urmărești pe rând $1$, $2$ și $3$:

$$\alpha ({\tau }_1(1))=\alpha (1)=2,\alpha ({\tau }_1(2))=\alpha (3)=1,\alpha ({\tau }_1(3))=\alpha (2)=3,$$

deci $\alpha \circ {\tau }_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)={\tau }_3$. Rezultatul este tot o permutare de grad $3$, pentru că o funcție bijectivă compusă cu alta bijectivă rămâne bijectivă. Compunerea este, așadar, o lege de compoziție pe $S_3$, în sensul din lecția despre legea de compoziție.

3. Ce rol au permutarea identică și inversa?

Permutarea $e$ lasă fiecare număr pe loc, deci compusă cu orice $\sigma$, în orice ordine, nu schimbă nimic: $\sigma \circ e=e\circ \sigma =\sigma$. Ea este elementul neutru al compunerii.

Inversa unei permutări desface mutarea. Dacă $\sigma$ duce pe $k$ în $m$, atunci ${\sigma }^{-1}$ duce pe $m$ înapoi în $k$, iar $\sigma \circ {\sigma }^{-1}={\sigma }^{-1}\circ \sigma =e$. Pe tabel, inversa se obține în doi pași: schimbi liniile între ele, apoi reordonezi coloanele ca prima linie să fie $1,2,3$. Pentru $\alpha$:

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& 2& 3\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)=\beta .$$

Deci ${\alpha }^{-1}=\beta$ și, la fel, ${\beta }^{-1}=\alpha$. Permutările care schimbă doar două numere sunt propriile lor inverse: dacă schimbi de două ori aceleași două obiecte, ajungi de unde ai plecat, așa că ${\tau }_1\circ {\tau }_1=e$, la fel pentru ${\tau }_2$ și ${\tau }_3$.

4. Cum se construiește tabla lui $S_3$?

Cu șase elemente, toate compunerile încap într-un tabel de $6\times 6$, construit ca tabla operației din lecția despre legea de compoziție. Regula de citire a tabelului: rândul dă permutarea aplicată a doua, coloana pe cea aplicată prima, iar căsuța lor comună conține compusul $x\circ y$ al rândului $x$ cu coloana $y$.

Nu trebuie calculate toate cele $36$ de celule de la zero. Linia și coloana lui $e$ se copiază din capul de tabel. Celelalte se calculează număr cu număr, ca la secțiunea 2, iar un control prinde orice greșeală: în fiecare linie și în fiecare coloană fiecare dintre cele șase permutări apare exact o dată, ca într-un careu de sudoku. Motivul îl vezi la secțiunea 7.

5. De ce este $(S_3,\circ )$ grup, dar nu unul comutativ?

Verificăm, pe rând, cele patru condiții din definiția grupului. Compunerea a două permutări de grad $3$ este tot o permutare de grad $3$, deci legea nu iese din mulțime. Compunerea funcțiilor este asociativă, proprietate moștenită: $(\sigma \circ \rho )\circ \pi$ și $\sigma \circ (\rho \circ \pi )$ trimit fiecare număr $k$ în $\sigma \left(\rho \right(\pi (k)\left)\right)$. Elementul neutru este $e$. Orice permutare are inversă în $S_3$, pentru că orice funcție bijectivă are o inversă tot bijectivă; în tablă, fiecare linie conține pe $e$, iar coloana în care apare arată inversul. Așadar $(S_3,\circ )$ este grup cu $6$ elemente.

Comutativ nu este. La secțiunea 2 am obținut $\alpha \circ {\tau }_1={\tau }_3$. În ordinea inversă,

$${\tau }_1(\alpha (1))={\tau }_1(2)=3,{\tau }_1(\alpha (2))={\tau }_1(3)=2,{\tau }_1(\alpha (3))={\tau }_1(1)=1,$$

deci ${\tau }_1\circ \alpha ={\tau }_2\ne {\tau }_3$. Un singur contraexemplu e de ajuns. În tablă, necomutativitatea se vede ca lipsă de simetrie față de diagonala principală: celula $(\alpha ,{\tau }_1)$ conține ${\tau }_3$, iar celula $({\tau }_1,\alpha )$ conține ${\tau }_2$. Unele perechi comută totuși, de exemplu $\alpha$ și $\beta$, al căror compus este $e$ în ambele ordini.

De ce apare necomutativitatea abia la trei obiecte? Cu două obiecte există doar două mutări, „lasă-le pe loc” și „schimbă-le”, iar ele comută, deci grupul $S_2$ este comutativ. Cu trei obiecte, o schimbare a două dintre ele și o rotire a tuturor se „încurcă”: rotirea mută numărul pe care schimbarea îl lăsa pe loc, iar rezultatul depinde de care mutare vine prima. Așa se explică și exemplul cu molecula din lecție: aceleași două mișcări, făcute în ordini diferite, lasă neclintit un alt atom de fluor. De aceea, la orice calcul în $S_3$, ordinea factorilor trebuie copiată exact din enunț și nu are voie să fie schimbată pentru comoditate.

6. Ce se întâmplă când compui o permutare cu ea însăși?

Puterile se definesc ca la numere: ${\sigma }^1=\sigma$, ${\sigma }^2=\sigma \circ \sigma$, ${\sigma }^3={\sigma }^2\circ \sigma$ și așa mai departe, iar ${\sigma }^0=e$. Din tablă, ${\alpha }^2=\alpha \circ \alpha =\beta$ și ${\alpha }^3=\beta \circ \alpha =e$. După trei pași, rotirea în cerc a adus fiecare număr înapoi. De aici puterile lui $\alpha$ se repetă din trei în trei:

$${\alpha }^{3q+r}={\left({\alpha }^3\right)}^q\circ {\alpha }^r=e\circ {\alpha }^r={\alpha }^r,r\in \{0,1,2\}.$$

Pentru un exponent mare, împarți exponentul la $3$ și păstrezi restul. De exemplu, $2026=3\cdot 675+1$, deci ${\alpha }^{2026}=\alpha$. Pentru $\beta$, rotirea în sens opus, regula e aceeași: ${\beta }^2=\alpha$, ${\beta }^3=e$, iar exponentul se reduce tot la restul împărțirii la $3$. Un control practic, după orice calcul de acest fel, este să scrii pe rând câteva puteri mici și să vezi cu ochii că șirul se repetă. Pentru permutările care schimbă două numere, perioada este $2$: ${\tau }_2^2=e$, deci puterile pare ale lui ${\tau }_2$ sunt $e$, iar cele impare sunt ${\tau }_2$. Cel mai mic exponent nenul pentru care puterea dă $e$ este $1$ pentru $e$, $3$ pentru $\alpha$ și $\beta$ și $2$ pentru ${\tau }_1$, ${\tau }_2$, ${\tau }_3$.

7. Cum rezolvi o ecuație în $S_3$?

Ecuația $\sigma \circ x=\rho$ cere permutarea $x$ care, aplicată întâi, urmată de $\sigma$, dă $\rho$. Compui ambii membri la stânga cu ${\sigma }^{-1}$: ${\sigma }^{-1}\circ (\sigma \circ x)={\sigma }^{-1}\circ \rho$. Prin asociativitate, membrul stâng devine $({\sigma }^{-1}\circ \sigma )\circ x=e\circ x=x$, deci soluția este unică:

$$x={\sigma }^{-1}\circ \rho .$$

La ecuația $x\circ \sigma =\rho$, necunoscuta stă în stânga, iar ${\sigma }^{-1}$ se pune la dreapta: $x=\rho \circ {\sigma }^{-1}$. Pentru $\alpha \circ x={\tau }_1$ obținem $x=\beta \circ {\tau }_1={\tau }_2$, iar pentru $x\circ \alpha ={\tau }_1$ obținem $x={\tau }_1\circ \beta ={\tau }_3$. Două soluții diferite, fiindcă grupul nu este comutativ.

Tot de aici vine regula de sudoku a tablei. Linia lui $\sigma$ conține valorile $\sigma \circ x$ pentru toate cele șase permutări $x$. Dacă o permutare $\rho$ ar apărea de două ori pe linie, ecuația $\sigma \circ x=\rho$ ar avea două soluții, iar dacă n-ar apărea deloc, n-ar avea niciuna. Unicitatea soluției spune că fiecare element apare exact o dată.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Compunere în ambele ordini

Calculează $\alpha \circ {\tau }_2$ și ${\tau }_2\circ \alpha$ și compară rezultatele.

Rezolvare. Pentru $\alpha \circ {\tau }_2$ aplicăm întâi ${\tau }_2$, apoi $\alpha$:

$$\alpha ({\tau }_2(1))=\alpha (3)=1,\alpha ({\tau }_2(2))=\alpha (2)=3,\alpha ({\tau }_2(3))=\alpha (1)=2.$$

Deci $\alpha \circ {\tau }_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)={\tau }_1$. Pentru ${\tau }_2\circ \alpha$ aplicăm întâi $\alpha$:

$${\tau }_2(\alpha (1))={\tau }_2(2)=2,{\tau }_2(\alpha (2))={\tau }_2(3)=1,{\tau }_2(\alpha (3))={\tau }_2(1)=3.$$

Deci ${\tau }_2\circ \alpha ={\tau }_3$. Rezultatele diferă, așa cum arată și tabla: celula $(\alpha ,{\tau }_2)$ conține ${\tau }_1$, iar celula $({\tau }_2,\alpha )$ conține ${\tau }_3$.

Exemplul 2 — Inversa, cu probă

Determină inversa permutării $\beta =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ și verifică rezultatul.

Rezolvare. Schimbăm liniile și reordonăm coloanele:

$$\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right)⟶\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)=\alpha .$$

Proba: $\beta (\alpha (1))=\beta (2)=1$, $\beta (\alpha (2))=\beta (3)=2$, $\beta (\alpha (3))=\beta (1)=3$, deci $\beta \circ \alpha =e$. La fel, $\alpha (\beta (1))=\alpha (3)=1$, $\alpha (\beta (2))=\alpha (1)=2$ și $\alpha (\beta (3))=\alpha (2)=3$, deci și $\alpha \circ \beta =e$. Așadar ${\beta }^{-1}=\alpha$.

Exemplul 3 — Puteri cu exponent mare

Calculează ${\alpha }^{100}$ și ${\tau }_3^{2027}$.

Rezolvare. Știm că ${\alpha }^3=e$. Împărțim exponentul la $3$: $100=3\cdot 33+1$, deci

$${\alpha }^{100}={\left({\alpha }^3\right)}^{33}\circ \alpha =e\circ \alpha =\alpha .$$

Pentru ${\tau }_3$ avem ${\tau }_3^2=e$. Cum $2027=2\cdot 1013+1$ este impar, ${\tau }_3^{2027}={\left({\tau }_3^2\right)}^{1013}\circ {\tau }_3={\tau }_3$. Controlul pe un exponent mic: ${\tau }_3^3={\tau }_3^2\circ {\tau }_3=e\circ {\tau }_3={\tau }_3$, exact ce prezice regula „impar dă ${\tau }_3$”.

Exemplul 4 — Aceeași ecuație, scrisă pe două părți

Rezolvă în $S_3$ ecuațiile $\beta \circ x={\tau }_2$ și $x\circ \beta ={\tau }_2$.

Rezolvare. Inversa lui $\beta$ este $\alpha$. Pentru prima ecuație compunem la stânga cu $\alpha$: $x=\alpha \circ {\tau }_2$, iar din Exemplul 1, $\alpha \circ {\tau }_2={\tau }_1$. Proba, din tablă: celula $(\beta ,{\tau }_1)$ conține ${\tau }_2$.

Pentru a doua ecuație compunem la dreapta cu $\alpha$: $x={\tau }_2\circ \alpha ={\tau }_3$, tot din Exemplul 1. Proba: celula $({\tau }_3,\beta )$ conține ${\tau }_2$. Soluțiile sunt ${\tau }_1$, respectiv ${\tau }_3$. Cine mută necunoscuta dintr-o parte în alta fără să schimbe partea inversei obține o soluție greșită pentru una dintre cele două ecuații.

Exemplul 5 — Mișcările moleculei de trifluorură de bor

Atomii de fluor ai moleculei stau în vârfurile unui triunghi echilateral, pe locurile $1$, $2$, $3$, numerotate în sens trigonometric. Rotirea moleculei cu $120^{\circ }$ în sens trigonometric mută atomul de pe locul $k$ pe locul următor; răsturnarea în jurul axei care trece prin bor și prin locul $1$ lasă atomul de pe locul $1$ pe loc și le schimbă pe celelalte două. Ce mișcare obții dacă rotești întâi molecula și apoi o răstorni? Dar în ordinea inversă?

Rezolvare. Rotirea trimite $1\to 2$, $2\to 3$, $3\to 1$, deci este $\alpha$. Răsturnarea fixează $1$ și schimbă $2$ cu $3$, deci este ${\tau }_1$. „Întâi rotirea, apoi răsturnarea” este ${\tau }_1\circ \alpha ={\tau }_2$, calculat la secțiunea 5: o răsturnare în jurul axei prin locul $2$. „Întâi răsturnarea, apoi rotirea” este $\alpha \circ {\tau }_1={\tau }_3$: răsturnarea în jurul axei prin locul $3$.

Concluzia fizică: două mișcări care păstrează forma moleculei dau tot o mișcare care o păstrează, iar ordinea lor schimbă rezultatul. Cele șase mișcări, adică identitatea, cele două rotiri și cele trei răsturnări, formează un grup cu aceeași tablă ca $S_3$.

Exemplul 6 — O problemă cu trei cerințe

Se consideră permutările $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ și $\rho =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$.

a) Calculează $\sigma \circ \rho$ și $\rho \circ \sigma$.

b) Arată că ${\sigma }^3=e$.

c) Determină permutarea $x\in S_3$ pentru care ${\sigma }^{2026}\circ x=\rho$.

Rezolvare. a) Aplicăm întâi $\rho$: $\sigma (\rho (1))=\sigma (2)=1$, $\sigma (\rho (2))=\sigma (1)=3$, $\sigma (\rho (3))=\sigma (3)=2$, deci $\sigma \circ \rho =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$. Apoi $\rho (\sigma (1))=\rho (3)=3$, $\rho (\sigma (2))=\rho (1)=2$, $\rho (\sigma (3))=\rho (2)=1$, deci $\rho \circ \sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$.

b) ${\sigma }^2=\sigma \circ \sigma$: $\sigma (\sigma (1))=\sigma (3)=2$, $\sigma (\sigma (2))=\sigma (1)=3$, $\sigma (\sigma (3))=\sigma (2)=1$, deci ${\sigma }^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$. Apoi ${\sigma }^3={\sigma }^2\circ \sigma$: $1\to 3\to 1$, $2\to 1\to 2$, $3\to 2\to 3$, deci ${\sigma }^3=e$.

c) Cum $2026=3\cdot 675+1$, avem ${\sigma }^{2026}=\sigma$, iar ecuația devine $\sigma \circ x=\rho$. Inversa lui $\sigma$ este ${\sigma }^2$, calculată la b), deci $x={\sigma }^2\circ \rho$: ${\sigma }^2(\rho (1))={\sigma }^2(2)=3$, ${\sigma }^2(\rho (2))={\sigma }^2(1)=2$, ${\sigma }^2(\rho (3))={\sigma }^2(3)=1$. Așadar $x=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$. Proba: $\sigma (x(1))=\sigma (3)=2$, $\sigma (x(2))=\sigma (2)=1$, $\sigma (x(3))=\sigma (1)=3$, adică exact $\rho$.

Forma problemei, cu trei cerințe legate între ele, este cea a problemelor de algebră de la Subiectul al II-lea. Tema însă nu figurează în programa de examen M2 din 2014, deci problema e un antrenament pentru clasă și pentru lucrările scrise, nu o cerință de bacalaureat.

Să exersăm

Lucrează cu convenția „întâi cea din dreapta” și verifică fiecare compunere pe toate cele trei numere. Folosește numele din lecție: $e$, $\alpha$, $\beta$, ${\tau }_1$, ${\tau }_2$, ${\tau }_3$.

1. Pentru $\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$ scrie $\sigma (1)$, $\sigma (2)$, $\sigma (3)$, apoi spune dacă tabelul $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 3& 1\end{array}\right)$ reprezintă o permutare.

2. Calculează ${\tau }_1\circ {\tau }_3$ și ${\tau }_3\circ {\tau }_1$.

3. Determină inversa permutării ${\tau }_2$ și explică rezultatul fără calcul.

4. Calculează ${\beta }^2$ și ${\beta }^3$.

5. (Adevărat/Fals cu motivare.) Dacă două permutări din $S_3$ comută, atunci ele sunt egale.

6. Rezolvă în $S_3$ ecuația ${\tau }_2\circ x=\alpha$.

7. Rezolvă în $S_3$ ecuația $x\circ {\tau }_2=\alpha$ și compară soluția cu cea de la exercițiul 6.

8. Calculează ${\beta }^{2027}$.

9. Câte permutări $x$ din $S_3$ verifică $x\circ x=e$? Enumeră-le.

10. Determină toate permutările din $S_3$ care comută cu ${\tau }_1$.

11. Arată, folosind tabla, că mulțimea $\{e,\alpha ,\beta \}$ nu iese din ea însăși prin compunere, iar mulțimea $\{e,{\tau }_1,{\tau }_2\}$ iese.

12. (Problemă aplicată.) Un braț robotic dintr-un laborator are trei suporturi, $1$, $2$ și $3$. Programul A mută eprubeta de pe suportul $1$ pe $3$, pe cea de pe $3$ pe $1$ și o lasă pe cea de pe $2$ pe loc. Programul B mută fiecare eprubetă pe suportul următor: $1\to 2$, $2\to 3$, $3\to 1$. Ce program unic face același lucru ca „întâi B, apoi A”?

13. (Găsește greșeala.) Un elev calculează ${\tau }_1\circ \alpha$ aplicând întâi ${\tau }_1$ și apoi $\alpha$ și obține ${\tau }_3$. Unde a greșit și care este rezultatul corect?

14. Arată pe exemplul $\sigma =\alpha$, $\rho ={\tau }_1$ că $(\sigma \circ \rho {)}^{-1}={\rho }^{-1}\circ {\sigma }^{-1}$, dar $(\sigma \circ \rho {)}^{-1}\ne {\sigma }^{-1}\circ {\rho }^{-1}$.

15. Determină numerele naturale $n$, cu $1\le n\le 10$, pentru care ${\alpha }^n=e$.

16. (Problemă cu trei cerințe.) Se consideră $\pi =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)$ și $\theta =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$. a) Calculează $\theta \circ \pi$. b) Arată că $\theta \circ \theta =e$. c) Determină $x\in S_3$ cu $x\circ \pi =\theta$.

17. Explică de ce în tabla lui $S_3$ nicio linie nu poate conține de două ori aceeași permutare.

18. (Provocare.) Arată că ecuația $x\circ x=\alpha$ are soluție în $S_3$, iar ecuația $x\circ x={\tau }_1$ nu are niciuna.

Răspunsuri și explicații

1. $\sigma (1)=2$, $\sigma (2)=1$, $\sigma (3)=3$; este permutarea ${\tau }_3$. Al doilea tabel nu reprezintă o permutare: numărul $3$ apare de două ori pe linia de jos, iar $2$ lipsește, deci funcția nu este bijectivă.

2. ${\tau }_1({\tau }_3(1))={\tau }_1(2)=3$, ${\tau }_1({\tau }_3(2))={\tau }_1(1)=1$, ${\tau }_1({\tau }_3(3))={\tau }_1(3)=2$, deci ${\tau }_1\circ {\tau }_3=\beta$. În ordinea inversă: ${\tau }_3({\tau }_1(1))=2$, ${\tau }_3({\tau }_1(2))={\tau }_3(3)=3$, ${\tau }_3({\tau }_1(3))={\tau }_3(2)=1$, deci ${\tau }_3\circ {\tau }_1=\alpha$. Rezultatele diferă: compusul a două schimbări de câte două numere este o rotire în cerc.

3. ${\tau }_2^{-1}={\tau }_2$. Permutarea schimbă între ele numerele $1$ și $3$ și îl lasă pe $2$ pe loc; o a doua schimbare a acelorași numere le readuce la locul lor, deci ${\tau }_2\circ {\tau }_2=e$.

4. ${\beta }^2$: $1\to 3\to 2$, $2\to 1\to 3$, $3\to 2\to 1$, deci ${\beta }^2=\alpha$. Apoi ${\beta }^3={\beta }^2\circ \beta =\alpha \circ \beta =e$.

5. Fals. $\alpha \circ \beta =e$ și $\beta \circ \alpha =e$, deci $\alpha$ și $\beta$ comută, deși sunt diferite. La fel, $e$ comută cu orice permutare.

6. $x={\tau }_2^{-1}\circ \alpha ={\tau }_2\circ \alpha ={\tau }_3$, din Exemplul 1. Proba, din tablă: celula $({\tau }_2,{\tau }_3)$ conține $\alpha$.

7. $x=\alpha \circ {\tau }_2^{-1}=\alpha \circ {\tau }_2={\tau }_1$, din Exemplul 1. Proba, din tablă: celula $({\tau }_1,{\tau }_2)$ conține $\alpha$. Soluția diferă de cea de la exercițiul 6, ${\tau }_3$, pentru că necunoscuta stă de cealaltă parte.

8. ${\beta }^3=e$, iar $2027=3\cdot 675+2$, deci ${\beta }^{2027}={\beta }^2=\alpha$.

9. Patru: $e$, ${\tau }_1$, ${\tau }_2$, ${\tau }_3$. Pentru $\alpha$ și $\beta$ pătratul nu este $e$: ${\alpha }^2=\beta$ și ${\beta }^2=\alpha$.

10. Doar $e$ și ${\tau }_1$. Din tablă: $\alpha \circ {\tau }_1={\tau }_3$, dar ${\tau }_1\circ \alpha ={\tau }_2$; $\beta \circ {\tau }_1={\tau }_2$, dar ${\tau }_1\circ \beta ={\tau }_3$; ${\tau }_2\circ {\tau }_1=\beta$, dar ${\tau }_1\circ {\tau }_2=\alpha$; ${\tau }_3\circ {\tau }_1=\alpha$, dar ${\tau }_1\circ {\tau }_3=\beta$.

11. Compunerile dintre $e$, $\alpha$ și $\beta$ stau în colțul de $3\times 3$ din stânga sus al tablei și dau numai $e$, $\alpha$, $\beta$. În schimb ${\tau }_1\circ {\tau }_2=\alpha$, iar $\alpha$ nu aparține mulțimii $\{e,{\tau }_1,{\tau }_2\}$.

12. A schimbă $1$ cu $3$ și fixează $2$, deci A $={\tau }_2$; B $=\alpha$. „Întâi B, apoi A” este ${\tau }_2\circ \alpha ={\tau }_3$, calculat în Exemplul 1: programul unic schimbă între ele eprubetele de pe suporturile $1$ și $2$ și o lasă pe cea de pe suportul $3$ pe loc.

13. În ${\tau }_1\circ \alpha$ se aplică întâi $\alpha$, cea din dreapta. Elevul a calculat, de fapt, $\alpha \circ {\tau }_1={\tau }_3$. Rezultatul corect este ${\tau }_1\circ \alpha ={\tau }_2$, ca la secțiunea 5.

14. $\alpha \circ {\tau }_1={\tau }_3$, iar ${\tau }_3^{-1}={\tau }_3$. Pe de altă parte, ${\tau }_1^{-1}\circ {\alpha }^{-1}={\tau }_1\circ \beta ={\tau }_3$, deci prima egalitate are loc. În schimb ${\alpha }^{-1}\circ {\tau }_1^{-1}=\beta \circ {\tau }_1={\tau }_2\ne {\tau }_3$.

15. ${\alpha }^n=e$ exact când $n$ se împarte la $3$, deci $n\in \{3,6,9\}$.

16. a) $\theta (\pi (1))=\theta (3)=1$, $\theta (\pi (2))=\theta (1)=3$, $\theta (\pi (3))=\theta (2)=2$, deci $\theta \circ \pi =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$. b) $\theta$ fixează $2$ și schimbă $1$ cu $3$; aplicată de două ori, readuce totul pe loc. c) $x=\theta \circ {\pi }^{-1}$, cu ${\pi }^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$: $\theta (2)=2$, $\theta (3)=1$, $\theta (1)=3$, deci $x=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)$. Proba: $x(\pi (1))=x(3)=3$, $x(\pi (2))=x(1)=2$, $x(\pi (3))=x(2)=1$, adică $\theta$.

17. Dacă în linia lui $\sigma$ ar apărea de două ori $\rho$, ar exista $x\ne y$ cu $\sigma \circ x=\sigma \circ y$. Compunând la stânga cu ${\sigma }^{-1}$ ar rezulta $x=y$, contradicție. Deci cele șase valori din linie sunt diferite și acoperă toată mulțimea $S_3$.

18. Pătratele celor șase permutări sunt: $e^2=e$, ${\alpha }^2=\beta$, ${\beta }^2=\alpha$, ${\tau }_1^2={\tau }_2^2={\tau }_3^2=e$. Ecuația $x\circ x=\alpha$ are soluția $x=\beta$. Valoarea ${\tau }_1$ nu apare printre pătrate, deci $x\circ x={\tau }_1$ nu are soluții în $S_3$.

De reținut

• O permutare de grad $3$ este o funcție bijectivă a mulțimii $\{1,2,3\}$; în tabelul cu două linii, linia de jos conține fiecare număr exact o dată. Mulțimea lor, $S_3$, are $3!=6$ elemente.
• În $\sigma \circ \rho$ se aplică întâi $\rho$, apoi $\sigma$: $(\sigma \circ \rho )(k)=\sigma (\rho (k))$. Compunerea se verifică număr cu număr.
• Elementul neutru este permutarea identică $e$, iar inversa se obține schimbând liniile tabelului și reordonând coloanele.
• $(S_3,\circ )$ este grup cu șase elemente, necomutativ: de exemplu, $\alpha \circ {\tau }_1={\tau }_3$, dar ${\tau }_1\circ \alpha ={\tau }_2$. Ecuațiile $\sigma \circ x=\rho$ și $x\circ \sigma =\rho$ au soluțiile ${\sigma }^{-1}\circ \rho$, respectiv $\rho \circ {\sigma }^{-1}$.
• ${\alpha }^3={\beta }^3=e$ și ${\tau }_i^2=e$, deci la un exponent mare se păstrează doar restul împărțirii la $3$, respectiv la $2$.

Greșeli frecvente

• Ordinea inversată la compunere. Se aplică întâi permutarea din stânga. Corect: în $\sigma \circ \rho$ lucrează întâi $\rho$; scrie pe margine „întâi cea din dreapta” înainte de calcul.
• Inversa citită direct de pe linia de jos. Se scrie linia de jos drept inversă, fără să se schimbe liniile. Corect: schimbi liniile, apoi ordonezi coloanele după prima linie și faci proba $\sigma \circ {\sigma }^{-1}=e$.
• Mutarea necunoscutei dintr-o parte în alta. Din $\sigma \circ x=\rho$ se scrie $x=\rho \circ {\sigma }^{-1}$. Corect: inversa se pune de aceeași parte cu $\sigma$, deci $x={\sigma }^{-1}\circ \rho$.
• Concluzia „comutativ” din câteva perechi. Faptul că $\alpha$ și $\beta$ comută nu face grupul comutativ. Pentru „nu este comutativ” ajunge un contraexemplu; pentru „este comutativ” ar trebui toate perechile.
• Puterea calculată prin ridicarea numerelor din tabel la putere. Se scrie ${\alpha }^2$ cu linia de jos $4,9,1$. Corect: ${\alpha }^2=\alpha \circ \alpha$ este o compunere, iar rezultatul rămâne o permutare a numerelor $1$, $2$, $3$.

Aplică acasă

1. Triunghiul de hârtie. Decupează un triunghi echilateral, scrie $1$, $2$, $3$ în colțuri pe ambele fețe și desenează conturul lui pe o foaie. Fă pe rând rotiri și răsturnări, notează după fiecare unde a ajuns fiecare colț și verifică pe hârtie două celule ale tablei.

2. Trei pahare. Așază trei pahare diferite pe locurile $1$, $2$, $3$. Alege două mutări, de pildă „schimbă primele două” și „mută totul cu un loc la dreapta”, fă-le în ambele ordini și fotografiază rezultatul. Spune care celule ale tablei ai confirmat.

3. Sudoku cu permutări. Copiază tabla lui $S_3$ cu zece celule șterse, dă-o unui coleg și cere-i s-o completeze folosind doar regula „fiecare element o dată pe linie și pe coloană”. Verificați apoi două celule prin calcul număr cu număr.

Pentru părinți și profesori

Lecția leagă două lucruri pe care elevul le are deja: funcțiile bijective și definiția grupului. Pragul real nu e definiția, ci ordinea compunerii. Un elev care scrie spontan „întâi cea din dreapta” și verifică fiecare compunere pe toate cele trei numere a înțeles capitolul; unul care compune „cum citește” va greși jumătate dintre calcule fără să-și dea seama.

Semne de urmărit în caiet: tabelele cu două linii au pe linia de jos fiecare număr exact o dată; inversa e însoțită de probă; la ecuații, inversa e pusă de aceeași parte cu permutarea cunoscută. Întrebări bune de control: „Ce faci întâi în $\sigma \circ \rho$?”, „De unde știi că rezultatul e tot o permutare?”, „De ce ecuațiile $\sigma \circ x=\rho$ și $x\circ \sigma =\rho$ au soluții diferite?”, „Cum calculezi ${\alpha }^{2026}$ fără să compui de două mii de ori?”.

Lecția despre morfisme și izomorfisme de grupuri compară grupuri între ele; $S_3$ este un bun exemplu de grup care nu poate fi izomorf cu niciun grup comutativ. Pentru varianta cu demonstrații și cu permutări de grad oarecare: grupurile de matrice și de permutări, la mate-info (M1), iar notația și compunerea pentru orice grad sunt în lecția de clasa a XI-a despre permutări, de la mate-info.

Programa și examenul. Lecția urmează programa școlară în vigoare la clasa a XII-a pentru științe ale naturii (Programa 2, OMEC 5959/2006), al cărei capitol „Grupuri” conține rândul „Grup, exemple: grupuri numerice, grupuri de matrice, grupuri de permutări, ${\mathbb{Z}}_n$”. Programa de examen după care se dă Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029 (OMEN 4430/2014) păstrează din acest rând grupurile numerice, grupurile de matrice și grupul aditiv al claselor de resturi modulo $n$, fără grupurile de permutări; de aceea niciun exercițiu din lecție nu e marcat ca exercițiu de bacalaureat. În programa nouă pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), structurile algebrice nu mai apar la clasa a XII-a, iar tema lipsește și din programa probei MAT_P2 din 2030. Din 2030, la științe ale naturii, matematica este una dintre probele la alegere ale bacalaureatului (OMEC 4138/2026), nu o probă obligatorie.

Întrebări frecvente

Ce elemente are $S_3$ și ce lege îl face grup?

Este mulțimea celor șase funcții bijective ale mulțimii $\{1,2,3\}$, luată împreună cu compunerea funcțiilor. Compunerea nu iese din mulțime, este asociativă, are elementul neutru $e$, permutarea identică, iar fiecare permutare are o inversă tot în $S_3$. Grupul are șase elemente, nu este comutativ și este cel mai mic grup necomutativ: orice grup cu cel mult cinci elemente este comutativ.

Cum compun două permutări fără să încurc ordinea?

În $\sigma \circ \rho$ aplici întâi $\rho$, cea din dreapta, apoi $\sigma$. Urmărești pe rând numerele $1$, $2$ și $3$: unde îl trimite $\rho$ și apoi unde îl trimite $\sigma$ mai departe. Scrii cele trei rezultate pe linia de jos a tabelului și verifici că fiecare număr apare o singură dată.

De ce nu este $S_3$ grup comutativ?

Pentru că există perechi pentru care rezultatul depinde de ordine. De exemplu, rotirea $\alpha$ urmată de schimbarea ${\tau }_1$ dă ${\tau }_2$, iar în ordinea inversă dă ${\tau }_3$. Un singur contraexemplu ajunge ca să arate că legea nu este comutativă. Unele perechi comută totuși, cum sunt $\alpha$ și $\beta$, dar asta nu schimbă concluzia.

Cum calculez ${\alpha }^{2026}$ fără să compun de două mii de ori?

Cauți cel mai mic exponent pentru care puterea dă $e$. Pentru $\alpha$ el este $3$, pentru că rotirea în cerc revine la poziția inițială după trei pași. Atunci împarți exponentul la $3$ și păstrezi restul: $2026=3\cdot 675+1$, deci ${\alpha }^{2026}=\alpha$. Pentru ${\tau }_1$, ${\tau }_2$, ${\tau }_3$ perioada este $2$.

La ce subiect apar grupurile de permutări la Bacalaureatul M2?

În sesiunile 2027–2029 nu apar: programa de examen M2 din 2014 numește ca exemple de grupuri doar grupurile numerice, grupurile de matrice și grupul claselor de resturi. Nici în probele oficiale M2 transcrise pe site, din 2010 până în 2026, nu există o cerință cu grupul permutărilor. Tema rămâne materie de clasă, din programa școlară în vigoare.

Prin ce diferă lecția aceasta de cea de la mate-info (M1)?

La mate-info, grupurile de permutări se studiază pentru orice grad, cu demonstrații generale, cu semnul unei permutări și cu probleme de examen. Lecția M2 rămâne la gradul $3$: construiește tabla întreagă, lucrează compunerea pas cu pas, puterile și ecuațiile, iar exemplele vin din simetriile unei molecule și dintr-un braț robotic de laborator.

Unde mai întâlnesc grupul $S_3$ în științe?

Oriunde trei obiecte identice ca formă își pot schimba locurile. În chimie, rotațiile care aduc o moleculă plană de tipul BF₃ peste ea însăși (identitatea, cele două rotiri de $120^{\circ }$ și cele trei întoarceri de $180^{\circ }$ în jurul legăturilor) formează un grup cu aceeași tablă ca $S_3$; dacă se adaugă și reflexiile, grupul de simetrie al moleculei are $12$ elemente. În fizică și în informatică, aceleași calcule descriu schimbarea ordinii a trei elemente dintr-un șir.